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2013年广东省揭阳市(高中)数学老师教学论文(12份)


数学思想方法的形成对学生解题能力影响的实验研究?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 揭阳第一中学? ? ? ? 郑冲? 摘? ? ? 要:数学思想是人们认识、理解、掌握数学的意识。数学思想方法是 数学知识的本质,是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它为分析、处理和 解决数学问题提供了指导方针和解题策略。掌握数学思想,就是掌握数学的精 髓,因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,能提高学生的元认知水平,使 学生分析问题和解决问题能力得到提高。? ? 关? 键? 词:数学思想? ? ? ? ? ? 解题能力? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?
一.问题的提出?
? ? ? 2010 年暑假我市教研室黄开明老师组织我市几所中学的数学教师前往佛

山三水参加由中学数学教学杂志社举办的第 4 期“解题教学高级研讨班” ,我也 有幸前往培训学习。 “高研班” 这次 邀请了陕西师范大学罗增儒教授以其著作 《中 学数学解题的理论与实践》为蓝本就“怎样解题,怎样学会解题”做专题讲授, 罗增儒教授在他的著作中提到, “回顾从当学生到当教师的几十年解题实践(特 别是当教师的 30 年) ,我们看到了一条清晰的学解题线路:由‘简单模仿、变式 训练’开始,经过长期的‘自发领悟’ ,已经进入到‘自觉分析’的阶段,我们 将其作为‘一个中国解题者的学习案例,或一个中国学习者的解体案例’总结为 ‘学会解题的四步骤程式’。 ” 罗教授的言传身教激发了我对目前现状如何提高学 生的解题能力的一些思考。? 二.问题的现状? 美国著名数学家波利亚说过 “问题是数学的心脏”“掌握数学意味着什么? , 那就是善于解题。”但数学问题千变万化,无穷无尽,“题海”茫茫。我所任教 的是我市的重点学校,虽是重点,但近几年的扩招使得学生的水平参差不齐,在 我所任教的两个普通班中,经常会发现这些现象:一些程度一般的学生,对常见 题型的解答方法掌握还可以,但遇到难题,新题或变式题就茫然不知所措,束手 无策。也有的学生,习惯于动手,不习惯于思维,满足于用某种方法求得问题的 解答,而不进行进一步的思考和研究,甚至未能对所获得结果的正确性,完整性 作必要的检验或证明。分析一下,产生这种局面的最根本原因是他们往往只注意 到常规的解题步骤,而忽略了方法中最根本的思路。他们往往把解题方法归结为
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一种或几种固有模式, 把解题变成一种机械操作, 情况稍有变化, 套不进去模式, 就无从入手。因此,要提高学生的解题能力,必须培养他们掌握数学思想方法, 它是数学知识的精髓,核心和本质,是数学知识产生的源泉,是联系数学知识的 纽带。

三.对数学思想方法的认识
数学思想, 是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经 过思维活动而产生的结果。 数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质 认识。数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识 是数学内容, 可以用文字和符号来记录和描述, 随着时间的推移, 记忆力的减退, 将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,能够领会和运用,属于思维 的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一 阵子, 而是受用一辈子, 即使数学知识忘记了, 数学思想方法也还是对你起作用。 掌握数学思想,就是掌握数学的精髓,就能大大提高学生的解题能力。在中学阶 段,学生要熟练掌握下面几个常见数学思想: ? 1.函数与方程的思想。函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、 转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问 题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后 通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互 相转化、接轨,达到解决问题的目的。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇 到变量,构造函数关 系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问 题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量, 从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函 数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答。? 2.? 分类讨论思想方法。在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需 要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类 讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略, 它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数 学问题具有明显的逻辑性、 综合性、 探索性, 能训练人的思维条理性和概括性。 进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的, 不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是" 不漏不重"。解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论 对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即

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标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级 进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。? 3.数形结合思想方法。数形结合是一个数学思想方法,数形结合即包含“以 形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助 形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用 函数的图像来直观地说明函数的性质; 或者是借助于数的精确性和规范严密性来 阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地 阐明曲线的几何性质。数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图 像结合起来, 关键是代数问题与图形之间的相互转化, 它可以使代数问题几何化, 几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要 彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征, 对数学题目中的条件 和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立 关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。 4. 等价转化思想方法。 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内 可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂 的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。等价转化思想方法的特点是 具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个 统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换,消去法、 换元法、数形结合法、求值求范围问题等等,都体现了等价转化思想,我们更是 经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。在数学操作中实施等价转化时, 我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则,即把我们遇到的问题,通 过转化变成我们比较熟悉的问题来处理;或者将较为繁琐、复杂的问题,变成比 较简单的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式等; 或者比较难以解决、比较抽象的问题,转化为比较直观的问题,以便准确把握问 题的求解过程,比如数形结合法。按照这些原则进行数学操作,转化过程省时省 力,有如顺水推舟,经常渗透等价转化思想,可以提高解题的水平和能力。 四.数学思想方法对数学教学的重要性 从新教材的构成体系来看,整个中学数学教材所涉及的数学知识点汇 成了数学结构系统的两条“河流” :一条是由具体的知识点构成的易于被发 现的“明河流” ,它是构成中学数学教材的骨架;另一条是由数学思想方法 构成的具有潜在价值的“暗河流” ,它是构成中学数学教材“血脉”灵魂。 有了这样的数学思想作灵魂,各种具体的数学知识点才不会成为孤立的零 散的东西。因为数学思想能将“游离”状态的知识点凝结成优化的知识结
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构,有了它,数学概念才能活起来,做到相互紧扣,相互支持,以组成一 个有机的整体。可见,数学思想是数学的内在形式,是学生获得数学知识, 发展思维能力的动力和工具。掌握数学的思想和方法是学习数学知识的本 质,是分析数学处理数学解决数学问题的方针和策略,是我们进行探究性 学习的工具。在中学数学教学中,把掌握数学方法和思想作为数学教育的 重点,可以使学生逐步掌握数学基本方法和数学思维,进而展开高效率的 数学学习.数学方法和思想是高中同学提高数学素养培养创新能力的关键, 是一切数学创新的源泉.数学思想和方法的教育使数学教学真正变为“授之 于渔而非授之于鱼” ,让高中同学由“学会”变成“会学” ,为其今后终身 学习奠定基础.

五.数学思想方法在解题教学中的实施
怎样进行数学思想方法的教学呢?? 下面我结合前阶段在高三复习课中的几 个案例的实践,谈谈在课堂教学中如何促进学生数学思想方法的形成。?
(一).基础知识的复习中,渗透数学思想方法

在教学过程中,要注意知识的形成过程,特别是定理、性质、公式的推导 过程和例题的求解的过程, 基本数学思想和数学方法都是在这个过程中形成和发 展的,数学的各种能力也是在这个过程中得到培养和锻炼的。例如数列可以看作 定义域为自然数集 N(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对 应的一列函数值; 等差数列的通项公式 an=a1+(n‐1)d 可以看作项数 n 的一次函数, 等差数列的求和公式,Sn=2? n2+(a1- )n,? 当公差 不为 0 时,可看作关于 的二 次函数(且常数项为 0) 。因而数列中的一些问题可以转化为函数问题,利用函 数思想去处理。? 例 1.在等差数列{an}中, 其前 n 项和为 Sn ,且 S15=S33 , Sn 取得最大值时, 则 n 的值为多少? 分 析 一 : 由 S15=S33 可 以 得 到 a16+a17+ … +a33=0, 从 而 得 到 a24+a25=0, 且 a24>0,a25<0,所以 Sn 取得最大值时,n 等于 24。 分析二:Sn 是 n 的二次函数。因此可以用二次函数的有关知识来解决等差数 列前 n 项和的问题 由 S15=S33 可直接得到的图像关于 n=24 对称,因此 n=24 当, Sn 取得最大值.
d d 2

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例 2.? 已知数列{ an }是等差数列,若 sn =10, s2n =50,求 s3n =? 分析:本题可依照“等差数列中依次每 k 项之和仍成等差数列”的性质去求 解, 但如果能想到 Sn/n 是关于n的一次函数, 其图象直线上的离散点, 利用点共线的条件建立方程求解。?
sn }是等差数列,? n s s s ∴(n, n ),(2n, 2n ),(3n, 3n )三点共线,列方程可解得 s3n n n n

解:由条件知数列{

=120?

(二)探求解题思路时,渗透数学思想方法 正确审题,理解题意,全面掌握已知条件和设问要求,是问题解决的奠基性 工作。审题的基本要求主要是弄清题目的两个组成部分:条件和结论。需要找一 找从条件到结论缺少些什么? 或从条件顺推,或从结论分析,找出它们的内在联 系,有时条件比较复杂,或者隐蔽不明显。在审题时,可对结论入手,把问题转 换表达成其他各种等价形式。 例 3.已知 sin α + sin β = 2 , cos α + cos β =
2 3 , 求 tan α tan β 的值. 3

分析:怎样利用已知的二个等式?初看好象找不出条件和结论的联系.只好 从未知 tan α tan β 入手,当然,首先想到的是把 tanα、tanβ分别求出,然后求 出 它 们 的 乘 积 , 这 是 个 办 法 , 但 是 不 好 求 ; 于 是 可 考 虑 将 tan α tan β 写 成 sin α sin β ,转向求 sin α sin β 、cos α cos β .令 x = cos α cos β , y = sin α sin β , cos α cos β 于是 tan α tan β =
y . x

从方程的观点看,只要有 x 、 y 的二元一次方程就可求出 x 、 y .于是转向求
x + y = cos(α ? β ) , x ? y = cos(α + β ) .

这样把问题转化为下列问题: 已知
sin α + sin β = 2

① ②

cos α + cos β =

2 3 3

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求 cos(α + β ) 、 cos(α ? β ) 的值.
10 2 . , cos(α ? β ) = 3 3 2 1 2 2 ② -① 得 cos 2α + cos 2 β + 2 cos(α + β ) = , cos(α + β ) = ? . 这样问题就 3 5 可以解决. 从上面的解答过程中可以看出,解决此题的关键在于挖掘所求和条件之间的 联系,把不熟悉、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题来解决。这就是等价转化 的思想。

①2+②2 得 2 + 2 cos(α ? β ) =

例 4. 设函数 f(x)=ax 2 -2x+2,对于满足 1<x<4 的一切 x 值都有 f(x)>0, 求实数 a 的取值范围。 分析: 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题, 需要先对开口方向讨论, 再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨 论,最后综合得解。 解:当 a>0 时,f(x)=a(x-

1 2 1 ) +2- a a
1 4

?

? 1 ?1 ?1 < a < 4 ? ≤1 ? 或? ∴ ?a ? f (1)=a ? 2 + 2 ≥ 0 ? f ( 1 )= 2 ? 1 > 0 ? ? a ? a ?1 1 ? ≥4 或 ?a ∴ a≥1 或 <a<1 或φ 2 ? f ( 4)=16a ? 8 + 2 ≥ 0 ?

1

4



a>

1 ; 2
? f (1)=a ? 2 + 2≥ 0 当 a<0 时, ? ,解得φ; ? f ( 4 )=16a ? 8 + 2≥ 0

当 a=0 时,f(x)=-2x+2, f(1)=0,f(4)=-6, ∴不合题意 由上而得,实数 a 的取值范围是 a>

1 。 2

【注】 :本题分两级讨论,先对决定开口方向的二次项系数 a 分 a>0、a<0、a =0 三种情况,再每种情况结合二次函数的图像,在 a>0 时将对称轴与闭区间的 关系分三种,即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答,关键是分析符合条件 的二次函数的图像,也可以看成是“数形结合法”的运用。 (三)一题多解,体现不同数学思想方法
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数学知识有机联系纵横交错,解题思路灵活多变,解题方法途径繁多,体现 出不同的数学思想方法,但最终却能殊途同归。在解题中,即使一次性解题合理 正确,也未必能保证一次性解题就是最佳思路,最优最简捷的解法。不能解完题 就此罢手, 如释重负。 应该进一步反思, 用数学思想指导知识、 方法的灵活运用, 进行一题多解的练习,培养思维的发散性,灵活性,敏捷性;对习题灵活变通, 引伸推广,培养思维的深刻性,抽象性,开拓思路,梳理各种解法的思路并以提 炼,对各种解法相互比较,体会各种解法的特点及优劣,加深对题目本质的深刻 理解,在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结,使自己的解题能力更胜 一筹。? 例 5.求实数 a 的范围,使当 x∈[0,1]时,不等式 x2-ax+a+1>0 恒成立。 解法一: (函数思想)当 x=1 时,不等式对任意实数 a 都成立,此时 a∈R,当 x x2+1 x2+1 ≠1 时,转化为 a> (0≤x≤1)恒成立,只需求函数 y= 的最大值 ymax,使 x-1 x-1 a>ymax 即可,所求 a 的范围为(-1,+∞) 解法二: (分类讨论思想)令 f(x)= x2-ax+a+1,(0≤x≤1),则抛物线 f(x)的对 称轴为 x= a a a a ,然后分 <0, 0≤ ≤1, >1 三种情况讨论,分别求出 f(x)的最 2 2 2 2

小值,使之大于 0,即可求出 a 的范围。 解法三: (等价转化思想)设原不等式解集为 A,则问题化为:当 a 取何值时, [0,1] ? A ? 当△=a2-4a-4<0,即 a∈(2-2 2 ,2+2 2 )时,有 A=R.故[0,1] ? A,当△ =a2-4a-4>0, a即 a∈(2-2 2 ,2+2 2 )时,x∈(-∞, ∞), 要使[0,1] ? A,必须有 aa2-4a-4 a+ >1 或 2 a2-4a-4 <0, 2 a2-4a-4 a+ )∪ ( 2 a2-4a-4 ,+ 2

解得 a≥2+2 2 或-1<a≤2-2 2 ),综上有:a∈(-1,+ ∞) 解法四:数形结合思想) ( 在同一坐标系中作出函数 y1=x2 和 y2=a(x-1)-1 的图像, 由图像可知 y2=a(x-1)-1 恒过定点(1,-1),要使 y1>y2 在 x∈[0,1]时恒成 立,直线 y2 斜率 a 应大于-1,所以 a∈(-1,+ ∞). 【注】 :对于不等式恒成立,引入新的参数化简了不等式后,构造二次函数利 用函数的图像和单调性进行解决问题,其中也联系到了方程无解,体现了方程思
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想和函数思想。一般地,我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二 次方程三者之间的紧密联系,将问题进行相互转化。 例 6. 已知 x、y≥0 且 x+y=1,求 x2+y2 的取值范围。 解法一:(函数思想)由 x+y=1 得 y=1-x,则
2 2 2 2 2 x +y = x +(1-x) =2x -2x+1=2(x-

1 1 )2+ 2 2

由于 x∈[0,1],根据二次函数的图象与性质知 1 1 当 x= 时,x2+y2 取最小值 ;当 x=0 或 1 时,x2+y2 取最大值 1。 2 2 解法二:(三角换元思想)由于 x+y=1,x、y≥0,则可设 π 2 2 其中θ∈[0, ] x=cos θ,y=sin θ 2 则 x2+y2 = cos4θ+sin4θ=(cos2θ+sin2θ)2-2 cos2θsin2θ 1 1 =1- (2sinθcosθ)2=1- sin22θ 2 2 1 1-cos4θ 3 1 =1- × = + cos4θ 2 2 4 4 1 2 2 2 2 于是,当 cos4θ=-1 时,x +y 取最小值 ;当 cos4θ=1 时,x +y 2 取最小值 1。 解法三:(对称换元思想)由于 x+y=1,x、y≥0,则可设 1 1 1 1 x= +t, y= -t,其中 t∈[- , ] 2 2 2 2 1 1 1 1 于是,x2+y2= ( +t)2+( -t)2= +2t2 t2∈[0, ] 2 2 2 4 1 2 2 2 2 1 2 2 所以,当 t =0 时,x +y 取最小值 ;当 t = 时,x +y 取最大值 1。 2 4 解法四:(运用基本不等式)由于 x、y≥0 且 x+y=1 1 (x+y)2 1 = ,从而 0≤xy≤ 于是,x2+y2=(x+y)2- 则 xy≤ 4 4 4 2xy=1-2xy 1 1 所以, xy=0 时, 2+y2 取最大值 1; xy= 时, 2+y2 取最小值 。 当 x 当 x 4 2 解法五:(解析几何思想)设 d= x2+y2 ,则 d 为动点 C(x,y)到原点(0,0) ?x + y = 1 ? 上的点到原点的最大和最小距离就 的距离,于是只需求线段 ? x ≥ 0 y ?y ≥ 0 ? 1? B C 可。 A 当点 C 与 A 或 B 重合时,dmax=1,则(x2+y2)max=1 O? 1 x 2 1 当 OC⊥AB 时 dmin= ,则(x2+y2)min= 2 2
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解法六:(数形结合思想)设 x2+y2=r2(r>0),此二元方程表示以坐标原点为 圆心、半径为 r 的动圆,记为⊙F。 ?x + y = 1 ? 有公共点,求 r 的变化范围。 于是,问题转化为⊙F 与线段 ? x ≥ 0 ?y ≥ 0 ? 当⊙F 经过线段 AB 端点时 rmax=1;当⊙F 与线段 AB 相切时 rmin= 则 1 ≤x2+y2≤1 2 2 2

y

1B A 1 x

O

【注】本题运用多种方法进行解答,实现了多种角度的转化,联系了多个知

识点,有助于提高发散思维能力。各种方法的运用,分别将代数问题转化为了其 它问题,属于问题转换题型。 (四)多题一解,提高数学思想方法的运用? 丰富合理的联想,是对知识的深刻理解,对同一数学问题的多角度的审视引 发的不同联想,是一题多解的思维本源。当一道数学题解完以后,如果进一步深 入分析题目的条件和内涵,探求什么性质不变,? 掌握其本质我们就可以将已知的 具体题目进行推广。善于进行推广所获得的就不是一道题的解法,而是一组题、 一类题的解法。在这种训练过程中,强化加深了数学思想方法的运用掌握。 ?
2 2 例 7.已知 x、y≥0 且 x+y=1,求 x +y 的取值范围。(上面例 6)

解答本题的几种常见方法在上面介绍完毕, 我们还可以对本题进行如下的变式和 推广。 变式 1:已知 a、b 为非负数,M=a4+b4,a+b=1,求 M 的最值。 变式 2:已知 x、y≥0 且 x+y=1,能求 x8+y8 的取值范围吗?x6+y6 呢?x7+y7 的范围能求吗? 变式 3:若 x、y≥0 且 x+y=1,能求得 1 2n-1 ≤xn+yn≤1 的结论吗?

这样一个由特殊性逐步一般化的思维过程,加强了学生思维能力的培养, 通过这样一系列的一题多解和一题多变,培养了学生的综合分析能力、提高了学 生数学思维能力,渗透了一些数学方法,体现了一些数学思想,也提供了一个推 向一般性的结论。 例 8.(1)设点 A,B 的坐标分别为(-5,0)(5,0) , 。直线 AM,BM 相交于 4 点 M,且它们的斜率之积是 ? ,求点 M 的轨迹方程。 9 (2)设点 A,B 的坐标分别为(-5,0)(5,0) , 。直线 AM,BM 相交于点 M, 4 且它们的斜率之积是 ,求点 M 的轨迹方程。 9
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学生很容易求出轨迹方程,若点评到此为止,则失去了两题的典型性和示范 性,其实可将本例加以改造,展示试题通性、通法,从而培养学生的反思能力。 变式 1:动点 M 到两点 A(a,0)和 B(-a,0)连线的斜率的乘积为定值 k(k ≠ 0), 求 动点 M 的轨迹? 解: 设动点 M 的坐标为(x,y), K AM = 则 y2 y y , K BM = 所以 k = 2 x ? a2 x?a x+a 即

x2 y2 + = 1 ( x ≠ ± a ) 有: a 2 ? ka 2
①当 k<-1 时, 点 M 的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆,且以 AB 为其短轴(A,B 两 点除外,下同不予重复) ②当 k=-1 时, 点 M 的轨迹为以 AB 为直径的圆 ③当-1<k<0 时 ,点 M 的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆,且以 A,B 为其长轴 ④当 k>0 时 , 点 M 的轨迹为焦点在 X 轴上的双曲线,且以 AB 为其实轴 变式 2:动点 M 到两点 A(0,a)和 B(0,-a), (a>0)的连线斜率的乘积为定值 k(k ≠ 0), 求点 M 的轨迹? 变式 3: 动点 M 到两点 A(m,t)和 B(n,t)的连线斜率的乘积为定值 k(k ≠ 0), 求点 M 的轨迹? 在数学教学中,若将经典例题充分挖掘,注重对例题进行变式教学,不但可以 抓好基础知识点,还可以激发学生的探求欲望,提高创新能力;通过这样的探究, 让学生弄清楚数学问题的异同,看清数学问题本质,学会解决一类题,而不是只 会一道题,避免题海战术。同时也能让教师对例题的研究更加深入,对教学目标 和要求的把握更加准确,让学生的数学思维能力得到进一步提高,并逐渐体会到 数学学习的乐趣。? ?

