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广东省学高中数学 1.3算法案例的应用习题分析课件 苏教版必修3 (13)_图文


3.4 互 斥事 件 及 其 发生的概 率

黄建忠制作

体育考试的成绩分为四 个等级 : 优、良、中、不及格 , 某班 50 名学生参加了体育考试 , 结果如下:

优 良 中 不及格

85 分及以上 75 ~ 84 分 60 ~ 74 分 60 分以下

9人 15 人 21 人 5人

? 在同一次考试中 , 某一位同学能否既得优 又得良? ? 从这个班任意抽取一位 同学, 那么这位同学的体育 成绩为 " 优良" ?优或良?的概率是多少 ?
体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分 别记为 A, B, C , D. 在同一次体育考试中,同一个人不可能既得优又得良, 即 事件A与B是不可能同时发生的.不能同时发生的两个事

件称为互斥事件 exc_ clusive events .

?

?

对于本例中的事件 A, B, C, D, 其中任意两个都是互斥 的. 一般地 , 如果事件 A1 , A2 , ? ? ? , An 中的任何两个都是互斥 事 件, 就说事件 A1 , A2 , ? ? ? , An 彼此互斥 .
设A, B为互斥事件 ,当事件 A, B有一个发生 , 我们把这个事 件记作 A ? B .在上述关于体育考试 成 绩的问题中 , 事件 A ? B就表示事件 " 优" 或"良" , 那么, 事件 A ? B发生的概率是 多少呢 ?

从50人中任意抽取 1 个人, 有50种等可能的方法 , 而抽到优 良的同学的方法有 9 ? 15 种, 从而事件 A ? B 发生的概率
9 ? 15 9 15 P? A ? B ? ? . 而另一方面 P? A? ? ? ? ,P B ? , 50 50 50

因此有 P? A ? B? ? P? A? ? P?B?.

由以上分析不难发现 , 概率必须满足如下第三 个 基本要求 :

如果事件A, B互斥, 那么事件A ? B发生的概率, 等 于事件A, B分别发生的概率的和, 即 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? 一般地 , 如果事件 A1 , A2 , ? ? ? , An 两两互斥 , 则
P? A1 ? A2 ? ? ? ? ? An ? ? P? A1 ? ? P? A2 ? ? ? ? ? ? P? An ?.

在上面问题中 , 如果将" 体育成绩及格 " 记为事件 E , 那么E与D不可能同时发生 , 但必有一个发生 .

两个互斥事件必有一个 发生, 则称这两个事件为 对立事件 ? plementary events?.事件 A的对立事件记 为 A.

思考 对立事件与互斥事件有 何区别?
对立事件 A与 A必有一个发生 , 故 A ? A是必然事件 , 从而 P? A? ? P A ? P A ? A ? 1
由此, 我们可以得到一个重要 公式 : P A ? 1 ? P? A?.

?? ?

?

??

例1 一只口袋 内装有大小一样 的 4 只白球与4 只 黑球, 从中一次任意摸出 2 只球.记摸出两只白球为 事件A, 摸出1 只白球和1 只黑球 为事 件B.问: 事件A 与事件B 是否为互斥事件? 是否为对立事件?
解 事件 A与B 互斥.

因为从中一次可以摸出 2 只黑球 , 所以事件 A与B 不是对立事件 .

例2 某人射击1 次, 命中7 ~ 10 环的概率如下:
命中环数 概 率

?1?求射击1 次, 至少命中7 环的概率; ?2?求射击1 次, 命中不足7 环的概率. 解 记事件" 射击 1次 , 命中k环"为Ak ?k ? N , 且k ? 10 ?, 则
事件 Ak 两两互斥.

10 环 0.12

9环 0.18

8环 0.28

7环 0.32

?1?记 " 射击 一次 , 至少命中7 环"的事件为 A , 那么当 A10 ,
? P? A10 ? ? P? A9 ? ? P? A8 ? ? P? A7 ?

A9 , A8 或 A7之一发生, 事件A发生.由互斥事件的概率加 法公式, 得 P? A? ? P? A10 ? A9 ? A8 ? A7 ?

? 0.12 ? 0.18 ? 0.28 ? 0.32 ? 0.9

?2?事件 " 射击 一次 , 命中不足 7 环"是事件
" 射击一次, 命中至少 7 环"的对立事件, 即 A 表示事件" 射击一次, 命中不足 7 环".根 据对立事件的概率公式, 得
P A ? 1 ? P? A? ? 1 ? 0.9 ? 0.1.

??

答 此人射击 1 次, 至少命中7 环的概率为 0.9 ; 命中不足 7 环的概率为0.1 .

例3 黄种人群中各种血型的 人所占比例如下 : O A B AB 血 型 该血型的人所占比 /% 35 28 29 8 已知同种血型的人可以 输血, O型血可以输给任一种血 型的 人, 任何人的血都可以输给 AB型血的人, 其他不同血型的人 不能互相输血 .小明是 B 型血, 若小明因病需要输血 ,问: ?1? 任找一个人, 其血可以输给小明的概 率是多少? ?2?任找一个人, 其血不能输给小明的概 率是多少?



?1?对任一人, 其血型为A, B, AB, O型血的事件记为

P?B`? D`? ? P?B`? ? P?D`? ? 0.29 ? 0.35 ? 0.64 .

A`, B`, C `, D`, 它们是互斥的.由已知, 有 P? A`? ? 0.28, P?B`? ? 0.29, P?C`? ? 0.08, P?D`? ? 0.35 . 因为B, O型血可以输给B型血的人, 故"可以输给B型血 的人" , 为事件B`? D`.根据互斥事件的加法公式, 有

?2?由于 A, AB 型血不能输给 B型血的人 , 故
"不能输给 B型血的人 "为事件 A`?C`,且
P? A`?C `? ? P? A`? ? P?C `? ? 0.28 ? 0.08 ? 0.36.

答 任找一人 , 其血可以输给小明的概 率为 0.64, 基人血不能输给小明的 概率为 0.36.

第?2?问也可以这样解 : 因为事件" 其血可以输 给B型血的人"与事件" 其血不能输给B型血的 人"是对立事件, 故由对立事件的概率公式, 有

P B`? D` ? 1 ? P?B`? D`? ? 1 ? 0.64 ? 0.36 .

?

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