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最新 高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2第1课时正弦余弦函数的周期性与奇偶性课件_图文


同学们:

不做与课堂教学无关的事,保持课堂良好纪 律秩序。 听课时有问题,应先举手,经教师同意后, 起立提问。

现在开始上课啦!!!

第一章

三角函数

1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性

学习目标:1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y= Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期.(重点)3.掌握函数y=sin x,y=cos x的 奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.(重点、易混点)

[自 主 预 习· 探 新 知]
1.函数的周期性

非零常数T ,使得当 x 取定 (1)周期函数:对于函数 f(x),如果存在一个___________
f(x+T)=f(x) ,那么这个函数的周期为____ T . 义域内的每一个值时,都有______________ 正数 , (2)最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的______

正数 就叫做 f(x)的____________ 最小正周期 . 那么这个最小______

2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 周期 最小正周期 奇偶性 y=sin x 2kπ(k∈Z 且 k≠0) y=cos x 2kπ(k∈Z 且 k≠0)

2π ____
奇函数 ________

2π ____
偶函数 ________

[ 基础自测] 1.思考辨析
?2π π? π 2π ? ? (1)若sin 3 +6 =sin6,则 3 是函数y=sin ? ?

x的一个周期.( )

)

(2)所有的周期函数都有最小正周期.( (3)函数y= sin x是奇函数.( )

[ 解析]

?2π ? (1)×.因为对任意x,sin? 3 +x?与sin ? ?

x并不一定相等.

(2)×.不是所有的函数都有最小正周期,如函数f(x)=5是周期函数,就不 存在最小正周期. (3)×.函数y=
[ 答案]

sin x 的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z},不关于原点

对称,故非奇非偶.
(1)× (2)× (3)×

? π? 2.函数y=2sin?2x+2?是( ? ?

) B.周期为π的偶函数 D.周期为2π的偶函数

A.周期为π的奇函数 C.周期为2π的奇函数
? π? [y=2sin?2x+2?=2cos ? ?

B

2x,它是周期为π的偶函数.]

3.若函数y=f(x)是以2为周期的函数,且f(5)=6,则f(1)=________.

6 [由已知得f(x+2)=f(x), 所以f(1)=f(3)=f(5)=6.]

[合 作 探 究· 攻 重 难]
三角函数的周期问题及简单应用
求下列函数的周期:
? π? (1)y=sin?2x+4?; ? ?

(2)y=|sin x|.
[ 思路探究]

【导学号:84352085】
(1)法一:寻找非零常数 T,使 f(x+T)=f(x)恒成立.

法二:利用 y=Asin(ωx+φ)的周期公式计算. (2)作函数图象,观察出周期.

[ 解]

? π? (1)法一:(定义法)y=sin?2x+4? ? ?

? ? ? π π? =sin?2x+4+2π?=sin?2?x+π?+4?, ? ? ? ?

所以周期为 π.
? π? 法二:(公式法)y=sin?2x+4?中 ? ?

2π 2π ω=2,T= ω = 2 =π.

(2)作图如下:

观察图象可知周期为 π.

[ 规律方法]

求三角函数周期的方法:

(1)定义法:即利用周期函数的定义求解. (2)公式法: 对形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(A, ω, φ 是常数, A≠0, 2π ω≠0)的函数,T=|ω|. (3)图象法:即通过观察函数图象求其周期.

π 提醒:y=|Asin(ωx+φ)|(A≠0,ω≠0)的最小正周期 T=|ω|.

[ 跟踪训练] 1.利用周期函数的定义求下列函数的周期. (1)y=cos 2x,x∈R;
?1 π? (2)y=sin?3x-4?,x∈R. ? ?

[ 解]

(1)因为 cos 2(x+π)=cos(2x+2π)=cos 2x,由周期函数的定义知,y=

cos 2x 的周期为 π. (2)因为
?1 π? sin?3?x+6π?-4? ? ?

?1 ?1 ?1 π? π? π? =sin?3x+2π-4?=sin?3x-4?,由周期函数的定义知,y=sin?3x-4?的周期 ? ? ? ? ? ?

