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数学理卷·2018届四川省成都经济技术开发区实验中学高三下学期市“二诊”模拟考试


2018 届四川省成都经济技术开发区实验中学校高三下学期市“二诊” 模拟考试数学(理)试题
(考试用时:120 分 注意事项:
【来源:全,品…中&高*考+网】

全卷满分:150 分 )

1.答题时,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码贴 在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选做题的作答:先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写 在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后,请将答题卡上交;

第Ι卷(选择题部分,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ? ? x | A. ?

? ?

x ?5 ? ? 0 ? ,集合 B ? ? x ? Z | ( x ? 3)( x ? 10) ? 0? ,则 A ? B ? ( x ?9 ?
B. [3,5) ? (9,10] C. ?3, 4,10? D. R
【来源:全,品?中&高*考+网】



2.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S9 ? 54 ,则 a2 ? a4 ? a9 ? ( A.9 B.15 C.18



D.36

3.已知非零向量 m , n 满足 | m |? 2 | n | , cos ? m, n ?? 值为( A. ?6 ) B. ?

??

?

??

?

?? ?

?? ? ?? 1 ,若 m ? (tn ? m) ,则实数 t 的 3

2 3

C.

3 2

D. 2

4.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说: “罪 犯在乙、丙、丁三人之中” ;乙说: “我没有作案,是丙偷的” ;丙说: “甲、乙两人中有一 人是小偷” ;丁说: “乙说的是事实” .经过调查核实,四人中有 两人说的是真话,另外

两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁



5.已知命题 p:若 a>|b|,则 a2>b2;命题 q:若 x2=4,则 x=2.下列说法正确的是( A.“p∨q”为真命题 C.“命题 p”为真命题 B.“p∧q”为真命题 D.“命题 q”为假命题

)

6.设函数 f ( x) ? 3 cos(2 x ? ? ) ? sin(2 x ? ? )

(| ? |?

? ,且其图象关于直线 )
2

x ? 0 对称,则(



A. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, ) 上为增函数 2 B. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, ) 上为减函数 2

? ?

? ? C. y ? f ( x) 的最小正周期为 ,且在 (0, ) 上为增函数 2 4 ? ? D. y ? f ( x) 的最小正周期为 ,且在 (0, ) 上为减函数 2 4
7. 运行如图程序,则输出的 的值为( )

A. 0

B. 1

C. 2018

D. 2017

?x ? y ? 2 ? 0 ? 8. 已知 x, y 满足约束条件 ? ax ? y ? 4 , 目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是 2, 则实数 a ? ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?
( A. )

3 D.4 2 log x, x ? 0 ? ? 1 3 9. 已 知 a ? 0 且 a ? 1 , 函 数 f ? x ? ? ? 满 足 f ? 0 ? ? 2 , f ? ?1? ? 3 , 则 x ? a ? b, x ? 0 ?
B.1 C.

1 2

f ? f ? ?3? ? ?
A. ?3



) B. ?2 C.3 D.2 线 C 的焦点,且

10.已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线 l 过抛物

与抛物线的对称轴垂直, l 与 C 交于 A, B 两点,且 AB ? 8 , M 为抛物线 C 准线上一点, 则 ?ABM 的面积为( A. 16 11. 已知双曲线 C1 : ) B. 18 C. 24 D. 32

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率相同,且 6 2 a b

双 曲 线 C2 的 左 、 右 焦 点 分别 为 F1 , F2 , M 是 双 曲 线 C2 一 条 渐近 线 上 的 某 一 点 , 且

OM ? MF2 , S ?OMF2 ? 8 3 ,则双曲线 C2 的实轴长为(
A.

) D.

4

B.

4 3

C.

8

8 3

12.设 f '( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数, f ''( x) 是 f '( x) 的导数,若方程 f ''( x) ? 0 有实数解 .已知:任何三次函数既有拐点,又有 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点” 对称中心,且拐点就是对称中心.设 f ( x) ?

1 3 8 x ? 2 x 2 ? x ? 2 ,数列 ?an ? 的通项公式为 3 3

an ? n ? 1007 ,则 ? f (ai ) ? (
i ?1

2017

) C.8068 D.4034

A.20

17

B.2018

第Ⅱ卷(非选择题部分,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第 22~23 题为选做题,考生根据要求作答。 二、填空题:本题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分 13.在 △ABC 中, sin A ?

? ???? 4 ??? , AB ? AC ? 6 ,则 △ABC 的面积为 5

. .

14.已知 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,a1 ? 1 , 当 n ? 2 时,S n ?1 ? 1 ? an , 则 a8 ?

?y ? 2? x ? 15.过 O 点作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的射影,由区域 ? 2 x ? 3 y ? 9 内 ?x ? 0 ?
的点在直线 l : ? (2 x ? 3 y ? 9) ? u ( x ? y ? 2) ? 0 上的射影构成线段记为 MN , 则 | MN | 的长 度的最大值为 .

