伤城文章网 > 数学 > 2019-2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程教案新人教A版选修.doc

2019-2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程教案新人教A版选修.doc


2019-2020 学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标 准方程教案新人教 A 版选修
项目 2.3.1 课题 (共 1 课时) 创新 知识与技能: 使学生理解并掌握双曲线的定义, 掌握双曲线的标准方程的推导 及标准方程。 教学 目标 过程与方法: 了解双曲线的实际背景, 经历从具体情境中抽象出双曲线模型的 过程,感受双曲线定义在解决实际问题中的作用。 情感、态度与价值观:通过对双曲线的定义及标准方程的学习,渗透数形结合 的思想,启发我们在研究问题时,抓住问题的本质。 教学 重点:双曲线的定义和双曲线的标准方程. 重、 难点:双曲线的标准方程的推导. 难点 教学 多媒体课件 准备 (一)复习提问 1.椭圆的定义是什么? 平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.教 师要强调条件:(1)平面内;(2)到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数;(3)常数 2a 教学 过程 >| F1F2||. 2.椭圆的标准方程? 内容 双曲线及其标准方程 修改与

(二)双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”, 那么点的轨迹会怎样?它的方程 是怎样的呢?

1.简单实验(边演示、边说明) 如图,定点 F1、F2 是两个按钉,MN 是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿 过套管,点 M 移动时,|MF1|-|MF2|是常数,这样就画出曲线的一支;由|MF2|-|MF1| 是同一常数,可以画出另一支.

注意:常数要小于| F1F2||,否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线. 2.设问 问题 1:定点 F1、F2 与动点 M 不在平面上,能否得到双曲线? 请学生回答,不能.强调“在平面内”. 问题 2:|MF1|与|MF2|哪个大? 请学生回答,不定:当 M 在双曲线右支上时,|MF1|>|MF2|;当点 M 在双曲线左支 上时,|MF1|<|MF2|. 问题 3:点 M 与定点 F1、F2 距离的差是否就是|MF1|-|MF2|? 请学生回答,不一定,也可以是|MF2|-|MF1|.正确表示为||MF2|-|MF1||. 问题 4:这个常数是否会大于等于|F1F2|? 请学生回答,应小于|F1F2|且大于零.当常数=|F1F2|时,轨迹是以 F1、F2 为端点的 两条射线;当常数>|F1F2|时,无轨迹. 3.定义 在上述基础上,引导学生概括双曲线的定义: 平面内与两定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双 曲线.这两个定点 F1、F2 叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距. 教师指出:双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆,不要死记. (三)双曲线的标准方程 现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方 程.这时设问:求椭圆的方程的一般步骤方法是什么?不要求学生回答,主要引起 学生思考,随即引导学生给出双曲线的方程的推导. 标准方程的推导:

(1)建系设点 取过焦点 F1、F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴(如图 2-24)

建立直角坐标系. 设 M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距是 2c(c>0),那么 F1、F2 的坐标分 别是(-c,0)、(c,0).又设点 M 与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数. (2)点的集合 由定义可知,双曲线就是集合: P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}. (3)代数方程

(4)化简方程(由学生演板) 将这个方程移项,两边平方得:

化简整理得: (c -a )x -a y =a (c -a ). (以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.) 由双曲线定义,2c>2a
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即 c>a,所以 c -a >0.

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设 c -a =b (b>0),代入上式得: b x -a y =a b .
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这就是双曲线的标准方程. 两种标准方程的比较(引导学生归纳):

说明: (1)双曲线标准方程中,a>0,b>0,但 a 不一定大于 b; (2)如果 x2 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上;如果 y2 项的系数是正的,那么 焦点在 y 轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上. (3)双曲线标准方程中 a、b、c 的关系是 c =a +b ,不同于椭圆方程中 c =a -b . (四)例题讲解: 1.求满足下列的双曲线的标准方程:焦点 F1(-3,0)、F2(3,0),且 2a=4;
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3.已知两点 F1(-5,0)、F2(5,0),求与它们的距离的差的绝对值是 6 的点的轨 迹方程.如果把这里的数字 6 改为 12,其他条件不变,会出现什么情况? 解:由定义,所求点的轨迹是双曲线,因为 c=5,a=3,所以 b2=c2-a2=52-32=42.

因为 2a=12,2c=10,且 2a>2c. 所以动点无轨迹. (五)课时小结 1.定义:平面内与两定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的 轨迹.

3.图形:

4.焦点:F1(-c,0)、F2(c,0);F1(0,-c)、F2(0,c). 5.a、b、c 的关系:c =a +b 五、布置作业 1.根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)焦点的坐标是(-6,0)、(6,0),并且经过点 A(-5,2);
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3.已知圆锥曲线的方程为 mx +ny =m+n(m<0<m+n),求其焦点坐标.

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2.3.1 1.双曲线的定义 2. 双曲线的标准方程 板书 设计 (2)焦点在 y 轴上 (1)焦点在 x 轴上

双曲线及其标准方程



1.为让学生更深刻地理解双曲线的定义,在给出定义后,让学生分析:平面内到两定点 F1、 教学 F2 的距离之和等于| F1F2|)的点的轨迹是什么?大于| F1F2|)的点的轨迹是什么? 反思 2.标准方程的推导,在老师的指导下,让学生自己推导,以提高学生的运算能力。


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