六.小结?
总之,数学思想方法是数学学习和研究的“核心”和“灵魂” ,它并不是完 全抽象的东西,而是以数学知识为载体的实实在在的内容,同时又是万千实例 的提炼和总结,具有本质性、概括性和指导性。因此,教学时应坚持不懈,不 间断地进行思想方法的挖掘与教学;在不同知识间找出共性的东西,总结出通 性,通法,通则,规律;引导学生分析,探索能否将已有思想方法与数学的具 体方法两者创造性,多角度,多层次的结合,构建一个新的方法,处理新问题, 这样既能巩固数学思想方法,使整个教材成为一个有机的整体,又能帮助学生 完善知识结构和能力结构,提高思维水平和创新意识,领悟其价值、滋生应用 的意识,从而掌握数学思想方法这个锐利的武器而受益终生? 。? ?
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? 参考文献: 1. 罗增儒 《中学数学解题的理论与实践》,《数学解题学引论》 2. 蒋本海 数学思想方法教学思路探讨 《数学教学通讯》2004.5 3. 杨 旭 解题后反思,让学生思维继续飞翔 中国教育发展研究杂志, 2010,7(2)

以“问题链”为载体,构建高效数学课堂
揭阳市榕城区仙桥中学 黄炳锋 普通高中《数学课程标准》 (实验)指出: “在高中数学教学中,教师应鼓励 学生积极参与教学活动,包括思维的参与和行为的参与。课堂上,既要有教师的 讲授和指导,也要有学生的自主探索与合作交流。教师要创设适当的问题情境, 鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识形成的过程。 ”可 实际教学中, 经常发生创设的问题太易或太难的情况, 如何创设适当的问题情境, 使课堂提问更加有的放矢,帮助学生积极思考, “问题链”成为课堂教学中的首 选。通过教师围绕教材内容创设问题情景,以“问题链”为中心组织学习内容, 将“问题链”贯穿于课堂教学,通过问题启动新知,把问题的解决与新知识的学 习、学生能力的培养紧密结合起来,可以提高数学课堂教学的有效性。 所谓“问题链”,是教师为了实现一定的教学目标,根据学生已有知识或经 验,针对学生学习过程中将要产生或可能产生的困惑,将教材知识转换成为层次 鲜明、具有系统性的一连串的教学问题;是一组有中心、有序列、相对独立而又 相互关联的问题。从形式上看,“问题链”是一问接一问,一环套一环;从内容 上看,它是问问相连,环环紧扣;从目标上看,它是步步深入,由此及彼。它的 每一问都使学生的思维产生一次飞跃,它像一条锁链,把疑问和教学目标紧紧地 连在一起。 “问题链”不是教师提几个问题加上学生的回答,而是师生双方围绕 环环相扣的问题的情境,进行多元的、多角度的、多层次的探索和发现。在教学 中,“问题链” 被看作是师生交互作用,设疑、释疑的动态发展过程,是教师 引导学生自己进行知识的回忆与建构,并与学生共同完成对知识的探索过程,达 到发展学生的独立思考的能力与创造性思维的目的。显然, “问题链”教学模式 的应用可有效地避免课堂提问的盲目性和随意性,使问题形成有机完整的系统, 发挥整体功能,增强教学效果。那么如何利用这些“问题链”进行有效的课堂教 学呢?
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一、巧设“问题链”,合理引入,激发学生求知欲
“良好的开端等于成功的一半。”? 我们知道,一堂生动活泼的、具有教学 艺术魅力的好课犹如一支宛转悠扬的乐曲,“起调”扣人心弦,“主旋律”引人 入胜,“终曲”余音绕梁。其中“起调”,也就是课堂教学中的引入问题,起着 关键性的作用。如果教师能把课前引入设计成一个具有主题线索的生活情景的 “问题链”或创设成矛盾式问题情景的“问题链”,并同时运用多种教学手段, 充分调动与激发具有多元智能学生的求知欲望,挖掘其智慧潜能,不但能营造轻 松的教学气氛, 还能使有着个体差异的学生产生浓厚的学习兴趣和积极的情感体 验,积极主动地学习,在趣味中获知,在求知中得趣,得到全面和谐发展。 如在讲“等差数列”这节课时,让学生到多功能教室上课,教师有准备地先 组织好每一排应坐的学生人数。然后让学生观察回答: 问题(1):相邻两排的人数有什么特点? 问题(2):夹在中间一排的人数与它相邻两排人数有什么特点? 问题(3):排与排之间的人数有什么特点? 问题(4):某一排的人数与第一排的人数有什么特点? 学生在回答问题的同时,也就不知不觉地被“引入”到新课当中。这样引入 不但激活了学生原有的认知结构, 引起学生的思考, 大大提高了学生学习的热情, 激发了学生的求知欲望,而且能营造轻松的教学气氛,使学生在宽松愉悦的环境 里进行生动活泼的探索,进而掌握了等差数列的首项、末项、公差、通项公式、 等差中项等概念。 又如在学习“轨迹方程”时,我们可以这样设置引入问题:架立在光滑地板 上的长为 6 米的梯子抵墙下滑,一只猫坐在梯子的正中间不动,试求在梯子下滑 的过程中猫的运动轨迹。根据这个问题情境,让学生先回答下列问题: 问题(1):这个情境中包含的数学问题是什么? (包含的数学问题是:已知长为 6 米的线段 AB 的两端点 A,B 分别在互相垂 直的两条直线上滑动,求线段 AB 中点 M 的轨迹。) 问题(2):这个问题中,哪些量不变? 问题(3):你用什么方法来解答这个问题呢?

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这样引入,学生立即跃跃欲试,情绪高涨,各提观点,相互讨论,激起了他 们探索知识的兴趣与热情。

二、巧用“问题链”,构设“阶梯”,引导学生自主学习
使用“问题链”进行教学实质上是引导学生带着问题(任务)进行积极的自主 学习,由表及里,由浅人深地自我建构知识的过程。因此,“问题链”的设计应 体现梯度性和过度性,备课时要在精细化上下功夫,要根据教学目标,把教学内 容编设成一组组、 一个个彼此关联的问题, 使前一个问题作为后一个问题的前提, 后一个问题是前一个问题的继续或结论,这样每一个问题都会成为学生思维的 “阶梯”,使学生在“问题链”的引导下,通过自身积极主动的探索,实现了由 未知向已知的转变。在自主学习中,? 由于学生学习生活各方面背景、知识水平、 心理状态和思维能力的差异,? 他们对问题的理解常常有很大的不同。教师可以根 据学生的回答,? 识别他们的想法,? 洞察这些想法的由来,? 同时通过恰当的引导,? 引发学生互相交流和质疑彼此的观点,? 引导学生丰富或调整自己对问题的理解,? 使各自的想法、思路明晰化,帮助不同层次的学生达成最终的学习目标,增强学 生的自我效能感。 例如在解决“已知不等式的解集,求参数 a 的取值范围。”这类问题时,我 们可以设计如下一组“问题链”: 问题(1):若不等式 (a 2 ? 4) x 2 + 2(a ? 2) x + 4 >0 的解集为 R,求实数 a 的取 值范围。 问题(2):函数 y = 值范围。 问题(3):函数 y = lg[(a 2 ? 4) x 2 + 2(a ? 2) x + 4] 的定义域为 R,求实数 a 的 取值范围。 问题(4):函数 y = lg[(a 2 ? 4) x 2 + 2(a ? 2) x + 4] 的值域为 R,求实数 a 的取 值范围。 问题(5):函数 y = lg[(a 2 ? 4) x 2 + 2(a ? 2) x + 4] 有最小值,求实数 a 的取值 范围。
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1 的定义域为 R,求实数 a 的取 ( a ? 4) x + 2( a ? 2 ) x + 4
2 2

这些问题的解决,不但督促学生自主复习函数和不等式的有关内容,要求学 生利用不等式解决函数中的概念、性质等一系列问题,而且借助于函数的性质来 研究含参数的不等式问题;通过这些问题“阶梯”,使课堂教学形成有层次结构 的开放,学生在对问题探究中逐渐产生“有阶可上,步步攀登”的愉悦感,能兴 趣盎然地参与知识探究的过程,使学生的自主学习能力得到了锻炼和提高。

三、精设“问题链”,突破学生“学习重难点”
“师者,传道授业解惑也”。实际数学教学过程中,有些难点知识,比较抽 象,学生的知识准备少,迁移能力欠缺,没有感性认识,如何突破这些“难点” 是教师在备课活动中的一项重要内容,这就要求教师应立足教材,根据学生现有 的认知水平,想学生所想,把问题的难点疑点精细化成“问题链”,利用它搭建 “适切”的“脚手架”,引导学生从情境信息出发层层深人,步步逼近,在教师 的循循善诱中不知不觉地顺利渡过“难关”,? 比较好地突破数学教学中的难点, 清除学生学习路上的障碍,从而大大提高学生的学习效率。 如“点到直线的距离”一节内容是该章的一个重点,也是难点之一。 教材开门见山地提出:“已知点 P(x。,y。)和直线 L: Ax + By + C = 0 , 怎样求点 P 到直线 L 的距离。”的问题,然后进行分析和求证,最后归纳得 到公式。虽然所要传授的知识与方法直截了当,一目了然,但是这样的编排 不能突出学生的主体地位,教师一手包办,代替学生的探索活动,教师讲得 “天花乱坠”,可学生还是似懂非懂,不明就里。其实,我们可以通过如下 处理,将教材内容重组成可供探讨、研究的“问题链”: 问题(1):已知直线 L1∥L2,且 L1 : y = kx + b1 , L2 : y = kx + b2 ,求 直线 L1、L2 的距离 d 。 (利用图形:
Y? R? α?d? N? α? O? Q? L1? L2? X? N? L2? d? L1? Y? R? θ? α? O? Q? (a)? (b)?
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X?

求得:d = RQ ? cos α =

b1 ? b2



1+ k 2

d = RQ ? cosθ = RQ ? cos(π ? α ) =

b1 ? b2 1+ k 2



)

问题(2):如何将两平行线之间的距离公式转化为点到直线的距离公 式。 (根据平行线之间的距离处处相等,在 L1 上任取一点 P(x0,yo), 由 y 0 = kx0 + b1 ,得 b1 = y 0 ? kx0 ,代入公式得:d =

y 0 ? kx0 ? b2 1+ k 2





问题(3):已知点 P(x0,yo),直线 y = kx + b ,求点 P 到直线 L 的 距离。 ( d =

y 0 ? kx0 ? b 1+ k 2



将 b2 改为 b 即可 。



问题(4):已知点 P(x0,yo),直线 L: Ax + By + C = 0 ,求点 P 到直线 L 的距离。 (令 k = ?

Ax0 + By 0 + C A C ,最后补 , b = ? , 代入公式整理即得:d = B B 1+ k 2


充说明以上结论,当 B = 0 时公式同样成立。

学生在这一具有一定梯度和逻辑结构的“问题链”的引领下,学习的目标得 以具体化、 知识的构建也有了层次, 在理解知识内在联系的基础上又获得了新知, 通过这些问题的解决,层层深人,步步逼近,从而掌握了点到直线的距离公式的 由来。?

四、妙设“问题链”,培养学生的创新思维
亚里士多德曾讲:“创新思维就是从疑问和惊奇开始的。”在“问题链”模 式教学中,作为教师关键是要敢于创新和大胆实践,以开放化的思维来设计课堂 问题,驱动学生去进行主动思考,主动探究,这不仅可以激发学生的问题意识, 还拓展学生思维的深度和广度,培养学生的创新思维。这就要求我们教师在课堂 教学过程中,根据具体情况设置问题障碍,不断增设创新性因素,以培养学生的

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创新能力;当一个问题解决以后,把握时机,及时转向,由此延伸出其他相关问 题,使学生不断从探究问题的进程中培养创新能力。 如在学习“椭圆的定义”,学生学习定义后,可以设计问题“如果动点到两 定点距离之和等于两定点距离, 轨迹是什么呢?如果到两定点距离之和小于两定 点距离,有无轨迹呢?如果有,又是什么呢?”不但需要学生回忆有关的知识并 对其进行综合分析,还要加上自己的判断及想法,不知不觉中,完成了创新思维 的过程。又如在讲解: 点 P 在椭圆 x2 + y 2 = 1 上运动,直线 l : x + 2 y ? 2 = 0 交椭圆与点 A、B,当点 4

P 在 l 何处时,P 到直线 l 的距离 d 最大?我们可以设计“问题链”: 问题(1):若设 P ( x0 , y 0 ) ,列方程组,能不能求解呢? 问题(2):由椭圆的参数方程,设 P ( 2 cos α , sin α ) ,能不能求解呢? 在学生求出点 P (? 2 ,?
2 ) 后,为了把本题进一步延伸,可以再提问题: 2

问题(3):点 P 在椭圆 上运动,求|PQ|的最大值。

x2 3 1 + y 2 = 1 上运动,Q 点在圆: x 2 + ( y ? ) 2 = 4 2 4

这一问题设计,贯穿着学生自主思考、探索、创新这根主线,旨在于更高层 培养学生的自主意识和创新能力,进一步强化了问题意识,突出了学生的主体地 位,学生的创新意识、创新精神和创新能力的培养也落到实处。 总之, “问题链”在提高高中数学教学效率中的作用越来越突出,只要我们 加强研究,以“问题链”来梳理教学的脉络,在课堂教学的每一个环节进行“问题 链”的设计和合理利用,构建高效的数学课堂,就一定会拓展教师和学生发展的 空间,使我们的课堂永远充满活力,提高我们课堂的效率。

参考文献:

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1.陈宗遂 王祝好:《试论数学教学中“问题”设计的优化》 中学数学教学参考 学中学教学参考杂志社 2004 年 7 月;

陕西师范大

2.陈佑庄:《从问题入手,让课堂焕发创造的活力》 中学数学教学参考 教学参考杂志社 2008 年 12 月; 3.陈柏良:《相信每个学生都有探究潜能》 中学数学教学参考 杂志社 2003 年 2 月。

陕西师范大学中学

陕西师范大学中学教学参考

遵循思维的发展规律、构建“高效思维活动”的数学课堂?
惠来县慈云实验中学? ? ? ? ? ? 黄荣城?
?

人的智慧是以思维力为核心的智力整体结构,而数学是思维的科学,因而数 学又被称为“内心科学”《新课标》明确指出:要发挥数学在培养人的(理性) 。 思维能力和创新能力方面的不可替代的作用? ”“数学教学中,发展思维能力是 , 培养能力的核心” 。对学习活动来说,思维是学生掌握知识的主要的心理过程, 只有高效思维的活动,才能获得高效的学习效果。因此,构建“高效思维活动” 的数学课堂既是学生掌握知识的前提,又是发展学生的思维能力的重要途径。而 学生思维能力的发展有其内在的生理机制和心理过程,规律性强,经历了感知动 作思维、具体形象思维、抽象逻辑思维的发展,且高级形式的思维需要以低级形 式的思维为基础;同时,思维能力的发展易受外部刺激及外部环境的影响,因而 具有很大的可塑性,特别是中小学生,随着生理机能和心理机能的发展,思维能 力的可塑性大,是培养思维能力的最好时期。可见,构建“高效思维活动”的数 学课堂是学校培养和发展学生思维能力的要求。? “高效思维活动”是使学生认知中思维能流畅、活跃、激发“顿悟” ,并培 养数学思维品质和数学思想意识的思维活动过程。 高效思维活动” “ 的数学课堂, 首先必须确保课堂教学中学生的思维活动是流畅的, 其次是通过教学设计和教师 的教学艺术,促进数学课堂中学生的思维活动是活跃的,再次是对“跳一跳勾得 到”的内容或难点,采取有效方法,激发学生的思维突然“顿悟” ,从而在学生 的“最近发展区”中最大限度的发展思维能力,以达到最好的学习效果。? 1.数学课堂教学中的几个思维规律? 构建“高效思维活动”的数学课堂,必须遵循思维的发展规律。? 1.1.学生思维发展的生理机能的规律?
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随着大脑机能的发展,人的思维能力及心理机能也不断发展,从解决问题的 思维形式看,其发展过程为下面几个阶段:? ? ? 感知动作思维:以实际操作来解决直观的、具体的问题。? ? ? 具体形象思维:以表象进行的思维。? ? ? 抽象逻辑思维:运用概念进行判断、推理的思维过程。有三个发展阶段: ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6‐12 岁:形象抽象思维(具体形象思维向抽象思维过渡)? ? ? ? ? ? ? ? 11‐15 岁:经验型思维(以经验为主的抽象逻辑思维)? ? ? ? ? ? ? ? 14‐18 岁:理论型思维(以理论为主的高级抽象逻辑思维)? 其中高级抽象逻辑思维是人类智慧的核心,其培养和发展有二个关键期:一 是初二年级是从经验型思维开始向理论型思维转化的过渡期; 二是高一至高二阶 段是理论型、辩证型抽象思维发展的成长期。? 1.2.知识认知过程的心理活动规律? 认知心理学的核心是揭示认知过程的内部心理机制, 即知识如何获得、 贮存、 加工和使用的。? 1.2.1.建构主义? 建构主义理论一个重要概念是图式, 图式是指个体对世界的知觉理解和思考 的方式。也可以把它看作是心理活动的框架或组织结构。图式是认知结构的起点 和核心,或者说是人类认识事物的基础。因此,图式的形成和变化是认知发展的 实质。? 另一个重要概念是“最近发展区” 。维果斯基区分了个体发展的两种水平: 现实的发展水平和潜在的发展水平, 现实的发展水平即个体独立活动所能达到的 水平, 而潜在的发展水平则是指个体在成人或比他成熟的个体的帮助下所能达到 的活动水平,这两种水平之间的区域即“最近发展区”。? 认知发展的基本过程:? 同化——将新的经验和信息纳入到已有认知结构(接受新信息即图式扩充) ? 顺应——是指学习者调节自己的内部结构以适应特定刺激情境的过程。 当学 习者遇到不能用原有图式来同化新的刺激时,便要对原有图式加以修改或重建, 以适应环境。 (建构即图式改变)? 平衡——是指学习者个体通过自我调节机制使认知发展从一个平衡状态向

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另一个平衡状态过渡的过程。? 认知就是在“同化-顺应-平衡-不平衡-新的同化-顺应-平衡”的循环 中得到不断的丰富、提高和发展。? 1.2.2.加涅的信息加工模型? 加涅吸收行为主义认知学说和建构主义认知学说的优点, 提出信息加工理论。 其基本观点是:? (1).累积学习理论:学习过程是信息的接受和使用的过程,学习是主体和 环境相互作用的结果,个体的先前的学习导致个体的智慧日益发展。? 因此,在教学上要给学生最充分的指导,使学生能够沿着仔细规定的学习程 序,一步一步地、循序渐进地进行学习。因此,加湿的认知学习观又可称为认知 指导学习理论。? (2).学习的基本过程为:? 1 动机——2 了解——3 获得——4 保持——5 回忆——6 概括——7 作业— —8 反馈? (3).加工容量有限:加工系统的智源有限,不能加工所有的信息,只能有 目的有选择地加工一定的信息, 其他被忽略的信息则因未得到足够的加工而意义 不明确。? 1.2.3.格式塔完形学习理论? 格式塔即“完形” :人们有一种倾向,尽可能把被知觉到的东西呈一种最好 的形式——完形。 如果一个人的知觉场被打乱了, 他马上会重新形成一个知觉场, 以便对被知觉的东西仍然有一种完好的形式。学习的过程不是试尝错误的过程, 而是顿悟的过程,即结合当前整个情境对问题的突然解决。顿悟就是突然觉察到 特定情境中的关键因素,理解了这些因素之间的联系,从而构成正确的、与情境 相一致的完形。? 1.3.数学思维的发展规律? 数学思维是人脑和数学对象(空间形式、数量关系、结构关系等)交互作用 并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。特点:概括性、问题性? 1.3.1.数学思维的类型? 按照思维活动组织思维内容的形式,数学思维分为:?

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知觉思维、 具体形象思维、 抽象逻辑思维 (包括形象抽象思维、 经验型思维、 理论型思维)? 具体形象思维的发展需要知觉思维的支持、 抽象逻辑思维的发展需要具体形 象思维的支持,理论型思维需要形象抽象思维和经验型思维的支持。? 按照思维品质之独创性,分为:再现性思维(常规思维)和创造性思维。? 1.3.2.数学思维的心智操作方法? ? ? ? ? 1)观察与实验? ? 2)比较、分类? ? ? ? 3)归纳推理? ? ? ? ? 4)分析与综合? ? 5)抽象与概括? ? ? ? 6)联想与猜想? 1.3.3.数学思维的品质:? 数学思维的品质是衡量主体思维发展水平的重要标志。? 包括:敏捷性、灵活性、深刻性、批判性和创造性,? 1.3.4.数学学习的思维过程? 数学学习依赖学生数学认知结构(数学思维)的发展水平,如果提出的学习 要求超越了学生的思维发展阶段,学习就很难进行,学习效果就无法保证。? 数学学习的思维过程,就是从丰富的感性材料和实践经验中,通过对它们的 归纳、抽象和概括发展数学思维,再在数学知识的应用中进一步概括,进而导致 数学思维产生质变。? 概括是思维的基础。数学的概括是一个从具体向抽象、初级向高级发展的过 程,概括是有层次的、逐步深入的。随着概括水平的提高,学生的思维从具体形 象思维向抽象逻辑思维发展。? 1.4.教材中的思维规律? 总体上, 现行中小学数学教材对教学内容的安排都安照思维水平的螺旋式上 升规律来编写:初中阶段以具体形象思维、形象抽象思维、经验型思维的内容为 主,高中阶段以经验型思维、理论型思维的内容为主。? 在每一个教学单元,都体现着多种形式的思维规律:? (1) .从直观、具体→观察→比较、分类→抽象与概括? (2) .从观察与实验→归纳、类比→联想与猜想。? 2.当前高中数学课堂教学中存在的主要问题? 高中教材内涵丰富,教学要求高,进度快,知识信息含义广泛,题目难度加

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深,课堂上对学生的思维水平要求高,使得课堂教学中普遍存在着课堂上思维不 通畅、不活跃、效果不理想等问题。? 2.1.不了解学生思维发展水平,造成教学过程思维不通畅? 当前多数普通高中学生的抽象逻辑思维能力低, 课堂学习上跟不上高中教材 对抽象逻辑思维的高要求,从而造成课堂学习上思维能力的障碍。? 初中教材中培养和发展抽象逻辑思维的内容不多,如函数和平面几何等,但 由于中考分值少,教学中并没有受到重视。初中数学的教学内容主要以形象思维 的形式编写, 而多数初中教师在教学中多以反复讲解、 多次演练、 各个击破为主, 并让学生通过机械模仿式的重复练习以达到熟能生巧的程度, 这种教学方式严重 束缚了学生思维的发展,影响了学生发现意识的形成,抽象逻辑思维、创新思维 受到了扼制。? 而高中教材的内容抽象、概念较多、符号语言、图形语言较多等。从高一数 学《数学 1》开始,概念抽象,定理严谨,逻辑性强,教材叙述比较严谨、规范, 抽象思维和空间想象明显提高,知识难度加大,且习题类型多,解题技巧灵活多 变,计算繁冗复杂等。例如:高一《数学 1》第一章就有基本概念 39 个,数学 符号 28 个;一开学就形成了概念密集的学习阶段。因此,高一学生明显感到高 中数学难学,如果教师不了解学生思维发展水平,不采取有效方法,就会造成课 堂学习上学生的思维跟不上教材的要求,造成教学过程中思维不通畅。? 2.2.快节奏、大容量,造成教学过程思维不通畅? 高中数学教学内容多,联系的知识广,如高一要学习的教材有《数学 1》到 《数学 4》共四个模块的内容,而学习的课时少,使得许多老师总处于赶进度的 状态,课堂上快节奏、大容量。教学中不敢放手让学生自主学习、自主探究,甚 至重结论轻过程,没有让学生经历知识的自主建构,知识没有同化、难以完成顺 化和平衡,损害数学思维过程的完整性,许多学生时不时地跟不上,造成教学过 程中思维不通畅、甚至思维阻塞。? 2.3.? 没有突显数学思维的特征,造成教学过程思维不活跃? 主要表现:不重视基本概念、核心数学思想的教学,往往轻易带过;不重视 让学生猜想、发现等活动,学生的思维上没有经历成就的体验;采取“题型+变 式”的教学,使学生机械重复、模仿记忆,缺少独立思考、独立分析、独立找到

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解题途径和方法的机会,数学思维发展迟缓等;这些教学方式没有突显数学思维 的特征,造成教学过程思维不活跃。? 2.4.? 没有注意促成思维的“顿悟” ,造成教学过程思维不高效? 对教学中的难点、解决问题中的难点,许多教师总是重复地解释,不敢让学 生钻研、 讨论, 没有注意采取方法, 通过点拔关键因素来促成学生思维的 “顿悟” , 造成教学过程思维不高效。? 2.5.? 没有发掘教材的思维,造成教学过程思维不高效? 许多教师对教材的钻研和使用,只停留在教材的内容上,没有发掘教材的思 维,就是没有领会教材的编写意图,自然就很难达到编者的教学要求,其教学效 果很难说是高效的。? 3.构建“高效思维活动”的数学课堂要注意的几个问题? 构建“高效思维活动”的数学课堂,就必须在“最近发展区”内采取措施, 使学生在认知中思维能流畅、活跃、激发“顿悟” ,并提升数学思维品质和数学 思想意识。? 3.1.设计好引入环节,是课堂教学中思维流畅和活跃的前提? 3.1.1.引入环节要为学生提供“同化”的环境,使图式扩充顺利进行? 认知活动要顺利进行,首先是将新的经验和信息纳入到已有认知结构中,接 受新信息即图式扩充,也就是“同化” 。因此,教学中必须利用旧知引入新知, 在旧知基础上设置问题情境,创建一个图式扩充的“最近发展区” ,在“最近发 展区”中学生通过自已建构知识,顺利进行“同化” 。如果引入设置不当,学生 对新知一片茫然,就会出现思维空白,出现认知的思维瓶颈障碍。? 3.1.2.? 好的问题情境,是思维活跃的课堂的重要前提? 在引入环节中, 在旧知基础上设置有趣或实用的问题情境, 激发学生的兴趣、 好奇心、求知欲、探索欲,才能激发学生学习数学的兴趣,激发学生的思维,使 课堂中学生的思维一开始就处于活跃状态,为思维活跃的课堂打好基础。? 举例一: 《选修 2‐1》 “椭圆及其标准方程”第一课时的教学,是圆锥曲线的 一大难点。在引入环节可设置问题情境:? 问题 1:我国的神州系列载人飞船围绕地球飞行,你知道飞船的运行轨道是 什么吗?(多媒体展示神州飞船运行轨道图片)?

