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65.课标全国卷文科立体几何试题的体积“情结”之体积公式


课标高考全国卷数学试题揭秘.预测 第 19 讲:课标全国卷文科立体几何试题的体积“情结”之体积公式 287 第 19 讲:课标全国卷文科立体几何试题 的体积“情结”之体积公式 揭秘情结 课标全国卷中的立体几何试题与概率统计试题一起排列在解答题的第二、三题,属于解答题的中档题;研究发现:课标 全国卷文科中的立体几何试题具有鲜明的个性:着意于几何体的体积问题,即课标全国卷文科立体几何试题具有浓浓的体 积“情结”. 情结渊源 1.柱体的体积: 1.(2013 年课标Ⅰ高考试题文科第 19 题)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中, CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60 . (Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若 AB=CB=2,A1C= 6 ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积. 0 [解析]:(Ⅰ)取 AB 的中点 O,连接 OC,OA1,A1B;由 CA=CB ? OC⊥AB;由 AB=AA1∠BAA1=600 ? △AA1B 为等边三角形 ? OA1⊥ AB ? AB⊥平面 OA1C ? AB⊥A1C; 2 2 2 (Ⅱ)由△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形 ? OC=OA1= 3 ;又 A1C= 6 ? A1C =OC +OA1 ? OA1⊥OC ? OA1⊥平面 ABC ? OA1 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的高;又△ABC 的面积 S△ABC= 3 ? 三棱 柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S△ABC×OA1=3. 2.锥体的体积: 2.(2010 年课标高考试题文科第 18 题)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形, AB∥CD,AC⊥BD,垂足为 H,PH 是四棱锥的高. (Ⅰ)证明:平面 PAC?平面 PBD; 0 (Ⅱ)若 AB= 6 ,?APB=?ADB=60 ,求四棱锥锥 P-ABCD 的体积. [解析]:(Ⅰ)由 PH?平面 ABCD ? PH⊥AC ? AC⊥PH,又由 AC⊥BD ? AC⊥平面 PBD ? 平面 PAC?平面 PBD; 0 0 (Ⅱ)在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,AC⊥BD,AB= 6 ? HA=HB= 3 ;由?ADB=60 ? CH=DH=AHcot60 =1 ? 梯形 ABCD 的面积 S= 1 1 3? 2 3 0 AC×BD=2+ 3 ;又由?APB=60 ? PA=PB=AB= 6 ? PH= 3 ? 四棱锥锥 P-ABCD 的体积 V= S×PH= . 2 3 3 3.(2013 年课标Ⅱ高考试题文科第 18 题)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D、 E 分别是 AB、 BB1 的中点. (Ⅰ)证明:BC1∥平面 A1CD; (Ⅱ)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 2 ,求三棱锥 C-A1DE 的体积. [解析]:(Ⅰ)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点,又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF,BC1 ? 平 面 A1CD ? BC1∥平面 A1CD; 288 第 19 讲:课标全国卷文科立体几何试题的体积“情结”之体积公式 (Ⅱ)由 CA=CB ? CD⊥AB;又由 AA1⊥平面 ABC ? AA1⊥CD ? CD⊥平面 AA1B1B ? CD 是 三棱锥 C-A1DE 的高;在Δ ABC 中,由 AC=CB=2,AB=2 2 ? CD= 2 ;在矩形 AA1B1B 中, 由 D、E 分别是 AB、BB1 的中点,AA1=2,AB=2 2 ? Δ

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