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2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案:3.1函数与方程知识导学案及答案


3.1 函数与方程 知识导学 函数的零点不是点,而是函数 y=f(x)与 x 轴的交点的横坐标,即零点是一实数,当函 数的自变量取这一实数时,其函数值为零.函数 f(x)的零点实际上就是方程 f(x)=0 的实根, 方程 f(x)=0 有几个实根,函数 f(x)就有几个零点;方程 f(x)=0 有两个相等的实根,则称 n n-1 函数有一个二重零点或者说有一个二阶零点.一般地,函数 f(x)=anx +an-1x +?+a1x+a0(ai∈ R,i=0,1,2,3,?,n)至多有 n 个零点. 解方程是我们在数学学习过程中经常遇到的问题.但平时我们所解的方程都是代数方 程,即整式方程、分式方程和无理方程,而对于含有指数和对数的方程,我们也只解一些极 为特殊的.对于大部分含有指数和对数的方程是很难用代数方法来解的,例如,对于方程 lgx=3-x, 我们要求出它的解比较困难, 但我们可以用二分法求出它的近似解.用二分法求出 的零点一般是零点的近似值.并不是所有函数都可以用二分法求零点, 必须满足在区间 [a,b] 上连续不断,且 f(a)·f(b)<0 这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值. 用二分法求函数零点的近似值关键有两点: 一是初始区间的选取, 符合条件(包含零点), 又要使其长度尽量小;二是随时进行精确度的判断,以决定是停止计算还是继续计算. 记忆口诀: 函数连续值两端,相乘为负有零点, 区间之内有一数,方程成立很显然. 要求方程近似解,先看零点的区间, 每次区间分为二,分后两端近零点. 疑难导析 2 2 一般地, 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的函数值 为 0 时自变量 x 的值.从函数的图象上看, 就是抛物线与 x 轴交点的横坐标.因此, 一元二次 2 2 方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根也称为二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的零点.利用函数的知识可以 2 2 得到方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根与函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象之间的关系.二次函数与一 元二次方程的这种关系, 又给我们提供了另外一种解方程的方法: 利用函数的图象解方程或 研究方程解的情况. 问题导思 函数思想与方程思想是密切相关的.对于函数 y=f(x), 当 y=0 时, 就转化为方程 f(x)=0, 也可以把函数式 y=f(x)看作二元方程 y-f(x)=0.函数问题(如求反函数、求函数的值域等) 可以转化为方程问题来解决,如解方程 f(x)=0,就是求函数 y=f(x)的零点. 函数思想、方程思想体现了一种解决问题的理念,即建“模”意识.所谓“模”就是一个问 题载体,是联系已知、未知的桥梁,建“模”后的第二步就是解析“模” ,从而真正将实际 问题转化为数学问题,数学也因此成为解析大自然奥秘的工具. 典题导考 绿色通道 如果在计算机上应用某些软件,比如《几何画板》直接绘出函数的图象(这个软件不用进行 步长的设置),也可较快地判断函数的零点的大致区间.如图 3-1-3 所示. 图 3-1-3 典题变式 函数 f(x)=lnxA.(1,2) C.( 2 的零点所在的大致区间是( x B.(2,3) ) 1 ,1)和(3,4) e D.(e,+∞) 答案:B 绿色通道 2 判断二次函数 f(x)的零点的个数,就是判断一元二次方程 ax +bx+c=0 的实根的个数,一般 地由判别式Δ >0,Δ =0,Δ <0 完成.对于二次函数在某个定义区间上的零点个数以及不能用 “Δ ”判断的二次函数零点,则要结合二次函数的图象进行. 3 典题变式 求函数 f(x)=2x -3x+1 零点的个数. 答案:有 3 个零点. 绿色通道 本题表中数据同学们可自己计算验证,这里只给出符号,更清楚地看到区间的取法. 典题变式 x 1.借助计算器或计算机,用二分法求方程 ln(2x+6)+2=3 在区间(1,2)内的近似解(精确到 0.1). x 思路解析: 用二分法解这个方程可以先构造函数 f(x)=ln(2x+6)-3 +2, 然后寻找这个函数的 零点即可. 答案:精确到 0.1 的近似值为 1.3. 3 2.求方程 x -3x+1=0 的近似解(精确到 0.1). 答案:近似解分别为 x1≈-1.8,x2≈0.4,x3≈1.5. 2 3.已知二次函数 f(x)=ax +4x+b(a<0),设关于 x 的方程 f(x)=0 的两根为 x1、x2,f(x) =x 的两实根为α 、β . (1)若|α -β |=1,求 a、b 的关系式; (2)若 a、b 均为负整数,且|α -β |=1,求 f(x)的解析式. 2 答案:(1)a +4ab=9. 2 (2)f(x)=-x +4x-2. 绿色通道 本题是一道有关降低税率的应用题,涉及到农产品价格、征税标准、降低税率、预计收购量 等多个量.通过审题,建立了 税收 f(x)(万元)和降低税率 x 的二次函数关系式,再运用二次函数的有关知识使问题得以 解决.在题后又给出设问,目的是要用本节知识来解决问题. 典题变式 某电器公司生产 A 种型号的家庭电器.1996 年平均每台电脑生产成本为 5 000 元, 并以纯利润 20%标定出厂价.1997 年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从 而使生产成本逐年降低.2000 年平均每台 A 种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是 1996 年出厂 价的 80%,但却实现了纯利润 50%的高效率.求 (1)2000 年每台电脑的生产成本; (2)以 1996 年的生产成本为基数, 用二分法求 1996 年~2000 年生产成本平均每年降低的百 分数(精确到 0.01). 答案:(1)2000 年每台电脑的生产成本为 3 200 元; (2)1996 年~2000 年生产成本平均每年降低的百分数为 11%. 2 2 ∴所求二次函数为 y=-(x+1)

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