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广东省珠海市2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题带答案


珠海市 2015~2016 学年度第二学期期末学生学业质量监测

高一数学试题
试卷分为 150 分,考试用时 120 分钟. 考试内容:必修三、必修四.

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上.) a=2 1.把二进制数 101( 2 ) 化为十进制数为 ( A. 2 B.3 C.4 ( ) C.2,2 D.2,3 ) D.5 b=3 a=b b=a print a,b

2.右边程序的输出结果为 A. 3,2 B. 3,3

3.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度,统计了运动员 在 8 场比赛中的得分,用茎叶图表示如图,则该组数据的标准差为( A )

17 2

B

15 2

C

19 4

D

17 4

1 8 8 4 7 8 8 2 0 1

4.在一段时间内,某种商品的价格 x(元)和销售量 y(件)之间的一组数据如下表:如果 y

? ? 0.9 ,则 a ? 的值为( 与 x 呈线性相关且解得回归直线的斜率为 b
价格 x(元) 销售量 y (件) A . 0 .2 B. ? 0.7 4 3 6 5 C. ? 0.2 8 8 D. 0 .7 10 9

) 12 10

5.下列四个命题中可能成立的一个是( ) A. sin ? ?

1 1 且 cos ? ? 2 2

B. sin ? ? 0且 cos ? ? ?1 D. ? 是第二象限时, tan ? ? ?

C. tan ? ? 1且 cos ? ? ?1

sin ? cos ?


6.袋中装有白球 3 个,黑球 4 个,从中任取 3 个,下列事件是对立事件的为( A.恰好一个白球和全是白球 C.至少有一个白球和至少有 2 个白球 7.函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) (其中 B.至少有一个白球和全是黑球

D.至少有一个白球和至少有一个黑球

A ? 0, ? ? 0, | ? |?
值为( ) A.

? )的图象如图所示,则 ? 的 2
B. ?

? 6

? 6

C.

? 3

D. ?

? 3 ? 3 3? ??) ? ,则 sin( ? ? ) 值为( 4 2 4
B、 )

8.已知 sin(

A. ?

3 2

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2

9.在平行四边形 ABCD 中,点 F 为线段 CD 上靠近点 D 的一个三等分点.若 AC ? a ,

????

??? ? ???? BD ? b ,则 AF ? ( )
A.

1 1 a? b 4 2
? ?

B.

2 1 a? b 3 3
? ?

C.
?

1 1 a? b 2 4
?

D. a ?

1 3

2 b 3

10.已知 | a |? 3, | b |? 2 , | a ? b |? 19 ,则 a 在 b 上的投影为( ) A?

3 2

B

3 2

C

2 3

D?

2 3

11 要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,可由函数 y ? cos( 2 x ?

? 个长度单位 8 ? D. 向右平移 个长度单位 4 ? ? 12.若关于 x 的方程: x 2 ? 4 x sin ? ? a tan ? ? 0 ( ? ? ? )有两个相等的实数根.则 4 2 实数 a 的取值范围为( )
A. 向左平移 B. 向右平移 A. ( 2 ,2) B. (2 2 ,4) C.

? 个长度单位 8 ? C. 向左平移 个长度单位 4

? ( ) 4



(0, 2)

D. ( ?2,2)

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 13.向量 a ? (2,3), b ? (4,?1 ? y) ,且 a // b .则 y ? ________ 14.已知扇形的弧长是 6 cm,面积是 18cm ,则扇形的中心角的弧度数是__
2

_

15.从编号为 0,1,2, ? ,89 的 90 件产品中, 采用系统抽样的方法抽取容量是 9 的样本.若编 号为 36 的产品在样本中,则该样本中产品的最大编号为________ 16.已知 tan x ? 2 ,则

cos x ? sin x = 3 cos x ? sin x

17.质地均匀的正方体骰子各面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6 ,每次抛掷这样两个相同的骰 子, 规定向上的两个面的数字的和为这次抛掷的点数, 则每次抛掷时点数被 4 除余 2 的概率 是 .

18.设 ? 为锐角,若 sin(? ?

? 3 ? ) ? ,则 cos( 2? ? ) 的值为_______。 6 5 12

19.随机抽取高一年级 n 名学生,测得他们的身高分别是 a1 , a 2, ? , a n ,则如图所示的程序 框图输出的 s =_______.

