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2013届高考数学压轴题练习9


高考数学压轴题练习 9
10.已知函数
f (0 ) ? b
f (x)

的导数

f '( x ) ? 3 x

2

? 3 a x,

. a,b 为实数, 1 ?

a ? 2



(1) 若

f (x)

在区间 [ ? 1,1] 上的最小值、

最大值 分别为 ? 2 、1,求 a、b 的值; (2) 在 (1) 的条件下,求曲线在点 P(2, 1) 处的切线方程; (3) 设函数 F ( x )
? [ f '( x ) ? 6 x ? 1] ? e
2x

,试 判

[来源:Z§xx§k.Com][来源:Z&xx&k.Com]

断函数 F ( x ) 的极值点个数. 解:(1) 由已知得 , f ( x ) ? x 3 ? ∵ x ? [ ? 1, 1] , 1 ? a ? 2 , ∴ 当 x ? [ ? 1, 0 ) 时,
f ?( x ) ? 0

3 2

ax ? b
2

, 由

f ?( x ) ? 0

,得 x 1

? 0

, x2

? a



, f ( x ) 递 增;当 x ? ( 0 , 1] 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 递减.

∴ f ( x ) 在区间 [ ? 1, 1] 上的最大值为 f ( 0 ) ? b ,∴ b ? 1 . 又
f (1) ? 1 ? 3 2 a ?1? 2 ? 3 2 a

, ,

f ( ? 1) ? ? 1 ?

3 2

a ?1? ?

3 2

a



f ( ? 1) ? f (1)


3 2 a ? ?2

由题意得 f ( ? 1) ? ? 2 ,即 ?

,得 a

?

4 3

. 故a

?

4 3

, b ? 1 为所求.

3 2 2 (2) 由 (1) 得 f ( x ) ? x ? 2 x ? 1 , f ? ( x ) ? 3 x ? 4 x ,点 P ( 2 , 1) 在曲线 f ( x ) 上.

当切点为 P ( 2 , 1) 时, 切线 l 的斜率 k ? f ? ( x ) | x ? 2 ? 4 , ∴ l 的方程为 y ? 1 ? 4 ( x ? 2 ) , 即4x ? y ? 7 ? 0 . (3
F ( x ) ? (3 x ? 3 a x ? 6 x ? 1) ? e
2 2x

? ? 3 x ? 3( a ? 2 ) x ? 1 ? ? e ? ?
2 2

2x

F ? ( x ) ? ? 6 x ? 3( a ? 2 ) ? ? e
2

2x

? 2 ? 3 x ? 3( a ? 2 ) x ? 1 ? ? e ? ?
2x
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

2x
[来源:学科网]

? [6 x ? 6 (a ? 3) x ? 8 ? 3a ] ? e
2

二 次函数 y ? 6 x ? 6 ( a ? 3 ) x ? 8 ? 3 a 的 判别式为
? ? 3 6 ( a ? 3) ? 2 4 (8 ? 3 a ) ? 1 2 (3 a ? 1 2 a ? 1 1) ? 1 2 ? 3( a ? 2 ) ? 1 ? 令 ? ? 0 ,得: ? ? 1 3 3 3 2 (a ? 2) ? , 2 ? ? a ? 2? . 令 ? ? 0 ,得 a ? 2 ? ,或 a ? 2 ? 3 3 3 3 1? a ? 2,
2 2 2

3 3

. ∵e

2x

? 0



∴当 2 -

3 3

? a ? 2 时, F ? ( x ) ? 0 ,函数 F ( x ) 为单调递增,极值点个数为 0;

当1 ? a ? 2 ?

3 3

时,此时方程 F ? ( x ) ? 0 有两个不相等的实数根,
[来源:Zxxk.Com]

根据极值点的定义,可知函数 F ( x ) 有两个极值点.


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