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问题 2:圆是怎么画出来的?神州飞船运行轨道的曲线也能画出来的吗?? 探究: (各学习小组合作,进行教材中探究,要求调整二个端点距离,至少 画出三个曲线,注明各曲线形状与二个端点距离大小的关系)? 3.2.适当的难度和学习容量,是课堂教学中思维流畅的保证? 教学过程中要注意控制教学内容的的难度,在课堂教学的前半学段,如果有 必要增加教材外的内容或习题, 不能选用难度较大的, 才能起到既促成了 “同化” 和“顺应”的完成,课堂教学中思维保持流畅,又使得在“最近发展区”中建构 知识的图式扩大。如果盲目选用难度较大的内容或习题,造成思维能力性障碍, 新信息无法“同化”“顺应”也不能进行,更影响了后半学段的学习。? , 同样,要注意控制整个教学过程的速度和教学内容的容量。根据短时记忆容 量有限的规则,教学过程的速度过快和教学内容的过多,都会造成思维混乱,造 成思维容量的障碍。? 3.3.恰当处理“思维难点” ,是构建“高效思维活动”课堂的关键? 教学过程各个环节, 都有学生的 “思维难点” 只有处理好这些 , “思维难点” , 思维活动才不致停止,才能完成“同化” —— “顺应” —— “平衡” 的建构过程, 并体验攻克“思维难点”的成就感,促进“高效思维活动”课堂的进行。? 3.3.1.? 运用低层次思维发展高级层次思维? 高中生是培养和发展抽象逻辑思维、抽象辩证思维的重要时期,高中教材内 容对此作为大量安排。但在教学中,要根据自已学生的原有认知水平和原有思维 能力的实际,恰当处理。? 根据思维由低层次思维发展到高级层次思维的规律,对抽象的数学概念,必 须为学生提供充分的直观、形象的材料,引导学生进行观察、比较归纳、再进行 抽象概括;对定理和性质规律,必须提供充分的具体材料,引导学生进行观察、 分析、猜想、推理论证。通过运用低层次思维发展高级层次思维,才能使学生能 顺利发展抽象逻辑思维和抽象辩证思维,使建构知识的过程中思维畅通发展。? 3.3.2.点拔思维,寻找关键因素,激发“顿悟”? 在应用过程中,通过设置小问题,引导进行分析、综合、推理等逻辑思维活 动。 对其中的 “思维难点” 要通过设置小问题, , 引导学生找到思维的关键因素, 激发思维的“顿悟” 。?

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举例二:在《选修 2‐1》 “椭圆及其标准方程”第一课时的教学中, “思考 1” 中要直接解决教材的思考、建系、推导标准方程,抽象度高、思维难点有列出椭 圆上点 M 的坐标的方程、二个根式化简、b 的引入,许多学生感到太难了,做 不了。可先设置下列问题点拔、转化:? 问题 3:在平面直角坐标系中,动点 M ( x , y ) 到二个定点 F1 ( ?1, 0), F2 (1, 0) 的 距离之和是 4,推导出动点 M 的轨迹方程?推导过程中怎样去掉根式?? 问题 4:画出动点 M 的轨迹的曲线,把轨迹方程的常数项化为 1 时,x、y 相应的常数有何几何意义?? 曲线与 y 轴交点的坐标与 F1 ( ?1, 0), F2 (1, 0) 、 及距离之和是 4 的联系是什么?? ? 通过具体曲线的推导,使学生掌握了方法,并在具体图形中理解 b 与 a、c 的联系。再解决思考 1:? 思考 1:观察椭圆的形状,你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单?? 问题 5:椭圆上任意点 M 的几何条件是什么?这个几何条件怎么用坐标形 式表示?? 问题 6:二个根式的等式如何化简?? 3.4.培养和发展数学思维,为“高效思维活动”课堂的增添亮点? 在学生的“最近发展区”中,要最大限度地发展思维能力,就必须培养数学 思维的品质和培养数学思想意识。? 心理学家认为,培养学生的数学思维品质是发展数学能力的突破口。在数学 定理公式教学中,要求学生掌握公式的各种变形,都有利于培养思维的灵活性; 在解题分析时,要求学生从不同角度分析问题、寻找不同方法。在教学中采取措 施(如编制抢答练习题)加快学生的思维节奏,培养思维的敏捷性和创造性。? 在高中数学教学中, 要重视了“转化、 化归”这一重要的数学思想方法的渗透, 充分利用知识之间的相互联系性,通过分析、归纳、概括,将要解决的新问题转 化为已经解决的问题;要重视了“数形结合”思想方法的运用,将要解决的问题通 过数与形的统一找到解题的方法等。? 举例三:在《选修 2‐1》 “椭圆及其标准方程”第一课时的教学中,推导标准 方程后,可安排抢答练习(用课后练习 1、2 题即可) :?

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1.椭圆

x2 y2 + = 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离是 6,则 | PF2 |= ? ? ? ? ? ? ? ? 100 36

2.写出下列条件的椭圆标准方程:? ⑴a=4,b=1,焦点在 x 轴上:? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵a=4, b = 15 ,焦点在 x 轴上:? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 举例四? : 《选修 2‐1》 在 “椭圆及其标准方程” 的教学中, ? 对教材中 “例 1”? 的教学,?
5 3 问题 7:椭圆经过点 ( , ? ) ,可有几种用法,不同用法如何求椭圆的标准 2 2

方程?? 通过学生的各种做法(如转化为到二个焦点的距离之和为 2a、代入方程、 根据定义后化简二个根式等)后,强调“转化与化归”“数形结合”思想;? 、 3.5.挖掘教材中的“思维” ,适应《新课标》教学要求? 教材中的“思维”是课堂教学要达到的要求,只有充分挖掘出教材中的“思 维” ,课堂教学才能达到编者的要求。? 举例五: 《选修 2‐1》 在 “椭圆及其标准方程” 的教学中, 可发现教材中的 “思 维”主要有:? ⑴总体上,按“探究”→“思考”→“例题”→“练习”四个部分编写,遵 循从感性认识上升到理性认识的规律, 并体现了建构知识过程中的数学活动经验: 数学活动经验? →直观观察、分析→抽象、概括? ⑵引入“探究”环节中,创设问题情景→活动操作→直观观察→抽象、概括 的过程,体现了由感性认识上升到理性认识的思维规律。? ⑶“思考 1”环节中,通过类比圆的方程的建立来选择建立的椭圆方程的方 法,体现了“类比”与转化、化归的数学思维(化归为: | MF1 | + | MF2 |= 2a )? 。 ⑷? “思考 2”? 环节中,通过几何直观引入参数 b,体现了数形结合的数学 思维。同时体现了几何直观与代数形式的对称美、简洁美的高度统一,展示数学 美的情感体验。? ⑸“例题研究”环节中,一是体现了转化与化归、数形结合是解决问题的有 效方法的数学思想;? 此外,教材中通过设问(如例 1) ,引发学生多方向的思维探索活动,培养
25

学生的发散性思维、创造性思维。? 可见,教材中处处体现着认知的思维、数学思维及数学思想意识,教师要成 为有心人,才能使课堂教学能达到编者的要求。?
参考资料:? ①《数学学习心理学》——孔凡哲? (北京大学出版社? 2009 年 03 月)? ②《认知心理学》——乐国安,韩振华(南开大学出版社 2011 年 11 月)? ③《中学数学教学设计》——何小亚,姚静(科学出版社 2008 年 07 月)? ?

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巧用变式教学,实现课堂高效?
揭东第一中学 李秋雄 摘要: 变式教学对于实现课堂高效有举足轻重的作用, 具体分为数学概念的 变式教学和问题解决的变式教学;在课堂上巧用变式教学,可以提高学生灵活运 用知识的能力,展现形成过程、引导探索发现、实现知识建构、培养创新精神、 优化思维品质,从而实现课堂高效。 关键词:变式教学 数学概念的变式 问题解决的变式 课堂高效 一.问题的提出 课堂教学是整个教学体系最核心的一个环节, 如何实现课堂高效是每个教师 最关心的问题。由于受应试教育的深远影响,许多教师采用多讲多练式的课堂教 学模式, 结果学生做题花时多, 方法思考被忽略, 思维受到限制, 课堂效果不佳。 其实“量不在多,典型就行,题不在难,有变则灵。” 如果在课堂上能巧用变 式教学,则可以提高学生灵活运用知识的能力,展现形成过程、引导探索发现、 实现知识建构、培养创新精神、优化思维品质,从而实现课堂高效。 笔者结合多年的高中数学教学实践经验, 把变式教学在课堂实施形式分为数 学概念的变式教学、问题解决的变式教学。 二.变式教学在课堂教学实施形式 (一)数学概念的变式教学 数学由数学概念、思想和方法构建起来,其中数学概念处于基础的地位。正 确理解和运用概念是学好数学的前提,是提高学生数学能力的物质基础,也是当 前素质教育的需要。因此,概念教学是高中数学中至关重要的一环。如何引导学 生进行数学概念的学习,使学生通过概念的掌握和应用,最终理解、掌握概念及 其中所包含的数学思想和数学方法,形成真正的数学能力,变式教学具有不可替 代的作用。 从培养学生思维能力, 创新意识的要求来看, 数学概念的形成过程, 其内涵、 外延的揭示过程,比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中,可以利 用变式引导学生积极参与形成概念的全过程,这就要求教师从实际或已知出发, 创设情境,让学生自己去发现问题,提出问题,通过多样化的变式让学生感知概 念,形成认识,培养学生观察、分析以及概括的能力。数学概念变式教学主要包
26

括概念的引入变式、辨析变式、深化变式和巩固变式。 1.运用概念引入变式,激发学生学习的兴趣 著名的教育心理学家奥苏伯尔说过: “假如让我把全部教育心理学仅仅归纳 为一条原理的话,那么我将一言以蔽之:影响学习的最重要的因素就是学生已经 知道了什么,要探明这一点,并就此进行教学。”此语表明,学生已有的知识经 验基础是教学活动的切入点。为此,在概念形成过程中,教师不应将现成的结论 直接教给学生, 一步到位, 这样容易导致学生概念模糊, 而要运用概念引入变式, 紧密联系学生的实际,从学生的生活经验和已有知识出发,创设有助于学生自主 学习、合作交流的问题情境,并以此来引导学生进行操作、观察、猜想、交流等 一系列数学活动。这样能激发学生的学习兴趣,提高课堂效率。 案例 1:在进行指数函数概念教学时,可以这样进行变式教学: 变式 1:每名同学准备一张白纸,把它对折 3 次后,有多少层?5 次呢?你能 对折 10 次吗? (对折 7 次已经很难了, 让学生产生疑问, 怎么对折 10 次那么难。 ) 变式 2:若一张纸厚 0.1 毫米,那么撕纸 15 次后把所有的纸重叠放置有多 高?有一人高吗?若撕掉 23 次呢?有珠穆朗玛峰高吗?(学生一下被吸引了,议 论纷纷。) 变式 3:你能建立起“纸的张数 y 与撕纸的次数 x”之间的函数关系式吗? 生活中就存在这样一类函数(如 y = 2 x ),从而给出指数函数的概念。 通过这样的活动,让学生体会一张薄薄的纸只需对折不多的次数,其厚度就 可以大幅增长,与学生已有的珠穆朗玛峰高度的认识,让学生心理形成强烈的反 差,形成悬念,激发学生强烈的求知欲,从而引导学生积极探索。 2.运用概念辨析变式,培养学生严谨的思维 运用概念的辨析变式,就是在引入概念后,针对于概念的内涵与外延设计的 辨析型问题,这些问题可以让学生重新审视概念,通过对照、比较、分析,尽可 能由学生自己发现在概念理解中的漏洞,达到明确概念本质,深化对概念理解的 目的,从而培养学生严谨的思维。 案例 2:双曲线定义的变式探讨 双曲线的定义:在平面内与两定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小 于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线. 为使学生对定义中的“绝对值”、“常数”、“小于|F1F2|”这些字眼有比 较深刻的认识和理解,可引导学生做如下变式探讨: 变式 1:将定义中的“绝对值”去掉,其余不变,点的轨迹是什么? 变式 2:将定义中的“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余不变,点的轨 迹是什么? 变式 3: 将定义中的“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”,其余不变,点的轨 迹是什么? 变式 4: 将定义中的“小于|F1F2|”去掉,其余不变,点的轨迹是什么? 变式 5: 若令定义中的“常数”等于零,其余不变,点的轨迹是什么? 通过以上的变式, 可以澄清学生对双曲线定义的模糊认识, 在审题中不被 “形” 迷惑,能让学生透过“形”,发现问题的本质,深刻理解双曲线的定义。 3.运用概念深化变式,培养学生深刻的思维 概念深化变式就是探求概念的等价定义及对定理公式的变形与推广形式, 并 且能解决相应的问题。丰富多彩的变式,为发展学生的创新应变能力提供了广阔
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的平台,变式过程中可以充分体现数学思想方法的应用,有利于学生对概念、定 理、公式的深刻理解,有利于培养学生的发展思维、逆向思维、联想思维和辩证 思维, 形成良好的思维品质, 通过探求变式的应用, 还可以培养学生的解题能力, 从而培养学生深刻的思维。 案例 3:在学习完基本不等式后,要利用基本不等式求函数最值时,要注意 “一正,二定,三相等”的应用条件,三者缺一不可。为使学生能深刻理解,可 设计如下变式: 1 例题:已知 x > 0 ,求函数 y = x + 的最小值(强调:一正,二定,三相等)。? x 1 变式 1:已知 x < 0 ,求函数 y = x + 的最大值(若不正,需化正)? x 2 变式 2:已知 x > ?1 ,求函数 y = x + 的最小值(若不定,则变形)? x +1 1 变式 3:已知 x ≥ 2 ,求函数 y = x + 的最小值(若不等,用单调)? x 变式 1 可以让学生了解基本不等式在使用时,各项必须均为正,如果各项均 为负数的时候, 我们可以采取提取负号的方法, 使各项为正, 再应用基本不等式, 这个过程体现的正是数学中很重要的化归思想; 而变式 2 可以让学生了解直接用 基本不等式,其乘积不是定值,不符合最值的含义,需要做适当变形,使其乘积 为定值;变式 3 让学生体会直接应用基本不等式时,不能取到等号,所以应想 其它方法来处理。通过以上 3 个变式题,让学生体会利用基本不等式求最值时, 应注意“一正,二定,三相等”的应用条件,三者缺一不可。 4.运用概念巩固变式,形成学生解决问题的能力。 概念巩固变式是指设计直接应用概念的练习变式题,通过题组的讨论解决, 达到熟悉概 念,巩固概念,提高解题能力的目的 案例 4:利用基本不等式求函数最值,可设计如下变式,帮助学生巩固。 题组 1: x2 + 2 x + 1 的最小值 变式 1:已知 x > 0 ,求函数 y = x 变式 2:已知 x > 0 ,求函数 y =
x 的最大值 x + 2x +1
2

变式 3:已知 x > ?1 ,求函数 y = 变式 4:已知 x > ?1 ,求函数 y =

x2 + 4x + 4 的最小值 x +1
x +1 的最大值 x + 4x + 4
2

x2 + 5x + 5 变式 5:已知 x > ?1 ,求函数 y = 2 的最大值 x + 4x + 4 题组 2: 变式 1:已知 0 < x < 10 ,求函数 y = x(10 ? x ) 的最大值

28

变式 2:已知 0 < x <

3 ,求函数 y = x(3 ? 2 x ) 的最大值 2

变式 3:已知 0 < x < 5 ,求函数 y = x 10 ? 2 x 2 最大值 变式 4:已知 ? 5 < x < 0 ,求函数 y = x 10 ? 2 x 2 最小值 以上第一组是构造积是定值,求和的最值。第二组是构造和是定值,求积的 最值,也是基本不等式的正用与逆用,通过以上题组的训练让学生进一步巩固如 何在具体问题中构造适合运用基本不等式的背景,从而形成解题能力。 (二)问题解决的变式教学 问题解决是数学教学的重要组成部分,是把知识、技能、思想方法联系起来 的一条纽带,能达到强化双基、传授方法、揭示规律、启发思维、激励创新、培 养能力的目标。在问题解决的教学过程中,当学生获得基本解法后,可以通过改 变问题的条件设置,改变问题所求结论,改变问题情境等多种方式,使学生对知 识和方法的理解和掌握得到强化, 以便学生形成对问题的多方面、 多角度的思考, 使学生的思维跳出某一固定的模式,避免形成思维定势。从而提出新问题或获得 同一问题的多种解答或多种结果。让学生在解决问题的过程中获得知识和技能, 同时体会数学知识的价值。 问题解决变式教学主要包括一题多变变式、一题多解变式、一法多用变式。 1.运用一题多变变式,训练学生的应变能力。 所谓一题多变变式,就是通过对某一题目进行条件和结论的变换、题型的改 变、逆向思考、图形变化、类比、推广等多角度、多方位的探讨,使一个题变为 一类题, 达到举一反三, 触类旁通的目的, 有助于培养学生灵活多变的数学能力。 案例 5: 例:已知函数 f ( x) = 8 x 2 + 16 x ? k , g ( x) = 2 x 3 + 5 x 2 + 4 x ,其中 k ∈ R ,对任意
x ∈ [ ?3, 3] ,都有 f ( x ) ≤ g ( x) 成立,求 k 的取值范围。

学生得出如下方法 方法一: f ( x) ≤ g ( x) ? k ≥ ?2 x 3 + 3 x 2 + 12 x 设 F ( x) = ?2 x 3 + 3 x 2 + 12 x ,问题转化为 x ∈ [ ?3, 3] , k ≥ F ( x) max 方法二: h( x) = g ( x) ? f ( x) = 2 x3 ? 3 x 2 ? 12 x + k ,问题转化为 x ∈ [ ?3, 3] 时,
h( x) ≥ 0 恒成立,故 h( x) min ≥ 0

仅此而已是不够的,必须引导学生从以下几个方面去思考,探索。 变式 1:存在 x ∈ [ ?3, 3] ,使 f ( x ) ≤ g ( x) 成立,求 k 的取值范围。 (等价于 h( x ) = g ( x ) ? f ( x ) ≥ 0 在 x ∈ [ ?3, 3] 有解,故 h( x ) max ≥ 0 ) 变式 2:对任意 x1 , x2 ∈ [?3,3] ,都有 f ( x1 ) ≤ g ( x2 ) ,求 k 的取值范围。

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(等价于 f ( x) max ≤ g ( x) min ) 变式 3:对任意 x1 ∈ [0,1] , 存在 x2 ∈ [?1, 0] ,使得 f ( x1 ) > g ( x2 ) 成立,求 k 的 取值范围。 (等价于 f ( x) min > g ( x) min ) 变式 4: 存在 x1 ∈ [0,1] ,对任意 x2 ∈ [?1, 0] , f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立,求 k 的取值 范围。 (等价于 g ( x ) 的值域是 f ( x ) 的值域的子集即可) 变式 5: 存在 x1 ∈ [0,1] , x2 ∈ [?1, 0] ,使得 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立,求 k 的取值范 围。 (等价于 g ( x ) 的值域与 f ( x ) 的值域的交集非空) 解后反思: (1)若 ?x ∈ D ,都有 f ( x ) ≤ g ( x) 成立。(此问题为不等式恒成立问题,解 决方法很多,比如参数分离转化为函数最值问题,图象法,最值法等) (2)若 ?x ∈ D ,有 f ( x ) ≤ g ( x) 成立。(此问题为不等式有解问题,可用图 象法等解决) (3)若 ?x1 ∈ D 1 , ?x2 ∈ D2 ,都有 f ( x1 ) ≤ g ( x1 ) 成立,则 f ( x) max ≤ g ( x) min (4)若 ?x1 ∈ D 1 , ?x2 ∈ D2 ,使得 f ( x1 ) ≤ g ( x1 ) 成立,则 f ( x) max ≤ g ( x) max 若 ?x1 ∈ D 1 , ?x2 ∈ D2 ,使得 f ( x1 ) ≤ g ( x1 ) 成立,则 f ( x) min ≤ g ( x) min (5)若 ?x1 ∈ D 1 , ?x2 ∈ D2 ,使得 f ( x1 ) ≤ g ( x1 ) 成立,则 f ( x) min ≤ g ( x) max (6)若 ?x1 ∈ D 1 , ?x2 ∈ D2 ,使得 f ( x1 ) = g ( x1 ) 成立,则 g ( x ) 的值域是 f ( x ) 值 域的子集 (7)若 ?x1 ∈ D 1 , x2 ∈ D2 ,使得 f ( x1 ) = g ( x1 ) 成立,则 g ( x ) 的值域与 f ( x ) 值 域交集非空。 2.运用一题多解变式,培养学生的发散思维 所谓一题多解变式,就是对同一个数学问题,如果从不同的角度去分析,会 得到不同的解题方法,也就是说从多个角度去想就会有多种解法。这样做可以使 思维更开阔, 也能从中找到最佳的解题方法。 从而达到培养发散思维和创新意识, 总结规律、方法,提高数学能力的目的。 案例 6:在学习由递推数列求通项公式时,涉及以下类型?
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递推公式为 a n = pa n ?1 + q , n ≥ 2 (其中 p,q 均为常数, ( pq ( p ? 1) ≠ 0) ) 。? 例:已知数列 {an } , a1 = 1, an = 2an ?1 + 1 (n ≥ 2) ,求 an 方法一:把 q 化 0 ,即用待定系数法把递推式化为 an + 1 = 2(an ?1 + 1) 所以 {an + 1} 是等比数列,易求得 an = 2n ? 1 。 方法二:把 q 化 0 ,由 an = 2an ?1 + 1 , an ?1 = 2an ? 2 + 1 两式相减得: an ? an ?1 = 2(an ?1 ? an ? 2 ) 所以 {an ? an ?1} 是等比数列,求得 an ? an ?1 = 2 n ,再用迭加法可求得 an = 2n ? 1 方法三:把 q 化 1,把 an = 2an ?1 + 1 两边同除以 2n+1 得
an an ?1 1 ? n ?1 = n ,再用迭加法可求得 an = 2n ? 1 n 2 2 2 方法四:用迭代法
an = 2an ?1 + 1 = 2(2an ? 2 + 1) + 1 = 2 2 an ? 2 + 1 + 2 = 2 2 (2an ?3 + 1) + 1 + 2 = 23 an ?3 + 1 + 2 + 2 2 = L = 2 n ?1 a1 + 1 + 2 + 2 2 + L + 2 n ? 2 = 1 + 2 + 2 2 + L + 2 n ?1 = 2 n ? 1

an an ?1 1 = + ,即 2n 2n ?1 2n

方法五: a1 = 1 , a2 = 2a1 + 1 = 3 , a3 = 2a2 + 1 = 7 , a4 = 2a3 + 1 = 15 猜想: an = 2n ? 1 ,再用数学归纳法证明。 3.运用一法多用变式,培养学生融会惯通的能力 所谓一法多用就是用相似或相同的方法解决表面看起来不一致甚至差别很 大的问题。数学问题有如浩瀚的海洋,无穷不尽,但万变不离其宗,有时候,一 些不同的数学问题表面看起来风马牛不相及, 但其实它们之间有一条潜在的主线 串到一起,要看到它们之间的关联,就得深刻理解数学方法的本质,以求达到举 一反三的目的。 案例 7: 基本问题:已知数列 {an } , a1 = 1, an = 2an ?1 (n ≥ 2) ,求 an 易知数列 {an } 是一个等比数列 变式 1: 已知数列 {an } , a1 = 1, an = 2an ?1 + 1 (n ≥ 2) ,求 an 分析:设 an + λ = 2(an ?1 + λ ) 即 an + λ = 2an ?1 + 2λ ,所以 an = 2an ?1 + λ

