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濮阳县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析


濮阳县第二中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 函数 y=ax+2(a>0 且 a≠1)图象一定过点( A.(0,1)   2. 已知函数 f ( x) ? B.(0,3) ) D.(3,0) C.(1,0)

座号_____

姓名__________

分数__________

3 sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于
) C. x ? ?

A. x ? ?

? ,则 f ( x) 的一条对称轴是( ? ?
12
B. x ?

?
6

12

D. x ?

?
6

3. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体为(



A.四棱柱 A.(2,+∞)

B.四棱锥 B.(0,2)

C.三棱台

D.三棱柱 ) D.(0,4) )

4. 若方程 x2﹣mx+3=0 的两根满足一根大于 1,一根小于 1,则 m 的取值范围是( C.(4,+∞)

5. 已知曲线 C1:y=ex 上一点 A(x1,y1),曲线 C2:y=1+ln(x﹣m)(m>0)上一点 B(x2,y2),当 y1=y2 时,对于任意 x1,x2,都有|AB|≥e 恒成立,则 m 的最小值为( A.1 B. C.e﹣1 D.e+1

  ?? ? 6. 在等差数列 { an } 中, a1 = 1 ,公差 d ? 0 , S n 为 { an } 的前 n 项和.若向量 m = ( a1 , a3 ) , n = ( a13 , - a3 ) ,

n =0 ,则 且 m×
A. 4

?? ?

2 S n +16 的最小值为( an + 3
B. 3

) C. 2 3 - 2 D.

9 2

【命题意图】本题考查等差数列的性质,等差数列的前 n 项和,向量的数量积,基本不等式等基础知识,意在 考查学生的学生运算能力,观察分析,解决问题的能力. 7. 集合 A={1,2,3},集合 B={﹣1,1,3},集合 S=A∩B,则集合 S 的子集有( A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.8 个   8. 函数 f(x)=x3﹣3x2+5 的单调减区间是( )



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A.(0,2) B.(0,3) C.(0,1) D.(0,5)   9. 在定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A.y= B.y=﹣x+ D.y=

C.y=﹣x|x|

10.已知集合 A ? {?1 ? i, ( A. {?1} D. {

1? i 2 3 1 1 ) , i , ? i } (其中为虚数单位), B ? {x x 2 ? 1} ,则 A ? B ? ( 1? i 2 2
B. {1} C. {?1,



2 } 2

11.设集合 A ? ? x ? R | ? 2 ? x ? 2? , B ? ? x | x ? 1 ? 0? ,则 A ? (? R B) ? ( A. ? x |1 ? x ? 2? B. ? x | ? 2 ? x ? 1? C.

2 } 2



? x | ? 2 ? x ? 1? ??2, ?1,1, 2?

D.

? x | ? 2 ? x ? 2?


【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算,属容易题. 12.设集合 A ? ? x ? R || x |? 2? , B ? ? x ? Z | x ? 1 ? 0? ,则 A ? B ? ( A. ? x |1 ? x ? 2? B. ? x | ? 2 ? x ? 1? C. D.

?1, 2?

【命题意图】本题考查集合的概念,集合的运算等基础知识,属送分题.

二、填空题
13. 抛物线 y2=4x 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离|MF|=4, 则点 M 的横坐标 x=      . 14.设某总体是由编号为 01, 02, … , 19, 20 的 20 个个体组成,利用下面的随机数表选取 6 个个体,选取方 法是从随机数表第 1 行的第 3 列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出来的第 6 个个体编号为 ________. 1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238 【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识,意在考查统计的思想. 1 15.已知函数 f ? x ? ? x3 ? mx ? , g ? x ? ? ? ln x . min ?a, b? 表示 a, b 中的最小值,若函数 4

h ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ?? ? x ? 0 ? 恰有三个零点,则实数 m 的取值范围是





16.函数 y ? f ? x ? 图象上不同两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 处的切线的斜率分别是 k A,k B ,规定

? ? A, B ? ?

k A ? kB ( AB 为线段 AB 的长度)叫做曲线 y ? f ? x ? 在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”,给 AB
3 2

出以下命题: ①函数 y ? x ? x ? 1 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1 和 2,则 ? ? A, B ? ?

3;

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②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点 A,B 是抛物线 y ? x ? 1 上不同的两点,则 ? ? A, B ? ? 2 ;
2

④设曲线 y ? e (e 是自然对数的底数)上不同两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 且x1 ? x2 ? 1 ,若 t ? ? ? A, B ? ? 1
x

恒成立,则实数 t 的取值范围是 ? ??,1? . 其中真命题的序号为________.(将所有真命题的序号都填上) 17.设 O 为坐标原点,抛物线 C: y2=2px(p>0)的准线为 l,焦点为 F,过 F 斜率为 交于 A,B 两点,直线 AO 与 l 相交于 D,若|AF|>|BF|,则 =      . 的直线与抛物线 C 相

  18.在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρcos2θ=sinθ 与 ρcosθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为      .

