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1.1.1 正弦定理 全国高中青年数学教师参赛优秀教案


必修 5 一、教学目标: 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 1.知识与技能:通过创设问题情境,引导学生发现正弦定理,并推证正弦 定理。会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。 2.过程与方法:引导学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中,边 与其对角正弦的比值之间的关系,培养学生通过观察,猜想,由特殊到一般归纳 得出结论的能力和化未知为已知的解决问题的能力。 3.情感、态度与价值观:面向全体学生,创造平等的教学氛围,通过学生 之间、师生之间的交流、合作和评价,调动学生的主动性和积极性,给学生成功 的体验,激发学生学习的兴趣。 二、教学重点与难点: 1.重点:正弦定理的探索发现及其初步应用。 2.难点: ①正弦定理的证明; ②了解已知两边和其中一边的对角解三角形时,解的情况不唯一。 三、教学过程: ㈠ 创设情境: 宁静的夜晚,明月高悬,当你仰望夜空,欣赏这美好夜色的时候,会不会想 要知道:那遥不可及的月亮离我们究竟有多远呢?1671 年两个法国天文学家首 次测出了地月之间的距离大约为 385400km,你们想知道他们当时是怎样测出这 个距离的吗? 学习了本章《解三角形》的内容之后,这个问题就会迎刃而解。 ㈡ 新课学习: ⒈提出问题:我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角 关系.我们是否能得到这个边、角关系的准确量化的表示呢? A ⒉解决问题: 回忆直角三角形中的边角关系: 根据正弦函数的定义有: a b sin A ? ,sin B ? ,sinC=1。 c c 经过学生思考、交流、讨论得出: b c C a B a b c ? ? , sin A sin B sin C 问题 1:这个结论在任意三角形中还成立吗? (引导学生首先分为两种情况,锐角三角形和钝角三角形,然后按照化未知 为已知的思路,构造直角三角形完成证明。 ) ①当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据锐角三角函数的定 义,有 CD ? a sin B , CD ? b sin A 。 C 由此,得 同理可得 故有 a sin A a sin A ? b sin B , b A a B c sinC ? ? b sin B ? , D b sin B c sinC . 从而这个结论在锐角三角形中成立. ②当 ? ABC 是钝角三角形时,过点 C 作 AB 边上的高,交 AB 的延长线于点 D, 根据锐角三角函数的定义,有 CD ? a sin ?CBD ? a sin ?ABC , CD ? b sin A 。 由此,得 同理可得 故有 a sin A a sin A ? b sin ?ABC , b A C a B D c sinC ? ? b sin ?ABC b sin ?ABC ? c sinC . 由①②可知,在 ? ABC 中, a sin A ? b sin B ? c sinC 成立. 从而得到: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,即 a sinA ? b sin B ? c sinC . 这就是我们今天要研究的—— 1.1.1 正弦定理 思考:你还有其它方法证明正弦定理吗? 接着给出解三角形的概念:一般地,把三角形的三个角 A、B、C 和它们的 对边 a、b、c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 解三角形. 问题 2:你能否从方程的角度分析一下,解三角形需要

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