λ =1
则 an = 2an ?1 + 1 ,可化为 an + 1 = 2(an ?1 + 1)
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所以 {an + 1} 是等比数列 变式 2: 已知数列 {an } , a1 = 1, an = 3an ?1 + 2n ?1 ( n ≥ 2) ,求 an 分析:设 an + λ ? 2 n = 3( an ?1 + λ ? 2 n ?1 ) 即 an + λ ? 2n = 3an ?1 + 3λ ? 2n ?1 , 所以 an = 3an ?1 + λ ? 2 n ?1

λ =1
则 an = 3an ?1 + 2 n ?1 ,可化为 an + 2 n = 3( an ?1 + 2n ?1 ) 所以 an + 2n 是等比数列 变式 3: 已知数列 {an } , a1 = 4, an = 2an ?1 + 3n ?1 ? 4 n ( n ≥ 2) ,求 an 分析:设 an + A ? 3n + B ? 4 n = 2( an ?1 + A ? 3n ?1 + B ? 4 n ?1 ) 则 an = 2an ?1 ? A ? 3n ?1 ? 2 B ? 4 n ?1 所以 A = ?1, B = 2 则 an = 2an ?1 + 3n ?1 ? 4 n ,可化为 an ? 3n + 2 × 4 n = 2( an ?1 ? 3n ?1 + 2 × 4 n ?1 ) 所以 {an ? 3n + 2 × 4 n } 是等比数列 变式 4: 已知数列 {an } , a1 = 1, an = 2an ?1 + n + 1 (n ≥ 2) ,求 an 分析:设 an + A ? n + B = 2[ an ?1 + A ? (n ? 1) + B ] 则 an = 2an ?1 + A ? n ? 2 A + B 所以 A = 1, B = 3 则 an = 2an ?1 + n + 1 ,可化为 an + n + 3 = 2[an ?1 + (n ? 1) + 3] 所以 {an + n + 3} 是等比数列 变式 5:数列 {a n } 满足 a1 = 2, a 2 = 5, a n + 2 = 3a n +1 ? 2a n ,求 an 分析:设 a n + 2 + A ? a n +1 = B ? (a n +1 + A ? a n ) 则 a n + 2 = ( B ? A) a n +1 + A ? B ? a n 所以 A = ?1, B = 2 则 a n + 2 = 3a n +1 ? 2a n ,可化为 a n + 2 ? a n +1 = 2(a n +1 ? a n ) 所以 {an ? an ?1} 是等比数列
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{

}

以上题目不管条件怎么改变,最终指向只有一个,求数列通项;而解题方法 也基本相似,根据题目所给条件,用待定系数法来配凑出数列前后项之间的递推 关系,最终求出数列通项。通过以上逐渐变更题目的条件,把命题不断进行联想 和推广,一法多用,达到深化知识、提炼方法、激活思维之目的,对发展学生思 维和培养创新意识、培养学生提出问题和解决问题的能力、寻求解题规律都起到 了良好的示范作用。 数学的课堂应该是一个充分展示思维体操的平台, 巧妙运用概念的变式教学, 问题解决的变式教学,可以让学生深刻理解数学概念,提高学生灵活运用知识的 能力,优化学生思维品质,从而实现课堂的高效。

反思,让学生的思维继续飞翔
——谈谈在解题教学中,如何培养学生的反思能力
揭阳华侨中学 黄晓丽 无论中小学数学还是大学数学的教与学, 解题反思都是数学解题教学中最主要的活动之 一。著名数学家波利亚说过: “数学解题如果没有了反思,他们就遗漏了解题中一个重要而 且有效的阶段,通过回顾完整的解答,重新斟酌、审查结果及导致结果的途径,能够巩固知 识,并培养他们的解题能力” 。 《普通高中数学课程标准》则提出: “评价应关注学生能否 不断反思自己的数学学习过程,并改进学习方法” 。这就要求教师在平时教学中要重视培 养学生解题反思能力,引导学生摆脱“题海战术” ,使学生学会“反思” 。做完一道题后,要 再问几个为什么,并从中获得对下次解题有用的经验和教训。搞清楚“为什么” ,才能在以 后的解题中知道 “做什么” “如何做” 避免学生出现 “一听就懂, 和 , 多做仍错, 见难即怕” 的现象,从而提高学生的数学素质,培养学生的数学能力。 解题反思能力是对解题活动的反思, 主要包括对审题的反思、 对解题思路形成的反思和 对解题结果的反思。反思的作用在于揭示数学问题本质、探索解题规律、沟通新旧知识间的 联系,深化对知识的理解。 下面结合自己的教学实践, 从以下几个方面谈谈如何培养学生解题反思能力, 让学生的 思维在数学的天空翱翔得更高、更远。

一、审清题意求缜密,解题境界达“三悟”
波利亚认为审清问题是解决问题的前提,为解题的好念头、信息点的闪现做准备,因此 可以说“审清题意”是探求问题答案的敲门砖,也是师生分析问题、发现问题的金钥匙。要 先明白要求什么、证什么。把条件梳理一遍,使条件与结果对应。对审题的反思,就是在解 题活动完成以后,对自己最初理解题意过程中是怎样 “获取信息” 进行再思考,比如获得过或 遗漏过哪些信息?为什么会遗漏这些信息?哪些信息自己还模糊不清?对条件与结论之间的某 些关系为什么不能发现?关系的转化是否有错误及错因?以后在理解题意时应该怎样去做?等 等。通过反思能使学生学会在理解题意方面寻求规律,从而培养解题的觉悟性。 例如,在高三“函数”复习中,笔者选用如下案例 1,让学生思考。 案例 1:已知函数 f ( x ) 是定义在 (?2 , 2) 上的偶函数,且它在 [0 , 2) 上单调递减,若

f (1 ? a ) < f ( a ) ,求 a 的取值范围?

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?0 ≤ a < 2 1 1 ? 学生错答版本如下:1、 1 ? a > a ? a < ;2、 ?0 ≤ 1 ? a < 2 ? 0 ≤ a < ; 2 2 ?1 ? a > a ? ?? 2 < a < 2 ?0 ≤ a < 2 ?-2 < a < 0 1 ? ? ? ; 4 、 ?0 ≤ 1 ? a < 2 或 ?-2 < 1 ? a < 0 3 、 ?? 2 < 1 ? a < 2 ? ? 1 < a < 2 ?1 ? a > a ?1 ? a > a ?1 ? a > a ? ? ?
?0≤a< 1 2

等学生解答完后,引导学生进行审题的反思:题目给的是函数的性质,容易只从单调性 和偶函数的性质出发得出结果, 而不明白所给的定义域和偶函数的用意是什么。 这种思维的 不严密,导致问题的解决出现了错误。我们要回忆什么是函数的定义域,偶函数的概念,回 忆偶函数的单调性,从而理解出题者的用意。 引导学生在审题反思中 “感悟” —— 函数 f ( x ) 的定义域为 (?2 , 2) , f ( a ) 、 f (1 ? a ) 中的 a 和 1 ? a 要满足定义域的要求。 再引导学生在审题反思中“领悟” ——偶函数 f ( x ) 定义在 (?2 , 2) 上,且它在 [0 , 2) 上单调递减,(?2 , 2) 应该分成两个区间 [0 , 2) 与 (?2 , 0) , 我们自然而然就得考虑 f ( x ) 在

(?2 , 0) 上单调性,所以必须把 a 、 1 ? a 分成四类取值范围,这是解题从“感悟” 跃升到
“领悟”的层次了,思维的翅膀开始腾飞了!本题正确的解法是: 由已知可得: f ( x ) 在 [0 , 2) 上单调递减,在 (?2 , 0) 上单调递增,所以,

?0 ≤ a < 2 ?-2 < a < 0 ?0 ≤ a < 2 ?-2 < a < 0 ? ? ? ? ?0 ≤ 1 ? a < 2 或 ?-2 < 1 ? a < 0或?-2 < 1 ? a < 0或?0 ≤ 1 ? a < 2 ?1 ? a > a ?1 ? a > a ?a ? 1 > a ?1 ? a > ?a ? ? ? ?
解得: ? 1 < a <

1 ? 2

虽然本题顺利求解,但解法繁杂不可取。教学中,教师要抓住让学生思维翅膀飞得更高 的机会,进入顿悟的境界。引导学生思考:偶函数 f ( x ) 的一般性质是 f ( ? x ) = f ( x ) ,然 而还有另外一种利器: f ( x) = f ( x ) ,可避开分类讨论,去除解题羁绊,得到如下快捷解 法:

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?? 2 < a < 2 ?? 2 < a < 2 ? 1 ? ?? 2 < 1 ? a < 2 ? ? ? 1 < a < 3 ? ? 1 < a < 2 ?1 ? a > a ?(1 ? a) 2 > a 2 ? ?
这下,学生思维的翅膀继续腾飞,思维层次由“领悟” ——“顿悟” ,并品尝到数学解 题的简洁美! 教学中要让学生充分认识到:如果不经过反思、进行查漏补缺,遇到类似的题目时很容 易出错。即使歪打正着,但过程有明显逻辑错误的,照样会被严重扣分!就是答案对了,也 要反思解答过程有没有错漏的地方,补全对知识点的理解,遇到类似问题才能快速反应。所 以要强化学生审题意识,紧盯题中重要字眼,避免信息缺漏;要培养学生多角度、多层次转 换问题的本领,增强学生的解题“悟性” 。让学生在审题反思中“感悟——领悟——顿悟” , 从而增强解题能力。

二、目标意识早确立,反思过程寻优化
反思解题过程就是回忆自己从解题开始到解题结束的每一步思维活动,自己在探求思路 的形成过程中有哪些成功与失败的地方等等。长期坚持这样的反思,就可以总结出带有规律 性的经验,其中有的是解题策略,有的是解题的元认知知识,还有的是非认知方面的东西,它 们都是今后解题的行为指南。 另外,这样的反思有利于自己思维监控能力的提高,更是一种学 会学习能力的培养。 下面以笔者学校某老师在公开课时讲的一道例题为例, 说明如何引导学 生进行解题策略的反思: 案例 2、在数列 {an } 中, a1 = 1 , an +1 = 2an + 2 ;设 bn =
n

证明:数列 {bn } 是等差数列。 对于这个的问题,老师讲解: 由 an +1 = 2an + 2 n ?

an . 2n ?1

a+ a an +1 an = n-1 + 1 ? nn 1 ? nn 1 = 1 n 2 2 2 2?

即 bn +1 ? bn = 1 ,数列 bn } 是等差数列。 从培养学生思维能力的角度看, 这种讲解欠缺自然。 对此, 学生除了佩服老师的 “高明” 之外,只能产生“数学真难”等自卑和害怕心理,他们无法从中悟出任何思维方法。因此, 在解题教学中教师务必注意解题思维起点的选择, 尽力站在学生的立场, 尽量接近学生的思 维过程。因为学生解题的困惑是目标与条件关系看不清,因此,我们应由结论入手,教会学 生善于寻找条件与结论的信息结合点,抓住目标,解决问题。 笔者选用此例, 在任教班级讲解这种解法, 引导学生反思: 从逻辑、 从知识的角度来看, 这种讲解是无可指责的。但此解法的解题目标很不明确,解题缺乏方向性,有点生硬。我们 能否找到一种较为自然的解法呢?我们的解题目标是:证明数列 {bn } 是等差数列,证明的 方法有哪些?最直接的方法有什么?我们如何朝这个方向前进, 紧扣目标呢?大家思考探讨 一下。 由于学生的主体作用得到充分发挥,课堂上涌动一股探究的热潮。通过对问题的反思, 很快有学生提出:

{

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从已知推出求证,很难想出两边同时除以 2 ,但如果从目标方向入手,从等差数列的
n

定义出发,则容易从作差法入手,自然而然地想到如下的方法: 因为 bn +1 ? bn =

an +1 an a ? 2a ? n ?1 = n +1 n n ,又由已知可得: a n +1 ? 2a n = 2 n , n 2 2 2

则 bn +1 ? bn = 1 ,故数列 {bn } 是等差数列。 学生可以从这种解法中学到解题的思想方法, 同时也明确确立目标与优化解题策略的重 要性;还可以看到了自己解题的潜力,增强学好数学的积极性、主动性。教师也可通过解题 过程的反思,培养学生解题的目标意识,使学生在解题过程中少走弯路,有的放矢。

三、解题结果达三思,知识体系臻完善
罗增儒教授把解题后缺乏反思、评价的现象称为“进宝山而空手返” 。数学教育家波利 亚则说:“聪明的人从结果开始”,可见反思结果的重要性。所以教学中要引导学生学会三 思:结论的正确性、问题求解的多样性和结论的推广、问题解决所蕴含的数学思想方法。使 学生在“三思”的解题境界中展飞思维的双翼。 1、反思疏漏,寻求彻悟 当代科学家波普尔说: “错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素” 。因此,当 做完一个题目后,首先要思考是否有疏漏甚至错误的地方,以免再犯同类错误。反思疏漏, 弄清哪些地方容易犯错,回忆自己解决问题的结果和过程,找出错误的根源,分析出错的原 因,提出改进的措施,明确正确的解题思路和方法。教师在教学中应有意识地选用一些错解 或错题,进行解题后反思,使学生真正认识到解题后思考的重要性,从而培养学生的批判性 思维。 案例 3:已知函数 y = (log 2 某生的解法如下:

1 1 x x )(log 2 ) , x ∈ [ , ] ,求函数的最大、最小值。 8 2 4 2

Q y = log 2

x x x x , y = log 2 都是增函数,∴ y = (log 2 )(log 2 ) 是增函数。 2 8 8 2 1 1 所以当 x = 时, y min = (?5) ? (?3) = 15 ;当 x = 时, ymin = (?4) ? (?2) = 8 4 2

学生解题后反思:最小值反而比最大值大,不合逻辑,肯定是在哪儿出了问题。造成这 种错误的原因是什么? 学生:…… 老师: y1 = x 增函数, y 2 = 2 x 也是增函数, y = 2x 在 R 上是增函数吗?
2

学生: (恍然大悟)在本题中

1 1 x x ∴ y = (log 2 )(log 2 ) = (log 2 x ? 3)(log 2 x ? 1) = (log 2 x ? 2) 2 ? 1 在 x ∈ [ , ] 上是 8 2 4 2
减函数! 老师:为什么会产生前面的错解呢? 学生:因为两个增函数的和是增函数,两个增函数的复合成的函数也是增函数,所以 我就不加分析地“推广”开来了…… 通过教师引导学生题后反思, 加强对解法错误根源的清晰认识, 为学生严密思维的双翼 继续腾飞创造机会。

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2、反思多解、拓展能力 一个数学问题,由于审视的角度不同,往往会得到多种不同的解题方法。在掌握基本解 法的基础上, 去探讨和寻求更好、 更美的解法, 学会从不同角度, 不同方位去审视, 去思考, 去推广。从而沟通知识间的纵横联系,训练和培养学生发散思维能力。 案例 4:当 a, b, c, d ∈ R 时,求证: ( a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd )
2 2 2 2 2

证明 1: ( a + b )(c + d ) ? ( ac + bd )
2 2 2 2

2

= a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 ? a 2 c 2 ? 2abcd ? b 2 d 2 = ( ad ? bc) ≥ 0
2

原不等式成立。 学生解题后反思: 观察其形式, 积极联想, 发现所证式子与一元二次方程判别式一致, 可用判别式法证明。 证明 2:构造函数 f ( x) = ( a + b ) x + 2( ac + bd ) x + (c + d )
2 2 2 2 2

(1)当 a 2 + b 2 = 0 ,即 a = b = 0 时,原不等式显然成立。 (2)当 a 2 + b 2 ≠ 0 ,即 a 2 + b 2 > 0 时,

f ( x) = (a 2 + b 2 ) x 2 + 2(ac + bd ) x + (c 2 + d 2 ) = (ax + c) 2 + (bx + d ) 2 对 x ∈ R 恒 有
f ( x) ≥ 0 ,
所 以 ,

? = 4(ac + bd ) 2 ? 4(c 2 + d 2 )(a 2 + b 2 ) ≤ 0







(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd ) 2 。
再反思:再观察其形式,不等式左边是两个平方和的积,可联想向量的模和数量积之间 的关系,构造向量,利用向量的数量积与模的关系证明不等式; 证 明 3 : 构 造 向 量 a = ( a , b ) , b = ( c , d ) , 则 | a |2 = a 2 + b 2 , | b |2 = c 2 + d 2 ,

a ? b = ac + bd ,
由 a ? b =| a | ?| b | ? cos < a, b > 得: | a | ? | b |≥| a ? b | ,平方得: | a |2 ? | b |2 ≥| a ? b |2 , 即 (a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd )
2 2 2 2 2

最后反思: 向量可以推广到 n 维,于是可构造出著名的柯西不等式: 当 ai , bi ∈ R (i = 1,2,3L, n) 时,则

(a1 + a2 + L + an )(b1 + b2 + L + bn ) ≥ (a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn ) 2
教师有意引导学生反思一题多解, 为拓展数学能力提供舞台, 为学生发散性思维的双翼

2

2

2

2

2

2

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继续腾飞,描绘一个缤纷多彩的数学天空。 3、数学思想、反思生辉 日本数学家、教育家米山藏指出: “作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了,唯有 深深铭记头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等,这些都是随时随地发 生作用,使他们终身受益” 。在每一次解题后,让学生对解题过程中反映的数学思想、方法 进行总结、概括,从而建立起良好的数学认知结构。 如案例 4 中让学生反思得出: (1) 证明不等式的方法:比较法,构造函数法,向量法。 (2) 蕴含着数学思想方法:化归思想,函数与方程思想。 学生在数学思想方法的浸润下,思维的双翼继续腾飞,更加有力、更加矫健。 总之,在解题教学中,反思是学生提高数学能力的一条捷径。有了反思要求,老师就不 会一味强调反复操练;有了反思,学生就会既见树木,又见森林,就很容易把数学过程对象 化,而不只是把数学看作一些过程,一些细枝末节;有了反思,学生的学习观念就不会只停 留在计算、变形、套用公式的认识上,而知道还有更重要的东西,那就是数学的思维方法、 思想方法。因此,在解题教学中,我们要坚持“解题反思”的教学,提高学生的数学素质, 活跃学生的解题思想,激发学生的创新思维,让学生在“认识——实践——再认识的螺旋式 中上升,让学生的思维继续飞翔。

参考文献: [1]波利亚.怎样解题[M].上海科技教育出版社,211,11 [2]数学课程标准(实验稿)[M]. 北京师范大学出版社, 2001.7. [3] 韩龙淑,黄玉珍. 数学教学中如何引导学生进行解题学习的反思[J]. 数学教学研究, 2006 年 03 期:7-9 [4] 刘兼 孙晓天.数学课程标准(实验稿)解读[M]. 北京师范大学出版社, 2002.5. [5] 杨小微,现代教育理论,湖北科学出版社 ,2003, 51-53

2012 年普宁市中学数学教育优秀论文评选报名表
(以下内容必须全部填满,打印或用正楷填写,以免造成识别错误)? ?

论文题目

不容易的“爱” ——对高中数学多媒体教学的看法及思考 房仲林 性别 男 出生年月 单位电话 邮 编 1968.11 2728801 515333 15819682929
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作者单位 通讯地址 E-mail

普宁市大坪中学 普宁市大坪中学 dpzxfzl@126.com

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初中



高中

√ □





3441

会员编号 论 文 内 容 摘 要 ( 200 字 以 内 )

? 多媒体教学在高中数学课堂教学中已得到广泛的应用, 提高了高中数学课堂 教学效率。 近阶段的听课, 笔者发现部分教师的课堂教学, 无视教师的主导作用, 忽略教学功能,忽视学生思维能力培养,轻视学生主体作用等不良现象,负面影 响毋庸置疑。因此,合理应用多媒体,遵循教育教学规律,有效提高高中数学课 堂教学效果,是每位教师长远研究的重要课题。?