三、解答题
19.

20.某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本,将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均 为不低于 40 分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),[90,100)后得到如图的频率分布直方图. (Ⅰ)求图中实数 a 的值; (Ⅱ)根据频率分布直方图,试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数; (Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生,试用列举法求 这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.

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21.设集合 A={x|0<x﹣m<3},B={x|x≤0 或 x≥3},分别求满足下列条件的实数 m 的取值范围. (1)A∩B=?; (2)A∪B=B.

22.(本小题满分 12 分) 数列 {bn } 满足: bn ?1 ? 2bn ? 2 , bn ? an ?1 ? an ,且 a1 ? 2, a2 ? 4 . (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {an } 的前项和 S n .

23.甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用 7 场 4 胜制,每场必须分出胜负,场与场之间互不影响,只要有一队获 胜 4 场就结束比赛.现已比赛了 4 场,且甲篮球队胜 3 场.已知甲球队第 5,6 场获胜的概率均为 ,但由于 体力原因,第 7 场获胜的概率为 . (Ⅰ)求甲队分别以 4:2,4:3 获胜的概率; (Ⅱ)设 X 表示决出冠军时比赛的场数,求 X 的分布列及数学期望.  
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24.设集合 A ? x | x 2 ? 8 x ? 15 ? 0 , B ? ? x | ax ? 1 ? 0? .

?

?

1 ,判断集合 A 与 B 的关系; 5 (2)若 A ? B ? B ,求实数组成的集合 C .
(1)若 a ?

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濮阳县第二中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:由于函数 y=ax (a>0 且 a≠1)图象一定过点(0,1),故函数 y=ax+2(a>0 且 a≠1)图象一定 过点(0,3), 故选 B. 【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,属于基础题.   2. 【答案】D 【解析】 试题分析:由已知 f ( x) ? 2sin(? x ?

?
6

) , T ? ? ,所以 ? ?

2?

k? ? ? , k ? Z ,可知 D 正确.故选 D. 6 2 2 6 考点:三角函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的对称性. 2x ? ? k? ? , k ? Z ,得 x ?
3. 【答案】 A 【解析】

?

?

? 2 ,则 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ,令 ? 6

?

试题分析:由三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱,直角梯形的上下底分别为 3 和 4,直角腰 为 1,棱柱的侧棱长为 1,故选 A. 考点:三视图 【方法点睛】 本题考查了三视图的问题, 属于基础题型, 三视图主要还是来自简单几何体, 所以需掌握三棱锥, 四棱锥的三视图,尤其是四棱锥的放置方法,比如正常放置,底面就是底面,或是以其中一个侧面当底面的放 置方法,还有棱柱,包含三棱柱,四棱柱,比如各种角度,以及以底面当底面,或是以侧面当底面的放置方法, 还包含旋转体的三视图,以及一些组合体的三视图,只有先掌握这些,再做题时才能做到胸有成竹. 4. 【答案】C 【解析】解:令 f(x)=x2﹣mx+3, 若方程 x2﹣mx+3=0 的两根满足一根大于 1,一根小于 1, 则 f(1)=1﹣m+3<0, 解得:m∈(4,+∞), 故选:C. 【点评】本题考查的知识点是方程的根与函数零点的关系,二次函数的图象和性质,难度中档.   5. 【答案】C 【解析】解:当 y1=y2 时,对于任意 x1,x2,都有|AB|≥e 恒成立,可得: =1+ln(x2﹣m),x2﹣x1≥e,

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∴0<1+ln(x2﹣m)≤

,∴



∵lnx≤x﹣1(x≥1),考虑 x2﹣m≥1 时. ∴1+ln(x2﹣m)≤x2﹣m, 令 x2﹣m≤ ,

化为 m≥x﹣ex﹣e,x>m+ . 令 f(x)=x﹣ex﹣e,则 f′(x)=1﹣ex﹣e,可得 x=e 时,f(x)取得最大值. ∴m≥e﹣1. 故选:C.   6. 【答案】A 【 解 析 】

7. 【答案】C 【解析】解:∵集合 A={1,2,3},集合 B={﹣1,1,3}, ∴集合 S=A∩B={1,3}, 则集合 S 的子集有 22=4 个, 故选:C. 【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合子集个数的求解,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础.   8. 【答案】A 【解析】解:∵f(x)=x3﹣3x2+5, ∴f′(x)=3x2﹣6x, 令 f′(x)<0,解得:0<x<2, 故选:A.