16.学校艺术节对同一类的 A , B , C , D 四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓 前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下: 甲说: “ C 或 D 作品获得一等奖” 乙说: “ B 作品获得一等奖” 丙说: “ A , D 两项作品未获得一等奖” 丁说: “ C 作品获得一等奖” . 若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是 .

三、解答题:(本题包括 6 小题,共 70 分。要求写出证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,D 是 BC 边上靠近点 B 的三等分 点, sin
?BAC ? ?ACB 6 . ? 2 3

(Ⅰ)若 2cos C (a cos B ? b cos A) ? c ,求 C; (Ⅱ)若 c = AD = 3,求△ABC 的面积.

18. 某学校高一、高二、高三三个年级共有 300

名教师,为调查他们的备课时间情况,

通过分层抽样获得了 20 名教师一周的备课时间,数据如下表(单位:小时) .

(1)试估计该校高三年级的教师人数; (2)从高一年级和高二年级抽出的教师中,各随机选取一人,高一年级选出的人记为甲,

高二年级班选出的人记为乙,假设所有教师的备课时间相对独立,求该周甲的备课时间不 比乙的备课时间长的概率; (3)再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师,他们该周的备课时间分别是 8,9,10(单位:小时) ,这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 x1 ,表格中 的数据平均数记为 x0 ,试判断 x0 与 x1 的大小(结论不要求证明) .

19.(本小题满分 12 分) 如 图 : 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 平 行 四 边 形 , 且 AC ? BD ,

PA ? 底面ABCD , PA ? AB ? 1 , BC ? 3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移
动. (1)证明:当点 E 在边 BC 上移动时,总有 PE ? AF ; (2)当 CE 等于何值时, PA 与平面 PDE 所成角 的大小为 45°.

20.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,离心率为 焦点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 2 ,圆 E:(x-1)2+y2=1 的圆心是椭圆 C 的一个 2

(Ⅱ)如图,

过椭圆 C 上且位于 y 轴左侧的一点 P 作圆

E 的两条切线,分别交 y 轴于点

M、N.试推断是否存在点 P,使|MN|= 标;若不存在,请说明理由.

14 ?若存在,求点 P 的坐 3

21. 已知函数 f ( x) ? ax ? (1 ? 2a ) x ? ln x(a ? R ) .
2

(1)求函数 f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最大值; (2)若 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , C ( x0 , y0 ) 是函数 f ( x) 图象上不同的三点,且 x0 ? 试判断 f ' ( x0 ) 与

x1 ? x2 , 2

y1 ? y2 之间的大小关系,并证明. x1 ? x2

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请 写清题号,本小题满分 10 分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度 单位相同.已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? , ? ? [0, 2? ] . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)在曲线 C 上求一点 D ,使它到直线 l : ?

? x ? 3t ? 3 ? ( t 为参数)的距离最短,写出 ? ? y ? ?3t ? 2

D 点的直角坐标.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? ln(| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 |) . (1)求不等死 f ( x) ? 0 的解集; (2)当 m 取何值时, f ( x) ? m 恒成立.

成都经开区实验

中学 2015 级高三下学期“二诊”模拟考试题

数学(理工类)参考答案
1—5 CCABA 13. 4 6—10 14. 128 BDABA 11—12 DD 15. 5 16. B

17.解: (Ⅰ)由 2cos C (a cos B ? b cos A) ? c 及正弦定理得
2cos C (sin A cos B ? sin B cos A) ? sin C ? 2cos C sin( A ? B) ? sin C
? 2 cos C sin C ? sin C ,因为 C ? (0,π ) ,所以 sinC≠0,所以 2 cos C ? 1 .

又因为 C ? (0,π ) ,所以 C ? (Ⅱ)由 sin

π . 3

………………………………………… 6 分

?BAC ? ?ACB π ?B B 6 B 1 得 cos B ? 2 cos 2 ? 1 ? . ? sin ? cos ? 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 AB ? BD ? AD 1 3 ? BD ? 3 由余弦定理得 cos B ? ,即 = ,得 BD ? 2 , 2 AB×BD 3 2×3×BD

故 a ? 6 .过 A 作 AE⊥BC,在 Rt△ ABE 中, AE ? AB×sin B ? 2 2 .
1 所以△ ABC 的面积为 ×2 2×6 ? 6 2 . 2

【来源:全,品…中&高 *考 +网】

………………………… 12 分

18.解: (1)抽出的 20 位教师中,来自高三年级的有 8 名, 根据分层抽样方法,高三年级的教师共有 300 ?