关 键 词 : 高中数学

多媒体教学

存在问题

遵循的原则

? 不容易的“爱”?
——对高中数学多媒体教学的看法及思考? 普宁市大坪中学? 房仲林? 【摘? ? 要】多媒体教学在高中数学课堂教学中已得到广泛的应用,提高了高中数 学课堂教学效率。近阶段的听课,笔者发现部分教师的课堂教学,无视教师的主 导作用, 忽略教学功能, 忽视学生思维能力培养, 轻视学生主体作用等不良现象, 负面影响毋庸置疑。因此,合理应用多媒体,遵循教育教学规律,有效提高高中 数学课堂教学效果,是每位教师长远研究的重要课题。? 【关键词】高中数学? ? 多媒体教学? ? 存在问题? ? 遵循的原则? 随着现代教育技术的发展和普及, 多媒体辅助教学已成为目前课堂教学的热 点,在高中数学课堂教学中已得到广泛的应用。利用多媒体辅助教学,对克服传
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统教学中的某些缺陷,提高课堂效率,激发学生学习兴趣,启迪学生思维,培养 学生探索与创新精神,展示知识的产生过程都有很大的优越性。但学生学习数学 过程中出现的困惑:上课热闹、下课忘,思路知道、不会写,证明过程、没根据 等,也应引起教学者的高度重视。因此,如何正确认识和理解多媒体教学的辅助 作用,如何在课堂教学中合理应用多媒体更是热点中的热点,对目前亦喜亦忧的 高中数学多媒体教学存在的问题及应遵循的原则,谈谈自已的一些看法及思考。 ? 一、目前高中数学多媒体教学存在的主要问题。? 1、过分依赖多媒体,无视教师的主导作用。? 使用多媒体辅助教学对增加课堂容量,提高教学效率是非常有效的,但多媒 体不是人,无法根据学生的情况调整教学方法,更无法与学生进行情感、思想上 的交流,教师在课堂上的主导地位仍是不可替代的。目前的一些课堂教学,教师 的工作只是在电脑前点点鼠标,敲敲键盘,甚至连板书也由电脑完全代替,教师 成了放映员,一节课下了,教师手未沾粉笔,? ? ? ? ? ? ? ? D1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C1? 黑板找不到一个粉笔字,教学则由原来的“? ? ? ? ? ? 人灌”变成了“机灌” 。有次听教师上《空间? ? ? A1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 中直线与直线之间的位置关系》 ,她为了说明? ? ? ? ? 正方体中 AD1 与 BA1 的位置关系(如右图) ? ? ? ? ? ? ? D? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C? ,? 用 3dsmax 制作正方体的旋转动画,从另一? ? ? ? ? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B? ????????????????????? 侧面来判断两直线的位置关系,结果虽然直观,一目了然,但从立体几何培养学 生的空间想象能力这一点看,显然达不到预期的目的。笔者认为应让学生充分发 挥空间想象能力,教师只要结合异面直线的判定方法,并加以适当的提示,学生 完全可以判断, 通过思维、 想象得到的判断比通过动画得出的结论, 效果会更好。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2、片面追求趣味性,新颖性,忽略教学功能。? 目前使用的一些数学课件,包装华丽,令人眼花缭乱,时而插入一段音乐, 时而演示动画,这样过多呈现信息,就会分散学生的注意力,不仅不能增强教学 效果,反而干扰课堂教学。另外,有些教师认为, 《几何画板》 、Powerpoint 太简 单,只有 Authware、3DMax 才能做出上档次的课件,显示出自己的水平,这是 一种片面的认识,数学多媒体课件制作,不仅是一门艺术,更是一门科学。数学 教学,离不开学生的思维活动,过分追求画面的美观和所谓的技术含量,就会忽
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略教学功能。? 3、过多展示数学现象和数学规律,忽视学生思维能力的培养。? 传统的教学方式过分重视学生的抽象思维能力的培养, 忽视形象思维能力的 培养,但一些高中数学多媒体教学又走向另外一个极端,把一切问题都直观化、 形象化,这不利于抽象思维能力的培养。数学是一门特别需要抽象思维的学科, 教师在课堂上,不仅要传授数学知识,更重要的是向学生揭示思维过程,启发、 诱导学生展开思维活动。有次听教师讲《幂函数》 ,讲到幂函数 y=? ax2 这一内容 时,课件中做出了 a 值变化时图象变化的所有情况,虽然直观明了,但笔者认为 违背教学规律,教学时,可先向学生演示 a 取正数时的图象,然后让学生判断 a 取负值时的图象形状, 学生经过归纳、 猜想、 推理等一系列思维过程去获取知识, 其效果显然比直接演示更好。? 4、频繁使用多媒体演示,轻视学生的主体作用。? 课堂教学频繁地使用多媒体演示,学生应接不暇,它带来的负面效应比传统 教学模式有过之而无不及,其中最重要的一点是忽视了学生的主体作用。有些教 师在利用多媒体教学时,过分强调课堂教学的科学化、技术化,而轻视教学的人 性化, 使师与生、 生与生之间的沟通越来越生疏, 更有甚者, 教师代替学生解答, 把本来该由学生自已亲自动手的练习内容制成课件,用于演示播放,剥夺了学生 充分思考的时间,减少了学生自主的活动,压抑了学生解题灵感,在这样的多媒 体教学环境中, 学生只体会到多媒体的无穷魅力, 却丧失了学习数学的主体地位。 ? 二、合理应用多媒体教学,提高高中数学课堂教学效果。? 课程标准指出:现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、 数学学习等方面产生深刻的影响。在教学中,应重视利用信息技术来呈现以往课 堂教学中难以呈现的课程内容。同时,应尽可能使用科学型计算器、计算机及软 件、互联网,以及各种数学教育技术平台,加强数学教学与信息技术的结合。教 师应恰当使用信息技术,改善学生的学习方式,引导学生借助信息技术学习有关 数学内容,探索、研究一些有意义、有价值的数学问题。鉴于以上的认识及课程 标准的要求,笔者以为,高中数学多媒体教学应注意遵循教学本身规律,遵循因 材施教原则。那么,高中数学教学怎样合理选用多媒体手段才能提高课堂教学效 果?笔者认为应遵循一定的原则:? 1、选择性原则。?
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多媒体固然有其不可估量的优越性, 但也并非所有的教学内容都适合多媒体 教学,在教学中选用多媒体教学必须针对教材自身特点和学生年龄特征,有的放 矢。作为教师,应该对适合多媒体的内容加以精选。就高中数学教材来说,代数 中的函数图象和性质,立体几何中异面直线间的距离,二面角的平面角问题,多 面体和旋转体的截面问题等都是多媒体教学的好素材。例如,在《指数函数》的 教学中,需要对函数 y=ax(a>0? 且 a≠1)中的 a 取不同的值时的性质进行讨论, 描点作出不同的图象,费时费力,若在课件中设计出输入不同的 a 值,计算机自 动生成相应的图象,就可快速、准确地解决问题。? 2、辅助性原则。? 有些教师在运用多媒体教学过程中,过分夸大其功能,从引入开始,到教学 内容,到练习,到练习答案,全由多媒体担当,教师几乎不动用课本,学生基本 不接触教材,一切都跟着多媒体转,这是违背教学规律的。利用多媒体教学应遵 循因材施教的原则,该用则用,不该用则不用,切忌“黑板搬家” ,利用多媒体 教学还应注意不能整堂课充满影视画面, 看到过分热闹的画面会分散学生的注意 力、会喧宾夺主。因此,多媒体辅助教学应注意其辅助性,不管多媒体发展到什 么程度,它只能辅助教师的教,只能辅助学生的学。例如,数学例题的讲解,必 要的分析归纳过程和运算推理过程还应通过板书充分地暴露给学生, 确保学生形 象思维与抽象思维、合理推理能力与逻辑推理能力的同步发展。? 3、必要性原则。? 多媒体可以通过动画手段向学生模拟演示逼真的现象和过程, 提供给学生直 观、形象、生动的知识,具有其他不可比拟的优势。在运用多媒体时,最好不要 将它与普通的媒体(如小黑板、幻灯片)等同用之,要注意运用的必要性。一般 来说,教材中难以用言语表达的,学生缺少感情认识而难以领悟的,运用多媒体 就能起到画龙点睛的作用,使学生茅塞顿开。例如: 《圆锥曲线与方程》这一章 的教学, 《几何画板》 应用 的追踪、 动画等功能就能方便地作出曲线的运动轨迹, 让学生观察其轨迹形成的过程。这种直观的演示,对学生研究运动规律,探究轨 迹方程等会有很大的帮助,同时也能将难点顺利化解。? 4、具体性原则。? 多媒体可以为数学教学提供一个方便的、高效的“数学实验室” ,能再现数 学知识产生的过程, 使学生能够象数学家一样去研究数学, 从数学现象中去发现、
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归纳数学规律,激发学生学习数学的兴趣,调动学生学习的积极性。数学教材中 的一些内容,如概念、公理等,具有高度的抽象性和概括性,教师应当充分利用 多媒体技术 “直观性” 的特点, 把高度抽象的内容形象化、具体化。例如,对《空 间点、直线、平面之间的位置关系》一节中公里 1、2、3 的教学,如果应用《几 何画板》这一平台,就能化抽象为具体,帮助学生加深对公理的理解,从而轻松 地理解掌握公理的内容。? 【结束语】来源于本校实际的高中数学多媒体教学的看法及思考,虽属个案,具 有局限性,但笔者认为多媒体教学不可能解决高中数学教学中的所有问题,教学 过程是以学生为主体,教师为主导的活动,师生双边的活动是连接多种教学因素 中最活跃的因素,而多媒体始终是辅助性的,如何发挥多媒体技术的功能,使它 在高中数学教学中起辅助作用、促进作用,是教师长远研究的重要课题。? ? 参考文献:? 1、 2、 3、
?

羌灵敏.多媒体辅助教学模式的认识与思考.《教育信息化》? 2007.12? 丁益祥.计算机辅助教学的实践与思考.? 《中学数学》? ? ? 1999.11? 《普通高中数学课程标准》.? 人民教育出版社.?2002.11?

建构高中数学知识结构 揭阳一中

培养学生学习能力 洪琼

关键词:学习能力 知识结构 数学问题 自主创新 摘要: 本方针对部分学生学习能力较差这一存在问题,结合笔者的教学实践及教 学反思,尝试通过课堂教学主渠道来培养学生学习能力,处理好知识的学习与能 力的发展之间的关系。围绕如何通过高中数学课堂教学帮助学生建构知识结构, 进而培养学生的学习能力, 实现高效课堂。 根据笔者教学实践, 结合有关教学论、 学习论相关研究成果, 具体采用如下措施: 强调知识生成的过程, 1、 重视笔记, 让学生形成自己的知识结构;2、循序渐进,搞好命题教学;3、重视解题、重视 通解通法;4、开放的思路。

一、 问题的提出

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有不少学生升上高中以后,在数学学习方面存在着不同程度的困难。其原因 是多方面的,既有教材的原因,也有教法与学法的原因。如何研究教材,按照高 中学生的个性特点和认知结构,切实有效培养学生自学、探索和创新能力,体现 新课程标准的原则精神,将十分紧迫地摆在我们面前[1]。实现课堂教育素质化, 强化学生主体意识,促使学生“主动学习”、“学会学习”是教育界乃至社会的 焦点话题,自主创新学习是一种学习的趋势。创建以学生为主体的学习方式,实 施自主实践课、创新发展课已成为信息时代教育的必然要求。教育的目的在于使 人成为他自己,“变成他自己”,培养他们有能力在各种专业中尽可能多地流动 并永远刺激他们自我学习和培训的欲望[2]。 联合国教科文组织出版的 《学会生存》 一书中指出:未来的文盲不是不识字的人,而是没有学会怎样学习的人[3]。 由于我国高中教育体制上是按“班”教学,并不是按“程度”教学,所以高 中数学教学中,学困生的存在给“因材施教”带来很大的困难[4]。课堂是教育的 原点,回到课堂就是回到原点。通过课堂教学帮助学生建构知识,培养学生的学 习能力,最终是服务于高效课堂的。数学教育的最终目的是全面培养学生的数学 素质,培养学生形成各种数学能力是提高数学素质的根本途径。因此,必须改变 重结果、重知识链的教学方式,建立起重视教学过程的教学方式。 数学家杨乐在“谈谈数学的应用与中学数学教育”一文中提到:中学数学, 我觉得我们应该做到以下三点:一是少而精;二是让学生多动脑,多动手;三是 要培养学生的自学精神[5]。这些真知灼见,切实有效地指导我们的教学实践。笔 者以自己的教学实践与教学反思,在课堂教学中,努力尝试着渗透学习方法的教 学过程。

二、 具体的措施
学生只有建立起自己的知识结构,才能明白所学知识在学科体系中的位置, 做到既见木又见林。 在引导学生学习新知识时, 笔者坚持知识的传授与应用并重。 只有把知识的学习与应用放在一起,才能循着一条路径有效地唤起所学知识。强 调知识的自我生成过程,才能有效理解、应用知识。笔者相信波利亚所言,坚持 让学生通过解题学会解题,作为老师的作用,在于选取合适的题目上,并进行有
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效引导、讲解。老师要教给学生纯朴、自然的解法。在讲解中重视开放的思路, 重视变式,学生的练习也不是简单重复,而是在变式中重复。在教学过程中,坚 持“让学生尽可能多劳动”的原则(华罗庚语)。 1、 强调知识生成的的过程,重视笔记,让学生形成自己的知识结构 学生在学习数学时,都以原有的数学认知结构为依据,将新知识进行加工, 如果新知识与原有的数学认知结构中适当的知识相联系, 那么通过新旧知识的的 相互作用,新知识就被纳入原有的数学认知结构,从而扩大了它的内容,这一过 程称为同化。如果新知识在原有的数学认知结构中没有适当的知识与它联系,那 么就要对原有的数学认知结构进行改组或部分改组, 进而形成新的数学认知结构, 并把新的知识接纳进去,这个过程叫做顺应。 为了帮助学生形成自己的知识结构, 并把所学知识内化到自己的知识结构中, 笔者重视指导学生作笔记,并坚持督促检查。我们知道,笔记有“记录”和“修 改”的功能[6]。因为学生没用好“修改”这一功能,所以没能建立起属于自己的 知识结构。这样做的恶果就是,对于教师讲的题目,学生都能听懂,但是让学生 自己动手,他们就找不到解题的切入点。这就是心理学中所说的“唤起失败” 。 为了帮助学生走出“一听就懂,一做就错”的怪圈,笔者在课堂教学中,给学生 特别指出解题过程中的分析及解答过程的关键步骤, 这样有助于学生在课后进行 整理、纠错,并延伸到同类型题目的记录。重视知识的生成过程,重视学生笔记 的“修改”功能,是为了帮助学生的数学认知结构的建立、扩大或重新组织。 例 1、已知集合 A = {(x, y) || x | + | y |= n, x, y ∈ Z , n ∈ N * } ,求集合 A 元素的个 数。 该题对于初学者有一定难度,笔者在教学中,不急于讲解这道题目,而是引 导学生先把题用退步策略弱化为如下: 引例:已知集合 A = {(x, y) || x | + | y |= 3, x, y ∈ Z } ,用列举法表示集合 A,并 计算集合 A 的个数。 题目作了这一变换,学生比较容易找到问题的切入点,结果学生装很快就得 到结果 A = {(3, 0),(-3, 0),(2,1),(2,),(-2,1),(-2,),( 2) -1 -1 1, ( ,),(-1, 2),(-1,),(0,3),(0,)共12个元素 1 -2 -2 -3 }
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回到例 1,求解如下:
Q 当 | x |= 0 或 | x |= n 时 , 方 程 | x | + | y |= n 均 有 两 组 解 ; 当 | x |= 1 或

| x |= 2,L | x |= n - 1 时,方程 | x | + | y |= n 均有四组解;Q 满足条件的整数对有 4n

对。即 n( A) = 4n 。 在学生掌握例 1 的基础上,笔者又把问题进行提高,作为思考题: 例 2:已知集合 A = {(x, y,z) || x | + | y | + | z |= n, x, y, z ∈ Z , n ∈ N * } ,求集合 A 元素的个数。 要求学生在充分消化例 1 的基础上,求解本题(答案: n( A) = 4n 2 + 2 ) 。 引例作为基础,帮助学生建立起分析问题的框架,然后把例 1 同化到该框架 之内,再进一步借着例 2,形成更高一级的分析框架,完成顺应。 朱永新教授认为理想的课堂有以下特征[7]:一是参与度;二是亲和度;三是 自由度;四是整合度;五是练习度;六是延展度。这是我们衡量课堂是否高效的 一个非常有价值的标准, 指导着我们不断寻找自己的教学实践与教学理想境界之 间的差距,不断地完善自己。 基于以上认识,笔者非常重视学生的参与。通过教师对学生、学生对学生的 有效指导,帮助学生学会自主创新学习,培养学生的创新意识、创新精神和创新 能力。教师作为学生学习的引路人和帮助者,在课堂和活动中,应真正以学生为 主体,给予学生尽可能多的自主创新的时间和空间,鼓励学生体验成功、走向成 功。 笔者对人教版普高数学必修2的《棱锥的结构特征》一课是这样设计的: 取材于课本却高于课本,定位教师只是“引导者” 、学生才是真正学习的“主 体者” 。教师大胆放手,充分运用了启发式、探究式、创新式等教学模式,让 学生在自主学习棱锥的结构特征等基础上,进行自主的创作学习,设计出自 己的棱锥型创作作品。 第一阶段,创设情境,充分调动学生的参与意识,激发学生们的创作热情和 创作欲望,故,笔者运用了一些具“煽动”性的语言,比如: “同学们见过埃及的金字塔吗?(停顿) ” “到过法国罗浮宫,见过宫前的玻璃形建筑吗?(停顿) ”
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“知道这些建筑物的形状是什么吗?(停顿,吊足胃口) ” “其实这些建筑物的形状都是棱锥, 而且是正棱锥。 罗浮宫前的玻璃形建筑, 是一位华人设计师设计的。这位设计师是谁?他有什么样的设计意图?有什么 样的实际应用?其设计灵感又来自于哪里?同学们肯定想知道吧?! 为什么我们自己不来尝试,也试试设计出自己的棱锥型几何体呢?(停顿, 让学生稍微思考。) 为什么不呢!?这可是一个考验自己,又展示自己的好机会。老师相信你们 能行!老师相信,我的学生们,一定能别出心裁,设计出棱锥型的优秀作品! 笔者运用了集煽动、鼓励、暗示等于一体的语言,目的就是为了让学生们群 情激昂,投入到创新学习中去,为实现数学的再创造做了必要的准备工作。 第二阶段,学生自行分组进行自主协作学习。同学自行分工后,根据选择的 课题, 制订研究计划, 运用调查、 访问、 讨论、 网上检索、 合作交流等多种方式, 进行研讨,形成成果,设计出本组的棱锥体作品,动手制作作品模型,并要求学 生自己运用Powerpoint软件给予展示和交流。 讲解时对老师及同学的疑问做出适 当的回答。在学生们讲解并展示他们的创作作品时,笔者把它作为一节公开课进 行推广。 该课程的最后一个环节,是提供学生“议一议”的时间和空间。通过以问题 为载体,贯穿课堂教学,使学生在设问和释问的过程中,新旧知识融合、重组和 内化。使学生的情感和理智全部投入到学习中去,从而培养学生的创新精神和实 践能力,培养学生学习的批判意识和怀疑意识;鼓励学生对书本的质疑、对自己 和教师的超越,使学生逐步走上富有个性化的理解和表达的坦途。 2、强调循序渐进,搞好命题教学 数学家张广厚说: “我在念一本新书时,开头我特别下功夫,由于开头都是 基础的东西, 基础的东西往往是容易接受却难理解。 中学学习也一样, 开头简单, 自己认为懂了,实际没懂。不下功夫,过两三个月就吃力了” 。笔者在教学中, 下足功夫备好新内容引入课。 圆锥曲线的学习是学生普遍觉得困难的部分,笔者着重讲好椭圆的内容, 然后类比学习双曲线及抛物线。 讲椭圆时着重讲定义及由方程讨论曲线性质的一

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般方法,并提供一系列变式题,让学生进行同步训练,加深理解。 笔者在处理新课引入时所设计的问题,强调让学生发现新旧知识的联系。使 学生不感到陌生,有思考的余地。在此基础上向新课作自然延伸,使学生在思考 中有新的发现,进而自然地进入到新课状态和新课情境中来。学习中,学生如果 不能从多角度、多背景深入理解基本要领和命题,不能把基础知识与其他知识联 系起来,没有在头脑中形成良好的知识结构,事实上就没有真正掌握数学基础知 识。 例:已知 a > b > 0, m > 0, 求证:
b b+m < a a+m

课本用分析法证明了此题,但笔者不急于讲解该题,而是先设计两道引入的 题目: 1、往盐水里加盐,盐水变咸,请根据这一事实,提炼出一个不等 式 。 2、民用建筑,窗户面积与地板面积越大,采光效果越,增加同样面积的窗 户与地板,采光效果变好还是变坏?(这一问题与上一题相同,是课后练习) 完成两道引例之后,笔者再进入例题讲解,然后作如下拓展: 请从“斜率”来解释这一结论。 这样,有问题背景,有严谨证明,有适当拓展,并尝试几何方法的渗透。尽 可能提供一种“阶梯”式的问题串,使每一个学生都能够在活动中既有成功的体 验,也有面临挑战的机会和压力,从而锻炼其克服困难的意志,建立学好数学的 自信心。 3、重视解题、重视通解通法 “问题是数学的心脏”这句名言代表了众多数学家的共同看法,也反映了数 学发展的真实情况。现代兴起的“问题解决”与“解题”在英文中是同一个词— —Problem-solving,但比传统意义上的“解题”有了很大的发展,传统意义的 “解题”注重结果、注重答案,而现代意义的“问题解决”则更注重解决问题的 过程、策略以及思维的方法。 波利亚有一段名言经常被人引用: 解题是一种实践性的技能, “ 就像学游泳, 你就必须下水,你想成为解题的能手,你就必须去解题。 ”我国著名数学家华罗 庚先生曾在一次报告中说过, 学习数学要做到训练化, 熟能生巧, 进而出神入化,

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而要这样,就必须多练。解题训练,不仅指题的量,更指题的质,要做一些有变 化的、有技巧的题,掌握更多的新方法、新技巧。 学生对数学题目的掌握经历了“听得懂、会做、做得对”到“做得好”这四 个阶段。最后阶段是指学生能在规定时间内又快又准地解出题目,包括解题策略 的选择。好的解法直指要害,简单明了,落尽繁华见真淳。 单墫教授在《解题研究》[8]一书中说到: “解题如同下围棋,……需揣摩成 局(学习定理的证明或著名题目的解法) ,领会其精髓(深刻的数学思想)”陈 。 题之所以经过大浪淘沙之后能存留正来, 正是因为其经典性。 题目不能一味求新、 一味喜新厌旧。通过对经典题目内涵的充分发掘,可以帮助学生形成优良的数学 认知结构,大力提高概括水平与分析综合能力,促使正迁移的实现。 例子:找出一个均匀四面体 A-BCD 的重心。 从平面向量到空间向量过渡时,笔者采用了该题,这是波利亚于上个世纪三 十年代末期的《怎样解题》[9]中的一个题目。笔者把问题表述为:已知线段的重 心在二等点,三角形的重心在一条中线的一个三等分点,请用类比的方法寻找四 面体的重心,并加以证明。学生通过类比,猜想四面体的重心应该在一个四等分 点,又应该与三角形的重心有关,所以找出底面三角形 BCD 的重心 G,连接 AG, 在 AG 上取点 M,使 AM=3MG,M 应该就是四面体重心。这就是合情推理,然后再 加以证明。证明过程又引进了空间中的重心公式。题目够旧吧,但就是这样一个 题目,既复习了旧知识又引进了新知识,丝毫无陈旧之感。 教学中传授方法不是脱离教材另搞一套, 而是将教材中的方法因素挖掘出来, 在传授知识的同时,将方法传授给学生。对教材进行分析时,除了把握教材的体 系与脉络、地位与作用、重点与难点之外,还要按照知识——方法——思想的顺 序,从知识中挖掘方法,从方法中提炼出思想,使教材分析具有较高的观点。例 如,对立体几何教材进行分析时,可以将空间图形问题转化为平面几何问题,落 实到具体的三角形中,再用有关正、余弦定理知识求解。 过分追求“巧解” ,忽视通法,很可能是一个教与学同时存在的误区。数学 中的“巧解”掩盖了基本思想方法的渗透, “巧解”往往有局限性,适用的范围 一般都比较特殊和窄小。换一条件或变一个简单的结论,也就会使之完全丧失解 题能力,因此巧解并不能根本解决问题。另一方面,基本思想方法是一种解决题

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的通法,具有普遍性、指导性。要想从根本上解决问题,理应首先追求其通法 ———基本思想方法。一味追求巧解,必然缺乏对基本思想方法的挖掘和相应的 训练,从而冲淡和掩盖了对基本方法的渗透。从学生的学习心理上看,当他们对 于一道题目一旦了解或掌握了某一个巧解后, 就对较为复杂的基本方法产生厌倦 心理,也就从根本上阻碍了基本思想方法的渗透。 例 : 设 a ? b = 2 + 3, b ? c = 2 ? 3, 则 a 2 + b 2 + c 2 ? ab ? bc ? ca 的 值 是 。 ,这时

本 题 作 为 填 空 题 , 可 “ 猜 出 ” 答 案 : b = ? 3, a = 2, c = ?2
a 2 + b 2 + c 2 ? ab ? bc ? ca =15。

假如本题的答案是惟一的,当然就是 15。但我们并不知道答案是惟一的,所以 严格说来,得另想办法。这就需要我们“小题大做” 。由原式 a ? b, b ? c ,从式子 的 对 称 性 来 看 , 应 当 还 有 c ? a = ? ( a ? b ) ? (b ? c ) = ? 4 , 原 式 =
1 [(a ? b) 2 + (b ? c) 2 + (c ? a ) 2 ] = L = 15. 2

在学习中,常常需要我们“小题大做” ,才能充分发掘题目的内涵,并培养 严谨的学风。 4、 开放的思路

数学开放题[10],源自日本,英文名是 Open-Ended Problem,意为终端开放的 数学问题。 一个数学问题, 其答案不是唯一的, 而是开放的: 答案可以有许多个, 乃至无限个,呈现发散性状态。由开放的数学题切入,是探究性教学的一条有效 途径。学生面对数学开放题,需要猜想问题的各种结论,调动积极的数学思维作 出正确的抉择,最后要求学生用逻辑方法进行论证。 引入问题的同时,笔者把问题进行拓展,提高了课堂的整合度。讲到直线与 抛物线位置关系时,笔者精心挑选了以下两道例题: 例 1、在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y 2 = 2 x 相交于 A、B 两点。 1)求证:“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB = 3 ”; 2)写出 1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由; 3)如果 OA ? OB = 3 ,那么直线过什么定点?
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三个小题,环环相扣,层层推进,一气呵成。 例 2、过抛物线 y 2 = 2 px 的焦点 F 的一条直线和抛物线相交于两点 A、B,由此可 得出哪些结论? 有猜想,有推理,有证明。让学生在探究中学习、探讨,充分调动学生与学 生之间,课堂教学与学习辅导资料,等等教学资源,达到预期教学目的。

三、结语
培养学生的学习能力,是数学教育的最终目标,涉及教学各个方面,是一个 系统工程。笔者从课堂教学实践出发,作了尝试。从这个角度出发,让笔者在备 课时能切实着眼于学生的知识起点,能力发展水平,不仅重视“讲什么” ,更重 视“怎样讲” 。教育教学有极高境界,我们努力去接近,虽不能至,心向往之。

参考资料

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[1]、 《数学课程标准解读(实验稿) 》教育部基础教育司 组织 数学课程标准研 制组 编写 北京师范大学出版社 2002 年 7 月第 3 次印刷 [2]、[3]: 《学会生存——教育世界的今天和明天》 联合国教科文组织国际教育 发展委员会 编著 北京 教育科学出版社 2000 年 8 月第 6 次印刷 [4]、 《差异教学论》华国栋著 [5]、《数学与教育》 教育科学出版社. 2002 年.

