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2014北京中关村中学零模数学(含解析)


2014 年北京中关村中学零模数学试卷
―、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. 1. ?6 的绝对值的相反数是( A. 6 B. ? 6 ). C. ?
1 6 1 6

D.

2.国家体育场“鸟巢”建筑面积达 258 000 平方米, 258 000 用科学记数法表示应为( A. 2.58 ? 103 3.下列计算正确的是( A. a 2 ? a 2 ? a 4 B. 25.8 ? 104 ). B. a 5 ? a 2 ? a 7 C. ? a 2 ? ? a 5
3

).

C. 2.58 ? 105

D. 258 ? 103

D. 2a 2 ? a 2 ? 2

4.一个布袋中有 4 个除颜色外其余都相同的小球,其中 3 个白球, 1 个红球.从袋中任意摸出 1 个球是白球 的概率是( A.
3 4

). B.
1 4

C.

2 3

D.

1 3

5.如图所示,已知 AB∥CD , EF 平分 ?CEG , ?1 ? 80? ,则 ?2 的度数为( A. 20 ? B. 40 ? C. 50 ? D. 60 ?

).

6.某学校用 420 元钱到商场去购买“ 84 ”消毒液,经过还价,每瓶便宜 0.5 元,结果比用原价多买了 20 瓶, 求原价每瓶多少元?若设原价每瓶 x 元,则可列出方程为( ).
420 420 ? ? 20 x x ? 0.5 420 420 ? ? 20 B. x ? 0.5 x 420 420 ? ? 0.5 C. x x ? 20 420 420 ? ? 0.5 D. x ? 20 x

A.

7.已知关于 x 的方程 ? x ? 2? x2 ? 3x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围(
1 且 m ? ?2 4 1 C. m ? 4

).

A. m ?

1 B. m ? ? 且 m ? ? 2 4 1 D. m ? ? 4

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8.如图,矩形纸片 ABCD 中, BC ? 4 , AB ? 3 ,点 P 是 BC 边上的动点(点 P 不与点 B 、 C 重合).现将
△ PCD 沿 PD 翻折,得到 △PC? D ;作 ?BPC? 的角平分线,交 AB 于点 E .设 BP ? x , BE ? y ,则下列

图象中,能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( A. B.

).

C.

D.

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.分解因式: ax 2 ? 2ax ? a ? __________.
x?2 中,自变量 x 的取值范围是__________. x ?1

10.在函数 y ?

11.如图,在等边 △ ABC 中,点 D 、 E 分别在 AB 、 AC 边上,且 DE∥BC ,如果 DE ? 1 , AD : DB ? 1: 3 , 那么 △ABC 的周长等于__________.

12.一组按规律排列的式子:

1 4 9 16 ? 5 , 8 , ? 11 ,…( a ? 0 ),其中第 8 个式子是__________,第 n 个 2 , a a a a

式子是__________( n 为正整数).

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)
1 0 13.计算: 12 ? sin 60? ? ? π ? 1? ? ( )?1 . 2

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14.解不等式

2 x ? 1 5x ? 1 ? ≤ 1 ,并把它的解集在数轴上表示出来. 3 2

15.已知:如图,在 △ABC 中,?ABC ? 90? , F 是 AC 上一点,且 FB ? FC ,延长 BC 到点 E 使 BE ? AC , 过点 E 作 ED ? BF 交 BF 的延长线于点 D . 求证: ED ? AB .

16.已知 a 2 ? 2a ? 15 ? 0 ,求

a ?1 a2 ? 4 1 ? 2 ? 的值. a ? 2 a ? 2a ? 1 a ? 3

17.已知反比例函数 y ?

k 的图象与一次函数 y ? kx ? b 的图象交于点 M ? ?2,1? . x

( 1 )试确定一次函数和反比例函数的解析式; ( 2 )求一次函数图象与 x 轴、 y 轴的交点坐标.

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18.列方程或方程组解应用题: 为响应低碳号召,张老师上班的交通方式由自驾车改为骑自行车,张老师家距学校 15 千米,因为自驾 车的速度是骑自行车速度的 4 倍,所以张老师每天比原来早出发 45 分钟,才能按原时间到校,求张老 师骑自行车每小时走多少千米.

四、解答题(本题共 20 分,第 19 题 5 分,第 20 题 5 分,第 21 题 6 分,第 22 题 4 分)
3 19.如图,在四边形 ABCD 中, AD⊥DC ,对角线 AC⊥CB ,若 AD ? 2 , AC ? 2 5 , cos B ? ,试求四 5

边形 ABCD 的周长.