为 6π.

三角函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性:
? 1 π? (1)f(x)=sin?-2x+2?; ? ?

(2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x); 1+sin x-cos2x (3)f(x)= . 1+sin x

[ 思路探究]

[ 解]

1 (1)显然 x∈R,f(x)=cos2x,

? 1 ? 1 ? ? ∵f(-x)=cos -2x =cos2x=f(x), ? ?

∴f(x)是偶函数.
? ?1-sin (2)由? ? ?1+sin

x>0, x>0,

得-1<sin x<1,
? ? ?, ? ?

? ? ? π ? ? 解得定义域为 x x∈R且x≠kπ+2,k∈Z ? ? ?

∴f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x), ∴f(-x)=lg[1-sin(-x)] -lg[1+sin(-x)] =lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (3)∵1+sin x≠0,∴sin x≠-1, π ∴x∈R 且 x≠2kπ-2,k∈Z. ∵定义域不关于原点对称, ∴该函数是非奇非偶函数.

[ 规律方法]

1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面:

一看函数的定义域是否关于原点对称; 二看 f(x)与 f(-x)的关系. 2.对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再 判断.
提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.

[ 跟踪训练] 2.判断下列函数的奇偶性:
?3 ? (1)f(x)=cos?2π+2x?+x2sin ? ?

x;

(2)f(x)= 1-2cos x+ 2cos x-1. 【导学号:84352086】

[ 解]

(1)f(x)=sin 2x+x2sin x,

又∵x∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x) =-sin 2x-x2sin x=-f(x), ∴f(x)是奇函数.
? ?1-2cos x≥0, (2)由? ? ?2cos x-1≥0,

1 得 cos x=2,

π ∴f(x)=0,x=2kπ± 3,k∈Z, ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
[ 探究问题] 1.试举例说明哪些三角函数具有奇偶性? 提示:奇函数有 y=2sin x,y=sin 2x,y=5sin 2x,y=sin xcos x 等.偶函数 有 y=cos 2x+1,y=3cos 5x,y=sin x· sin 2x 等. 2.若函数 y=f(x)是周期 T=2 的周期函数,也是奇函数,则 f(2 018)的值是 多少?
提示:f(2 018)=f(0+1 009×2)=f(0)=0.

(1)下列函数中是奇函数,且最小正周期是 π 的函数是(

)

【导学号:84352087】 A.y=cos|2x|
?π ? C.y=sin?2+2x? ? ?

B.y=|sin 2x|
?3π ? D.y=cos? 2 -2x? ? ?

(2)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数,又是周期函数,若 f(x)的最小正周期 为 π,且当
? π? x∈?0,2?时,f(x)=sin ? ?

x,则

?5π? f? 3 ?等于( ? ?

)

1 A.-2 3 C.- 2

1 B.2 3 D. 2

[ 思路探究]

(1)先作出选项 A,B 中函数的图象,化简选项 C、D 中函数的

解析式,再判断奇偶性、周期性. (2)先依据 f(x+π)=f(x)化简 sin x 求值.
?5π? f? 3 ?;再依据 ? ?

f(x)是偶函数和

? π? x∈?0,2?,f(x)= ? ?

(1)D (2)D [(1)y=cos|2x|是偶函数,y=|sin cos 2x T=π.
?5π? ?5π ? ?2π? (2)f? 3 ?=f? 3 -π?=f? 3 ? ? ? ? ? ? ? ?2π ? ? π? ?π? =f? 3 -π?=f?-3?=f?3? ? ? ? ? ? ? ?3π ? 是偶函数,y=cos? 2 -2x?=-sin ? ?

?π ? 2x|是偶函数,y=sin?2+2x?= ? ?

2x 是奇函数,根据公式得其最小正周期

π 3 =sin3= 2 .]

11π 母题探究: 1.若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”, “π”改为“ 12 ”, 其他条件不变,结果如何?

