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北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)


北京市西城区 2014-2015 学年度第一学期期末试卷高三数学(理科) 一、选择题(共 8 小题;共 40 分) 1. 设集合 A. 2. 设命题 : 平面向量 A. B. C. D. 平面向量 平面向量 平面向量 平面向量 和 , 和 , 和 , 和 , , D. ,则______ , B. 和 , ,则集合 C. ,则 为______ ______ D. 3. 在锐角 A. 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,若 B. 值为______ C. 4. 执行如图所示的程序框图,输出的 A. 5. 设函数 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. ,则“ C. ”是“函数 D. 为奇函数”的______ B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 一个四棱锥的三视图如图所示,那么对于这个四棱锥,下列说法中正确的是______ 第 1 页(共 8 页) A. 最长棱的棱长为 B. 最长棱的棱长为 C. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 D. 侧面四个三角形都是直角三角形 7. 已知抛物线 ,则实数 A. 8. 设 域 A. 为不等式组 内的任一点 ,都有 B. ,点 B. , 为坐标原点,若在抛物线 C. 表示的平面区域,点 成立,则 C. 为坐标平面 上存在一点 ,使得 D. 内一点,若对于区 的取值范围是______ 的最大值等于______ D. 二、填空题(共 6 小题;共 30 分) 9. 复数 10. 设 , ,则 为双曲线 ______. : 的左、右焦点,点 为双曲线 上一点,如果 ,那么双曲线 的方程为______;离心率为______. 11. 在右侧的表格中,各数均为正数,且每行中的各数从左到右成等差数列,每列中的各数从上到 下成等比数列,那么 ______. 为直径的半圆分别交 , 于点 , ,且 ,那么 12. 如图,在 ______; 中,以 ______. 第 2 页(共 8 页) 13. 现要给 个唱歌节目和 个小品节目排列演出顺序,要求 个小品节目之间恰好有 旋转 个唱歌节 角后能与 目,那么演出顺序的排列种数是______.(用数字作答) 14. 设 , 为一个正方体表面上的两点,已知此正方体绕着直线 自身重合,那么符合条件的直线 三、解答题(共 6 小题;共 78 分) 15. 已知函数 , 的部分图象如图所示. 有______条. (1)求函数 (2)设点 的最小正周期和单调递增区间; 是图象上的最高点,点 是图象与 轴的交点,求 的值. 16. 现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下: 投资结果 获利 (i)投资股市: 概率 投资结果 获利 (ii)购买基金: 概率 (1)当 时,求 的值; 不赔不赚 亏损 不赔不赚 亏损 (2)已知甲、乙两人分别选择了投资股市和购买基金进行投资,如果一年后他们中至少有 一人获利的概率大于 ,求 (3)丙要将家中闲置的 一种,已知 , 的取值范围; 万元钱进行投资,决定在投资股市和购买基金这两种方案中选择 ,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期望 较大?给出结果并说明理由. 17. 如图,在四棱柱 ,点 在棱 中, 上,平面 底面 与棱 , , 相交于点 . ,且 第 3 页(共 8 页) (1)证明: (2)若 18. 已知函数 (1)若点 (2)已知 19. 已知椭圆 . (1)求 求证: 20. 设函数 字, .记 (1)若 (2)当 (3)如果 的值; 为棱 (3)求三棱锥 平面 ; 的余弦值; 的图象有公共点 ,且在点 处的切线相同. 的体积的最大值. ( )和 ,求 , 的值; 的坐标. 满足条件 的中点,求二面角 的坐标为 ,求切点 的右焦点为 ,右顶点为 ,离心率为 ,点 (2)设过点 的直线 与椭圆 . 相交于 , 两点,记 和 的面积分别为 , , ,对于任意给定的 是十位数字, ),定义变换 : , ,求 ( , , ; ( 位自然数 , . )位自然数 均有 (其中 是个位数 ,并规定 时,证明:对于任意的 , ; ),写出 的所有可能取值.(只需写出结论) 第 4 页(共 8 页) 答案 第一部分 1. C 6. D 9. 10. 11. 12. ; 13. 14. 第三部分 ; 2. D 7. B 3. A 8. A 4. C 5. C 第二部分 15. (1) 因为 所以 . 故函数 由题意得 区间为 的最小正周期为 . ,解得 . 所以函数 的单调递增 (2) 如图,过点 , 所以 作线段 , . 垂直 轴于点 . 16. (1) 因为“购买基金”后,投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种,且三种投资结果相互 独立, 所以 又因为 所以 , . 为“甲投资股市且盈利”,事件 为“乙购买基金且盈利”,事件 ,且 , 独立. . 为“一年后甲、乙 . (2) 记事件 两人中至少有一人投资获利”,则 由上表可知, , 所以 因为 , 所以 . 第 5 页(共 8 页) 又因为 所以 所以 . . , , (3) 假设丙选择“投资股票”方案进行投资,且记 所以随机变量 的分布列为 则 为丙投资股票的获利金额(单位:万元), ,假设丙选择“购 买基金”方案进行投资,且记 所以随机变量 因为 , 的分布列为: 为丙购买基金的获利金额(单位:万元), 则 . 所以丙选择“投资股市”,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大. 17. (1) 因为 所以 平面 又因为 平面 所以 又因为 所以 . 平面 平面 . 底面 , , , 为原点,以 , , , , 分别为 轴, 轴和 轴,建立如图 . , 平面 . 平面 平面 是棱柱, . ,平面 平面 , (2) 因为 所以 ,

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