高等教育出版社,2011 年 8 月第 1 版 著 沈湘秦 译 中

[6]、 《自主课堂》[美]Dale Scott Ridley & Bill Walther 国轻工业出版社 2001 年 7 月第 1 版 。 [7]、《新教育对话录》朱永新著生 中国人民大学出版社 [8]、 《解题研究》单墫著

2012 年 2 月第一版

南京师范大学出版社 2002 年 6 月第一次印刷 上海

[9]、 《怎样解题——数学思维的新方法》[美]G-波利亚,涂泓、冯承天译 科技教育出版社 2011 年 11 月第一版

[10]、《数学开放题研究》戴再平、孙联荣、凌国华、时晨著广西教育出版社 2012 年 1 月第一版

?
?

数学教学注重教材使用的有效性?
揭阳第二中学? ? 黄南飞?
摘要:新课程改革的基本要求就是课堂教学的高效性,教师和学生在课堂中的教与学中运 作的纽带就是教科书。所以,追求数学课堂教学的高效首先是数学教师要注重教材使用的 有效性,以有效使用教材为起点,达到课堂的有效教学,再到高效教学。? 关键词:教材? ? ? 有效性? ? 内涵? ? ? 外延? ? ? 变式?

教师传道、授业、解惑的主阵地是课堂,把握住课堂的四十五分钟对每个教
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师来说实在是太重要了! 因此, 如何能够更好地把握住这短暂的时间和机会呢? 我想最为关键的事情是要注重课堂教学的有效性!那么,提高数学课堂教学有 效性的首要对象是什么呢?当然是教材!因为高中学生的数学知识几乎都是来 源于教材,数学能力的形成也都是以数学教科书为出发点然后螺旋上升不断伸 展。而且培养学生的数学能力包括创新能力,传授数学中的重要的思想方法, 帮助学生建构个人的数学价值观的着力点也都是围绕教材来展开的。所以,想 要提高数学课堂教学有效性的当务之急是注重教材使用的有效性。然而,在新 课程理念下我们探索和反思有效使用教材却是一个既重要又多元的课题!本文 结合个人的教学实践就教材使用有效性谈谈几点个人的思考。?

一、 加工教材深度挖掘内涵?
要提高数学教材使用有效性就要求教师在教学中以教材为中心开发教材潜 在的内涵和蕴藏的思考方式,然后进而衍射和拓展,具体到教学内容上可以根 据教材的实际意图进行创造性地加工。新课标教材的一大亮点之一就是设置思 考和探究内容,教师可以利用好课本的思考和探究内容,对教材进行加工使之 脱离原有的呆板。比如教学函数奇偶性(人教 A 版必修 1.3.2)给出思考如下: ? 思考:? ? y? (1) 判断函数 f ( x) = x 3 + x 的奇偶性。? (2) 如果图 1.3‐10 是函数 f ( x) = x 3 + x 图像的一部分,?
o? 你能根据 f ( x ) 的奇偶性画出它在 y 轴左边的图像吗?? 图 1.3‐10? ? 如果单纯考虑解决思考题本身,对于第(1)问可根据函数奇偶性定义判定其奇 偶性; (2) 第 问可由奇偶性要求确定图像对称性然后把图像补充完整就了事了! 但是,这个思考题的实际意义是什么?编写的意图又是什么呢?我想不会单单 是奇偶性判定和补充图像吧!那么,更深层的内涵是什么呢?根据本节教学内 容的要求和进一步对教学内容的思考后我最终明白应该是根据函数的奇偶性求 函数的解析式!于是我把思考问题加工成如下分层问题:? x

例一: (1)已知函数 f ( x ) 定义在 R 上的偶函数,当 x ≥ 0 时, f ( x) = 2 x ? 3 ,作 出 f ( x ) 的图像,并求出函数的解析式。? (2) 已知函数 f ( x ) 定义在 R 上的奇函数, x ≥ 0 时,f ( x ) = x (1 + x ) , 当 作出 f ( x ) 的图像,并求出函数的解析式。 (人教 A 版必修 1 习题 1.3 第 6 题)? (3) 已知函数 f ( x ) 定义在 R 上的偶函数, x ≥ 0 时, f ( x) = x 3 + x , 当 作出 f ( x ) 的图像,并求出函数的解析式。? 分析:根据函数为奇偶性,已知部分图像,可以根据图像的对称性,然后用待 定系数法求出相对称的部分图像的表达式。? 解 : 1 ) 根 据 偶 函 数 定 义 作 图 ( 图 1 ) 当 x ≤ 0 时 , 设 f ( x) = ax + b , (

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f ( ?1) = f (1) = ? a + b =‐1 , f ( ?2) = f (2) = ?2a + b = 1 解 得 a = ?2, b = ?3 ,

?2 x ? 3, x ≥ 0 f ( x) = ? ? ??2 x ? 3, x < 0 ?
y?

o?

x

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (图 1)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (图 2)?

?

?

解: (2)由(图 2)当 x ≤ 0 时,设 f ( x) = ax 2 + bx + c , f (0) = 0 , ∴ ? c = 0 , ? x(1 + x), x ≥ 0 ? f ( ?1) = a ? b =‐2, f ( ?2) = 4a ? 2b =‐6,∴ a = ?1, b = 1 ∴ f ( x) = ? ? x(1 ? x), x < 0 解: (3)由于是三次函数,当当 x ≤ 0 时,设 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , f (0) = 0 ,
? x 3 + x, x ≥ 0 ? ? ∴ d = 0 ,分别取 3 个点,解出 a = ?1 , b = 0 , c = ?1 ∴ f ( x ) = ? 3 ? ? x ? x, x < 0 ?

三个问题都是使用待定系数法求函数在相对称区间的表达式,然而,众所周知 待定系数法对表达式的特点是有要求的,常见于线性方程才能使用。还有,这 种方式求函数解析式比较繁琐,计算量也比较大。反思课本思考题,待定系数 法显然不是教材思考题设置的目的,因为待定系数法有很强的极限性。如果反 过来想,对于一般方程(比如超越方程)如果还想用待定系数法求相对称的解 析式是很难行得通的。 所以, 对于一般情况我们希望能探索出解决问题的通法。? 当 例 2: 已知函数 f ( x ) 定义在 R 上的奇函数, x > 0 时,f ( x) = e x ? sin(2 x ? 1) + 1 , 求出函数的解析式。? 分析:从函数表达式来看既无法作出图像,也无法用待定系数的方法求函数解 析式了,能够使用的唯一条件是函数“奇偶性” !? 解:设 x < 0 ,则 ? x > 0 ,∴ f (? x) = e ? x ? sin(?2 x ? 1) + 1 = e ? x + sin(2 x + 1) + 1 ? 而 函 数 f ( x) 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 所 以 , f (? x) = ? f ( x) , ∴ ? f ( x) = e ? x + sin(2 x + 1) + 1 ? ? 当 x < 0 时, f ( x) = ?e ? x ? sin(2 x + 1) ? 1 ?
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?e x ? sin(2 x ? 1) + 1, x > 0 ? ? ∴ 函数 f ( x ) 的解析式 f ( x) = ? ? x ??e ? sin(2 x + 1) ? 1, x < 0 ?

很显然,思考题其实就是启发教师在教学中帮助学生导出利用奇偶性求函数解 析式的通法。回顾反思两个例题解决问题的不同方式,二者进行比较和融汇更 是相得益彰。其实,我们在课本上一个相对简单的思考问题的基础上,通过加 工深入挖掘教材内涵,设置有效的阶梯性问题,在解决问题中比较后提炼出解 决某类问题的一般方法,这样既立足教材更发展提高教材!学生的数学能力也 在这过程中得到培养和有效提升。而教材使用的有效性也得到完美地诠释!?

二、 深入挖掘和拓展?
上面的解决问题思想, 我们可作进一步挖掘和拓展提升, 可以求函数关于直 线对称的函数解析式。? 函数 g ( x ) 的图像与 f ( x ) 的图像关于直线 y = x + 1 对称, 例 3: 已知 f ( x) = e x + 1 , 求 g ( x ) 的解析式。? 解:设 g ( x ) 图像上的任一点的坐标为 M ( x, y ) ,点 M 关于直线 y = x + 1 对称的

? y1 ? y ? x ? x = ?1 ? 点 N ( x1 , y1 ) 则 ? 1 ∴ y1 + y x1 + x ? = +1 ? 2 ? 2

? x1 + y1 = x + y 解得 ? ? x1 ? y1 = y ? x ? 2

? x1 = y ? 1 由于 N ? ? y1 = x + 1

( x1 , y1 ) 在 f ( x) = e x + 1 上所以, x + 1 = e y ?1 + 1 ,∴ y = ln x + 1 , g ( x) = ln x + 1 ?
评析:本例中的函数解析式可以变化,对称直线可为一般式方程,解决问题的 方式不变。? 例 4:长度为 1 的线段的两端点 A、B 分别在 x , y 轴上运动,求线段 AB 中点的 轨迹方程。? 解:A、B 分别在 x , y 轴上运动,|AB|=1,设 A ( x1 , 0) ,B (0, y1 ) ,则 x12 + y12 = 1 ?

x1 ? ?x = 2 ? x1 = 2 x ? AB 的中点 M 为 ( x, y ) ,由于 M 是 AB 的中点,所以, ? ∴? 从而得 M 的 ? y = y1 ? y1 = 2 y ? ? 2
轨迹方程 (2 x) + (2 y ) = 1 ,即 x 2 + y 2 =
2 2

1 ? 4 评析:奇函数的图像关于原点对称,本例可以将其拓展到任意点对称的情况。 ?

三、例题作变式训练?
人教 A 版必修 1.3.2 函数单调性例题(如下)?
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例 5? 判断下列函数的奇偶性:? (1) f ( x) = x 4 ;? ? ? ? (2) f ( x) = x5 ? ? ? (3) f ( x) = x +
1 1 ? ? ? ? ? ? ? (4) f ( x) = 2 ? x x 就例题本身来看,四个问题都属于“低位”的基础训练。为充分提高教材使用 的有效性,在教学中可作适当的变式训练。?

变式 1:判定 f ( x) =

x5 1 的奇偶性。? 变式 2:判定 f ( x) = 2 的奇偶性。? x +1 x2 + 1

变式 3:设 f ( x) = 2sin x + x5 + 1 ,若 f ( a ) = 3 ,求 f ( ? a ) 的值。? 变式 4:设 f ( x) =

( x + 1) 2 的最大值为 M,最小值为 m,求 M+m 的值。? x2 + 1 ( x + 1) 2 + sin x 的最大值为 M,最小值为 m,求 M+m 的值。? x2 + 1

变式 5:设 f ( x) =

对例题作这样的变式训练能更进一步开发例题所蕴含的题意,不但拓宽教材例 题的深度和广度,而且在外延上有效使用开发教材的潜能。?

四、总结?
课堂教学的有效性理应成为衡量教学实施成败的一个重要指标,所谓好课 其实就是有效教学的课。叶澜教授认为的“扎实、充实、丰实、平时、真实” 的课就是优秀的“好”课,而其中“充实”就是有效性。那么,如何让教师在 新课程背景下提高数学课堂教学的有效性呢?我想其中教师应该努力一个重要 方面就是注重教材使用的有效性。对于每一节数学课而言,我们对教材进行加 工改造,深入挖掘将增加教材在内涵上的深度;而变式训练则会增加教材在外 延上的广度。通过在内涵和外延上的深度和广度的开发和延展,教材中的资源 很自然就能得以有效使用。? 总而言之,要让数学课堂的有效教学深刻化,教师可以从教材使用的有效性 出发,用前瞻的眼光看教材,“发现教材” ,以期达到新的高度。我想,在全面推 进新课程改革和全面提高学生素质的今天,注重教材使用有效性是十分迫切和 必要的。因为它不仅可以大大降低师生不必要的精力和物力的浪费,还可以最 大限度提高数学课堂教学的效果。?

普通高中数学 341 高效课堂教学模式的研究
揭阳邱金元纪念中学 王俊龙

【摘要】 普通高中数学 341 高效课堂的教学模式, 在课堂内外都发挥了学生学习 的独立性并且使学生的学习积极性在课堂上得到充分的发挥,学生学得自主、紧 张、高效,能真正面向全体学生。这种教学模式不是看老师讲了多少,而是看学 生学了多少,能力提高了多少,效果评价围绕“会与提高” ,围绕课标和考纲的
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能力要求,围绕课堂学习探究的深度、思维密度、知识质量和推进速度。课堂不 仅是形式上活,更应是思维上活。

【关键词】

高效

分组合作

展示点评

相对重点高中而言,普通高中的学生基础一般都比较薄弱,学生的自主学习 能力又比较差,所以要达到真正的高效课堂并非易事,下面我主要是针对普通高 中的实验班进行数学高效课堂教学模式的研究,而这个模式我把它称为“341 高 效课堂教学模式” 。 一、普通高中数学课堂实施“341 高效课堂教学模式”的意义 普通高中数学 341 高效课堂的教学模式,是从学生实际出发,从学生原有知 识出发,循序渐进,学会了前进,以实现掌握学习,这是大面积提高教学质量和 防止学业失败现象的根本措施; 这种教学模式在课堂内外都发挥了学生学习的独 立性,因为这种模式承认、尊重、深刻认识、正确对待并积极引导和发挥学生的 “独立性” ,才能在教育和教学上取得优良成绩;这种教学模式使学生的学习积 极性在课堂上得到充分的发挥,学生学得自主、紧张、高效,能真正面向全体学 生,从而能全面提高学生的学习成绩。 二、对高效课堂的理解 高效课堂即课堂上以尽可能少的时间、精力和物力投入,取得尽可能好的教 学效果。尽可能好的教学效果可以从以下两个方面来体现: 一是效率的最大化。也就是在单位时间内学生的受益量。主要表现在 课堂容量,课内外学业负担等。 二是效益的最优化。也就是学生受教育教学影响的积极程度。主要表 现在兴趣培养、习惯养成、学习能力、思维能力与品质等诸多方面。 只有效率的最大化或只有效益的最优化的课堂,都不是真正意义上的 “高效课堂”。只有二者协调和谐统一,“高效课堂”才能形成。简言之, “高效课堂”至少在教学时间、教学任务量、教学效果等三个要素方面有

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突破,概括为:轻负担,低消耗,全维度,高质量。 高效课堂的内涵可以从以下三个方面来体现: (一)、课堂实然目标:从低效甚至负效→有效课堂的探索→实现课堂高 效。通过改变课堂效益量化,旨在发挥 40 分钟的时间效能,原则是尽可能不浪 费每一分钟。唯此,才有可能把学生从时间+汗水的应试模式中解救出来,把时 间还给学生,把睡眠、灵性、兴趣、发展还给学生。 (二)、课堂应然目标:从学会知识→基础学习能力→终身发展能力。实现 课堂真正意义上 “质” 的提升, 课堂即成长, 即成长知识能力, 也成长精神创造。 (三)、高效课堂的特征:主动性、生动性、生成性。主动是学习状态, “主 动”会激发潜能、乐在其中、带来效益、生成能力。生动性,是追求课堂的情感 价值, 突出 “学乐” “乐学” 学习如饮甘露琼浆, “怕上学” “怕下课” 和 , 变 为 。 生成性,课堂要敢于变各种“句号”、 “叹号”为“问号”。追求“主体多元”, 鼓励不同见解,让思维激荡思维,让思想冲撞思想,让方法启迪方法。课堂价值 尽在“不可预设”的“现场生成”上,一切的预设应服务于现场,而不是服务于 预设。 三、普通高中数学 341 高效课堂教学模式的定义 第一个含义是对时间的划分:“3”是课堂上老师讲不超过 15 分钟, 不一定是连起来讲,可以是分开讲; “4”是学生学习(自学、讨论、展示) 20 分钟;“1”是 5 分钟反馈过关。 第二个含义是对学生组成的划分:八分之三是优秀学生,二分之一是 中档学生,八分之一是后进学生。即一个班 60 个学生,大约 22 个学生是 能够自学会的,30 个学生是需要通过与同学讨论、老师点拨才能学会的,8 个学生是大家帮助的对象,通过小组讨论、老师帮助把这 8 个学生成绩提 高。我们的任务是让这 22 个优秀学生在课堂自主学习的过程中学得更好, 让他们明白,给别人讲一遍,胜过自己考虑两遍,老师再给他们出自助餐; 通过小组互相讨论,把中间 30 个学生分化掉,50%就是 15 个,把他们推到 优秀生的行列,22+15=37,这大概就是我们的本科上线人数。同时剩下的

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15 个向前推,后面的同学通过兵教兵,通过小组活动,最终部分同学学有 把握的,部分同学学习进步的,再通过考音体美,将来学生都要有学上。 第三个含义是对学习内容的划分:八分之三是不用讲学生能自学会的, 二分之一是通过讨论才能学会的,八分之一是同学之间在课堂上展示、互 相回答问题,老师的强调、点拨,反复训练才能会的。“3”就是自己学会 的,“4”是讨论巩固学会的,“1”是同学帮助、老师点拨学会的,这样 就都学会了。 四、普通高中数学 341 高效课堂教学模式的实施 (一)精心编制导学案 (1)导学案是引导学生学习的方案,是高效课堂成功的前提,所以导学案 的编制要高度负责,下大功夫,大胆整合教材,精心研究课标要求和知识能力 的要求,重点突出,难易适中,设计好 ABC 分层,满足不同学生的具体要求, 实现分层达标。 (2)导学案的编制一定要走程序,指定的编制老师要提前一周开始编制, 中间备课组集体研究两次,讨论修改。定稿后印发给每位老师,电子稿上传至 ftp,实现资源共享。 (3)导学案内容包括:学习目标、重点难点、使用说明、自学指导、针对 训练、当堂检测、学习反思等(不同课型、不同内容的导学案应有所侧重);训 练学案要分层设计,有适当迁移扩展,归纳小结,注重限时训练。 (4)导学案编制体例要规范,要设计编制人、审核人、包科领导签字、日 期、编号、学生姓名、评价等级等内容。 (5)导学案提前一天发给学生,有指导,有要求,有收有批,有评有纠。 (二)精心准备个人教学设计 (1)教师要设计好课前预习目标,让学生非常清楚地知道自己要做什么及 达成什么目标。要设计好对学习小组长和学习小组的培训方法和培训目标,充 分发挥小组长的作用。

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(2) 老师在自己的活页备课上认真对班级内每一层学生的学习目标进行立 体设计,要精心安排实现目标的过程及检查评价。要有对讨论、展示、点评、 总结等课堂环节紧凑而高效的时间安排。要大胆创新展示方式,彰显生命力, 但一定要保证展示高效。 (3)要有预设问题的准备及设计,尤其是时间的预设,保证既解决了新生 成的问题,又使课堂紧凑高效。 (4)教师除了精心备教材背后所承载的能力,更重要的还要组织课堂实施 过程,实行立体化教学,让每个学生时时有事做。 (三)组织学生进行课前预习 课前充分预习是“341 特色课堂”顺利进行的前提和保障,对教材预习越 充分,对导学案越熟悉,课堂效果就越好。教师要指导学生利用课前 15 分钟 左右的时间自主学习,认真钻研教材,查阅相关资料,静心思考课本内容,在 此基础上完成导学案。不会的问题用红色笔标出,找出难点和疑点,明确课堂 学习重点,提高课堂学习的针对性。预习过程中,小组长要做好调控,组织同 学进行简单讨论,认真检查每个同学的学案,确保自学效果。 (四)课前培训学习小组及小组长 (1)教师要在课前培训组长,让其了解这堂课的整体设计、目标要求,如 何组织小组讨论,讨论哪些重要问题,小组推选哪位同学展示和点评等。课前 培训的过程就是培养学生学习能力的过程,老师要高度重视,确保每节课前都 要有培训且培训效果好。 (2)任课老师要创新培训方式,提高培训效率,少占用学生学习的时间。 (3)课前培训的前提首先是自己备好课才能有的放矢,但也不否认在培训 期间接受学生好的建议,及时修改与调整自己的备课。 (4)小组长组织组员搞好讨论,讨论哪些重要问题,安排同学展示,充分 发挥小组长的领头羊的作用。 (五)、课堂基本结构:视具体内容可采取一节课三个阶段的方法(预习 讨论交流,展示质疑反馈,总结提高检测)。