[ 解]

?5π? ?5π 11π ? ? π? ?π? π 1 ? ? ? ? ? ? ? ? f 3 =f 3 - 12 ×2 =f -6 =-f 6 =-sin6=-2. ? ? ? ? ? ? ? ?

? 17 ? π 2.若本例(2)中的“π”改为“2”,其他条件不变,求f?- 6 π?. ? ? π [ 解] ∵f(x)的周期为2,且为偶函数,
? 17 ? ? π? ? π π? ?π? ∴f?- 6 π?=f?-3π+6?=f?-6×2+6?=f?6?. ? ? ? ? ? ? ? ? ?π? ?π π? ? π? ?π? π ? ? ? ? ? ? ? ? 又∵f 6 =f 2-3 =f -3 =f 3 =sin3= ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17 ? ∴?- 6 π?= ? ?

3 2,

3 2.

[ 规律方法]

1.三角函数周期性与奇偶性的解题策略

探求三角函数的周期,常用方法是公式法,即将函数化为y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ)的形式,再利用公式求解. 2.与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z); π (2)要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ+2(k∈Z); π (3)要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ+2(k∈Z); (4)要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z).

[当 堂 达 标· 固 双 基]
1.如图所示的是定义在R上的四个函数的图象,其中不是周期函数的图象 的是( )

D [ 观察图象易知,只有D选项中的图象不是周期函数的图象.]

2.函数f(x)= 2sin 2x的奇偶性为( A.奇函数 C.既奇又偶函数

) B.偶函数 D.非奇非偶函数

A [f(x)= 2sin 2x的定义域为R,f(-x)= 2sin 2(-x)=- 2sin 2x= -f(x),所以f(x)是奇函数.]

3.函数 f(x)=

?πx π? 3sin? 2 -4?,x∈R ? ?

的最小正周期为________.

2π 4 [由已知得 f(x)的最小正周期 T= π =4.] 2 4.若函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数且 f(1)=3,则 f(5)=
________. 【导学号:84352088】

-3 [ 由已知得 f(x+3)=f(x), f(-x)=-f(x), 所以 f(5)=f(2)=f(-1)=-f(1) =-3.]

5.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=-2cos 3x; (2)f(x)=xsin(x+π). 【导学号:84352089】

[ 解]

(1)f(-x)=-2cos 3(-x)

=-2cos 3x=f(x), 所以f(x)=-2cos 3x为偶函数. (2)f(x)=xsin(x+π)=-xsin x, 所以f(-x)=xsin(-x)=-xsin x=f(x), 故函数f(x)为偶函数.

仅做学习交流,谢谢!

