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2014届高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 9.6 双曲线


2014 届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂 内外+限时训练) :9.6
一、选择题 1.(2012·大纲全国)已知 F1、F2 为双曲线 C:x -y =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, |PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( A. 1 4 3 B. 5 3 C. 4 ) 4 D. 5
2 2

双曲线

解析:依题意得 a=b= 2,∴c=2. ∵|PF1|=2|PF2|,设|PF2|=m,则|PF1|=2m. 又|PF1|-|PF2|=2 2=m. ∴|PF1|=4 2,|PF2|=2 2. 又|F1F2|=4,∴cos∠F1PF2= 答案:C 2.(2012·湖南)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 ?4 2? +?2 2? -4 2×4 2×2 2
2 2 2

3 = .故选 C. 4

x2 y2 a b

C 的方程为(
A. C.

) B. - =1 5 20 D. - =1 20 80

- =1 20 5 - =1 80 20

x2 x2

y2

x2

y2

y2

x2

y2

解析:设焦距为 2c,则得 c=5.点 P(2,1)在双曲线的渐近线 y=± x 上,得 a=2b.结 合 c=5,得 4b +b =25,解得 b =5,a =20,所以双曲线方程为 - =1. 20 5 答案:A 3.(2012·课标全国)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y =16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为( A. 2 B.2 2 C.4 D.8
2 2 2 2 2 2 2 2

b a

x2

y2

)

解析:设等轴双曲线方程为 x -y =a ,根据题意,得抛物线的准线方程为 x=-4 ,代 入双曲线的方程得 16-y =a ,因为|AB|=4 3,所以 16-(2 3) =a ,即 a =4,所以 2a =4,所以选 C. 答案:C
2 2 2 2 2

x2 y2 2 4.(2012·福建)已知双曲线 - 2=1 的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,则该双 4 b
1

曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A. 5 B.4 2
2

)

C.3 D.5
2 2

解析:y =12x 的焦点为(3,0),由题意得,4+b =9,b =5,双曲线的右焦点(3,0)到 其渐近线 y= 答案:A 5 | 5×3-0| x 的距离 d= = 5. 2 5+4

x2 y2 5.(2012·浙江)如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2- 2=1(a,b>0)的左、右焦点,B a b
是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的 两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是( )

A.

2 3 3

B.

6 2

C. 2

D. 3

解析:依题意得直线 F1B 的方程为 y= x+b,M 点坐标为(3c,0),那么可知线段 PQ 的 垂直平分线的方程为 y=- (x-3c),

b c

c b

b ? ?y=cx+b, 由? b ? ?y=-ax, b ? ?y=cx+b, 由? b ? ?y=ax,

解得点 P 的坐标为?-

? ac , bc ?, ? ? a+c a+c?

解得点 Q 的坐标为?

? ac , bc ?, ? ?c-a c-a?

c ?a c c ? 2 2 那么可得线段 PQ 的中点坐标为? 2 , ?,代入 y=- (x -3c)并整理,可得 2c =3a , b ? b b?

2

2

2

可得 e= = 答案:B

c a

3 6 = ,故应选 B. 2 2

6.已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x - =1 有公共的焦点,C2 的一条 a b 4 渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( 13 2 A.a = 2 1 2 C.b = 2 B.a =13 D.b =2
2 2

x2 y2

2

y2

)

y=2x, ? ? 2 2 解析:依题意 a -b =5,根据对称性,不妨取一条渐近线 y=2x,由?x y 2+ 2=1, ? ?a b
2 2

解得 x=±

ab 2 5ab 2 5ab ,故被椭圆截得的弦长为 ,又 C1 把 AB 三等分,所以 = 2 2 2 2 2 2 4a +b 4a +b 4a +b

2a 1 2 2 2 2 2 ,两边平方并整理得 a =11b ,代入 a -b =5 得 b = ,故选 C. 3 2 答案:C 二、填空题 7.(2012·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 -

