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多面体旋转体


15.1 多面体的概念

问题提出

在平面几何中,我们认识了三角形, 正方形,矩形,菱形,梯形,圆,扇形 等平面图形.那么对空间中各种各样的几 何体,我们如何认识它们的结构特征?

(一):空间几何体的类型

思考1:观察下列图片,你知道这图片在 几何中分别叫什么名称吗?

思考2:如果将这些几何体进行适当分类, 你认为可以分成那几种类型? 思考3:图(2)(5)(7)(9)(13) (14)(15)(16)有何共同特点?这 些几何体可以统一叫什么名称? 多面体

思考4:图(1)(3)(4)(6)(8) (10)(11)(12)有何共同特点?这 些几何体可以统一叫什么名称? 旋转体

思考5:一般地,怎样定义多面体?围 成多面体的各个多边形,相邻两个多边 形的公共边,以及这些公共边的公共顶 点分别叫什么名称?
顶点





由若干个平面 多边形围成的 几何体叫做多 面体 .

思考:一般地,怎样定义旋转体?



由一个平面图形绕它所在平面内的 一条定直线旋转所形成的封闭几何体 叫做旋转体

(二):棱柱的结构特征

思考1:我们把下面的多面体取名为棱 柱,你能说一说棱柱的结构有那些特征 吗?据此你能给棱柱下一个定义吗?

有两个面互相平行,其余各面都是四边 形,每相邻两个四边形的公共边都互相 平行,由这些面围成的多面体叫做棱柱.

思考2:我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱 的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,相邻侧面的 公共边叫做棱柱的侧棱,两底面所在平面的公垂 线段叫棱柱的高,侧面与底面的公共顶点叫做棱柱 的顶点.不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱 柱的对角线你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧 棱、高、顶点、对角线吗? 高 顶点 侧面 对角线

侧棱

底面

思考3:下列多面体都是棱柱吗?如何在 名称上区分这些棱柱?如何用符号表示?
D1 E1 C1

A1

B1

C1 B1

C B A
D1 C1 B1

D

C

E
A

A1
B D1 A1 D C1 B1 C A1

D
A B A B

C

思考4:棱柱上、下两个底面的形状大小 如何?各侧面的形状如何?

两底面是全等的多边形, 各侧面都是平行四边形

思考5:有两个面互相平行,其余各面都 是平行四边形的多面体一定是棱柱吗?

思考6:一个棱柱至少有几个侧面?一个 N棱柱分别有多少个底面和侧面?有多少 条侧棱?有多少个顶点?

棱柱的性质 (1)侧棱都相等,侧面是平行四边形; (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;
E? A? B?
E

D?

C?

F? A? B?

E? D?

C?

D
A B
A

F
B

E

D

C

C

棱柱的分类:
1.按棱柱底面多边形的形状来分: 棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形…… 这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 2.按侧棱与底面是否垂直来分: 侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱。 侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。 直棱柱的侧面都是矩形,直棱柱的高与侧棱的长相 等。

思考:斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、侧面各 有什么特点?

1、斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形, 正棱柱的底面为正多边形。 2、斜棱柱的侧面为平行四边形,直棱柱的 侧面为矩形,正棱柱的侧面为全等的矩形。

D1 A1

C1 B1

D
A B

C

有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱? 有两个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱? 有两个相邻侧面是矩形的棱柱呢?

直棱柱 ?底面是矩形? 长方体?棱长都相等? 正方体 ??? ???

底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。 底面是正多边形 正棱柱 直棱柱 ? ? ? ?? ?

底面是平行四边形的四棱柱有六个面,且六个面 都是平行四边形,该棱柱也叫做平行六面体。 侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体, 底面是矩形的直平行六面体叫长方体。 底面是平行四边形 侧棱与底面垂直 四棱柱????? ? 平行六面体 ? ? ? ?? ? ? 直平行六面体 ?底面是矩形? 长方体 ???

问题:棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱集合、正棱 柱集合之间存在怎样的包含关系?

四棱柱

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

长方体

正方体

?正方体? ? ?长方体? ? ?直平行六面体? ? ?平行六面体? ? ?四棱柱? ? ? ?
?

练习
(1)判断下列命题是否正确:

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;
②有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱;

③有一条侧棱垂直于底面的两条边的棱柱是直棱柱;
(2)一个棱柱是正四棱柱的条件是: ①底面是正方形,有两个侧面是矩形; ②底面是正方形,有两个侧面垂直于底面;

③底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直;
④每个侧面都是全等的矩形的四棱柱

(三): 棱锥的结构特征

思考1:我们把下面的多面体取名为棱 锥,你能说一说棱锥的结构有那些特征 吗?据此你能给棱锥下一个定义吗?

有一个面是多边形,其余各面都是有 一个公共顶点的三角形,由这些面围 成的多面体叫做棱锥.

思考2:参照棱柱的说法,棱锥的底面、侧面、 侧棱、顶点、高、斜高分别是什么含义?
顶点
侧面 底面 高

斜高

侧棱

多边形面叫做棱锥的底面,有公共顶点的各三角形面叫 做棱锥的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱,各 侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.顶点到底面所在平面的 垂线段,叫棱锥的高,各侧面三角形底边上的高叫斜高.

思考3:下列多面体都是棱锥吗?如何在 名称上区分这些棱锥?如何用符号表示?
S

A S C B B

D

D

C E F
B

C

A

A

S

思考4:一个棱锥至少有几个面?一个N 棱锥有分别有多少个底面和侧面?有多 少条侧棱?有多少个顶点?

至少有4个面;1个底面,N个侧 面,N条侧棱,1个顶点.

棱锥的分类:按底面多边形的边数
分别称底面是三角形,四边形,五边形……的 棱锥为三棱锥,四棱锥,五棱锥……

正棱锥:
底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面正 多边形的中心的棱锥叫正棱锥。

正棱锥性质 : (1)正棱锥的各侧棱相等, (2)各侧面是全等的等腰三角形, (3)各等腰三角形底边上的高相等, (4)侧棱和底面所成角相等,侧面与底面所 成角相等,相邻两侧面所成角相等。

思考5:用一个平行于棱锥底面的平面去 截棱锥,截面与底面的形状关系如何?

相似多边形

例1 如图,截面BCEF将长方体分割成 两部分,这两部分是否为棱柱?
D1
A1

E B1

C1

F
D

C

A

B

例2 一个三棱柱可以分割成几个三棱 锥?
C1 A1

B1 C1 A1

B1

C

B C

B

A

A


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