语 文 : 初 一 新生使 用的是 教育部 编写的 教材, 也称“ 部编” 教材。 “部编 本”是 指由教 育部直 接组织 编写的 教材。 “部编 本”除 了语文 ,还有 德育和 历史。 现有的 语文教 材,小 学有 12 种 版本 ,初中 有 种版 本。这 些版本 现在也 都做了 修订, 和“部 编本” 一同投 入使用 。“部 编本” 取代 原来人 教版, 覆盖面 比较广 ,小学 约占 50% ,初 中约占 60% 。 今秋, 小学一 年级新 生使用 的是语 文出版 社的修 订版教 材,还 是先学 拼音, 后学识 字。政 治:小 学一年 级学生 使用的 教材有 两个版 本,小 学一年 级和初 一的政 治教材 不再叫 《思想 品德》 ,改名 为《道 德与法 治》。 历史: 初一新 生使用 华师大 版教材 。历史 教材最 大的变 化是不 再按科 技、思 想、文 化等专 题进行 内容设 置,而 是以时 间为主 线,按 照历史 发展的 时间顺 序进行 设置。 关于部 编版, 你知道 多少? 为什么 要改版 ?跟小 编一起 来了解 下吧! 一新教 材的五 个变化 一、入 学以后 先学一 部分常 用字, 再开始 学拼音 。汉字 是生活 中经常 碰到的 ,但拼 音作为 一个符 号,在 孩子们的生活 的生活 中接触 、使用 都很少 ,教学 顺序换 一换, 其实是 更关注 孩子们 的需求 了。先 学一部 分常用 常见字 ,就是 把孩子 的生活 、经历 融入到 学习中 。二、 第一册 识字量 减少, 由 400 字 减少到 300 字 。第一 单元先 学 40 个 常用字 ,比如 “地” 字,对 孩子来 说并不 陌生, 在童话 书、绘 本里可 以看到 ,电视 新闻里 也有。 而在以 前,课 文选用 的一些 结构简 单的独 体字, 比如“ 叉”字 ,结构 比较简 单,但 日常生 活中用 得不算 多。新 教材中 ,增大 了常用 常见字 的比重 ,减少 了一些 和孩子 生活联 系不太 紧密的 汉字。 三、新 增“快 乐阅读 吧”栏 目,引 导学生 开展课 外阅读 。教材 第一单 元的入 学教育 中,有 一幅图 是孩子 们一起 讨论《 西游记 》等故 事,看 得出来 ,语文 学习越 来越重 视孩子 的阅读 表达, 通过 语 文 : 初 一 新生使 用的是 教育部 编写的 教材, 也称“ 部编” 教材。 “部编 本”是 指由教 育部直 接组织 编写的 教材。 “部编 本”除 了语文 ,还有 德育和 历史。 现有的 语文教 材,小 学有 12 种 版本 ,初中 有 88 种版 本。这 些版本 现在也 都做了 修订, 和“部 编本” 一同投 入使用 。“部 编本” 取代 原来人 教版, 覆盖面 比较广 ,小学 约占 50% ,初 中约占 60% 。 今秋, 小学一 年级新 生使用 的是语 文出版 社的修 订版教 材,还 是先学 拼音, 后学识 字。政 治:小 学一年 级学生 使用的 教材有 两个版 本,小 学一年 级和初 一的政 治教材 不再叫 《思想 品德》 ,改名 为《道 德与法 治》。 历史: 初一新 生使用 华师大 版教材 。历史 教材最 大的变 化是不 再按科 技、思 想、文 化等专 题进行 内容设 置,而 是以时 间为主 线,按 照历史 发展的 时间顺 序进行 设置。 关于部 编版, 你知道 多少? 为什么 要改版 ?跟小 编一起 来了解 下吧! 一新教 材的五 个变化 一、入 学以后 先学一 部分常 用字, 再开始 学拼音 。汉字 是生活 中经常 碰到的 ,但拼 音作为 一个符 号,在 孩子们 中接触 、使用 都很少 ,教学 顺序换 一换, 其实是 更关注 孩子们 的需求 了。先 学一部 分常用 常见字 ,就是 把孩子 的生活 、经历 融入到 学习中 。二、 第一册 识字量 减少, 由 400 字 减少到 300 字 。第一 单元先 学 40 个 常用字 ,比如 “地” 字,对 孩子来 说并不 陌生, 在童话 书、绘 本里可 以看到 ,电视 新闻里 也有。 而在以 前,课 文选用 的一些 结构简 单的独 体字, 比如“ 叉”字 ,结构 比较简 单,但 日常生 活中用 得不算 多。新 教材中 ,增大 了常用 常见字 的比重 ,减少 了一些 和孩子 生活联 系不太 紧密的 汉字。 