绝密★启用前
浙江省“温州十五校联合体”2018-2019 学年高二下学期期中
考试数学试题
评卷人 得分
一、单选题
1．已知集合
，
，则 ＝ (
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合 ，然后求两个集合的交集得出正确结论. 【详解】
由
，解得
，故
，故选 D.
【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．已知复数 满足
A．
B．
【答案】A
【解析】
，则复数 在复平面内对应的点为 (
)
C．
D．
【分析】
利用复数除法运算，化简 为 【详解】
的形式，由此求得 对应的点的坐标.
依题意
，对应的点为
，故选 A.
【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点的坐标，属于基础题.
3．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 (
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】
对于 A 选项，
，故函数为非奇非偶函数.对于 B 选项，
，函数为奇函数，当 时，
为递增函数，
根据奇函数图像关于原点对称可知函数在 时也是增函数，且
，故函数在 上
为递增函数，符合题意，B 选项正确.对于 C 选项，函数的定义域为
，
函数在这个区间上没有单调性，C 选项不符合题意.对于 D 选项，由于函数定义域是
，且
，所以函数为偶函数，不符合题意.综上所述，本小
题选 B.
【点睛】
本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用定义判断函数的奇偶性，属于基础题.
4．若 A． 【答案】C
,则下列结论正确的是 (
)
B．
C．
D．
【解析】
【分析】
先用 作为分段点，找到小于 和大于 的数.然后利用 次方的方法比较大小.
【详解】
易得
，而
，故
，所以本小题选 C.
【点睛】
本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查指数函数和对数函数的性质，属于基础
题.
5．已知
, 为 的导函数，则 的图像是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】 【分析】
先求得函数 的导函数 此得出正确选项. 【详解】
，再对导函数求导，然后利用特殊点对选项进行排除，由
依题意
，令
，则
.由于
，故排除 C
选项.由于
，故 在 处导数大于零，故排除 B,D 选项.故本小
题选 A.
【点睛】
本小题主要考查导数的运算，考查函数图像的识别，属于基础题.
6．在
(
)
A．165
【答案】B
【解析】
【分析】
B．164
的展开式中，含 项的系数是
C．120
D．119
根据二项式展开式的通项公式，求得表达式中每一项中展开式的 项的系数，然后相加 求得结果. 【详解】
依题意， 项的系数为
. 故选 B.
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式的性质，属于中档题.
7．已知
是函数
，
的图象上的两个动点，则
当 达到最小时,的值为 (
)
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求得 图像上切线斜率为 的切点的横坐标，即是的值. 【详解】
依题意可知，当 图像上的切线和
平行时， 取得最小值，令
，解得 【点睛】
，故
，所以选 C.
本小题考查函数导数，考查切线斜率与导数的对应关系，属于基础题.
8．现有甲，乙，丙，丁，戊 5 位同学站成一列，若甲不在右端，且甲与乙不相邻的不
同站法共有(
)
A．60 种
B．36 种
C．48 种
D．54 种
【答案】D
【解析】
【分析】
先排甲，然后排乙，最后排丙、丁、戊，由此计算出不同的站法数.
【详解】
甲排 号位，乙可以排 号位，故方法数有
种.甲排 号位，乙可以排 号位，
故方法数有
种.甲排 号位，乙可以排 号位，故方法数有
种.甲排 号位，
乙可以排 号位，故方法数有 选 D.
甲1
2
种.故总的方法数有
3
4
种.故 5
1
甲2
3
4
5
1
2
甲3
4
5
1
2
3
甲4
5
【点睛】
本小题主要考查有限制条件的排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础
题.
9．下列命题正确的是 (
)
A．若
，则
B．若
，则
C．若 【答案】C
，则
D．若
，则
【解析】
【分析】
构造函数
，利用导数求得函数 的单调性，由此判断出正确的选项.
【详解】
根据对数函数
的定义域可知
.构造函数
，
，故 在
上是增函数.故当
，即
时，根据单调性可知
.故选 C.
【点睛】
本小题主要考查函数的单调性，考查构造函数法，考查化归与转化的数学思想方法，属
于中档题.
10．已知函数
，若方程
有且只有三个不同的实
数根，则 的取值范围是 (
)
A．
B．
∪
C．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别令
和
，画出 和
选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】
D．
∪
的图像，根据两个图像交点的个数，对
当
时，
由图可知，
项.
，画出函数 和
的图像如下图所示，
有且仅有三个不同的实数根，符合题意，由此排除 A,D 两个选
当
时，
，注意到
，即
，此时判别式 的图像如下图所示，由图可知， 符合题意，由此排除 C 选项.故本小题选 B.