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【点评】本题考察了函数的单调性,导数的应用,是一道基础题.   9. 【答案】C 【解析】解:A. B. 时,y= 在定义域内没有单调性,∴该选项错误; ,x=1 时,y=0;

∴该函数在定义域内不是减函数,∴该选项错误; C.y=﹣x|x|的定义域为 R,且﹣(﹣x)|﹣x|=x|x|=﹣(﹣x|x|); ∴该函数为奇函数; ; ∴该函数在[0,+∞),(﹣∞,0)上都是减函数,且﹣02=02; ∴该函数在定义域 R 上为减函数,∴该选项正确; D. ∵﹣0+1>﹣0﹣1; ∴该函数在定义域 R 上不是减函数,∴该选项错误. 故选:C. 【点评】考查反比例函数的单调性,奇函数的定义及判断方法,减函数的定义,以及分段函数单调性的判断, 二次函数的单调性.   10.【答案】D 【解析】 ;

考点:1.复数的相关概念;2.集合的运算 11.【答案】B 【解析】易知 B ? ? x | x ? 1 ? 0? ? ? x | x ? 1? ,所以 A ? (? ? ,故选 B. R B) ? ? x | ? 2 ? x ? 1 12.【答案】D 【解析】由绝对值的定义及 | x |? 2 ,得 ? 2 ? x ? 2 ,则 A ? ? x | ? 2 ? x ? 2? ,所以 A ? B ? ?1, 2? ,故选 D.

二、填空题

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13.【答案】 3 . 【解析】解:∵抛物线 y2=4x=2px, ∴p=2, 由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的, ∴|MF|=4=x+ =4, ∴x=3, 故答案为:3. 【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法.抛物线上的点到焦点的距离,叫焦半径.到焦点 的距离常转化为到准线的距离求解.   14.【答案】19 【解析】由题意可得,选取的这 6 个个体分别为 18,07,17,16,09,19,故选出的第 6 个个体编号为 19. 5 3 15.【答案】 ? , ? 4 4

?

?

【解析】

2 试题分析: f ? ? x ? ? 3x ? m ,因为 g ?1? ? 0 ,所以要使 h ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ?? ? x ? 0 ? 恰有三个零点,须满足

f ?1? ? 0, f (

5 ?m 1 5 3 ?m ) ? 0, m ? 0 ,解得 m ? ? , ? ?? ?m?? 3 4 3 2 4 4

考点:函数零点 【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题,一般先通过导数研究函数的 单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还 是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 16.【答案】②③ 【解析】 试题分析:①错: A(1,1), B (2,5),| AB |? 17,| k A ? k B |? 7, ?? ( A, B ) ? ②对:如 y ? 1 ;③对; ? ( A, B ) ? ④错; ? ( A, B ) ?

7 ? 3; 17
? 2;

| 2 x A ? 2 xB |
2 2 2 ( x A ? xB ) 2 ? ( x A ? xB )

?

2 1 ? ( x A ? xB ) 2


| e x1 ? e x2 | ( x1 ? x2 ) 2 ? (e x1 ? e x2 ) 2

?

| e x1 ? e x2 | 1 ? (e x1 ? e x2 ) 2

1 ? ( e x1 ? e x2 ) 2 1 1 1 ? ? ? 1 ? 1, 因为 t ? 恒成立,故 t ? 1 .故答案为②③.111] x1 x2 x1 x2 2 ? ( A, B ) ? ( A, B ) |e ?e | (e ? e )
考点:1、利用导数求曲线的切线斜率;2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.

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【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距 离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想,属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题, 综合性较强,同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输” ,解答这类问题首先不能慌乱更不 能因贪快而审题不清,其次先从最有把握的命题入手,最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 17.【答案】   . 【解析】解:∵O 为坐标原点,抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线为 l,焦点为 F, 过 F 斜率为 的直线与抛物线 C 相交于 A,B 两点, (x﹣ ),l 的方程为 x=﹣ , ,解得 A(﹣ , , P),B( ,﹣ ) 直线 AO 与 l 相交于 D, ∴直线 AB 的方程为 y= 联立

∴直线 OA 的方程为:y=

联立

,解得 D(﹣ ,﹣



∴|BD|=

=



∵|OF|=

,∴

=

= .

故答案为: .

【点评】本题考查两条件线段的比值的求法,是中档题,解题时要认真审题,要熟练掌握抛物线的简单性质.   18.【答案】 (1,2) .

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【解析】解:由 2ρcos2θ=sinθ,得:2ρ2cos2θ=ρsinθ, 即 y=2x2. 由 ρcosθ=1,得 x=1. 联立 ,解得: .

∴曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为(1,2). 故答案为:(1,2). 【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查了方程组的解法,是基础题.  

