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山东省德州市某中学2014-2015学年高二上学期12月月考数学理试题


高二月考数学试题(理)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。) 1. 如果直线 l 过点 P(1,2),且 l 不经过第四象限,那么 l 的斜率的取值范围是( A.[0,2] 2. B、[0,1] C、 ? 0, ? 2 )

? 1? ? ?

D、 ? ?

? 1 ? ,0 ? 2 ? ?

3.

某班有 60 名学生,一次考试后数学成绩 ξ~N(110,102) ,若 P(100≤ξ≤110)=0.35, 则估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为( ) A.10 B.9 C.8 D.7 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( ) A.

5 3 3

B.

4 3 3

C.

5 3 6

D. 3

4.

x 1 ? 3 )8 的展开式中,常数项是 2 x A.-28 B.-7

在(

C.7

D. 28

5.

函数 y ? A. ? ??,1?

x ? 1? x 的值域为( x ? 1? x
B.

) C.

? ??,1?

? 0,1?


D ? 0,1?

6.

在 数 列 ?an ? 中 , 若 对 于 任 意 的 n ? N ? 均 有 an ? an ?1 ? an ? 2 为 定 值 , 且

a7 ? 2, a9 ? 3, a98 ? 4 ,则数列 ?an ? 的前 100 项的和 S100 =(
7.

A.132 B.299 C.68 D.99 在△ABC 中,∠ ABC = 60°,AB = 2,BC=6,在 BC 上任取一点 D,使△ABD 为钝角三角形 的概率为( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3 已知函数 的图象与直线 y=m 有三个交点的横 ) D.

8.

坐标分别为 x1,x2,x3(x1<x2<x3) ,那么 x1+2x2+x3 的值是( A. 9. B. C.

已知 ABC 的三内角 A, B, C 所对的边的长分别为 a, b, c , M 为该三角形所在平面内 一点,若 aMA ? bMB ? cMC ? 0 ,则 M 是 ABC 的( A.内心 B.重心 C.垂心
2

) D.外心

10. 函数 f ( x) ? ? A. m ? ?3, 4 ?

?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 ? ,直线 y ? m 与函数 f ( x) 的图像相交于四个不同的 2 ? ln x , x ? 0 ? ?

点,从小到大,交点横坐标依次标记为 a, b, c, d ,下列说法错误的是( )
4 B. abcd ? ? ?0, e

?
? ? 1 1 ? ? 2, e6 ? 2 ? 2 ? e e ?

C. a ? b ? c ? d ? ?e5 ?

D.若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? m 恰有三个不同的实根,则 m 取值唯一 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。将答案填在答题卡相应位置上。) 11. 求值: 4 cos 70 ? tan 20 = 12. 将 5 名同学分到甲、乙、丙 3 个小组,若甲组至少两人,乙、丙组至少各一人,则不同 的分配方案的种数为 13. 已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,公比 q ? 1 ,设 P ?

Q ? log 0.5

a3 ? a9 ,则 P 2

1 (log 0.5 a5 ? log 0.5 a7 ) , 2

Q (填 ?, ?, ?, ? )

?1 1? ? ,那么称这两 ?b a? 2 个 不 等 式 为 “ 对 偶 不 等 式 ”. 如 果 不 等 式 x ? 4 3 cos 2? ? x ? 2 ? 0 与 不 等 式 ?? ? 2 x 2 ? 4 sin 2? ? x ? 1 ? 0 为“对偶不等式”,且 ? ? ? , ? ? ,那么 ? = ?2 ? 15. 在平面直角坐标系 xoy 中, 点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1,圆心在 l
14. 如果关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 和 g ( x) ? 0 的解集分别为 ? a, b ? 和 ? , 上.若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 16. (本大题满分 12 分) 已知幂函数 y ? x
m2 ? 2 m ?3

(m ? N ? ) 的图像关于 y 轴对称,且在 ? 0, ?? ? 上是减函数,求
?m

满足不等式 (2a 2 ? 1) ? m ? ? 4 ? a ?

的 a 的取值范围.

17. (本大题满分 12 分)已知向量 m ? (sin(2 x ?

?
6

) , sin x) ,n ? (1, sin x) , f ( x) ? m ? n .

(1)求函数 y ? f ( x) 的最小正周期及单调递减区间; ( 2 ) 记 △ ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c . 若 f ( ) ?

B 2

2 ?1 , 2

b ? 5 , c ? 3 ,求 a 的值.