，有两个根.由此画出函数 和 有且仅有三个不同的实数根，
【点睛】 本小题主要考查含有绝对值的函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于 中档题.
第 II 卷（非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明
评卷人 得分
二、填空题
11．已知函数 【答案】 2 【解析】 【分析】 利用分段函数解析式，求得 【详解】
，且 的值.利用
，则
=_____，实数 _______.
求得 的值.
依题意 【点睛】
.
，
，解得 .
本小题主要考查分段函数求值，考查复合函数求值，属于基础题.
12．在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发现了一组有趣的数：
；
；
；
上面数字的排列规律，写出下一组的规律并计算其结果：____.
，请根据
【答案】
【解析】
【分析】
观察等式左边表达式的上标和下标，找到规律；观察等式右边表达式可知，右边是斐波
那契数列中的某些项，由此写出下一组的规律并计算其结果.
【详解】
观察等式左边表达式可知，下一组有六个式子相加，上标从 逐一递减至 ，下标从 逐
一递增至 .斐波那契数列为
，故等式右边为
，由此可知下一组为
.
【点睛】
本小题主要考查合情推理，考查分析与思考问题的能力，属于基础题.
13．若
，则
【答案】128 21 【解析】 【分析】 令 ，求得
得 的值. 【详解】
=____， = ___. 的值.利用
展开式的通项公式，求
令 ，得
.
展开式的通项公式为
，当 时，为
，即
.
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于
基础题.
14．已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的 2 个白球和 3 个黑球，现从中随机取出
一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑
球，则放回一个白球）. 记换好后袋中的白球个数为 ，则 的数学期望 =___，方
差 =___ .
【答案】 【解析】 【分析】 先求得 的可能取值，然后求得分布列，由此计算出期望和方差. 【详解】
依题意可知 的可能取值为 ，且 X
.故 的分布列为
P
所以
,
.
【点睛】
本小题主要考查分布列的计算，考查数学期望和方差的计算，属于基础题.
15．已知定义域为 的函数 的导函数 则函数 的增区间为_______，若 为_________.
的图象如图所示，且 ，则不等式
， 的解集
【答案】 【解析】 【分析】 根据导函数图像的正负判断出函数 由此求得不等式的解集. 【详解】
的增区间.化简
，对 进行分类讨论，
根据导函数图像可知，当 时，
，函数单调递增，故函数的增区间为
.
不等式 上递减，在
等价于 上递增，所以：当
.由于 时，
，且函数在 ，则
；当
时，
；当
时，
；当 时，
.故不等式
的解集为
.
【点睛】
本小题主要考查利用导函数的图像判断原函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方
法，属于中档题.
16．已知函数
在 内不单调，则实数 的取值范围是________.
【答案】
或
【解析】
【分析】
求得函数 的导函数，对 分成
解不等式求得 的取值范围.
【详解】
两类，根据函数在 内不单调列不等式，
函数 的定义域为
，
，当
递增，不符合题意.当 时，构造函数 轴为 ，要使 在 内不单调，则需
时，
， 单调
，函数 的对称
，即
，
解得
或.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想方法，属于中
档题.
17．已知函数 围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】
，若
且
，则
的取值范
画出 的图像，根据图像判断出
，由此求得
的表达式，利用二次
函数值域的求法求得 【详解】
的取值范围.
由
且
得
.画出 的图像，如下图所示，
由图可知
，
，故
，故
的取值范围是
.
【点睛】 本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
评卷人 得分
三、解答题
18． 已知函数
.
（Ⅰ）若 为偶函数，求 在
上的值域；
（Ⅱ）若 在区间
上是减函数，求 在 上的最大值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（I）根据函数为偶函数，利用
求得 的值.根据 的取值范围求得函数值的
取值范围.（II）根据二次函数的对称轴判断出函数 在区间 上的单调性，比较
的函数值，由此求得 在 上的最大值.
【详解】
（Ⅰ）因为函数 为偶函数，故
，得 .
所以
,故值域为： .
（Ⅱ）若 因为
在区间
上是减函数，则函数对称轴
，所以
时，函数 递减，
，因为
，
时，函数 递增，故
当
时，
，
，
由于
，故 在 上的最大值为 .
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性，考查二次函数的值域，考查二次函数的单调区间，属于
中档题.
19．已知函数 （Ⅰ）求函数
， 的解析式；
，设
（Ⅱ）求不等式
的解集.
