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2018-2019学年浙江省“温州十五校联合体”高二下学期期中考试数学试题 解析版


绝密★启用前
浙江省“温州十五校联合体”2018-2019 学年高二下学期期中

考试数学试题

评卷人 得分

一、单选题

1.已知集合



,则 = (

)

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

解一元二次不等式求得集合 ,然后求两个集合的交集得出正确结论. 【详解】



,解得

,故

,故选 D.

【点睛】

本小题主要考查集合交集的概念和运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.

2.已知复数 满足

A.

B.

【答案】A

【解析】

,则复数 在复平面内对应的点为 (

)

C.

D.

【分析】

利用复数除法运算,化简 为 【详解】

的形式,由此求得 对应的点的坐标.

依题意

,对应的点为

,故选 A.

【点睛】

本小题主要考查复数的除法运算,考查复数对应点的坐标,属于基础题.

3.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 (

)

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用函数的奇偶性和单调性,对选项逐一分析,由此得出正确选项. 【详解】

对于 A 选项,

,故函数为非奇非偶函数.对于 B 选项,

,函数为奇函数,当 时,

为递增函数,

根据奇函数图像关于原点对称可知函数在 时也是增函数,且

,故函数在 上

为递增函数,符合题意,B 选项正确.对于 C 选项,函数的定义域为



函数在这个区间上没有单调性,C 选项不符合题意.对于 D 选项,由于函数定义域是

,且

,所以函数为偶函数,不符合题意.综上所述,本小

题选 B.

【点睛】

本小题主要考查函数的单调性和奇偶性,考查利用定义判断函数的奇偶性,属于基础题.

4.若 A. 【答案】C

,则下列结论正确的是 (

)

B.

C.

D.

【解析】

【分析】

先用 作为分段点,找到小于 和大于 的数.然后利用 次方的方法比较大小.

【详解】

易得

,而

,故

,所以本小题选 C.

【点睛】

本小题主要考查指数式和对数式比较大小,考查指数函数和对数函数的性质,属于基础

题.

5.已知

, 为 的导函数,则 的图像是 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 【分析】

先求得函数 的导函数 此得出正确选项. 【详解】

,再对导函数求导,然后利用特殊点对选项进行排除,由

依题意

,令

,则

.由于

,故排除 C

选项.由于

,故 在 处导数大于零,故排除 B,D 选项.故本小

题选 A.

【点睛】

本小题主要考查导数的运算,考查函数图像的识别,属于基础题.

6.在

(

)

A.165

【答案】B

【解析】

【分析】

B.164

的展开式中,含 项的系数是

C.120

D.119

根据二项式展开式的通项公式,求得表达式中每一项中展开式的 项的系数,然后相加 求得结果. 【详解】

依题意, 项的系数为

. 故选 B.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式的通项公式,考查二项式的性质,属于中档题.

7.已知

是函数



的图象上的两个动点,则

当 达到最小时,的值为 (

)

A.

B.2

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求得 图像上切线斜率为 的切点的横坐标,即是的值. 【详解】

依题意可知,当 图像上的切线和

平行时, 取得最小值,令

,解得 【点睛】

,故

,所以选 C.

本小题考查函数导数,考查切线斜率与导数的对应关系,属于基础题.

8.现有甲,乙,丙,丁,戊 5 位同学站成一列,若甲不在右端,且甲与乙不相邻的不

同站法共有(

)

A.60 种

B.36 种

C.48 种

D.54 种

【答案】D

【解析】

【分析】

先排甲,然后排乙,最后排丙、丁、戊,由此计算出不同的站法数.

【详解】

甲排 号位,乙可以排 号位,故方法数有

种.甲排 号位,乙可以排 号位,

故方法数有

种.甲排 号位,乙可以排 号位,故方法数有

种.甲排 号位,

乙可以排 号位,故方法数有 选 D.

甲1

2

种.故总的方法数有

3

4

种.故 5

1

甲2

3

4

5

1

2

甲3

4

5

1

2

3

甲4

5

【点睛】

本小题主要考查有限制条件的排列组合问题,考查分类讨论的数学思想方法,属于基础

题.

9.下列命题正确的是 (

)

A.若

,则

B.若

,则

C.若 【答案】C

,则

D.若

,则

【解析】

【分析】

构造函数

,利用导数求得函数 的单调性,由此判断出正确的选项.

【详解】

根据对数函数

的定义域可知

.构造函数



,故 在

上是增函数.故当

,即

时,根据单调性可知

.故选 C.

【点睛】

本小题主要考查函数的单调性,考查构造函数法,考查化归与转化的数学思想方法,属

于中档题.

10.已知函数

,若方程

有且只有三个不同的实

数根,则 的取值范围是 (

)

A.

B.



C.

