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2015-2016高中数学 2.2.2反证法课件 新人教A版选修2-2


2.2.2 反





研题型 学方 法

题型一 用反证法证明否定命题

设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数 列{cn}不是等比数列. 证明:假设数列{cn}是等比数列,则 (an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1),① ∵{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为 p,q,
2 ∴an =an-1an+1,b2 n=bn-1bn+1.

代入①并整理得:
?p q? p q ? ? 2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn q+p ,即 2= + .② q p ? ?

p q 当 p,q 异号时, + <0,与②相矛盾; q p p q 当 p,q 同号时,由于 p≠q,所以 + >2,与②相矛盾. q p 故数列{cn}不是等比数列.

规律方法:(1)反证法的一般步骤. ①反设:假设命题结论不成立(即假设结论的反面

成立);②归缪:从假设出发,经过推理论证,得
出矛盾; ③下结论:由矛盾判定假设不成立,从 而肯定命题成立. (2)当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、 “不存在”等否定形式的命题时,由于此类问题 的反面比较具体,适于应用反证法.

?变式训练 x-2 1.已知 f(x)=a + (a>1),证明方程 f(x)=0 没有负数根. x+1
x

证明:假设 x0 是 f(x)=0 的负数根, x0-2 则 x0<0 且 x0≠-1 且 ax0=- . x0+1 x0-2 由 0<ax0<1?0<- <1, x0+1 1 解得 <x0<2,这与 x0<0 矛盾,所以假设不成立, 2 故方程 f(x)=0 没有负数根.

题型二 用反证法证明“至多”,“至少”等存 在性问题
π π 2 若 a,b,c 均为实数,且 a=x -2y+ ,b=y -2z+ ,c=z2 2 3
2

π -2x+ ,求证:a,b,c 中至少有一个大于 0. 6 证明:假设 a,b,c 都不大于 0,即 a≤0,b≤0,c≤0,则 a+b+c ≤0.

π 2 π 2 π 而 a+b+c=x -2y+ +y -2z+ +z -2x+ =(x-1)2+(y 2 3 6
2

-1)2+(z-1)2+π-3. ∵π-3>0,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0, ∴a+b+c>0, 这与 a+b+c≤0 矛盾. 因此,a,b,c 中至少有一个大于 0.

规律方法:应用反证法的情形. ①直接证明困难;

②需分成很多类进行讨论;
③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 的 一类命题; ④结论为 “唯一”的一类命题. 反证法的思维方法:正难则反.

特别提示:反证法引出矛盾没有固定的模式,需要
认真观察、分析,洞察矛盾.

?变式训练 2.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1, 求证:a,b,c,d中至少有一个负数.

证明:假设a,b,c,d都是非负数,
∵a+b=c+d=1, ∴(a+b)(c+d)=1. 又∵(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd, ∴ac+bd≤1.

这与已知ac+bd>1矛盾,
∴a,b,c,d中至少有一个是负数.

题型三 用反证法证明唯一性问题

求证方程 2x=3 有且只有一个根. 证明:因为 2x=3,所以 x=log23.这说明方程有一个根,下面用 反证法证明方程 2x=3 的根是唯一的. 假设方程 2x=3 有两个根 x1,x2(x1≠x2), 则 2x1=3,2x2=3,两式相除,得 2x1-x2=1.

若 x1-x2>0,则 2x1-x2>1,这与 2x1-x2=1 矛盾; 若 x1-x2<0,则 2x1-x2<1,这也与 2x1-x2=1 矛盾, 因此只能 x1-x2=0,这与 x1≠x2 矛盾, 如果方程的根多于两个,同样可推出矛盾, 故 2x=3 只有一个根.

规律方法:用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题, 即存在性和唯一性,当证明结论以“有且只 有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题

时,由于假设结论易导出矛盾,所以用反证法证其
唯一性比较简单明了.

?变式训练 3.过平面 α 内的一点 A 作直线 a,使得 a⊥α,求证:直线 a 是 唯一的. 证明: 假设这样的直线 a 不唯一, 则过点 A 至少还有一条直线 b, 使得 b⊥α.∵直线 a,b 是相交直线,∴两直线 a,b 可以确定一个平 面 β.设 α 和 β 相交于过点 A 的直线 c.∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥ c.这样在平面 β 内,过点 A 就有两条直线 a,b 垂直于直线 c,这与平 面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾,所以假设不成立, 故直线 a 是唯一的.

析疑难 提能 力

反证法证明时反设不全面致误.

【典例】

已知a,b,c是互不相等的非

零实数.求证:三个方程ax2+2bx+c=0,

bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有
一个方程有两个相异实根.

解析:假设三个方程都没有两个相异实根, 则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0. 相加有 a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0, 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0,(*) 由题意 a,b,c 互不相等,所以(*)式不能成立. 所以假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实 根.

【易错剖析】本题证明过程中,易反设为: “假设三个方程都没 有两个相异实根, 则Δ 1=4b2-4ac<0,Δ 2=4c2-4ab<0,Δ 3=4a2-4bc<0” .错误 的原因在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ <0” ,事实上, “方 程没有两个相异实根”包括两种情况:一是方程无实根;二是方程有 两个相等实根,从而Δ ≤0.


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