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(教师用书)高中数学 2.1.2 第2课时 椭圆的简单几何性质课件 新人教A版选修1-1_图文


第 2 课时 椭圆方程及性质的应用 教师用书独具演示 ●三维目标 1.知识与技能 掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法,初 步探寻弦长公式有关知识. 2.过程与方法 通过问题的提出与解决,培养学生探索问题、解决问题的 能力.领悟数形结合和化归等思想. 3.情感、态度与价值观 培养学生自主参与意识,激发学生探索数学的兴趣. ●重点、难点 重点:掌握直线与椭圆位置关系的判断方法,注意数形结 合思想的渗透. 难点:应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何 问题和实际问题. 教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课,涉 及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题,掌握好椭圆 方程与性质,类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点 与难点的关键. ●教学建议 由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导 及运用过程,但大部分还停留在经验基础上,主动迁移能力、 整合能力较弱,所以本节课宜采用启发引导式教学;同时借助 多媒体,充分发挥其形象、生动的作用. ●教学流程 演示结束 1.掌握椭圆的方程及其性质的应用. 课标解读 (重点) 2.掌握直线与椭圆位置关系的判断方 法,初步探寻弦长公式.(难点) 点与椭圆的位置关系 【问题导思】 点与椭圆有几种位置关系? 【提示】 在椭圆外. 三种位置关系:点在椭圆上,点在椭圆内,点 x2 y2 设点 P(x0,y0),椭圆a2+b2=1(a>b>0). 2 x2 y 0 0 (1)点 P 在椭圆上?a2+b2=1; 2 x2 y 0 0 + (2)点 P 在椭圆内? a2 b2<1; 2 x2 y 0 0 + (3)点 P 在椭圆外? a2 b2>1 . 直线与椭圆的位置关系 【问题导思】 1.直线与椭圆有几种位置关系? 【提示】 三种位置关系:相离、相切、相交. 2.我们知道,可以用圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的 大小关系判断直线与圆的位置关系,这种方法称为几何法,能 否用几何法判断直线与椭圆的位置关系? 【提示】 不能. 3.用什么方法判断直线与椭圆的位置关系? 【提示】 代数法. x2 y2 直线 y=kx+m 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的位置关系联立 a b y=kx+m, ? ? 2 2 ?x y 消 y 得一个一元二次方程. 2+ 2=1, ? ?a b 位置关系 解的个数 Δ 的取值 相交 相切 相离 两 解 一解 无解 Δ> 0 Δ=0 Δ<0 直线与椭圆的位置关系的判定 x2 2 当 m 为何值时, 直线 y=x+m 与椭圆 +y =1 相 4 交、相切、相离? 【思路探究】 【自主解答】 y=x+m, ? ? 2 ?x +y2=1, ? ?4 联立方程组得 ① ② x2 将①代入②得 4 +(x+m)2=1, 整理得 5x2+8mx+4m2-4=0 Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2). ③ 当 Δ>0, 即- 5<m< 5时, 方程③有两个不同的实数根, 代入①可得到两个不同的公共点坐标,此时直线与椭圆相交; 当 Δ=0, 即 m=- 5或 m= 5时, 方程③有两个相等的实数根, 代入①可得到一个公共点坐标, 此时直线与椭圆相切; 当 Δ<0, 即 m<- 5或 m> 5时, 方程③没有实数根, 直线与椭圆相离. 判断直线与椭圆位置关系的步骤: 1 试判断直线 y=x-2与椭圆 x2+4y2=2 的位置关系. 1 ? ?y=x- , 2 【解】 联立方程组得? 2 2 ? x + 4 y =2, ? 消去 y,整理得 5x2-4x-1=0, Δ=(-4)2-4×5×(-1)=36>0, 即方程(*)有两个实数根,所以方程组有两组解,即直线和 椭圆相交. (*) 直线与椭圆相交问题 x2 y2 已知椭圆36+ 9 =1 和点 P(4,2),直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A,B 两点. 1 (1)当直线 l 的斜率为2时,求线段 AB 的长度; (2)当 P 点恰好为线段 AB 的中点时,求 l 的方程. 【思路探究】 (1)你能写出直线方程吗?怎样求此直线在 椭圆上截得的弦长的长度? (2)点 P 与 A、B 的坐标之间有怎样的关系?能否用根与系 数的关系求得直线的斜率? 【自主解答】 (1)由已知可得直线 l 的方程为 y-2= 1 1 2(x-4),即 y=2x. ? 1 ?y=2x, 由? 2 2 x y ? + =1, ?36 9 可得 x2-18=0, 若设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=0,x1x2=-18. 于是|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = 5 = 2 1 ?x1-x2? + ?x1-x2?2 4 2 5 ?x1+x2? -4x1x2= ×6 2=3 10. 2 2 所以线段 AB 的长度为 3 10. (2)法一:设 l 的斜率为 k,则其方程为 y-2=k(x-4). x2 y2 ? ? + =1, 联立?36 9 ? ?y-2=k?x-4?, 消去 y 得(1+4k2)x2-(32k2-16k)x+(64k2-64k-20)=0. 若设 A(x1,y1),B(x2,y2), 32k2-16k 则 x1+x2= , 1+4k2 由于 AB 的中点恰好为 P(4,2), x1+x2 16k2-8k 1 所以 2 = 2 =4,解得 k=- . 2 1+4k 1 这时直线 l 的方程为 y-2=- (x-4), 2 1 即 y=-2x+4. 法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 x y ? 1 1 + ?36 9 =1, 则有? 2 2 x y 2 2 ? + =1, ?36 9 2 2 2 x2 - x y - y 2 1 2 1 两式相减得 36 + 9 =0. 由于 P(4,2)

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