18. (本小题满分 12 分) 某校高二年级共有学生 1000 名,其中走读生 750 名,住宿生 250 名,现从该年级采用 分层抽样的方法从该年级抽取 n 名学生进行问卷调查. 根据问卷取得了这 n 名同学每天 晚上有效学习时间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组:[0,30),[30,60),[60, 90),[90,120),[120,150),[150,180), [180,210),[210,240), 得到频率分布直方图如下图.已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于 60 分钟的 人数为 5 人. (1)求 n 的值并求有效学习时间在[90,120)内的频率;

(3)若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出 3 人调查影响有效利用时间的原 因,记抽到“有效学习时间少于 60 分钟”的学生人数为 X,求 X 的分布列及期望. n(ad ? bc) 2 参考公式: K 2 ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 参考列表: P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024

(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD / / BC , ?ADC ? 90 ,
0

平面 PAD ⊥底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上的点, PA ? PD ? 2 ,

1 AD ? 1 , CD ? 3 . 2 (I) 求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ; (II)若二面角 M ? BQ ? C 为 30°,设 PM ? tMC , 试确定 t 的值。 BC ?

(本小题满分 13 分) 已知圆 C 的圆心在直线 l : 3 x ? y ? 0 上,且与直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 相切。 (1)若直线 x ? y ? 0 截圆 C 所得弦长为 2 6 ,求圆 C 的方程。 (2)若圆 C 与圆 x ? y ? 4 x ? 12 y ? 8 ? 0 外切,试求圆 C 的半径。
2 2

(3)满足已知条件的圆显然不只一个,但它们都与直线 l1 相切,我们称 l1 是这些圆的 公切线。这些圆是否还有其他公切线?若有,求出公切线的方程,若没有,说明理由。

设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S n ? 2an ? 2n ?1 (n∈N*). (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log an 2 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Bn ,若存在整数 m ,使对任意 n∈N*
n ?1

19. (本大题满分 14 分)

且 n ≥2,都有 B3n ? Bn ?

m 成立,求 m 的最大值 m0 ; 20 1 1 1 m (3)对任意 n∈N*,都有 1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? 0 2 3 n 9

高二 12 月月考数学(理)参考答案

17. 解(1) f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? sin 2 x ?

3 1 1 ? cos 2 x sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2
………3 分 ……………………4 分 …………………………………6 分 ………………8分

3 1 sin 2 x ? 2 2 所以 T ? ? , ? 3? ? ? 递减区间是 ? k? ? , k? ? ?,k ?Z ; ?
? 4 4 ?
(2)由 f ( ) ? 当 cos B ?

B 2

2 ?1 2 1 得 sin B ? , cos B ? ? 3 2 3

1 3 1

时, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,即 a 2 ? 2a ? 2 ? 0 ,

a ? 1 ? 3 (负舍)? a ? 1 ? 3 ; …………………10分
当 cos B ? ?

3

时, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,即 a 2 ? 2a ? 2 ? 0 ,

a ? ?1 ? 3 (负舍)? a ? ?1 ? 3 ;………………12分
18. (1)解:设第 i 组的频率为 Pi (i = 1,2,…,8) 1 1 1 4 ? 30 ? ,P2 ? ? 30 ? 由由频率分布直方图知: P 1 ? 3000 100 750 100 5 5 ? 5 ,∴n = 100 ∴有效学习时间少于 60 分钟的频率为 P ,故 n ? 1 ? P 2 ? 100 100 1 10 1 30 15 10 5 ? 30 ? ,P5 ? ? 30 ? ,P6 ? ,P7 ? ,P8 ? 又 P3 ? 300 100 100 100 100 100 100 1 4 10 30 15 10 5 1 ? ? ? ? ? ? )? ∴ P4 ? 1 ? ( 100 100 100 100 100 100 100 4 1 ∴有效学习时间在[90,120)内的频率为 . 4 1 ? 75 人,住读生 25 人,∴a = 25,b = 10 (2)解:抽取的 100 人中,走读生有 750 ? 10 100(50 ? 15 ? 25 ? 10) 2 K2 ? ? 5.556 75 ? 25 ? 40 ? 60 由于 K2 > 5.024,所以有 97.5%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关.

2分

4分 6分

8分

(3)解:由(1)知:第①组 1 人,第②组 4 人,第⑦组 10 人,第⑧组 5 人,共 20 人 C i C 3? i P( X ? i ) ? 5 315 (i ? 0 , 1, 2, 3) C20 ∴ P( X ? 0) ?