8 ? 120 (人) 20

(2)设事件为 Ai “甲是现有样本中高一年级中的第 i 个教师”, i ? 1, 2,3, 4,5 , 事件 C j “乙是现有样本中高二年级中的第 j 个教师”, j ? 1, 2,3, 4,5, 6, 7 ,

1 1 , P (Ci ) ? , 5 7 1 1 1 P( AC ? ? i i ) ? P ( Ai ) P (C j ) ? 5 7 35 设事件 M 为“该周甲的备课时间比乙的备课时间长”,由题意知,
由题意知: P ( Ai ) ?

M ? A2C1 ? A3C1 ? A4C1 ? A5C1 ? A4C2 ? A5C2
所以 P( M ) ? P( A2C1 ) ? P ( A3C1 ) ? P ( A4C1 ) ? P ( A5C1 ) ? P ( A4C2 ) ? P ( A5C2 ) ? 6 ? 1 ? 6
35 35

故 P( M ) ? 1 ? P( M ) ? (3) x高一 ?

29 ; 35

7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 11 ? 12 ? 13 7 ? 7.5 ? 8 ? 8.5 ? 9 ? 10 , ? 8 , x高二 ? 7 5

6 ? 6.5 ? 7 ? 8.5 ? 11 ? 13.5 ? 17 ? 18.5 ? 11 8 ?? ? 40 ? 70 ? 88 三组总平均值 x0 ? ? 9.9 , 20 x高三 ?
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新加入的三个数 8,9,10 的平均数为 9,比 x0 小, 故拉低了平均值,∴ x1 ? x0 . 19.解: (1)分别以 AD、AB、AP 所在直线为 x、y、z 轴, 建立如图所示空间坐标系 【来源:全,品…中&高*考+网】则可得 P(0,0,1) ,B(0,1,0) , F(0, , ) ,D( ,0,0) ∴ =(x,1,﹣1)

设 BE=x,则 E(x,1,0) 得 可得 (2)求出 则

=x?0+1× +(﹣1)× =0 ,即 AF⊥PE 成立; . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 =( ,0,﹣1) ,设平面 PDE 的一个法向量为 ,得

∵PA 与平面 PDE 所成角的大小 ∴sin45°= = ,得

为 45°,

=(0,0,1) =

解之得 x= ∴BE=

或 x=

∵BE=x



,即当 CE 等于 2 时,PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°. . . . . .12 分

x2 y2 20.【解析】(Ⅰ)由题意可设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), 且半焦距 c=1. 2 c 2 因为椭圆的离心率为 2 ,则a= 2 ,即 a= 2c= 2.(3 分) 从而 b2=a2-c2=1 x2 ,故椭圆 C 的方程为 2 +y2=1.(4 分)

(Ⅱ)设点 P(x0,y0)(x0<0),M(0,m),N(0,n),

y0-m 则直线 PM 的方程为 y= x x+m,即(y0-m)x-x0y+mx0=0.(5 分)
0

因为圆心 E(1,0)到直线 PM 的距离为 1,则

|y0-m+x0m|
(y0-m)2+x2 0

=1,

2 2 2 2 即(y0-m)2+x2 0=(y0-m) +2x0m(y0-m)+x0m ,即(x0-2)m +2y0m-x0=0.

同理,(x0-2)n2+2y0n-x0=0.(6 分) 由此可知,m,n 为方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0 的两个实根, 2y0 x0 所以 m+n=- ,mn=- .(8 分) x0-2 x0-2

|MN|=|m-n|= (m+n)2-4mn=

2 4y0 4x0 + = (x0-2)2 x0-2

2 4x2 0+4y0-8x0 . (x0-2)2

2 x2 x0 0 2 因为点 P(x0,y0)在椭圆 C 上,则 2 +y2 0=1,即 y0=1- 2 ,则

|MN|=


2x2 0-8x0+4 = (x0-2)2

2(x0-2)2-4 = (x0-2)2

4 2- .(10 分) (x0-2)2

4 14 2 2- 2= 3 ,则(x0-2) =9.因为 x0<0,则 x0=-1. (x0-2)

2 x0 1 2 2? ? y2 = 1 - -1,± 2 ?满足题设条件.(12 分) 0 2 =2,即 y0=± 2 .故存在点 P? ? ?

21.解: (1) f ( x) ? 2ax ? (1 ? 2a ) ?
'

1 2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) , ? ? x x x

x ?1 ? 0 , f ( x) max ? f (2) ? 2 ? ln 2 , x (2ax ? 1)( x ? 1) 当 a ? 0 时, x ? [1, 2] 时, f ' ( x) ? ? 0 , f ( x) max ? f (2) ? 2 ? ln 2 , x 1 ' 当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,得 x1 ? ? , x2 ? 1 ,又 x ? [1, 2] ,则有如下分类: 2a 1 1 ①当 ? ? 2 ,即 ? ? a ? 0 时, f ( x) 在 [1, 2] 上是增函数, 2a 4
当 a ? 0 时, x ? [1, 2] 时, f ' ( x) ? 所以 f ( x) max ? f (2) ? 2 ? ln 2 . ②当 1 ? ? 在 (?