60

1、分组排位:六人左右一组,划分科学,由班主任协同各科老师根据 总成绩统一安排,合理搭配,确保每小组每科都有优秀同学和相对弱科同 学,组长就由本组学科最优秀的同学担任,可分科兼任。小组内又将每两 个同学结成一个互帮对子,互相检查,互相帮助。各科一定培养好小组长, 小组长作用非常大,要组织本小组形成一个坚强的合作团体,布置检查本 组同学学习情况,组织发言展示等。 2、展示平台及方式:以前后黑板和每班的两块小黑板为展示平台,固 定地方,还可使用实物投影仪。展示方式可口头、可书面,要求必须简洁、 逻辑、重点突出、见解深刻,能分析、讲解、点评、总结。 3、课堂基本结构:整体上实行“三、四、一”模式,即一节课 20 分 钟学生预习交流展示,15 分钟老师点拨,5 分钟当堂清理检测。 (六)、课堂的一般流程: 1、 预习自学, 探究问题: 根据学习目标, 学生在规定时间内完成学习任务, 认真预习、自主分析、解决问题,自己解决不了的疑问用红色笔标注。 2、完成学案、训练应用:学生自主完成学案,要求是:一要强化思考和规 范;二要书写认真、标注清楚,自己不会的问题、一些综合思考性题目或答案不 唯一的题目注意标记; 三要注重题型、 思路、 规律的总结。 学案中的大部分内容, 中等以上学生通过自学后都能完成。 3、分组合作,讨论解疑:教师全面掌控,由小组长负责组织,围绕问题进 行交流、讨论甚至争论。首先在组内三个层次中分层一对一讨论,共同研究解决 问题,仍然解决不了的向上一层同学请教。这个环节中学生相互学习共同促进。 老师要巡回收集学生讨论中仍然解决不了的问题,以备针对性点拨。 (以上三个环节约占课堂 20 分钟时间,即“341”中的“4”) 4、展示点评,总结升华 展示和点评是“341 高效课堂”最关键的环节,教师要精心准备。 (1)老师备课时要设计好学生展示内容,不同层次的学生要展示不同难度 的问题,确保展示有针对性。

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(2)要求学生主动展示、主动点评,严禁老师点名,老师可提前帮助做好 展示和点评的准备。 (3)学生尽量书面展示,充分利用前后黑板,多个小组同时展示,板书认 真工整,点评规范大方。 (4)保证脱稿展示和点评,言简意赅,一语中的,形式多样,展示要有深 度和价值,展示的内容对其他同学有启发和借鉴意义,可以是正确过程,也可 以是错误教训,可以是总结沉淀的方法规律,也可以是对题目的扩展提升。 (5)展示和点评全员参与,严防课堂变成几个同学的独角戏。展示的问题 要满足不同层次学生的需求,班级要创设一种安全环境,让每一个同学敢于展 示,敢于点评,不怕说错。 (6)学生点评时,老师要聆听每句话,关注每个细节,根据情况给予恰当 帮助,可以在学生争论不休时给出一个肯定结论;可以帮助学生修正完善答案 并总结方法技巧;可以抛出问题引导学生联想质疑,也可以就某个问题启发学 生拓展深化并提炼出规律性结论。 (7)老师要在点评过程中进行及时性评价,对生成性问题和重点疑难进行 启发、引申、拓展、追问,对知识进行深化、提升。 (8)及时评价时,一评知识,二评情感态度,三评过程方法、肢体语言是 否合适、声音是否洪亮、语言表达是否准确等。 (9)课堂要注意知识的生成过程,入概念、规律、原理、公式、定理、事 件等,注重突破原有的认识,注重核心观念的梳理和方法的落实,注重挖掘教 学内容的社会价值和功能。 (10)老师的点拨、强调要从效果出发,点重点,点规律方法,点透,点到 位,注重整合,要有单元整体教学思想。 (该环节约占 15 分钟,即“341”中的“3”) 5、清理过关,当堂检测。 (1)要组织学生认真反刍当堂学习内容,构建清晰的课堂知识网络,当堂 内容清出底子,迅速、独立完成当堂检测。

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(2) 组织学习班长对学习内容和学习小组成员课堂表现的进行总结性评价, 评选出课堂表现最佳学习个人和最佳学习小组。 每一节课后,教师都要发下新的导学案或者训练学案,对下一节课的组学 内容提出具体明确的要求,明确完成学案的时间、内容,分层布置作业,督促 小组长收齐并及时上交。 (该环节约占 5 分钟,即“341”中的“1”) 6、自我完善、训练提升:通过完成训练学案,总结课上所学,反思目标达 成,巩固学习成果。 总之,“341”课堂模式不是看老师讲了多少,而是看学生学了多少, 能力提高了多少,效果评价围绕“会与提高”,围绕课标和考纲的能力要 求,围绕课堂学习探究的深度、思维密度、知识质量和推进速度。课堂不 仅是形式上活,更应是思维上活。

在“自查互评”中发展学生的数学思维
普宁英才华侨中学杨丙英
[摘要]:现代教学论认为:数学教学是数学思维活动的教学,学习数学的目 的不仅仅是为了获得数学知识,更主要的是为了培养人的思维能力、提高人的思 维品质。本文主要浅谈一下“自查互评” (即在教师的引导下,学生对做过的数 学习题进行反思性自查与对比性互评)在发展学生思维方面所起的作用。 关键词:数学思维;自查互评;反思对比 现代教学论认为:数学教学是数学思维活动的教学,学习数学的目的不仅仅 是为了获得数学知识,更主要的是为了培养人的思维能力、提高人的思维品质。 数学思维就是数学活动中的思维,数学问题是数学思维的对象。狭隘地说,数学 思维就是通过发现问题、 解决问题达到对客观世界的数量关系和空间形式的本质 的认识的思维过程。 这就说明培养学生的数学思维能力和提升学生的数学思维品 质是数学教学的核心。 “自查互评”指的是在老师的引导下,学生对做过的习题进行反思性自查与 对比性互查,从中了解自己在解题过程中的缺漏之处和他人在解题过程中的“易 错点”与“闪光点” ,进而弥补、警戒与吸收,以完善自己的知识网络,发展自
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己的数学思维。当前教学过程中,大部分教师对学生解题的跟踪处理方式比较单 一,常常是教师批改,必要时进行讲评。这虽然能取得一定的教学效果,但是给 教师带来的很大的负担,同时,也没有充分发挥出解题的功能。若是在其中添加 一种“自查互评”的方式作为有益的补充,则对发展学生的数学思维更为有利。 一、在“自查互评”中提高学生的数学思维能力 1.“自查互评”为学生的概括能力发展提供了便捷的平台 高尔基曾说: 如果学习只在模仿, “ 那么我们就不会有科学, 就不会有技术。 ” 数学问题多如牛毛, 问题形式也是千变万化, 如果只会模仿,就很容易陷入题海, 老是机械重复,无益于能力的提高,实是极大的浪费。都说万变不离其宗,数学 也不例外,很多数学问题的解决其实是有通性通法的。虽然老师讲课时有帮助学 生进行过抽象与概括、 归纳与总结等, 但毕竟不如自己得来的强。 “自查互评” 而 的方式无疑为之提供了便捷的平台。比如老师曾布置学生做过以下练习题,求下 列函数的值域: (1)y=x -2x+5; (3) y (5) y
2

5x 2 + 4 3x + 1 (2) y = ; x2 +1

= 4 x ? 1 + 2 x ? 3 ; (4) y = 2 x 3 + 4 x 2 ? 40 x, x ∈ [?3,3] ; = x + 4 1? x ;
; (6) y (8) y

= x + 1 ? x2
4 ; x

;

1 ? x2 (7) y = 1 + x2
(9) y

= x+

= x ?1 + x + 4 ;

(10) y =

4 sin x ? 1 . 3 cos x ? 6

学生将这组习题解完后, 再将自己的做法与老师提供的参考答案进行对比反 思与印证总结,或与同学交换互查,相互对比评价与讨论总结,即可得出几种常 用的求函数值域的方法:1.配方法;2.判别式法;3.单调性法;4.导数法;5. 换元法;6.三角代换法;7.分子实数化法;8.基本不等式法;9.数形结合法。 2.“自查互评”有利于直觉思维能力与逻辑思维能力的发展 法国著名数学家彭加勒曾经说过: 逻辑是证明的工具, “ 直觉是发明的工具” 。 而在我们解决数学问题尤其是数学推理问题的过程中, 很多时候直觉指引我们找 到解题方法,而逻辑帮助我们完善解题过程。然而,我们不少同学的直觉思维与

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逻辑思维混乱。比如:证明过程中“长方体中侧棱垂直于底面”可以直接应用, 而要通过面面垂直,得到两个面中的两条直线垂直则必须要有推理过程:面面垂 直→线面垂直→线线垂直。 可是实际解题中不少学生则恰好将两者反过来了—— 前者进行推理证明,后者直接应用结果。推理证明尤其是几何证明,一直是让不 少师生头痛的问题——很多问题老师可能一而再、 再而三地讲, 学生也认真听过, 但在遇到类似问题时,不少学生仍然犯同样的错误。 后来, 我想是不是因为学生对定理记忆混乱?于是我 让学生把相关的概念与定理都背下来, 但效果并不明 显。 通过调查分析, 我发现有相当一部分学生直觉思 维能力与逻辑思维能力较弱。若教师恰当地引导学生进行“自查互评” ,则可有 效地锻炼和提高学生的直觉思维能力与逻辑思维能力。 例:如图,平行四边形 ABCD 中, ∠DAB = 60° , AB = 2, AD = 4 将 ?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ⊥ 平面 ABD 求证: AB ⊥ DE 证明:在 ?ABD 中,Q AB = 2, AD = 4, ∠DAB = 60°

∴ BD =

AB 2 + AD 2 ? 2 AB ? 2 AD cos ∠DAB = 2 3

∴ AB 2 + BD 2 = AD 2 ∴ AB ⊥ BD
又Q 平面 EBD ⊥ 平面 ABD 平面 EBD I 平面 ABD = BD, AB ? 平面 ABD
∴ AB ⊥ 平面 EBD Q DF ? 平面 EBD,∴ AB ⊥ DE .

这是一个简单的几何证明题,答案学生基本都能理解,但让学生独立去做的 时候,不少学生就想不到要先去证明 AB⊥BD,也不能快速想到它与 AB⊥DE 的关系。 我就引导学生从结论入手进行分析,缺少什么找什么,本题中要证异面直线互相 垂直(AB⊥DE),需要证线面垂直,结合图形不难找出 AB⊥平面 EBD,而要证线面垂 直(AB⊥平面 EBD),结合题设平面 EBD⊥平面 ABD 与图形,不难发现缺少条件 AB⊥ BD,而 AB 与 BD 相交,结合题中数据,用勾股定理逆定理即可解决。通过这样的分
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析,再引导学生反思解此类问题的方法与过程,并且让学生之间交换互查,寻找错 误的原因,以及解决问题的方法,可取得较好的效果。 而且学生的直觉思维能力与 逻辑思维能力也得到了锻炼与提高。 3.“自查互评”为学生的创造性思维能力的发展提供了动力 很多数学问题从来就不只是一种解法,不少问题的最佳答案不是由成绩最 好的学生提供的,甚至也不是老师讲解出来的,而是由一些感兴趣、爱思考的普 通学生发现的。如果教师引导得当,学生可以通过自查互评、对比反思、收集整 理等方式得出一题多解, 若是自己解题的方法比参考答案或者某个同学的方法更 好,心理上自然而然的会产生优越感、满足感,体验过“成功”的喜悦之后,自 然就更有热情、有动力去发现、去探索、去创新了;若是发现某个平时成绩不如 自己的同学在解答某个问题时由于方法简便、 条理清晰受到了同学称赞或是老师 的表扬,出于某种不服输的心理,该生定会努力思考,企图发现更好的解法。 例:求过点 P(4,-1)且与圆 C: x 圆的方程. 求圆的方程一般情况是先求出圆的两要素——圆心坐标与半径。 对于这道题, 大部分学生的做法是:设所求圆的圆心 B 为(a,b) ,半径为 r,因为圆 C 圆心 坐 标 为 C ( -1 , 3 ) , 半 径 为
2

+ y 2 + 2 x ? 6 y + 5 = 0 切于点 M(1,2)的

5

, 利 用 方 程 组

2 2 2 2 2 ?(4 ? a ) + ( ?1 ? b) = (1 ? a ) + (2 ? b) = r ? 即可求解。由于此法计算量相对 ? ? ( a + 1) 2 + (b ? 3) 2 = r + 5 ?

较大,有的学生就会另辟蹊径,通过研究图形,发现所求圆的圆心 B 是线段 PM 的中垂线与直线 CM 的交点,联立两条直线方程,可求出圆心 B 的坐标,而半径 r=

BP 。
遇到此种情况, 老师可在班上公布新的解法, 并指明这种方法是由谁发现的,

这样,学生的好胜心与兴趣就被调动起来了。这时,老师若再适时的抛出一些有 多种解法的问题,由学生自行解答,同学之间交换批解,将情况汇总,最后由老 师公开点评,这必能引导学生积极思考、努力探索,充分发挥学生的聪明才智。 二、在“自查互评”中培养数学思维品质 心理学家认为,培养学生的数学思维品质是发展数学能力的突破口。思维品

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质包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和创造性,它们反映了思维的不 同方面的特征,因此在教学过程中应该有不同的培养手段。 1.通过对比反思解题结果的正误,培养学生思维的深刻性 数学的性质决定了数学教学既要以学生为基础, 又要培养学生的思维深刻性。 数学思维的深刻性品质的差异集中体现了学生数学能力的差异, 教学中培养学生 数学思维的深刻性,实际上就是培养学生的数学能力。数学教学中应当教育学生 学会透过现象看本质,学会全面地思考问题,养成追根究底的习惯。解题后引导 学生进行“自查互评”,通过对比反思解题结果的正误,对于那些容易混淆的概念 或定理,将会有一个更深刻的理 解 与 认 识 。 如 求 函 数

y = ln( x 2 ? 2 x ? 3) 的单调性.
不少学生认为单调递增区间是 [1,+



), 单 调 递 减 区 间 是 (-

∞ ,1],但正确答案中单调递增区
间是[3,+ ∞ ),单调递减区间是(- ∞ ,-1].通过“自查互评”,让学生自己发现问 题并探求其原因,很快,学生会发现函数的单调区间必须是在定义域内。这样,学 生对函数单调性的理解将更为深刻。 2.通过反思对比解题方法,培养学生思维的灵活性和敏捷性 思维灵活性在数学教学中突出表现为解题能力,即有效地变换解题方法的 能力,巧妙地从一种解题思路转向另一种解题思路的能力,还表现为从已知的因 素中发掘新因素,从复杂隐蔽的数学关系中抓住问题的实质。而数学思维的敏捷 性, 主要反映了正确前提下的速度问题, 同时还表现在缩短计算环节和推理过程, 直接而迅速地获得解题思路和结果。通过反思对比解题方法,不但可以让学生比 较深刻的掌握一题多解或多题一法,培养了思维的灵活性。同时,通过规律的总 结,可以帮助学生在今后的解题之中优化解题方法,简化解题过程,从而培养学 生思维的敏捷性。 如:函数 y=-xcos x 的部分图象是( )

分析:本题要是直接画出函数图像不容易,但从四个图像中选出正确的图像则不 难,只须抓住函数的奇偶性与取值特征,很快便可排除 A,B,C 选 D.
67

又如: 若直线 y=x+b 和 y= 1 ? x 2 有两个不同的交点, b 的取值范围是 ) 则 ( 。 (A)(- 2 ,

2)

(B)[- 2 , (D)[1,

2]

(C)(-∞,- 2 )∪[ 2 , +∞]

2]

分析: 解这类题,学生大致会有两种解法,一是转化为方程组有两个不同 解,利用 ?

> 0 来求解。但本题中 x 的取值受限制,故此法不易。二是转化为两

个图像有两个公共点,利用数形结合的方法来求解。此法相对较为容易。 思维的灵活性与思维的敏捷性是相互依存的,因此数学教学中采取措施(如 编制口答练习题)加快学生的思维节奏,对于培养学生的思维灵活性也是很有好 处的。 3.通过反思对比解题疏漏,培养学生思维的批判性与创造性 数学思维的批判性指学生在思维活动中善于估计思维材料、 检查思维过程, 不盲从、 不轻信。数学思维的创造性,是指思维的结果或处理问题的方法带有 新颖性,独特性。在深刻理解掌握某些典型问题解法的基础上,教师可引导学生 对比反思其题设与结论,设置变式训练。 人教 A 版选修 2-1 P37 习题 2.1 上有这么一道题:过原点的直线与圆

x 2 + y 2 ? 6 x + 5 = 0 相交于 A,B 两点,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程.我把它作
为作业布置下去,收上来后我发现共出现以下四种解法: 解法一:设直线方程为 y 整理得, (1 + k
2

= kx ,代入圆的方程 x 2 + y 2 ? 6 x + 5 = 0

)x2 ? 6x + 5 = 0

设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),M( x, y ),则

x=

x1 + x2 y + y 2 k ( x1 + x2 ) 6 6k ,y= 1 = = = 2 2 1+ k 2 2 1+ k2
2

消去 k 整理得, x

+ y 2 ? 3 x = 0 即为 M 的轨迹方程.
2

解法二:设 M( x, y ),圆 x

+ y 2 ? 6 x + 5 = 0 的圆心为 C,则 C(3,0)

由题意可知,CM ⊥ AB,故有 k CM

? k AB = kCM ? k om = ?1

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y y ? = ?1( x ≠ 3且x ≠ 0) x?3 x
2

整理得, x

+ y 2 ? 3 x = 0 ( x ≠ 3且x ≠ 0 )即为 M 的轨迹方程.
2

解法三:设 M( x, y ),圆 x

+ y 2 ? 6 x + 5 = 0 的圆心为 C,则 C(3,0)

由题意可知,CM ⊥ AB,

在Rt?OCM中, OM 2 + CM 2 = OC 2
∴ x 2 + y 2 + ( x ? 3) 2 + y 2 = 9
整理得, x 解法四:设圆 x
2 2

+ y 2 ? 3 x = 0 即为 M 的轨迹方程. + y 2 ? 6 x + 5 = 0 的圆心为 C,OC 中点为 D,
3 ,0)由题意可知,CM ⊥ AB, 2

则 C(3,0),D(

1 3 在Rt?OCM中, DM = OC = 2 2
由圆的定义知,点 M 的轨迹方程为 ( x ?

3 2 9 ) + y2 = . 2 4

这些解法的难易姑且不去评论,但它们都存在一个问题,那就是忽略了一个 隐含条件:弦的中点必在圆内,而方程

x 2 + y 2 ? 3 x = 0 上的点有的不在圆

x 2 + y 2 ? 6 x + 5 = 0 内,必须舍去.
事实上,点 M 的轨迹方程为 x
2

5 + y 2 ? 3 x = 0 ( < x ≤ 3 ). 3

于是,我在班上公布了这四种解法与正确答案,随后要求学生去寻找这些方 法的漏洞,并将其弥补。 这一举动,不仅可以很好地帮助学生培养与提高思维的批判性与创造性,而 且也能够加深学生对知识的理解与运用程度,提高思维的深度与广度。 总之,学生需要通过做练习来巩固知识、提升能力,教师也需要通过批改作 业来获得反馈情况,以便有针对性的进行教学。但是,笔者认为,就象学生不是

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题目做得越多成绩就会越好能力就会越强一样, 教师也不是作业批改讲评得越多 教学效果就会越好。 教师可以留一些时间出来指导学生进行反思性自查与对比性 互评,这对培养和提高学生数学思维能力和思维品质的效果会更好。

利用开放式教学实现高效课堂模式的探究
揭阳华侨高级中学林丽宏
摘要:本文论述开放式教学的内涵及意义,利用个案《平面向量的数量积及 运算律》剖析在课堂中如何开展开放式教学。通过教师评价与学生的评价(调查 问卷)分析,指出采用开放式教学时应注意的几点要求: 1.鼓励学生参考已有的知识和技能,提出新问题、探索新问题。? 2.促进学生积极探索的态度和探索的策略。? 3.多运用变式教学,提高学生数学智力。? 4.鼓励学生讨论交流与合作。? 5.培养和促进学生的好奇心和求知欲。?
6.适当兼收并蓄各种教学方法之长,取长补短。如:当碰到较难的题时应尽量采用讲授 法,帮学生释疑,以免学生不懂引起混乱。?

关键词:开放式教学? ? ? 高效? ? ? 课堂模式? 中国古代教育家、思想家和教育实践家孔子说过:“知之者,不如好知者; 好知者,不如乐知者”。在压抑的思想环境下,禁锢的课堂氛围中是不可能产生 创造性思维火花的。 教学是教与学的交往、 互动, 师生双方相互交流、 相互沟通、 相互理解、相互启发、相互补充的过程。在这个过程中教师与学生分享彼此的思 考、 见解和知识, 交流彼此的情感、 观念与理念, 丰富教学内容, 求得新的发现, 从而达到共识、共享、共进,实现教学相长和共同发展。教学中,教师的首要任 务是营造一种生动活泼、民主平等的教学气氛,使学生性格开朗、兴趣广泛、思 维活跃、富有创造气息。开放式课堂教学是针对传统教育中以“课堂为主、教材 为主、教师为主”的封闭性弊端提出的。它指的是在教学过程中始终把学生看作
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处于不断发展过程的学习主体,看作是一个身心不断构建、升华过程的人,始终 把教学过程当作一个动态的、变化的、不断生成的过程。开放式课堂教学将成为 高效课堂模式的一种潮流和趋势。 以下为本人采用“开放式”教学的一节课《平面向量的数量积及运算律》作 为案例进行分析,详细剖析采用“开放式”教学的过程与注意要点。 1. 准备材料: (1)学案(每位学生一人一份):

平面向量的数量积及运算律(第一课时)(学案)
知识目标: 重点:平面向量的数量积的定义及其重要性质 难点:平面向量的数量积的定义及性质的掌握和应用 教学过程: 【一】复习回顾 问题○:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果 1 是什么? 问题○:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按照 2 怎样的顺序研究了这种运算的? 问题○: 3 (1)如图所示,一物体在力 F 的作用下产生位移 S, 那么力 F 所做的功:W= |F| |S| cosθ。 (2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空: ①W(功)是 ②F(力)是 ③S(位移)是 ④θ 是 。 量,
F?

量, 量,

θ

s?

(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 【二】讲解新课 1.向量的夹角 [探究活动 1]对于平面内的任意两个向量它们所成的角的范围是什么?请 作图表示。 2.平面向量的数量积的定义

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α ? b= 用一句话概括功的数学本质: o θ 例 1.已知|α |=5,|b |=4,α 与 b 的夹角 = 120 3.平面向量的数量积的性质 [探究活动 2]

,求 α ?b。

利用平面向量数量积的定义,分组探究以下性质是否成立,请说明理由。 设 α ,b 都是非零向量, e 是与 b 方向相同的单位向量,

θ 是 α 与 e 的夹角,则
(1)e ? α = α ? e =| α | coosθ (2)α⊥b

?

α ? b =0 (判断两向量垂直的依据)

(3)当 α 与 b 同向时,α ? b =| α | ? | b |, 当α 与b 反向时, α ? b = ?| α | ? | b |.

α2=| α |2(实现向量与数量的转换)
2 特别地 a ? a =| a | 或 | a |= a ? a (用于计算向量的模)

(4) cos θ = | a || b |

a ?b

(用于计算向量的夹角)

(5)| α ? b| ≤| α | ? | b | 4. | b |cosθ的几何图形及其表示的几何意义 1 ○| b | cosθ叫做:
?