x2 y2 =1 的离心率为 5,则 m m2+4

m 的值为______. m2+m+4 解析:由题意,双曲线的焦点在 x 轴上且 m>0,所以 e= = 5,所以 m=2. m
答案:2 8.(2013·山东泰安调研)P 为双曲线 x - = 1 右支上一点,M、N 分别是圆( x+4) 15 +y =4 和(x-4) +y =1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为__________. 解析:已知两圆圆心(-4,0)和(4,0)(记为 F1 和 F2)恰为双曲线 x - =1 的两焦点. 15 当|PM|最大,|PN|最小时,|PM|-|PN|最大,|PM|最大值为 P 到圆心 F1 的距离|PF1|与 圆 F1 半径之和,同样|PN|最小=|PF2|-1,从而|PM|-|PN|的最大值为|PF1|+2-(|PF2|-1) =|PF1|-|PF2|+3=2a+3=5. 答案:5 9.(2012·湖北)如图,双曲线 2- 2=1(a,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两端点为 B1,
2 2 2 2 2

y2

2

y2

x2 y2 a b

B2,两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A,B,C,D.则
3

(1)双曲线的离心率 e=__________. (2)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值 =__________. 解析:(1)由图可知,点 O 到直线 F1B2 的距离 d 与圆 O 的半径 OA1 相等, 又直线 F1B2 的方程为 + =1,即 bx-cy+bc=0. -c b 所以 d=

S1 S2

x

y

bc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =a,整理得 b (c -a )=a c ,即(c -a ) =a c ,得 c -a =ac. b2+c2
5+1 (负值舍去). 2
2 2

所以 e -e-1=0,解得 e=

2

(2)连接 OB(图略),设 BC 与 x 轴的交点为 E,由勾股定理得|BF1|= c -a =b. |F1B||OB| ab 由等面积法得|BE|= = , |F1O| c 则|OE|= |OB| -|BE| = . 4a b 进一步得到 S2=2|OE|·2|EB|= 2 .
3 2 2

a2 c

c

1 又因为 S1= |F1F2||B1B2|=2bc, 2

S1 c3 1 3 5+2 所以 = 3= e = . S2 2a 2 2
答案:(1) 三、解 答题
4

5+1 5+2 ;(2) 2 2

10.(2013·安徽质检)已知点 M 是圆 B:(x+2) +y =12 上的动点,点 A(2,0),线段

2

2

AM 的中垂线交直线 MB 于点 P.
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与曲线 C 交于 R,S 两点, D(0,-1),且有|RD|=|SD|, 求 m 的取值范围. 解析:(1)由题意得|PM|=|PA|,结合图形得||PA|-|PB||=|BM|=2 3,∴点 P 的轨 迹是以 A,B 为焦点的双曲线,且 2a=2 3,a= 3,c=2,于是 b=1,故 P 点的轨迹 C 的 方程为 -y =1. 3

x2

2

x ? ? -y2=1, (2)当 k≠0 时,由? 3 ? ?y=kx+m,

2

得( 1-3k )x -6kmx-3m -3=0,(*)

2

2

2

由直线与双曲线交于 R,S 两点,显然 1-3k ≠0,Δ =(6km) -4(1-3k )(-3m -3)= 12(m +1-3k )>0, 6km 设 x1,x2 为方程(*)的两根,则 x1+x2= 2, 1-3k 设 RS 的中点为 M(x0,y0),则
2 2

2

2

2

2

x0=

3km m 2,y0=kx0+m= 2, 1-3k 1-3k

故线段 RS 的中垂线方程为

y-

3km ? ? 1?? =?- ??x- 2?. 1-3k ? k?? 1-3k ?

m

2

将 D(0,-1)代入化简得 4m=3k -1,
?m +1-3k >0, ? 故 m,k 满足? 2 ? ?4m=3k -1.
2 2

2

消去 k 即得 m -4m>0,即得 m<0 或 m>4, 又 4m=3k -1≥-1,且 3k -1≠0, 1 ∴m≥- ,且 m≠0, 4
2 2

2

2

? 1 ? ∴m∈?- ,0?∪(4,+∞). ? 4 ?
11. (2013·云南检测)双曲线 S 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 离心率 e= 6 , 直线 3 2

x-3y+5=0 上的点与双曲线 S 的右焦点的距离的最小值等于
(1)求双曲线 S 的方程;