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1 1 1 1 ? 2 ,即 ? ? a ? ? 时, f ( x) 在 [1, ? ] 上是增函数 , 2a 2 4 2a

1 , 2] 上是减函数, 2a 1 1 所以 f ( x) max ? f ( ? ) ? 1? ? ln(?2a) 2a 4a

③当 ?

1 1 ? 1 ,即 a ? ? 时, f ( x) 在 [1, 2] 上是减函数, 2a 2

所以 f ( x) max ? f (1) ? 1 ? a

综上,函数 f ( x) 在 [1, 2] 上的 最大值为 f ( x) max

1 ? ?2 ? ln 2, a ? ? 4 ? 1 1 1 ? ? ?1 ? ? ln(?2a), ? ? a ? ? 2 4 ? 4a 1 ? ?1 ? a, a ? ? 2 ?

(2)

y1 ? y2 1 2 ? [a ( x12 ? x2 ) ? (1 ? 2a)( x1 ? x2 ) ? ln x2 ? ln x1 ] x1 ? x2 x1 ? x2

? a ( x1 ? x2 ) ? (1 ? 2a ) ?

ln x2 ? ln x1 x1 ? x2 1 2 , ? a( x1 ? x2 ) ? (1 ? 2a) ? x0 x1 ? x2

f ' ( x0 ) ? 2ax0 ? (1 ? 2a) ?

y1 ? y2 ln x2 ? ln x1 1 ? f ' ( x0 ) ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 ? 2( x1 ? x2 ) 1 [(ln x2 ? ln x1 ) ? ] x1 ? x2 x1 ? x2

x2 ? 1) x2 x1 1 ? (ln ? ) x2 x1 ? x2 x1 ?1 x1 2(


1 4 (t ? 1) 2 x2 2(t ? 1) ' ? ?0, , g (t ) ? ? ? t , g (t ) ? ln t ? t (1 ? t ) 2 t (1 ? t ) 2 t ?1 x1

所以 g (t ) 在 (0, ??) 上是增函数,又 g (1) ? 0 , 当 x1 ? x2 时, t ? 1 ,

y ?y 1 ? 0 , g (t ) ? g (1) ? 0 ,故 1 2 ? f ' ( x0 ) x1 ? x2 x1 ? x2 y ?y 1 ? 0 , g (t ) ? g (1) ? 0 ,故 1 2 ? f ' ( x0 ) x1 ? x2 x1 ? x2

当 x1 ? x2 时, 0 ? t ? 1 ,

综上知,

y1 ? y2 ? f ' ( x0 ) . x1 ? x2

22.解: (1)由 ? =2sin ? , ? ? ? 0, 2? ? ,可得 ? ? 2 ? sin ?
2

? 曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0
(2) 直线 l 的参数方程为 ?

…………5 分

? ? x ? 3t ? 3 消去 t 得 l 的普通方程为 y ? ? 3 x ? 5 , ? t为参数 ? , y ? ? 3 t ? 2 ? ?

设点 D ? x0 , y0 ? , 且点 D 到直线 l : y ? ? 3 x ? 5 的距离最短, 则曲线 C 在点 D C 与 l 相离, 处的切线与直线 l : y ? ? 3 x ? 5 平行,

?

y0 ? 1 2 . ? 3 ? ?1 ,又 x 0 2 ? ? y0 ? 1? ? 1 x0

?

?

? x0 ? ?

3 3 3 或 x0 ? , ? y0 ? 2 2 2
? 3 3? , ? 2 2? ? ?
…………10 分

? 点 D 的坐标为 ? ?

23.解: (1)由 f ( x) ≤ 0 有: ln(| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 |) ≤ ln1 , 所以 0 ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 |≤ 1 ,
1 3 3 ? ? 1 ? ?x ≤ ? , ?? ? x ? , ?x ≥ , 即? 或 或 2 2 2 ? 2 ? ? ? ? 0 ? ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ≤ 1 0 ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ≤ 1 0 ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ≤ 1, ? ? ?

? 1 3? 解得不等式的解集为 ? x ? x ≤ ? . 4? ? 2

(2)由 f ( x) ? m 恒成立得 f ( x)max ? m 即可.
?1 ? 由(1) 0 ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | 得函数 f ( x) 的定义域为 ? ,? ? ? , ?2 ?

? 3? ?1 ?ln(4 x ? 2) ? 2 ? x ? 2 ?, ? ? ? 所以有 f ( x) ? ? 所以 f ( x) max ? ln 4 , ?ln 4 ? x≥ 3 ?, ? ? ? 2? ? ?

即 m ? ln 4 .


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