91 5 5 1 ,P( X ? 1) ? ,P( X ? 2) ? ,P( X ? 3) ? 228 76 38 114

10

分 ∴X 的分布列为
P X 0 1 2 3

91 228

35 76

5 38

1 114
12 分

EX ? 0 ?

91 35 5 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? 228 76 38 114 4

19. 解: (I)AD // BC,BC= BQ .

1 AD,Q 为 AD 的中点, ∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // 2

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°. ∵PA=PD, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩ BQ=Q, ∴AD⊥平面 PBQ. ∵ AD ? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD.……6 分 (II)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD.∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.

Q(0, 0, 0) , P(0, 0, 3) , B(0, 3, 0) , C (?1, 3, 0) . 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0, 0,1) ;
设 M ( x, y, z ) ,则 PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z ) , z P M D Q A x N B y C

? x ? t (?1 ? x) ? ∵ PM ? tMC ,∴ ? y ? t ( 3 ? y ) , ? ? z ? 3 ? t (? z)

t ? ?x ? ? 1? t ? 3t ∴ ? ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? 1? t ?

t 3t 3 , , ), 在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3, 0) , QM ? (? 1? t 1? t 1? t ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3, 0, t ) .
∵二面角 M-BQ-C 为 30°,

cos 30? ?

n?m n m

?

t 3 ? 0 ? t2

?

3 ,∴ t ? 3 .………12 分 2

20. 解:设圆 C 的圆心坐标为 ( a,3a ) ,则它的半径 r ? (1) C 到直线 x ? y ? 0 的距离 d ?

a ? 3a ? 4 12 ? 12

? 2 a?2

a ? 3a 12 ? 12

? 2 a ,因而圆 C 截该直线所得弦长为


2 r 2 ? d 2 ? 2 2(a ? 2) 2 ? 2a 2 ? 2 8(1 ? a) ? 2 6
1 1 7 2 ?a ? , r ? 2 ? 2 ? 4 4 4

3 2 49 ……………………..4 分 4 8 (2)两圆的连心线长为 (a ? 2) 2 ? (3a ? 6) 2 ? 10 a ? 2 ? 5r ,因为两圆外切,所
圆 C 的方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2

1 4



5r ? r ? 4 2,? r ? 10 ? 2 …………………………8 分

……………….13 分 21. 解: (1)由 S n ? 2an ? 2
n ?1

,得 S n ?1 ? 2an ?1 ? 2n (n≥2).

两式相减,得 an ? 2an ? 2an ?1 ? 2n ,即 an ? 2an ?1 ? 2n (n≥2).

an an ?1 a ? n ?1 ? 1 ,所以数列 { n } 是公差为 1 的等差数列. n 2 2 2n 又 S1 ? 2a1 ? 22 ,所以 a1 ? 4 . a 所以 n ? 2 ? (n ? 1) ? n ? 1 ,故 an ? (n ? 1) ? 2n . n 2 1 1 1 (2)因为 bn ? log an 2 ? log 2n 2 ? ,则 B3n ? Bn ? ? ? n n ?1 n ? 2 n ?1
于是 令 f ( n) ?

4分

?

1 . 3n

1 1 1 ,则 ? ? ? n ?1 n ? 2 3n 1 1 1 1 1 1 . f (n ? 1) ? ? ? ? ? ? ? n?2 n?3 3n 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 3

所以 f (n ? 1) ? f (n) ?

1 1 1 1 ? ? ? 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 3 n ? 1 1 1 2 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? 0. 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 3 3n ? 3 3n ? 3 3n ? 3 即 f (n ? 1) ? f (n) ,所以数列 ? f (n)? 为递增数列.
所以当 n ≥2 时, f (n) 的最小值为 f (2) ?

1 1 1 1 19 . ? ? ? ? 3 4 5 6 20

据题意, (3)由(2)知:

m 19 ,即 m ? 19 .又 m 为整数,故 m 的最大值为 18………..10 分 ? 20 20
当 n ? 1 时, 1 ? 2 成立

m0 ?2 9

1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ... ? 2 ? 1 ? ? ? ... ? ? 1?1? ? 2 2 2 3 n 1? 2 2 ? 3 ( n ? 1) n n 1 1 1 m 综上所述: 1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? 0 成立 14 分 2 3 n 9
当 n ? 2 时, 1 ? 20.


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