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高一数学第二学期期末模拟训练(一)(必修4)2013.6


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高一数学第二学期期末模拟训练(一) (必修 4)2013.6
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一个是符合题目要求的) 1.下列命题中正确的是( C A.第一象限角必是锐角 C.相等的角终边必相同 ) B.终边相同的角相等 D.不相等的角其终边必不相同 ( C )

2.将分针拨慢 5 分钟,则分钟转过的弧度数是 A.

? 3

B.-

? 3

C.

? 6

D.-

? 6


3.已知角 ? 的终边过点 P?? 4m, 3m? , ?m ? 0? ,则 2 sin ? ? cos ? 的值是( B A.1 或-1 B.

2 2 或? 5 5

C.1 或 ?

2 5

D.-1 或

2 5

4、若点 P(sin ? ? cos ? , tan ? ) 在第一象限,则在 [0, 2? ) 内 ? 的取值范围是( B )

5? ) 2 4 4 ? 3? 5? 3? )?( , ) C. ( , 2 4 4 2
A. (

? 3?
,

) ? (? ,

5? , ) ? (? , ) 4 2 4 ? 3? 3? ) ? ( ,? ) D. ( , 2 4 4
B. ( ( )

? ?

5. 若| a |? 2 , | b |? 2 且( a ? b )⊥ a ,则 a 与 b 的夹角是 (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

5 (D) ? 12

?x ? ? ) ? B 的一部分图象如右图所示,如果 6. 已知函数 y ? A sin(
A ? 0,? ? 0, | ? |?
A. A ? 4

?
2

,则(

) B. ? ? 1 C. ? ?

?
6

D. B ? 4 )

7. 设集合 A ? ?( x,y) | y ? 2 sin 2 x?,集合 B ? ?( x,y) | y ? x?,则( A. A ? B 中有 3 个元素 C. A ? B 中有 2 个元素 8.已知 x ? ( ? A. 7 B. A ? B 中有 1 个元素 D. A ? B ? R

?
2

,0), cos x ?
B. ? 7
24

4 , 则 tan 2 x ? ( 5
C. 24
7

) D. ? 24
7

24

π π π 9. 同时具有以下性质: “①最小正周期实 π; ②图象关于直线 x= 对称; ③在[- , ]上是增函数” 3 6 3 的一个函数是 ( )

2

A.

x π y=sin( + ) 2 6

B.

π y=cos(2x+ ) 3

C.

π y=sin(2x- ) 6

π D. y=cos(2x- ) 6 ) D.6 ( D.4 )

10. 设 i=(1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki-4j,若 a⊥b,则实数 k 的值为( A.-6 B.-3 C .3 11. 函数 y ? 3 sin( A. 2?
3

?
4

? 3x) ? 3 cos(
B. ?
3

?
4

? 3x) 的最小正周期为
C.8

12. 2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角三角形与 中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 ? ,大正方形的面积是 1, 小正方形的面积是 A.1

1 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值等于( 25 24 7 7 B. ? C. D.- 25 25 25



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13. 已知 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 ,那么 sin ? 的值为 3

, cos 2? 的值为
12 ,则 a· b= 5

14. 已知|a|=3,|b|=5, 且向量 a 在向量 b 方向上的投影为

.

15. 已知向量 OP ? (2,1),OA ? (1,7),OB ? (5,1),设X是直线OP 上的一点( O 为坐标原点) ,那么

XA ? XB 的最小值是___________________ 16.给出下列 6 种图像变换方法:

1 ;②图像上所有点的纵坐标不变,横坐 2 ? ? 2? 标伸长到原来的 2 倍; ③图像向右平移 个单位; ④图像向左平移 个单位; ⑤图像向右平移 3 3 3 2? 个单位; ⑥图像向左平移 个单位。 请写出用上述变换将函数 y = sinx 的图像变换到函数 y = sin 3 x ? ( + )的图像的一个变换______________.(按变换顺序写上序号即可) 2 3
①图像上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应有证明或演算步骤)
17、已知 cos(α-

? ? ? ? ? ?? 1 2 )= ? ,sin( ? ? )= ,且 α∈( ,π),β∈(0, ),求 cos 的值. 2 2 2 2 2 9 3

3

18. (本小题满分 12 分) 已知

? ? 3 3? 5 ? 3? ? ?) ? ,求 sin ?? ? ? ? 的值. ??? , 0 ? ? ? , cos( ? ? ) ? ? , sin( 4 4 5 4 13 4 4

19. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos 其中 x ? R .

3x 3x x x ,sin ) ,b ? (cos ,? sin ) ,c ? ( 3,? 1) , 2 2 2 2
(Ⅱ)求 | a ? c | 的最大值.

(Ⅰ)当 a ? b 时,求 x 值的集合;

20、已知函数 f ( x) ? 2 sin 2 x ? sin 2 x ? 1, x ? R. (1)求 f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 取得最大值时 x 的集合; (2)在平面直角坐标系中画出函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的图象.

4

21、 (本题满分 12 分)设 a 、 b 是两个不共线的非零向量( t ? R ) (1)记 OA ? a, OB ? t b, OC ?