20.设 a ? (sin x , sin x ) , b ? ( ? sin x, m ? 1) ,若 a ? b ? m 在 ( 范围为___ __.

?

?

? ?

? 5? , ) 有三个根,则 m 的 6 6

三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤.) 21.为了迎接珠海作为全国文明城市的复查,爱卫会随机抽取了 60 位路人进行问卷调查, 调查项目是自己对珠海各方面卫生情况的满意度(假设被问卷的路人回答是客观的) ,以分 数表示问卷结果,并统计他们的问卷分数(分数都是整数且满分为 100 分) ,把其中不低于 50 分的分成五段[50,60), [60,70),… [90,100]后画出如下部分频率分布直方图,观察图 形信息,回答下列问题: (1)求出问卷调查分数低于 50 分的被问卷人数 (2)估计全市市民满意度在 60 分及以上的百分比

22.在区间[-1,1]上任取两个数 a , b ,在下列条件时,分别求不等式 x 2 ? 2 ax ? b 2 ? 0 恒成 立时的概率; (1)当 a , b 均为整数时; (2)当 a , b 均为实数时.

23. 已 知 函 数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ? 3 cos(?x ? ? )(0 ? ? ? ? , ? ? 0) 为 偶 函 数 , 且 函 数

y ? f ( x ) 图像的两相邻对称轴间的距离为
(1)求 f ( ) 的值 (2)将函数 y ? f ( x ) 的图像向右平移

? 4

? . 3

到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x ) 的图像,求 g ( x ) 的单调递减区间.

? 个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长 6

24.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, A(1,1), B ( 2,0) , | OC |? 1 , (1)求 OA 和 OB 夹角; (2)若 OC 与 OA 垂直,求点 C 的坐标;

(3)求 | OA ? OB ? OC | 的取值范围.

25.如图:点 P 在直径 AB ? 1 的半圆上移动(点 P 不与 A, B 重合) ,过 P 作圆的切线 PT 且

PT ? 1 , ?PAB ? ? ,
(1)当 ? 为何值时,四边形 ABTP 面积最大? (2)求 | PA | ? | PB | ? | PC | 的取值范围?

参考答案 1-5:DBBCB 13、7 17、 14、1 6-10:BCBBA 15、86 11-12:BC 16、3

1 4 31 2 50

18、

a1 ? a 2 ? ? ? (?1) n ?1 a n 19、 n
20、 ( ,1) 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤.) 21.解: (1)因为各组的频率和等于 1, 故低于 50 分的频率为 f1 ? 1 ? (0.015 ? 2 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.005) ? 10 ? 0.1 ,----2 故低于 50 分人数为 60 ? 0.1 ? 6 人---------------------5

1 2

(2)依题意,60 分及以上的分数所在的第三、四、五、六组(低于 50 分的为第一组)频 率和为 (0.015 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.005 ) ? 10 ? 0.75 ,---------------------8

所以,抽样满意度在 60 分及以上的百分比为 75%, 于是,可以估计全市市民满意度在 60 分及以上的百分比为 75%---------------------10 22.解:因为不等式 x 2 ? 2 ax ? b 2 ? 0 恒成立, 所以 ? ? (2a) ? 4b ? 0 ,即 a 2 ? b 2 -------------------------------------2 (1)如表(a,b)的所有可能结果共有 9 个,如下表: b -1 0 1 a -1 (-1,-1) (-1,0) (-1,1) 0 1
2 2

(0, -1) (1,-1) (0,0) (1,0) (0,1) (1,1) --------------4

满足 a 2 ? b 2 共有 7 个,所以所求概率 p ?

7 。------------------------------5 9

(2)如图满足 a 2 ? b 2 所有(a,b)的取值组成阴影部分,

-------------------------8 所以所求概率 p ?

S阴影 1 = ---------------------------------------------10 S正方形 2

23.解:因为 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ? 3 cos(?x ? ? )(0 ? ? ? ? , ? ? 0) 所以 f ( x ) ? 2[sin(?x ? ? )

1 3 ? cos(?x ? ? ) ] 2 2

? ? ] ? 2 sin[(? ? ) ? ?x] 3 3 ? ? f (? x) ? 2 sin[( ??x ? ? ) ? ] ? 2 sin[(? ? ) ? ?x] 3 3 ? ? ? 因为 f ( x ) 是偶函数,所以 2 sin[(? ? ) ? ] = 2 sin[(? ? ) ? ?x ] 3 3 3
f ( x) ? 2 sin[(?x ? ? ) ?