三、新 增“快 乐阅读 吧”栏 目,引 导学生 开展课 外阅读 。教材 第一单 元的入 学教育 中,有 一幅图 是孩子 们一起 讨论《 西游记 》等故 事,看 得出来 ,语文 学习越 来越重 视孩子 的阅读 表达, 通过 读 故 事 、 演 故事、 看故事 等,提 升阅读 能力。 入学教 育中第 一次提 出阅读 教育, 把阅读 习惯提 升到和 识字、 写字同 等重要 的地位 。四、 新增“ 和大人 一起读 ”栏目 ,激发 学生的 阅读兴 趣,拓 展课外 阅读。 有家长 担心会 不会增 加家长 负担, 其实这 个“大 人”包 含很多 意思, 可以是 老师、 爸妈、 爷爷、 奶奶、 外公、 外婆等 ,也可 以是邻 居家的 小姐姐 等。每 个人讲 述一个 故事, 表达是 不一样 的,有 人比较 精炼, 有人比 较口语 化,儿 童听到 的故事 不同, 就会形 成不同 的语文 素养。 五、语 文园地 里,新 增一个 “书写 提示” 的栏目 。写字 是有规 律的, 一部分 字有自 己的写 法,笔 顺都有 自己的 规则, 新教材 要求写 字的时 候,就 要了解 一些字 的写法 。现在 信息技 术发展 很快, 孩子并 不是只 会打字 就可以 ,写字 也不能 弱化。 二为什 么要先 识字后 学拼音 ?一位 语文教 研员说 ,孩子 学语文 是母语 教育, 他们在 生活中 已经认 了很多 字了, 一年级 的识字 课可以 和他们 之前的 生活有 机结合 起来。 原先先 拼音后 识字, 很多孩 子觉得 枯燥, 学的时 候感受 不到拼 音的用 处。如 果先接 触汉字 ,小朋 友在学 拼音的 过程中 会觉得 拼音是 有用的 ,学好 拼音是 为了认 识更多 的汉字 。还有 一位小 学语文 老师说 :“我 刚刚教 完一年 级语文 ,先学 拼音再 识字, 刚进校 门的孩 子上来 就学, 压力会 比较大 ,很多 孩子有 挫败感 ,家长 甚至很 焦急。 现在让 一年级 的孩子 们先认 简单的 字,可 以让刚 入学的 孩子们 感受到 学习的 快乐, 消除他 们害怕 甚至恐 惧心理 。我看 了一下 网上的 新教材 ,字都 比较简 单,很 多小朋 友都认 识。” 读 故 事 、 演 故事、 看故事 等,提 升阅读 能力。 入学教 育中第 一次提 出阅读 教育, 把阅读 习惯提 升到和 识字、 写字同 等重要 的地位 。四、 新增“ 和大人 一起读 ”栏目 ,激发 学生的 阅读兴 趣,拓 展课外 阅读。 有家长 担心会 不会增 加家长 负担, 其实这 个“大 人”包 含很多 意思, 可以是 老师、 爸妈、 爷爷、 奶奶、 外公、 外婆等 ,也可 以是邻 居家的 小姐姐 等。每 个人讲 述一个 故事, 表达是 不一样 的,有 人比较 精炼, 有人比 较口语 化,儿 童听到 的故事 不同, 就会形 成不同 的语文 素养。 五、语 文园地 里,新 增一个 “书写 提示” 的栏目 。写字 是有规 律的, 一部分 字有自 己的写 法,笔 顺都有 自己的 规则, 新教材 要求写 字的时 候,就 要了解 一些字 的写法 。现在 信息技 术发展 很快, 孩子并 不是只 会打字 就可以 ,写字 也不能 弱化。 二为什 么要先 识字后 学拼音 ?一位 语文教 研员说 ,孩子 学语文 是母语 教育, 他们在 生活中 已经认 了很多 字了, 一年级 的识字 课可以 和他们 之前的 生活有 机结合 起来。 原先先 拼音后 识字, 很多孩 子觉得 枯燥, 学的时 候感受 不到拼 音的用 处。如 果先接 触汉字 ,小朋 友在学 拼音的 过程中 会觉得 拼音是 有用的 ,学好 拼音是 为了认 识更多 的汉字 。还有 一位小 学语文 老师说 :“我 刚刚教 完一年 级语文 ,先学 拼音再 识字, 刚进校 门的孩 子上来 就学, 压力会 比较大 ,很多 孩子有 挫败感 ,家长 甚至很 焦急。 现在让 一年级 的孩子 们先认 简单的 字,可 以让刚 入学的 孩子们 感受到 学习的 快乐, 消除他 们害怕 甚至恐 惧心理 。我看 了一下 网上的 新教材 ,字都 比较简 单,很 多小朋 友都认 识。”

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