20.已知:如图,在 △ ABC 中, AB ? BC , D 是 AC 中点, BE 平分 ?ABD 交 AC 于点 E ,点 O 是 AB 上一 点,⊙ O 过 B 、 E 两点,交 BD 于点 G ,交 AB 于点 F . ( 1 )求证: AC 与⊙ O 相切; ( 2 )当 BD ? 2 , sin C ?
1 时,求⊙ O 的半径. 2

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21.为了更好地利用“大课间”加强学生的体育锻炼,调动学生运动的积极性,某校围绕着“你最喜欢的体育 活动项目是什么(只写一项)?”的问题,对在校学生进行了随机抽样调查,得到一组数据,绘制如下 的统计图表: 各年级学生人数统计表: 年级 学生人数 七年级
120

八年级
180

九年级

( 1 )该校对多少名学生进行了抽样调查? ( 2 )请分别在图 1 和图 2 中将“抖空竹”部分的图形补充完整; ( 3 )已知该校九年级学生比八年级学生多 20 人,请你补全上表,并利用样本数据估计全校学生中最 喜欢踢毽子运动的人数约为多少? 抽样调查学生最喜欢的运动项目的人数统计图 各项运动项目的喜欢人数占抽样 总人数百分比统计图

22.阅读下列材料: 小明遇到一个问题:如图 1 ,正方形 ABCD 中, E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD 和 DA 边上靠 近 A 、 B 、 C 、 D 的 n 等分点,连结 AF 、 BG 、 CH 、 DE ,形成四边形 MNPQ .求四边形 MNPQ 与 正方形 ABCD 的面积比(用含 n 的代数式表示). 小明的做法是: 先取 n ? 2 ,如图 2 ,将 △ ABN 绕点 B 顺时针旋转 90 ? 至 △CBN ? ,再将 △ADM 绕点 D 逆时针旋转 90 ?
1 至 △CDM ? ,得到 5 个小正方形,所以四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的面积比是 ; 5

然后取 n ? 3 , 如图 3 , 将 △ ABN 绕点 B 顺时针旋转 90 ? 至 △CBN ? , 再将 △ADM 绕点 D 逆时针旋转 90 ? 至 △CDM ? ,得到 10 个小正方形,所以四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的面积比是
4 2 ,即 ; 10 5

…… 请你参考小明的做法,解决下列问题: (1) 在图 4 中探究 n ? 4 时四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的面积比 (在图 4 上画图并直接写出结果) ; ( 2 )图 5 是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图,请你将它剪成三块后再拼成正方形(在图 5 中画出 并指明拼接后的正方形).
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五、解答题(本题共 22 分,第 ?

31 37 ?m? 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 5 5

23.已知:抛物线 C1 : y ? ax2 ? 4ax ? 4a ? 5 的顶点为 P ,与 x 轴相交于 A 、 B 两点(点 A 在点 B 的左边), 点 B 的横坐标是 1 . ( 1 )求抛物线的解析式和顶点 P 的坐标; ( 2 )将抛物线沿 x 轴翻折,再向右平移,平移后的抛物线 C2 的顶点为 M ,当点 P 、 M 关于点 B 成 中心对称时,求平移后的抛物线 C2 的解析式;
3 ( 3 )直线 y ? ? x ? m 与抛物线 C1 、 C2 的对称轴分别交于点 E 、 F ,设由点 E 、 P 、 F 、 M 构成 5 的四边形的面积为 S ,试用含 m 的代数式表示 S .

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24.已知:正方形 ABCD 中, ?MAN ? 45? ,绕点 A 顺时针旋转,它的两边分别交 CB 、 DC (或它们的延 长线)于点 M 、 N . ( 1 )如图 1 ,当 ?MAN 绕点 A 旋转到 BM ? DN 时,有 BM ? DN ? MN ,当 ?MAN 绕点 A 旋转到
BM ? DN 时,如图 2 ,请问图 1 中的结论还是否成立?如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明

理由; ( 2 )当 ?MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时,线段 BM 、 DN 和 MN 之间有怎样的等式关系?请写 出你的猜想,并证明.

25.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1 : y ? ? 3x ? 6 3 交 x 轴、 y 轴于 A 、 B 两点,点 M ? m, n ? 是线 段 AB 上一动点,点 C 是线段 OA 的三等分点. ( 1 )求点 C 的坐标; ( 2 )连接 CM ,将 △ACM 绕点 M 旋转 180? ,得到 △A?C? M . ①当 BM ?
1 AM 时,连结 A?C 、 AC? ,若过原点 O 的直线 l2 将四边形 A?CAC? 分成面积相等的两个四 2

边形,确定此直线的解析式; ②过点 A' 作 A? H ? x 轴于 H ,当点 M 的坐标为何值时,由点 A? 、 H 、 C 、 M 构成的四边形为梯形?

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2014 年北京中关村中学零模数学试卷答案
一、选择题(共 8 个小题,每小题 4 分,共 32 分) 题 号 答 案 1 B 2 C 3 B 4 A 5 C 6 B 7 A 8 D

二、填空题(共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 题 号 答 案 9 10
x≥ ? 2 且 x ? 1

11

12
? 64 n2 n ?1 , ( ? 1) ? a 23 a3n?1

a( x ? 1)2

12

三、解答题 13.解:原式 ? 2 3 ?
3 3 3 ?1? 2 ? ?1 . 2 2

14.解:解不等式

2 x ? 1 5x ? 1 ? ≤ 1, 3 2 2(2 x ? 1) ? 3(5 x ? 1)≤6 ,
4 x ? 2 ? 15 x ? 3≤6 ,

?11x≤11 ,
x≥ ? 1 .