【答案】B

【解析】

【分析】

分别令



,画出 和

选项进行排除,由此得出正确选项. 【详解】

D.



的图像,根据两个图像交点的个数,对



时,

由图可知,

项.

,画出函数 和

的图像如下图所示,

有且仅有三个不同的实数根,符合题意,由此排除 A,D 两个选



时,

,注意到

,即

,此时判别式 的图像如下图所示,由图可知, 符合题意,由此排除 C 选项.故本小题选 B.

,有两个根.由此画出函数 和 有且仅有三个不同的实数根,

【点睛】 本小题主要考查含有绝对值的函数的图像与性质,考查数形结合的数学思想方法,属于 中档题.

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明

评卷人 得分

二、填空题

11.已知函数 【答案】 2 【解析】 【分析】 利用分段函数解析式,求得 【详解】

,且 的值.利用

,则

=_____,实数 _______.

求得 的值.

依题意 【点睛】

.



,解得 .

本小题主要考查分段函数求值,考查复合函数求值,属于基础题.

12.在探究“杨辉三角”中的一些秘密时,小明同学发现了一组有趣的数:







上面数字的排列规律,写出下一组的规律并计算其结果:____.

,请根据

【答案】

【解析】

【分析】

观察等式左边表达式的上标和下标,找到规律;观察等式右边表达式可知,右边是斐波

那契数列中的某些项,由此写出下一组的规律并计算其结果.

【详解】

观察等式左边表达式可知,下一组有六个式子相加,上标从 逐一递减至 ,下标从 逐

一递增至 .斐波那契数列为

,故等式右边为

,由此可知下一组为

.

【点睛】

本小题主要考查合情推理,考查分析与思考问题的能力,属于基础题.

13.若

,则

【答案】128 21 【解析】 【分析】 令 ,求得
得 的值. 【详解】

=____, = ___. 的值.利用

展开式的通项公式,求

令 ,得

.

展开式的通项公式为

,当 时,为

,即

.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式的通项公式,考查赋值法求解二项式系数有关问题,属于

基础题.

14.已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的 2 个白球和 3 个黑球,现从中随机取出

一球,再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑

球,则放回一个白球). 记换好后袋中的白球个数为 ,则 的数学期望 =___,方

差 =___ .

【答案】 【解析】 【分析】 先求得 的可能取值,然后求得分布列,由此计算出期望和方差. 【详解】

依题意可知 的可能取值为 ,且 X

.故 的分布列为

P

所以

,

.

【点睛】

本小题主要考查分布列的计算,考查数学期望和方差的计算,属于基础题.

15.已知定义域为 的函数 的导函数 则函数 的增区间为_______,若 为_________.

的图象如图所示,且 ,则不等式

, 的解集

【答案】 【解析】 【分析】 根据导函数图像的正负判断出函数 由此求得不等式的解集. 【详解】

的增区间.化简

,对 进行分类讨论,

根据导函数图像可知,当 时,

,函数单调递增,故函数的增区间为

.

不等式 上递减,在

等价于 上递增,所以:当

.由于 时,

,且函数在 ,则

;当

时,

;当

时,

;当 时,

.故不等式

的解集为

.

【点睛】

本小题主要考查利用导函数的图像判断原函数的单调性,考查分类讨论的数学思想方

法,属于中档题.

16.已知函数

在 内不单调,则实数 的取值范围是________.

【答案】



【解析】

【分析】

求得函数 的导函数,对 分成

解不等式求得 的取值范围.

【详解】

两类,根据函数在 内不单调列不等式,

函数 的定义域为



,当

递增,不符合题意.当 时,构造函数 轴为 ,要使 在 内不单调,则需

时,

, 单调

,函数 的对称

,即



解得

或.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查分类讨论的数学思想方法,属于中

档题.

17.已知函数 围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】

,若



,则

的取值范

画出 的图像,根据图像判断出

,由此求得

的表达式,利用二次

函数值域的求法求得 【详解】

的取值范围.







.画出 的图像,如下图所示,

由图可知



,故

,故

的取值范围是

.

【点睛】 本小题主要考查分段函数的图像与性质,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.

评卷人 得分

三、解答题

18. 已知函数

.

(Ⅰ)若 为偶函数,求 在

上的值域;

(Ⅱ)若 在区间

上是减函数,求 在 上的最大值.

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)

【解析】

【分析】

(I)根据函数为偶函数,利用

求得 的值.根据 的取值范围求得函数值的

取值范围.(II)根据二次函数的对称轴判断出函数 在区间 上的单调性,比较

的函数值,由此求得 在 上的最大值.

【详解】

(Ⅰ)因为函数 为偶函数,故

,得 .

所以

,故值域为: .

