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2018-2019版高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件:1.1.1_2变化率问题 导数的概念


1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 目标定位 1.了解导数概念的实际背景 .2. 会求函数在某一点附近的平 均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 自 主 预 习 1.函数的变化率 定义 平均 变化 率 瞬时 变化 率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 f(x2)-f(x1) Δy x - x ________________ ,简记作: 2 1 Δx 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0+Δ x 的平均变化率在Δ x→0 时的极限,即 f(x0+Δ x)-f(x0) Δy lim Δ x ?x?0 ___________________________ = lim . ?x?0 Δ x 实例 ①平均速度; ②曲线的割线的斜 率 ①瞬时速度是物体 在某一时刻的速度; ②切线斜率 2.函数f(x)在x=x0处的导数 Δy 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 lim = Δ x ?x?0 f(x0+Δ x)-f(x0) lim Δx ?x?0 ____________________________ 称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导 Δy f′(x0)或 y′|x=x0 数 , 记 作 _________________ , 即 f ′ (x0) = lim = Δ x ?x?0 f(x0+Δ x)-f(x0) lim . Δx ?x?0 即 时 自 测 1.思考题 (1)物体的平均速度能否精确反映它的运动状态?当Δ x=0.000 01 Δy 时, 等于多少?这个平均速度能描述物体的运动状态吗? Δx 提示 不能,如高台跳水运动员相对于水面的高度 h(单位:m) 与起跳后的时间 t(单位: s)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10, ?65? h?49?-h(0) ?65? ? ? - 易知 h?49?=h(0),v = =0, 65 ? ? 49-0 而运动员依然是运动状态. Δy =-4.9Δ x-3.3=-3.300 049,说明当时间间隔非常小的时 Δx 候平均速度约等于一个常数,这个常数就是 x=1 这一时刻的速 度. (2)导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征? 提示 度. 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程 2.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δ x( ) A.大于零 C.等于零 答案 D B.小于零 D.不等于零 3.函数y=x2+1在[1,1+Δ x]上的平均变化率是( A.2 C.2+Δ x B.2x D.2+(Δ x)2 ) 解析 Δy (1+Δx)2+1-(12+1) = =2+Δx. Δx Δx 答案 C 4.函数f(x)=1在x=2处的导数等于________. 解析 答案 f(x)-f(2) 1-1 f′(2)= lim = lim =0. x - 2 x - 2 x?2 x?2 0 类型一 平均变化率 【例1】 已知函数h(x)=-4.9x2+6.5x+10. (1)计算从x=1到x=1+Δ x的平均变化率,其中Δ x的值为①2;② 1;③0.1;④0.01; (2)根据(1)中的计算,当|Δ x|越来越小时,函数h(x)在区间[1,1 +Δ x]上的平均变化率有怎样的变化趋势? 解 (1)∵Δ y=h(1+Δ x)-h (1)=-4.9 (Δ x)2-3.3Δ x, Δy ∴ =-4.9Δ x-3.3. Δx Δy ①当Δ x=2 时, =-4.9Δ x-3.3=-13.1; Δx Δy ②当Δ x=1 时, =-4.9Δ x-3.3=-8.2; Δx Δy ③当Δ x=0.1 时, =-4.9Δ x-3.3=-3.79; Δx Δy ④当Δ x=0.01 时, =-4.9Δ x-3.3=-3.349. Δx (2)当|Δ x|越来越小时,函数 f(x)在区间[1,1+Δ x]上的平均变化 率逐渐变大,并接近于-3.3. 规律方法 求平均变化率的主要步骤: (1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx=x2-x1. Δy f(x2)-f(x1) (3)得平均变化率 = . Δx x2-x1 【训练1】 求函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δ x]上的平均变化 率,并求当x0=2,Δ x=0.1时平均变化率的值. 解 函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δ x]上的平均变化率为 2 f(x0+Δ x)-f(x0) [3(x0+Δ x)2+2]-(3x0 +2) = Δx (x0+Δ x)-x0 6x0·Δ x+3(Δ x)2 = =6x0+3Δ x. Δx 当 x0=2,Δ x=0.1 时,函数 y=3x2+2 在区间[2,2.1]上的平均 变化率为 6×2+3×0.1=12.3. 类型二 物体运动的瞬时速度 【例 2】若一物体运动方程如下:(位移单位:m,时间单位: 2 ? ?3t +2 s)s=? 2 ? 29 + 3 ( t - 3 ) ? (t≥3), (0≤t<3). 求:(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度; (2)物体的初速度 v0; (3)物体在 t=1 时的瞬时速度. 解 (1)∵物体在 t∈[3,5]内的时间变化量为 Δ t=5-3=2, 物体在 t∈[3,5]内的位移变化量为 Δ s=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, Δ s 48 ∴物体在 t∈[3,5]上的平均速度为 = 2 =24(m/s). Δt (2)求物体的初速度 v0 即求物体在 t=0 时的瞬时速度. Δ s s(0+Δ t)-s(0) ∵物体在 t=0 附近的平均变化率为 = Δt Δt 29+3[

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