4 3 . 3

5

(2)设经过点(-2,0), 斜率等于 k 的直线与双曲线 S 交于 A, B 两点, 且以 A, B, P(0,1 ) 为顶点的△ABP 是以 AB 为底的等腰三角形,求 k 的值. 解析:(1)根据已知设双曲线 S 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). ∵e= =

x2 y 2 a b

c a

6 6 a 2 2 2 ,∴c= a,b =c -a = . 2 2 2
2 2 2

2

∴双曲线 S 的方程可化为 x -2y =a , 4 3 ∵直线 3x-3y+5=0 上的点与双曲线 S 的右焦点的距离的最小值等于 , 右焦点为 3

? 6 ? ? a,0?, ?2 ?
6a ? ? ? 3× +5? 2 ? ? 4 3 2 3 = 3
2



,解方程得 a= 2.
2

∴双曲线 S 的方程为 x -2y =2. (2)经过点(-2,0),斜率等于 k 的直线的方程为 y=k(x+2). 根据已知设 A(x1, kx1+2k), B(x2, kx2+2k), 则 AB 的中点为 M? △ABP 是以 AB 为底的等腰三角形?PM⊥AB. ①如果 k=0,直线 y =k(x+2)与双曲线 S 交于(- 2,0),( 2,0)两点,显然满足 题目要求. ②如果 k≠0, 由 PM⊥AB 得 k×kPM=-1. ∵kPM= ∴k×
2

?x1+x2,k?x1+x2?+4k?, ? 2 ? 2 ?

k?x1+x2?+4k-2 , x1+x2

k?x1+x2?+4k-2 =-1. x1+x2
2

? ?x -2y =2, 由? ?y=k?x+2? ?
2

得(1-2k )x -8k x-8k -2=0.

2

2

2

2

?1-2k ≠0, ? 根据已知得? 4 2 2 2 ?Δ =64k +4?1-2k ??8k +2?=16k +8>0, ?

∴k≠±

2 . 2
2

8k ∵x1+x2= 2, 1-2k ∴kPM=

k?x1+x2?+4k-2 2k2+2k-1 = . 2 x1+x2 4k

6

2k +2k-1 2k +2k-1 2 ∴k×kPM=k× = =-1,即 2k +6k-1=0, 2 4k 4k -3- 11 -3+ 11 解方程得 k1= ,k2= . 2 2 -3- 11 -3+ 11 综上,k= ,或 k=0,或 k= . 2 2 12.(2012·上海)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1:2x -y =1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线, 求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的 三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点.若 l 与圆 x +y =1 相切,求证:OP⊥OQ; (3)设椭圆 C2:4x +y =1.若 M、N 分别是 C1 、C2 上的动点,且 OM⊥ON,求证:O 到直 线 MN 的距离是定值.
2 2 2 2 2 2

2

2

x 2 ? ? 2 解析:(1)双曲线 C1: -y =1,左顶点 A?- ,0?,渐近线方程为:y=± 2x. 1 ? 2 ? 2
2

过点 A 与渐近线 y= 2x 平行的直线方程为 y= 2?x+ 2 ? ?x=- 4 , ,得? 1 ? ?y=2.

? ?

2? ?,即 y= 2x+1. 2?

?y=- 2x, 解方程组? ?y= 2x+1

1 2 ∴所求三角形的面积为 S= |OA||y|= . 2 8 (2)证明:设直线 PQ 的方程是 y=x+b, ∵直线 PQ 与已知圆相切,∴
?y=x+b, ? ?2x -y =1, ?
2 2

|b| 2 =1,即 b =2. 2
2

由?

得 x -2bx-b -1=0.
? ?x1+x2=2b, ?x1x2=-1-b . ?
2

2

设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则? 又 y1y2=(x1+b)(x2+b), → →

∴OP·OQ=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b =2(-1-b )+2b +b =b -2=0. 故 OP⊥OQ. (3)证明:当直线 ON 垂直于 x 轴时,
2 2 2 2

2

7

|ON|=1,|OM|=

2 3 ,则 O 到直线 MN 的距离为 . 2 3

当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 设直线 ON 的方程为 y=kx?显然|k|> 1 则直线 OM 的方程为 y=- x.

? ?

2? ?, 2?

k

? ?y=kx, 由? 2 2 ?4x +y =1, ?

1 ? ?x =4+k , 得? k ? ?y =4+k ,
2 2 2 2 2 2

1+k 1+k 2 2 ∴|ON| = . 2.同理|OM| = 2 4+k 2k -1 设 O 到直线 MN 的距离为 d. ∵(|OM| +|ON| )d =|OM| |ON| , 1 1 1 3k +3 3 ∴ 2= + = =3,即 d= . d |OM|2 |ON|2 k2+1 3 综上,O 到直线 MN 的距离是定值.
2 2 2 2 2 2

2

8


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