(Ⅱ)若 因为

在区间

上是减函数,则函数对称轴

,所以

时,函数 递减,

,因为



时,函数 递增,故



时,





由于

,故 在 上的最大值为 .

【点睛】

本小题主要考查函数的奇偶性,考查二次函数的值域,考查二次函数的单调区间,属于

中档题.

19.已知函数 (Ⅰ)求函数

, 的解析式;

,设

(Ⅱ)求不等式

的解集.

【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】 (I)解不等式 (II)对 分成“
的解集. 【详解】

和 ”和“

;(Ⅱ)
,求得 的取值范围,由此求得 的表达式. 或 ”两种情况,去绝对值,求得不等式

(Ⅰ)当

时,

,解得

.



时,

.解得

或.

所以 (Ⅱ)(1)当

时,由

,得

解得 (2)当



,于是

或 时由

①若

时,不等式化为

,得 , 无解.

②若 时,不等式化为

,解得

由(1),(2)得

.

故不等式

的解集为

.

【点睛】

,所以

本小题主要考查分段函数解析式的求法,考查含有绝对值的不等式的解法,属于中档题.

20.已知正项数列 满足

,前 项和 满足



(Ⅰ)求 , , 的值

(Ⅱ)猜测数列 的通项公式,并用数学归纳法证明.

【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】

;(Ⅱ)见解析

(I)先求得 的值,然后求得 的值,进而求得 的值.(II)先猜想出数列的通项公

式.然后证明当

, 的通项公式符合,假设当 时结论成立,证得当

时结论成立,由此得到数列 的通项公式. 【详解】

(Ⅰ)当 时,



当 时,

当 时,



.

(Ⅱ)猜想得 下面用数学归纳法证明:





,满足

.

解得 ,

②假设 时,结论成立,即

,则

时 ,



代入化简得





时 结论成立 .

综合①②可知,



【点睛】

本小题主要考查求数列的前几项,考查利用数学归纳法求数列的通项公式,属于中档题.

21.已知函数



(Ⅰ)若 的图像在 处的切线与直线

垂直,求实数 的值及切线方程;

(Ⅱ)若过点 存在 3 条直线与曲线

相切,求的取值范围

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)

【解析】

【分析】

(I)利用导数求得函数图像在 处切线的斜率,根据两条直线垂直斜率的关系列方

程,解方程求得 的值,求得切点坐标后求出切线方程.(II)设切点坐标

,利用

导数求得切线方程,将 代入切线方程并化简,构造函数

,将

条切线问题转化为直线 与

有三个不同交点问题来解决,利用

导数求得 【详解】

的极大值和极小值,由此求得的取值范围.

(Ⅰ)由



,于是在 处的切线的斜率为

.

由于切线与直线

当 时,切点为



时,切点为

垂直,所以 ,切线为
,切线为

. 故实数 的值为 . ;
.

(Ⅱ)设切点坐标

,切线斜率为 ,则有

,所以切线方程为:

因为切线过 ,所以将 代入直线方程可得:

,

所以问题等价于方程

,令

,

即直线 与

有三个不同交点.



,令

解得

,

所以 在

单调递减,在 单调递增. 的极大值为

,极

小值为

,所以若有三个交点,则

,

所以当

时,过点

存在 条直线与曲线

相切 .

【点睛】

本小题主要考查利用导数求解有关切线的问题,考查两直线垂直时斜率的关系,考查利

用导数研究函数的极值,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.

22.已知函数 (Ⅰ)讨论函数

的单调性;

, 为大于 0 的常数.

(Ⅱ)若函数 有两个极值点 ,且

,求证:

.

【答案】(1)见解析(2)见证明

【解析】

【分析】

(1)

分子所对应的二次函数

,分情况讨论

及根与 1 的大小关系,即可;(2)由(1)得两个极值点 满足

的正负以 ,所



,则

,将

化简整理为 的函数即

【详解】 (1)函数的定义域为

,构造函数求导证明不等式即可. .

由题意,

(i)若 以在

,则 单调递减.

. ,于是

(ii)若

,由

,得

,当且仅当

时,





,所



时,





时,



所以 在 (iii)若 ,则

单调递减, ,



时,

;当

时,

所以 在 综上所述,当

单调递减, 时,函数 在

单调递增 上单调递减;

单调递增. ;



时,函数 在

单调递增;

上单调递减,



当 时,函数 在

上单调递减,

(2)由(1)知, 有两个极值点当且仅当



由于 的两个极值点 满足

,所以

, 由于

上单调递增. ,则

.



.

.

当 时,

,所以

.

所以 在 单调递减,又

.

所以

,即

.

【点睛】

本题考查函数导数与单调性,证明不等式,第一问讨论要全面,并且要关注定义域,第

二问减元思想的运用,是难题.


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