【答案】（Ⅰ） 【解析】 【分析】 （I）解不等式 （II）对 分成“
的解集. 【详解】
和 ”和“
；（Ⅱ）
，求得 的取值范围，由此求得 的表达式. 或 ”两种情况，去绝对值，求得不等式
（Ⅰ）当
时，
,解得
.
当
时，
.解得
或.
所以 （Ⅱ）（1）当
时，由
，得
解得 （2）当
或
，于是
或 时由
①若
时，不等式化为
，得 ， 无解.
②若 时，不等式化为
，解得
由（1），（2）得
.
故不等式
的解集为
.
【点睛】
，所以
本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查含有绝对值的不等式的解法，属于中档题.
20．已知正项数列 满足
，前 项和 满足
，
（Ⅰ）求 ， ， 的值
（Ⅱ）猜测数列 的通项公式，并用数学归纳法证明.
【答案】（Ⅰ） 【解析】 【分析】
；（Ⅱ）见解析
（I）先求得 的值，然后求得 的值，进而求得 的值.（II）先猜想出数列的通项公
式.然后证明当
， 的通项公式符合，假设当 时结论成立，证得当
时结论成立，由此得到数列 的通项公式. 【详解】
（Ⅰ）当 时，
，
当 时，
当 时，
，
.
（Ⅱ）猜想得 下面用数学归纳法证明：
①
时
，满足
.
解得 ，
②假设 时，结论成立，即
，则
时 ，
将
代入化简得
，
故
时 结论成立 .
综合①②可知，
．
【点睛】
本小题主要考查求数列的前几项，考查利用数学归纳法求数列的通项公式，属于中档题.
21．已知函数
，
（Ⅰ）若 的图像在 处的切线与直线
垂直，求实数 的值及切线方程；
（Ⅱ）若过点 存在 3 条直线与曲线
相切，求的取值范围
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（I）利用导数求得函数图像在 处切线的斜率，根据两条直线垂直斜率的关系列方
程，解方程求得 的值，求得切点坐标后求出切线方程.（II）设切点坐标
，利用
导数求得切线方程，将 代入切线方程并化简，构造函数
，将
条切线问题转化为直线 与
有三个不同交点问题来解决，利用
导数求得 【详解】
的极大值和极小值，由此求得的取值范围.
（Ⅰ）由
得
，于是在 处的切线的斜率为
.
由于切线与直线
当 时，切点为
当
时，切点为
垂直，所以 ，切线为
，切线为
. 故实数 的值为 . ;
.
（Ⅱ）设切点坐标
，切线斜率为 ，则有
，所以切线方程为：
因为切线过 ，所以将 代入直线方程可得：
,
所以问题等价于方程
，令
,
即直线 与
有三个不同交点.
由
，令
解得
,
所以 在
单调递减，在 单调递增. 的极大值为
，极
小值为
,所以若有三个交点，则
,
所以当
时，过点
存在 条直线与曲线
相切 .
【点睛】
本小题主要考查利用导数求解有关切线的问题，考查两直线垂直时斜率的关系，考查利
用导数研究函数的极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
22．已知函数 （Ⅰ）讨论函数
的单调性；
， 为大于 0 的常数.
（Ⅱ）若函数 有两个极值点 ，且
，求证：
.
【答案】(1)见解析(2)见证明
【解析】
【分析】
（1）
分子所对应的二次函数
,分情况讨论
及根与 1 的大小关系，即可；（2）由（1）得两个极值点 满足
的正负以 ，所
以
，则
，将
化简整理为 的函数即
【详解】 (1)函数的定义域为
，构造函数求导证明不等式即可. .
由题意，
（i）若 以在
，则 单调递减.
. ，于是
（ii）若
，由
，得
，当且仅当
时，
或
，
，所
当
时，
；
当
时，
；
所以 在 （iii）若 ，则
单调递减， ，
当
时，
；当
时，
所以 在 综上所述，当
单调递减， 时，函数 在
单调递增 上单调递减；
单调递增. ；
当
时，函数 在
单调递增；
上单调递减，
上
当 时，函数 在
上单调递减，
（2）由（1）知， 有两个极值点当且仅当
，
由于 的两个极值点 满足
，所以
， 由于
上单调递增. ，则
.
设
.
.
当 时，
，所以
.
所以 在 单调递减，又
.
所以
，即
.
【点睛】
本题考查函数导数与单调性，证明不等式，第一问讨论要全面，并且要关注定义域，第
二问减元思想的运用，是难题.