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2015届高考数学总复习 第三章 第七节正弦定理和余弦定理课时精练 理


第七节 正弦定理和余弦定理 ) π 1.△ABC 中,∠A= ,BC=3,AB= 6,则∠C=( 3 π π 3π π 3π A. B. C. D. 或 6 4 4 4 4 答案:B 2.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a, 则 cos B=( ) 1 3 2 2 A. B. C. D. 4 4 4 3 解析:△ABC 中,a,b,c 成等比数列,且 c=2a,则 b= 2a,cos B= a2+c2-b2 = 2ac a2+4a2-2a2 3 = .故选 B. 2 4a 4 答案:B 3. (2013·广西模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,ac=3,且 a= 3bsin A,则△ABC 的面积等于( ) 1 3 3 A. B. C.1 D. 2 2 4 1 解析:∵a=3bsin A,∴由正弦定理得 sin A=3sin Bsin A,∴sin B= .∵ac=3, 3 1 1 1 1 ∴△ABC 的面积 S= acsin B= ×3× = ,故选 A. 2 2 3 2 答案:A 4.在△ABC 中,已知 sin Bsin C=cos ,则三角形的形状是( 2 A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 2 2 A ) 解析:∵sin Bsin C=cos , 2 1+cos A ∴sin Bsin C= . 2 ∴2sin Bsin C=1+cos[π -(B+C)]. 将 cos(B+C)=cos Bcos C-sin Bsin C 代入上式得 cos Bcos C+sin Bsin C=1. ∴cos(B-C)=1. 又 0<B<π ,0<C<π ,∴-π <B-C<π . ∴B-C=0.∴B=C. 故此三角形是等腰三角形.故选 D. 答案:D 5.在△ABC 中,sin A≤sin B+sin C-sin Bsin C,则 A 的取值范围是( 2 2 2 A ) 第 1 页 共 5 页 ? π? A.?0, ? 6? ? π ? ? C.?0, ? 3? ? 2 ? π ,π ? ? ?6 ? π ? ? D.? ,π ? ?3 ? B.? 2 2 2 2 2 解析:由正弦定理得,a ≤b +c -bc,即 b +c -a ≥bc, b2+c2-a2 bc 1 由余弦定理得,cos A= ≥ = . 2bc 2bc 2 π 又∵0<A<π ,∴0<A≤ .故选 C. 3 答案:C 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示△ABC 的面积,若 acos B 1 2 2 2 +bcos A=csin C,S= (b +c -a ),则 B=( ) 4 A.90° B.60° C. 45° D.30° 解析:由余弦定理可知: acos B+bcos A=a a2+c2-b2 c2+b2-a2 +b =csin C,于是 2ac 2bc π 1 1 2 1 2 2 2 2 sin C=1,C= ,从而 S= ab= (b +c -a )= (b +b ),解得 a=b, 2 2 4 4 ∴B=45°.故选 C. 答案:C 7.(2013·皖南八校联考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a= 3, ) 13 12 13 A. B. C.3 D. 5 5 4 解析:在△ABC 中,由余弦定理得 a2+c2-b2 a2+(c+b)(c-b) cos B= = , 2ac 2ac ∵a= 3,b+c=4,∠B=30°,∴cos B= 13 +c=4b,结合 b+c=4 解得 c= . 5 ∴选 A. 答案:A 8. 如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD,则 sin C 的值为( ) 3+4(c-b) 2 3c = 3 ,即 3+4(c-b)=3c,3 2 b+c=4,∠B=30°,则 c=( 第 2 页 共 5 页 A. 3 3 B. 3 6 C. 6 3 2 D. 6 6 4 解析:设 AB=a,∴AD=a,BD= 3 a,BC=2BD= 3 a, AB2+AD2-BD2 cos A= = 2AB·AD 4 2 2 2a - a 3 1 = . 2 2a 3 2 2 2 ∴sin A= 1-cos A= . 3 由正弦定理知 sin C= ·sin A= 答案:D 9.已知 a,b,c 为△ABC 的三边,B=120°,则 a +c +ac-b =________. 解析:由余弦定理得 2 2 2 AB BC 3 2 2 6 × = .故选 D. 4 3 6 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 120°=a2+c2+ac. 2 2 2 所以 a +c +ac-b =0. 答案:0 10.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a -b = 3bc,sin C=2 3 sin B,则角 A=________. 解析:由 sin C=2 3sin B 得 c=2 3b, b2+c2-a2 c2- 3bc 3 ∴cos A= = = . 2bc 2bc 2 ∴A=30°. 答案:30° 11.(2012-2013·福建厦门六中上学期期中考试)在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC sin B =7,则 的值为________. sin C sin A BC 7 3 5 3 = = ,而 sin A= ,可得 sin C= , sin C AB 5 2 14 11 2 因为 BC>AB,所以 C 为锐角,cos C= 1-sin C= , 14 解析: 所以 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= sin B 3 所以 =

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