1 (a ? b), 那么当实数 t 为何值时,A、B、C 三点共线? 3

(2)若 | a |?| b |? 1且a与b夹角为 120? ,那么实数 x 为何值时 | a ? xb | 的值最小?

22、 (本题满分 14分) 某沿海城市附近海面有一台风, 据观测, 台风中心位于城市正南方向 200km 的海面 P 处,并正以 20km/h 的速度向北偏西 ? 方向移动(其中 cos ? ?

19 ),台风当前影响 20

半径为 10km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风影响?影响时 间多长?

5

高一数学第二学期期末模拟训练(一) (必修 4)2013.6 参考答案
1. C2. D3.B4、B5、B6、C7、A8、D 9、C. 10、D11、A12、D 13、

1 7 , 3 9

14、12

15.-8

16. ④②或②⑥

17、已知 cos(α- 18. 解:∵ ∴

? ? ? ? ? ?? 1 2 )= ? ,sin( ? ? )= ,且 α∈( ,π),β∈(0, ),求 cos 的值. 2 2 2 2 2 9 3

? 3? ??? 4 4

? 4 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 又 cos( ? ?) ? ? ∴ sin( ? ?) ? 4 5 2 4 4 5 ? 3? 3? 3? 5 ? ? ? ? ? 又 sin( ? ?) ? ∵0 ? ? ? ∴ 4 4 4 4 13 3? 12 ? ?) ? ? ∴ cos( 4 13 ? 3? ? ?)] ∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] = ? sin[( ? ?) ? ( 4 4 ? 3? ? 3? 4 12 3 5 63 ? ?[sin( ? ?) cos( ? ?) ? cos( ? ?) sin( ? ?)] ? ?[ ? (? ) ? ? ] ? 4 4 4 4 5 13 5 13 65 3x x 3x x cos ? sin sin ? 0 .????4 分 19解: (Ⅰ)由 a ? b ,得 a ? b ? 0 ,即 cos 2 2 2 2 kπ π ? (k ? Z) .?????????????5 分 则 cos 2 x ? 0 ,得 x ? 2 4


kπ π ? ? ? ,k ? Z? 为所求.?????????????6 分 ?x | x ? 2 4 ? ?
2

(Ⅱ) | a ? c | ? (cos

3x 3x 3x π ? 3 ) 2 ? (sin ? 1) 2 ? 5 ? 4 sin( ? ) ,?????10 分 2 2 2 3

所以 | a ? c | 有最大值为 3.????????????????????12 分 20解: (I) f ( x) ? 2 sin 2 x ? sin 2x ? 1 ? sin 2x ? (1 ? 2 sin 2 x) ? sin 2x ? cos2x = 2 sin( 2 x ?

?
4

) ??????????????????5 分

所以 f ( x) 的最小正周期是 ? ????????????????????6 分

? x ? R,所以当 2 x ?

3? (k ? Z)时, f ( x) 的最大值为 2 . 4 2 8 3? , k ? Z}????????8 分 即 f ( x) 取得最大值时 x 的集合为 {x | x ? k? ? 8 ? 2k? ? , 即x ? k? ?

?

?

6

(II)图象如下图所示: (阅卷时注意以下 3 点)

3? ) ? 2, 8 7? ) ? ? 2 .??????10 分 最小值 f ( 8 3? 7? ], [ , ? ]; 2.增区间 [0, 8 8 3? 7? , ] ????????12 分 减区间 [ 8 8 ? ? 3? ,?1), (? ,?1) ???14 分 3.图象上的特殊点: (0,-1) , ( ,1 ) , ( ,1 ) ,( 4 4 2
1.最小值 f ( [注:图象上的特殊点错两个扣 1 分,最多扣 2 分] 21、解: (1)A、B、C 三点共线知存在实数 ?, 使OC ? ?OA ? (1 ? ? )OB 即 (a ? b) ? ? a ? (1 ? ? )t b ,???????????????????4 分

1 3

1 1 , 实数 t ? ????????????????????????6 分 3 2 1 ? (2) a ? b ?| a | ? | b | cos 120 ? ? , 2
则? ?

?| a ? xb | 2 ? a ? x 2 ? b ? 2 x ? a ? b ? x 2 ? x ? 1, ???????????9 分
当 x ? ? 时, | a ? xb | 取最小值

2

2

1 2

3 ????????????????12 分 2

22、解:如右图,设该市为 A,经过 t 小时后台风开始影响该城市,则 t 小时后台风经过的路程 PC=(20t)km,台风半径为 CD=(10+10t)km,需满足条件:CD≥AC
D


A

???? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? AC ? ( PC ? PA)2 ? PC ? PA ? 2PA?PC ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | AC |2 ?| PC |2 ? | PA |2 ?2 | PA |? | PC |? cos ?
19 ? 2002 ? (20t ) 2 ? 2?200?20t ? ? 40000 ? 400t 2 ? 7600 20
∴ 40000 ? 400t 2 ? 7600t ? CD2 ? (10 ? 10t )2 整理得 300t ? 7800t ? 39900 ? 0
2

10+10t C 20t θ P

200 E 10

即 t ? 26t ? 133 ? 0
2

解得 7 ? t ? 19

∴7 小时后台风开始影响该市,持续时间达 12 小时。


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