? ? ? ? ) sin ? ? cos(? ? ) sin 3 3 3 3 ? 5? (k ? Z ) 所以 cos(? ? ) ? 0 , ? ? k? ? 3 6 5? 因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? . 6 ? ? 5? ? f ( x) ? 2 sin[(?x ? ? ) ? ] ? 2 sin[(? ? ) ? ?x] ? 2 sin[( ? ) ? ?x] ? 2 cos ?x 3 3 6 3 ? 2? ? ? 2? ,? ? 3, 因为函数 y ? f ( x ) 图像的两相邻对称轴间的距 离为 ,所以 3 ? 3
即 cos(? ?

f ( x ) ? 2 cos 3 x

(1) f ( ) ? 2 cos

? 4

3? ?? 2 4

( 2 ) 将 函 数 f ( x ) ? 2 cos 3 x 的 图 像 向 右 平 移

? ? ) ? 2 cos(3 x ? ) ? 2 sin 3 x , 将 y ? 2 sin 3 x 的图像上各点的横坐标伸长 6 2 3 到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x ) ? 2 sin x , 4 ? 3x 3? 8k? 2? 8k? 当 2k? ? ? ? 2k? ? (k ? Z ) ,即 ? ?x? ? 2? (k ? Z ) 时, 2 4 2 3 3 3 8k? 2? 8k? g ( x ) 单调递减.减区间为 [ ? , ? 2? ]( k ? Z ) 3 3 3
y ? 2 cos 3( x ?
24.解:(1) cos ? ?

? 个 单 位 得 到 函 数 6

OA ? OB | OA || OB |

?

1? 2 ? 1? 0 12 ? 12 2 2 ? 0 2

?

2 , --------------2 2

又因为 ? ? [0, ? ) ,所以 ? ?

? -------------------------------------3 4

(2)设点 C ( x , y ) ,由 OA ? OC ? x ? y ? 0 ,------------------------4 且 | OC |? 解得: C (

x 2 ? y 2 ? 1 -------------------------------------------5 2 2 2 2 , ) ------------------------------7 ,? ) 或 C (? 2 2 2 2

(3) | OA ? OB ? OC |?| (3,1) ? OC | 当向量 OC 与向量 (3,1) 同向时, | OA ? OB ? OC | 有最大值 10 ? 1 -------------8 当向量 OC 与向量 (3,1) 反向时, | OA ? OB ? OC | 有最小值 10 ? 1 -------------9 所以 | OA ? OB ? OC |? [ 10 ? 1, 10 ? 1] --------------10 25.解:(1) ∵AB 为直径,

∴∠APB=90°,AB=1,

PA=cos ? ,PB=sin ? . -------------------1
又 PT 切圆于 P 点,∠TPB=∠PAB= ? , ∴BC=sin ? ·PB=sin ? -----------------------------------2
2

1 1 (2)∴S 四边形 ABTP=S△PAB+S△TPB = PA·PB+ PT·BC 2 2 1 1 = sin ? cos ? + sin2 ? ---------------------------3 2 2 1 1 1 1 = sin2 ? + (1-cos2 ? )= (sin2 ? -cos2 ? )+ 4 4 4 4 2 π 1 sin(2 ? - )+ .-----------------------------4 4 4 4 π π π 3 ,- <2 ? - < π, 2 4 4 4



∵0< ? <

π π 3 ∴当 2 ? - = ,即 ? = π时,S 四边形 ABTP 最大.--------------5 4 2 8 (2) | PA | ? | PB | ? | PC |? cos ? ? sin ? ? sin ? cos ? 设 t ? cos ? ? sin ?
2 2 2 则 t ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? sin ? ? 1 ? 2 cos ? sin ?

所以 cos ? sin ? ?

t2 ?1 2 t2 ?1 t2 1 ?t ? ?t? , 2 2 2

所以 | PA | ? | PB | ? | PC |? 因为 t ? cos ? ? sin ? ? 并且 t ? ?1 ? (1, 2 ] , 所以 | PA | ? | PB | ? | PC |?

2 sin (? ?

? ) ? (1, 2 ] , 4

t2 1 (1, 2 ] 时单调递增, ? t ? 在t ? 2 2

(| PA | ? | PB | ? | PC |) ? (1,

1 ? 2] , 2


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