三、解答题
19.【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取 50 个作为样本,称出 它们的重量(单位:克),重量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的重 量频率分布直方图(如图), (1)求 a 的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值; (2)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在[5,15]内的小球个数为 X,求 X 的分布列和数学期望.(以直 方图中的频率作为概率)

【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【专题】概率与统计. 【分析】(1)求解得 a=0.03,由最高矩形中点的横坐标为 20,可估计盒子中小球重量的众数约为 20 根据平均数值公式求解即可. (2)X~B(3, ),根据二项分布求解 P(X=0),P(X=1),P(X=2)= 求解数学期望即可. 【解析】解:(1)由题意得,(0.02+0.032+a+0.018)×10=1 解得 a=0.03; 又由最高矩形中点的横坐标为 20, ,P(X=3),列出分布列,

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可估计盒子中小球重量的众数约为 20, 而 50 个样本小球重量的平均值为: =0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克) 故估计盒子中小球重量的平均值约为 24.6 克. (2)利用样本估计总体,该盒子中小球的重量在[5,15]内的 0.2; 则 X~B(3, ), X=0,1,2,3; P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= ×( )3= ×( )2× = ; ; ;

×( )×( )2= ×( )3= ,

∴X 的分布列为: X 0 P 即 E(X)=0×

1

2

3

= .

【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列,数学期望的求解,注意阅读题意,得出随机变量的数值 ,准确求解概率,难度不大,需要很好的计算能力   20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由频率分布直方图,得: 10×(0.005+0.01+0.025+a+0.01)=1, 解得 a=0.03. (Ⅱ)由频率分布直方图得到平均分: =0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74(分). (Ⅲ)由频率分布直方图,得数学成绩在[40,50)内的学生人数为 40×0.05=2,这两人分别记为 A,B, 数学成绩在[90,100)内的学生人数为 40×0.1=4,这 4 人分别记为 C,D,E,F, 若从数学成绩在[40,50)与[90,100)两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生, 则所有的基本事件有: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E), (B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共 15 个, 如果这两名学生的数学成绩都在[40,50)或都在[90,100)内,

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则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10, 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M, 则事件 M 包含的基本事件有:(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E, F),共 7 个, 所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率 P= 图和列举法的合理运用.   21.【答案】 【解析】解:∵A={x|0<x﹣m<3},∴A={x|m<x<m+3}, (1)当 A∩B=?时;如图: .

【点评】本题考查频率和概率的求法,二查平均分的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意频率分布直方

则 解得 m=0,



(2)当 A∪B=B 时,则 A?B, 由上图可得,m≥3 或 m+3≤0, 解得 m≥3 或 m≤﹣3.   n ?1 n?2 2 22.【答案】(1) bn ? 2 ? 2 ;(2) S n ? 2 ? ( n ? n ? 4) . 【解析】 试题分析:(1)已知递推公式 bn ?1 ? 2bn ? 2 ,求通项公式,一般把它进行变形构造出一个等比数列,由等比 数列的通项公式可得 bn ,变形形式为 bn ?1 ? x ? 2(bn ? x) ;(2)由(1)可知 an ? an ?1 ? bn ? 2 ? 2( n ? 2) ,
n

这是数列 {an } 的后项与前项的差,要求通项公式可用累加法,即由 an ? ( an ? an ?1 ) ? ( an ?1 ? an ? 2 ) ? ?

?(a2 ? a1 ) ? a1 求得.
试题解析:(1) bn ?1 ? 2bn ? 2 ? bn ?1 ? 2 ? 2(bn ? 2) ,∵ 又 b1 ? 2 ? a2 ? a1 ? 2 ? 4 ,

bn ?1 ? 2 ? 2, bn ? 2

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∴ an ? (2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2n ? 2 ?
2 3 n

2(2n ? 1) ? 2n ? 2 ? 2n ?1 ? 2n . 2 ?1

4(1 ? 2n ) n(2 ? 2n) ? ? 2n ? 2 ? (n 2 ? n ? 4) . ∴ Sn ? 1? 2 2
考点:数列的递推公式,等比数列的通项公式,等比数列的前项和.累加法求通项公式. 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)设甲队以 4:2,4:3 获胜的事件分别为 A,B, ∵甲队第 5,6 场获胜的概率均为 ,第 7 场获胜的概率为 , ∴ , 和 . ,

∴甲队以 4:2,4:3 获胜的概率分别为

(Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 5,6,7, ∴ , ∴随机变量 X 的分布列为 X 5 p . 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列,期望的求法,独立重复试验概率的乘法公式的应用,考查分析问 题解决问题的能力. 6 7 ,P(X=6)= ,P(X=7)=

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  24.【答案】(1) B ? A ;(2) C ? ?0,3,5? . 【解析】

考 点:1、集合的表示;2、子集的性质.

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