? ? ? ?

θ为锐角时,? |?b?|?cosθ>0?

【探究活动 3】当 θ 为钝角或直角时,试作图表示| b | cosθ? 同理:○| α | cosθ叫做: 2
? 5. α 与 b 的几何意义为 ?



的积。

例 2.

72

(1)已知| α |=6,e 是单位向量,它们之间的夹角是 45°,则α在 e 方向上 的投影为: (2)已知中 ΔABC,α=5,b=8,C=60°,则 BC ? CA = 【三】课堂练习: 练习 1:判断正误(分组探讨完成): 1. 若 α?=0,则对任一向量 b,有 α ? b?=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2. 若 α ≠ 0,则对任一非零向量 b,有 α ? b ≠ 0 ? 3. 若 α ≠ 0,α ? b=0,则 b?=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4. 若 α ? b=0,则 α、b 中至少有一个为 0 ? 5. 若 α ≠ 0,α ? b= b ? c,则 α = c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 6. 对任意向量 α 有 α =| α | ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 练习 2. 已知 | α | =4, | b |=5, 当(1)α // b ; (2)α ⊥ ? b ; (3)α 与 b 的夹角为 60°时,分别求 α 与 b 的数量积。 (学生板书) 练习 3. 设| α |=12,| b |=9, α ? b = ? 54 2 , (学生板书) 求 α 和 b 的夹角 θ 【四】小结: 本节课我们主要学习了什么内容?要注意什么?这些知识点的应用是什么? 【五】布置作业 1.课本 P106 1,3 2. 课外探究活动 3 3.拓展与提高: 已知α与 b 都是非零向量,且α+3b 与 7α -5b 垂直,α-4b 与 7α-2b 垂直, 求α与 b 的夹角。(本题供学有余力的同学选做) 【六】课外探究活动: 以下运算律成立吗?若成立,试推导你的结论。 已知向量 α、b、c 和实数 λ ,则 (1)α ? b = b ? α (2)? ( λ α) ? b= λ (?α ? b )= α ?( λ b) (3)? ( α + b ) ? c = α ? c + b ? c (4)? ( α + b )2= α2+2α ? b + b2 (5)α2- b2=( α – b ) ? ( α + b )?
?
73

(2)? 分组登分表(学科长一份) :? ? 高一数学人教版必修 4 第二章第四节? 《平面向量的数量积及运算律》(第一课时)? 各小组评价单? 负责人:数学学科长?
?

得分情况? ? ? ? ? ? ? ? ?

总分?

第一组? ? 第二组? ? 第三组? ? 第四组? ? 第五组? ? 第六组? ? 第七组? ? 第八组? ?

规则:? 1.抢答题每道题 2 分;? 2.解答题每道题满分 5 分;完整完成一道题得 5 分,若有错漏由学科长和其他组 同学综合评分。各组选派同学在移动黑板上完成,最快又完成正确的小组加 2 分。.抢答题及.必答题在学案中不标明,上课时由主持人说明。? 3.对于每道题,同组的同学可以帮助共同完成。 (出现意外情况由老师主持)? (3)? 教学工具:三角板,彩色粉笔,移动黑板(4 块) ,多媒体辅助工具。? 2.? 教学模式:? 分组:全班共? 56 人,每? 7 人一小组,全班分成? 8? 小组。? 座位安排:将课桌椅摆成一小圈一小圈形式,每小组 7 位同学围成一圈。? 教学主旨:学生是学习和发展的主体,教师是教学活动的组织者和引导者。 ? 教学组织形式:学科长主持、登分;教师辅助学科长完成课堂教学:主要任 务是对突发事件及时进行调控, 对存在问题及时进行引导、 释疑。 “必答题、 分为 及抢答题”两大类。? 3.? 教师在备课中对课堂教学知识问题及教学活动的调控预知:? (1)在引入时提出的问题 2? ,学生可能较难按预期期望内容: “物理模型→ 概念→性质→运算律→应用”回答,在此教师应进行具体复习引导。?
74

(2)α⊥b? ? ? ?? ? α ? b =0?(判断两向量垂直的依据)? ,应注意 α?,b 为非零向 ?? 量,否则不成立。后面的练习 1 再次加强这方面的知识。? (3)在讲解投影的定义时,应注意提醒学生投影存在正值、负值、零。? (4)在例 2? 中的(2)小题为易错题,应注意提醒学生两向量所成的夹角不 是三角形的内角 C 而是角 C 的补角。? (5)在抢答中可能气氛较激烈,教师应进行适时引导。? ? (6)学案要求:尽量采用学生已认知的知识、方法作为铺垫。问题设计要 简单、明确、过渡自然。? (7)学生分组要求:每个小组要有 1‐2 名学习带头人,既可以组织小组成 员开展学习探究活动,又可以调动课堂气氛。? (8)学生主持人要求:要有较好的数学素养及一定的应变能力。? 4.? 教学效果:? (A)课堂效果:? 授课教师体会:课堂气氛活跃,学生积极参与课堂活动,各项任务完成得 比预期效果好,达到本节课的教学目标。? ? ? ? ? ? ? 听课教师体会:本节课采用开放式课堂教学,巧妙地使学生在轻松、愉悦 的课堂氛围中,动手、动口、动脑,使学生受到情感的体验,产生探究心理,发 散思维,享受成功的喜悦。在上课时让每个学生都得到充分的发展,改变传统教 学过于注重传授知识的倾向,注重学生能力的培养,培养学生的自主、合作、探 究的能力。真正实现学生的主体地位,是一节较成功的开放式课例。? ? (B)调查学生听课效果:? ? ? ? ? 调查问卷? ? ? ? 1?.你对这节课的教学方式感兴趣吗?(? ? )? Α? 非常喜欢? ? ? B? 喜欢? ? ? C 一般? ? ? ? D 不喜欢? 2.你能掌握本节课的内容吗?(? ? ? )? Α? 能? ? ? ? ? B 基本能? ? ? C? 不能? ? D 非常好地掌握? 3.你认为这样的教学氛围有助于(? ? ? )的提高?(多选题)? Α 探究能力? ? ? B 合作能力? ? ? C 思考能力? ? D? 创造能力? 4.你喜欢的教学模式: ? ? )? (? A 传统授课式? ? ? B 讲授式? ? C 开放式? ? D 其它? 5.你认为本节课有哪些亮点?(简答题)? ? 调查结果:100%的学生非常喜欢本节课的教学模式;95%以上的学生非常好 地掌握本节课的内容;90%以上的学生认为这样的教学氛围有助于探究能力、? ? ? 合作能力、思考能力的提高;98%以上的学生喜欢开放式教学;95%以上的学生 认为本节课的亮点:学得轻松又快乐,寓教于娱乐。? ? 德国教育家第斯多惠曾说:如果使学生习惯于简单地接受和被动地学习,任 何方法都是坏的;如果能激发学生的主动性,任何方法都是好的。在开放式课堂 教学中, 各种教学方法之间都是相互开放的, 我们要兼收并蓄各种教学方法之长, 善于因时、因生、因情地运用教学方法,为培养全面发展具有创新精神的人才服 务。那么,在采用开放式教学时应注意以下几点:?
75

? 1.鼓励学生参考已有的知识和技能,提出新问题、探索新问题。? 2.促进学生积极探索的态度和探索的策略。? 3.多运用变式教学,提高学生数学智力。? 4.鼓励学生讨论交流与合作。? 5.培养和促进学生的好奇心和求知欲。? 6.适当兼收并蓄各种教学方法之长,取长补短。如:当碰到较难的题时应尽 量采用讲授法,帮学生释疑,以免学生不懂引起混乱。? ? ?? ? 总之,在教学中贯彻开放式课堂教学,努力使学生具有丰富科学文化知识, 充分发现和挖掘学生的创新精神和创造力,对于学生健康、全面的发展起着决定 性的作用。? ? ? 参考文献:? 1. 陈祖桓? ? 《高中数学开放式教学的探索》? ? 价值工程? ? 2010 年 13 期;? 2. 袁士军? ? 《高中数学开放式教学的探索》? ? 新课程学习(中)? 2011 年 04 期? 3. 刘晓军? ? 《高数学开放式教学的应用分析》? ? 数理化学习(高中版)? 2011 年 18 期?

三角运算中的典型错误分析及改进策略
揭阳一中 黄文风 摘要: 三角函数是中学数学的核心内容, 三角运算更体现数学中的运算能力, 笔者在本文中总结了学生在三角运算中一些典型的错误类型, 分析出现这些错误 类型的原因并提出一些改进的策略。 关键词:三角函数 .... 运算 .. 错误 .. 分析 .. 改进 ..

运算能力是指根据概念、公式、法则对数、式等进行正确的计算或变形的能 力,是数学的三大基本能力之一,是数学各种能力的基础。三角函数中的三角运 算更体现数学中的运算能力。? 虽然新教材对三角运算能力的要求有所降低, 但是学生在三角运算中还是存 在很多失误。下面对学生在三角运算中一些常见的错误类型进行分析,适时合理 地渗透教学之中,使学生减少失误,提高运算能力。? 1.弧度制度量角的大小把握不准? 例如: 1+2sin(π-3)cos(π+3)化简的结果是(

) D.以上都不对

A.sin3-cos3

B.cos3-sin3

C.±(sin3-cos3)

分析:很多学生习惯上了弧度制表示角的大小时用无理数 π 的倍数的形式, 一旦角的大小不是以 π 的倍数的形式出现时,判断角的终边的位置就无从下手,
76

无所适从。从而误选了 C 选项。?

sin(π-3)=sin3, cos(π+3)=-cos3, ∴ 1-2sin3·cos3= (sin3-cos3)2= |sin3-cos3| π ∵2<3<π,∴sin3>0,cos3<0.∴原式=sin3-cos3,选 A.

2.角范围的集合把握不恰当? 例如:函数 y =

cos x 的定义域是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? lg(1 + tan x)

分析:这是一次周测中出现的一道出错率在 85%左右的题目。在出错的学生 中大概 30%的学生给出答案是 (? 答案是 (?

π
4

+ kπ ,

π
2

+ kπ )(k ∈ Z ) ,大概 40%的学生给出的

π
4

+ 2 kπ ,

π
2

+ 2kπ )(k ∈ Z ) .?

原函数有意义等价于?

π ? π ? ? 2 + 2 kπ ≤ x ≤ 2 + 2 kπ ? cos ≥ 0 ? π ? π ? ? tan x > ?1 ,解得 ? ? + kπ < x < + kπ (k ∈ Z ) ? 2 ? 4 ? tan x ≠ 0 ? x ≠ kπ ? ? ?
由于学生没有把握好三个不等式各自表示的角的集合的含义, 所以在求交集 的时候出现了差错。?
?

π
4

2 3π 3π + 2 kπ < x < + 2 kπ ( k ∈ Z ) ? 4 2

+ kπ < x <

π

+ kπ ( k ∈ Z ) 等价于 ?

π
4

+ 2kπ < x <

π
2

+ 2kπ 或?

x ≠ kπ ( k ∈ Z ) 等价于 x ≠ 2kπ 或 x ≠ π + 2kπ ( k ∈ Z ) ?
故交集应该为 (?

π
4

+ 2kπ , 2kπ ) ∪ (2kπ ,

π
2

+ 2kπ )(k ∈ Z ) ?

3.缺乏一定的估算能力?

5 10 例如:若 sinα= 5 ,sinβ= 10 ,且 α、β 为锐角,则 α+β 的值为( π A.-4 π B.4 π C.±4 π D.3

)

分析:许多学生因为只考虑 α、β 为锐角这个大范围,求 sin(α + β ) =

2 , 2

77

从而误选了 C 选项.

5 2 10 2 π π ∴ β 所以 0<α+β<2, cosα ∴ 由于 sinα= 5 < 2 , sinβ= 10 < 2 , 0<α,<4,


? 5? 2 5 1-? ?2= 5 ,cosβ= ?5?

? 10?2 3 10 ?= 1-? 10 , ? 10 ?

5 3 10 10 2 5 2 π sin(α+β)= 5 × 10 + 10 × 5 = 2 .∴α+β=4.
当然此题也可以选择求角 α+β 的余弦值,那么就不需要进行估算,因为余 弦函数在区间 ( 0, π ) 上是一对一的函数。 4.求解策略不恰当

3π π 4 π 例如:已知 sin(α+4)=5,且4<α< 4 .求 cosα 的值.
分析:这是一道平时作业题,大概有 30% 的学生仅仅把角 α 和 个角,用方程的思想,把已知条件等式展开得到 sin α + cos α =

π
4

看成是两

4 2 ,再联立 5

sin 2 α + cos 2 α = 1 得到一个关于 sin α , cos α 的二元二次方程组,解得 cos α 的值。

由于二元二次方程组求解计算量比较大, 30% 的学生中仅有一半能够得到完整 这 答案。 另 有 大 概 50% 的 学 生 利 用 sin α ± cos α 及 sin α ? cos α 的 关 系 , 求 得
sin α ? cos α = 3 2 4 2 2 ,与 sin α + cos α = 联立解得 cos α = .这种求解策略相 5 5 10

比上一种要容易计算一些,但是计算量还是比较大,还涉及到 sin α ? cos α 的值 正负的判断问题。这 50% 的学生中大概有八成能够得到完整的答案。 如果学生在审题时关注角 α 与角 a +

π

π π 的关系,获得 α = (α + ) ? 的信息, 4 4 4

3π π 4 π π 那么很快就能够得出先由 sin(α + 4 ) = 5 及 4 <α< 4 . ,判断出 cos(α + ) 并求得 4
cos(α +

π
4

) 的值,进而代入两角差的余弦公式的获得正确的答案。

相对上两种求解策略,第三种求解策略计算量少,过程简单,方便快捷,但 是选择此种策略的学生却是最少的。 5.三角函数的对应关系把握不当
78

例如:如图所示为函数 f ( x ) = 2sin (ω x + ? ) ( ω > 0, 0 ≤ ? ≤ π )的部分图像, 其中 A, B 两点之间的距离为 5 ,那么 f ( ?1) = 分析:学生在确定系数 ω , ? 的值的过程,利用
y? A?
2?
3?

π ?T ? AB = ? ? + (?2 ? 2) 2 = 5 ,得到 T = 6 ,故 ω = . 3 ?2?
3 但在求解 ? 值的过程,利用 f (0) = 3 ,得到 sin ? = . 2

2

? ? O?
?2

x? B?

部分学生马上得到 ? =

π
3

+ 2kπ (k ∈ Z ) ,又因为 0 ≤ ? ≤ π ,所以 ? =

π
3

,求得

f ( ?1) = 0 的错误结果.
也有部分同学考虑到正弦函数在一个周期内函数值
3 对应两个自变量 2

?=

π
3

+ 2kπ ( k ∈ Z ) 和 ? =

2π π 2π 所以 ? = 或 ? = + 2kπ (k ∈ Z ) 又因为 0 ≤ ? ≤ π , 3 3 3

求得 f ( ?1) = 0 或 3 的错误结果. 仔细观察可以发现,点 0, 3 是在函数的减区间上的,故正弦函数值 自变量应为 ? =

(

)

3 对应的 2

2π 2π ,正确的答案为 + 2kπ (k ∈ Z ) ,又因为 0 ≤ ? ≤ π ,所以 ? = 3 3

f ( ?1) = 3
6.式子不等价变形 例如:函数 f ( x) =
2 tan x 的最小正周期为 1 ? tan 2 x



分析:很多学生直接把式子化简为 f ( x ) = tan 2 x ,马上得出周期是 答案. 函 数 f ( x) =

π
2

的错误

2 tan x 的 定 义 域 要 满 足 两 个 条 件 : tan x 要 有 意 义 且 1 ? tan 2 x

tan 2 x ? 1 ≠ 0 ∴ x ≠ kπ +

π

2

,且 x ≠ kπ + π ( k ∈ Z )
2 4

当原函数式变为 f ( x ) = tan 2 x 时,此时定义域为 x ≠

kπ π + ( k ∈Z ) 2 4

显然作了这样的变换之后,定义域扩大了,两式并不等价
79

所以周期未必相同,那么怎么求其周期呢?首先作出 f ( x ) = tan 2 x 的图象: 而原函数的图象与 f ( x ) = tan 2 x 的图象大致相同,只是在上图中去掉
x = kπ +

π
2

原函数的周期应为 ( k ∈ Z ) 所对应的点, 从去掉的几个零值点看,

π .?
7.缺乏适当的检验产生了增解 例如: 已知 0 < α < β < γ < 2π ,且 cos α + cos β + cos γ = sin α + sin β +
sin γ = 0 ,则 β ? α 的值为(



A.

π
3

B.

2π 3

C.

4π 3

D.

2π 4π 或 3 3

分析:由 cos α + cos β + cos γ = sin α + sin β + sin γ = 0 可得 cos α + cos β = ? cos γ , sin α + sin β = ? sin γ ,两边平方相加,可得

sin 2 α + cos 2 α + cos 2 β + sin 2 β + 2sin α sin β + 2 cos α cos β = sin 2 γ + cos 2 γ
化 简 , 得 cos( β ? α ) = ?
1 , 由 于 0 < α < β < γ < 2π , 所 以 β ? α > 0 , 则 2

β ?α =

2π 4π 或 ,部分学生马上就选择了 D 选项. 3 3 2π 4π 2π 4π 或 ,γ ?α = 或 3 3 3 3

同理可得另外两个结论,即 γ ? β = 如果 β ? α =

4π 2π 4π ,结合 γ ? β = 或 ,那样 γ ? α ≥ 2π , 3 3 3 2π ,正确选项是 B. 3

与已知 0 < α < β < γ < 2π 矛盾.因此 β ? α =

做错的学生没有观察的条件等式的对称性,同样可以获得另外两个结论式

γ ?β =

2π 4π 2π 4π 或 ,γ ?α = 或 ,可以来检验结果是否正确. 3 3 3 3

8.忽视隐含条件?

3sin A + 4 cos B = 6, 3cos A + 4 sin B = 1 , ∠C 的大小为 例如: ?ABC 中, 在 则 (
A.



π
6

B.

5 π 6

C.

π

5 或 π 6 6

D.

π

2 或 π 3 3

?3sin A + 4 cos B = 6 分析:部分学生由 ? 平方相加得 ?3cos A + 4 sin B = 1

sin( A + B ) =

1 , 2
80

1 π 5 ∴ sin C = , ∴ C = 或 π ,马上得到 C 的错误选项. 2 6 6 π 1 1 5 1 若 C = π ,则 A + B = 又 < Q 1 ? 3 cos A = 4 sin B > 0,∴ cos A < 6 3 2 6 3 5 π π ∴ A > ,∴ C ≠ π ,∴ C = ,故应选 A. 3 6 6 5 ? ? ? 学生忽视了隐含条件 1 ? 3cos A = 4 sin B > 0, 没有把 C = π 排除掉,从而得到 6

了错误选项.? 从上面的八个类型分析,学生产生错误主要有以下四种原因:? 第一,三角函数的定义没有把握好。引入单位圆定义三角函数之后,三角函 数是表示角的大小的实数(弧度为单位)与角终边与单位圆交点的坐标建立的对 应关系。由于角的范围拓展到了任意角之后,出现了周而复始的特点,所以自变 量与函数值之间是多对一的关系。 这使学生对三角函数定义的准确把握产生了困 难。? 第二,三角函数、三角恒等变换、解三角形中,有 6 组诱导公式、6 个两角 和与差的公式、3 个二倍角公式、辅助角公式、正弦定理、余弦定理以及这些公 式的变形式。有些学生没有把公式记忆牢固,有些即使记忆牢固了但没有把握好 各个公式的应用条件,导致三角求值中写错公式或是乱套公式的现象时有发生。 ? 第三,在三角函数基本公式运算中,学生常犯的就是策略性错误。策略性错 误是学生具备了解题的相关知识,但碰到复杂性问题,知识难以迁移,不能恰当 对问题转化。? 第四,考虑问题欠缺周密性。对式子的变形没有注意等价性,解方程或不等 式没有注意隐含条件的挖掘及对答案的检验。? 从上面的原因分析可知,做到下面几点,就可以尽量减少学生在三角运算中 犯上述几种类型的错误,从而提高学生的三角运算能力。? 第一,对三角函数定义的教学要做到全、透。很多学生学习三角函数的时候 只知道 y = sin x, y = cos x, y = tan x 统称三角函数,但让他们用对应去解释这三个 函数时根本解释不出来。只有让学生在学习三角函数的定义时,明确了利用单位 圆定义的三角函数的对应关系,才能更好的理解三角函数中多对一的对应关系, 理解三角函数的周期性,排除初中锐角三角函数的负迁移。? 第二,三角函数知识有较强的连贯性,前面的知识是后续学习的基础,而教
81

材的编排顺序使不少学生在学习三角恒等变换时,对前面的知识已有遗忘,从而 造成知识的脱节,理解上的困难。针对这种情况,在具体的教学过程中教师应注 重对已学习过的知识进行复习,在讲解学习三角恒等变换之前,先要带领学生回 忆复习学过的三角函数知识,巩固必要的原有知识储备,这样能够更快捷顺利的 进入新知识的讲解,同时也有利于构建学生的整体知识框架。? 第三,三角函数模块涉及的公式数量比较多,并且有些形式相近,是学生记 忆时的一大障碍,为了避免数量多形势复杂的公式成为学生记忆的障碍,教师在 教学的时候应该注意运用间断教学法,防止出现多个公式集体出现,造成学生记 忆的负担。对于公式的教学,教师应注意形成讲一个练一个的模式,避免公式的 堆砌。 另外, 对于易混淆的公式, 教师可以指导学生用推导公式的方法进行记忆, 明确公式之间的关系,举一反三,从而准确记忆所有公式。? 第四,培养学生严谨的逻辑思维能力。式子的变形注意等价性,解方程或不 等式注意验解,避免产生增解或漏解。? ? ? ? ? ? ? ? 参考文献:? [1]李翔.对中职学生三角函数错误类型的研究[D].苏州:苏州大学,2010(10).?

[2]潘倩.高三学生数学运算能力研究[D].苏州:苏州大学,2010(10).
[3]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准(实验)解读.[M].江苏教育出版社,2004,336

.?

[4]李丛.高一学生三角函数认知障碍及对策研究[D].山东师范大学,2012(4).?

找到视线,亮出你心中那道墙 ——浅谈在直观图中如何描绘三视图
广东省惠来县第一中学 张红红

?

关键词:三视图、视线、投影线、投影面
82

摘要:教材没有设计相应的课时来指导学生如何从三视图的定义找到棱等轮廓线对 应的投影,忽略了引导学生从量的角度进一步识别三视图的具体大小。而纵观近几年高 考题,我们可看到命题者热衷于对三视图的考查,特别注重学生对原直观图的表面积、 体积或者三视图本身的面积的量的计算。本文意图从三视图的成像原理出发,将三视图 清晰地影射在投影面,力求为师生提供具体可行的实际操作步骤。

早在小学三年级,学生就已经开始接触到有关三视图的知识。我查阅了由北京师范 大学出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书》数学三年级上册,发现第二章《观 察物体》就已经要求学生分别从正面、上面、右面观察用方积木搭成的物体,再将看到
【1】 的形状画出来。 其实就是要求学生画出其三视图, 只是没有用这一术语来表达而已。

为了遵循呈螺旋式发展的认识规律,教材编写专家们采用了圆周式编排方式(圆周

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