即原不等式的解集为 x≥ ? 1 .

15.证明:∵ FB ? FC , ∴ ?FBC ? ?FCB . ∵ ED ? BF , ∴ ?ABC ? ?EDB ? 90? , 在 △ ABC 和 △EDB ,
??ABC ? ?EDB ? ??ACB ? ?EBD , ? AC ? EB ?

∴ △ ABC ≌ △EDB (AAS) , ∴ ED ? AB . 16.解:原式 ?
?
a ? 1 (a ? 2)(a ? 2) 1 ? ? 2 a?2 (a ? 1) a?3

a?2 1 ? a ?1 a ? 3
8 / 15

?

( a ? 2)( a ? 3) ? ( a ? 1) ( a ? 1)( a ? 3)

?

a2 ? 2a ? 7 . a2 ? 2a ? 3

∵ a 2 ? 2a ? 15 ? 0 , a 2 ? 2a ? 15 ,
15 ? 7 8 2 ? ? . 15 ? 3 12 3 2 即原代数式的值为 . 3

原式 ?

17.解:( 1 )反比例函数 y ? 即 k ? ?2 ,

k 的图象与一次函数 y ? kx ? b 的图象交于点 M ? ?2,1? . x

2 反比例函数的解析式为 y ? ? . x

一次函数 y ? ?2 x ? b 的图象过点 M ? ?2,1? ,
?2 ? (?2) ? b ? 1 , b ? ?3 ,

一次函数的解析式为 y ? ?2 x ? 3 . ( 2 )一次函数的解析式为 y ? ?2 x ? 3 , 令 x ? 0 , y ? ?3 , (0 , ? 3) ;
3 3 令 y ? 0 , ?2 x ? 3 ? 0 , x ? ? , (? , 0) . 2 2 3 即一次函数图象与 x 轴的交点坐标为 (? , 0) ,与 y 轴的交点坐标为 (0 , ? 3) . 2

18.解:设张老师骑自行车每小时走 x 千米,则自驾车的每小时走 4 x 千米,
15 15 45 ? ? , x 4 x 60

解得 x ? 15 . 经检验, x ? 15 是原方程的解,且符合题意. 答:张老师骑自行车每小时走 15 千米. 19.解:∵ AD⊥DC , AD ? 2 , AC ? 2 5 , ∴在 Rt△ ADC 中,由勾股定理可得, CD ? 4 .
3 ∵ AC⊥CB , AC ? 2 5 , cos B ? , 5

∴在 Rt△ ABC 中, tan B ?

4 3 5 5 5 , BC ? , AB ? , 3 2 2
3 5 5 5 ? ?6?4 5 . 2 2

∴四边形 ABCD 的周长 ? AD ? DC ? CB ? AB ? 2 ? 4 ? 即四边形 ABCD 的周长 6 ? 4 5 . 20.证明:( 1 )连结 OE ,
9 / 15

∵ AB ? BC , D 是 AC 中点, ∴ BD ? AC . ∵ OB ? OE , ∴ ?OBE ? ?OEB , ∵ BE 平分 ?ABD , ∴ ?OEB ? ?DBE , ∴ OE∥BD , ∴ OE ? AC , ∵ OE 是⊙ O 的半径, ∴ AC 与⊙ O 相切. ( 2 )∵ AB ? BC , ∴ ?A ? ?C . ∴ sin C ? sin A ? ∵ BD ? 2 , ∴ AB ? 4 . ∵ OE∥BD ,
OE AO ? , BD AB r 4?r ∴ ? , 2 4 4 解得 r ? , 3 BD 1 ? , AB 2



即⊙ O 的半径为

4 . 3

21.解:( 1 ) 80 ? 40% ? 200 (名), 该校对 200 名学生进行了抽样调查. ( 2 )统计图如下:

( 3 )表格中填 200 , (300 ? 200) ? 20% ? 100 (名), 估计全校学生中最喜欢踢毽子运动的人数约为 100 名.

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22.解:( 1 )如图 1 , 正方形 ABCD 的面积是 17 个小正方形,四边形 MNPQ 是 9 个小正方形, ∴四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的面积之比为 9 :17 . ( 2 )如图 2 ,设每个小正方形的面积是 1 ,图形面积是 10 , 所以拼接后的正方形的边长是 10 , 拼接后的正方形是正方形 ABCD . 23.解:( 1 )依题可知 B(1 , 0) ,

y ? ax2 ? 4ax ? 4a ? 5 ,
y ? a ? 4a ? 4a ? 5 ? 9a ? 5 ? 0 ,

a?

5 . 9

5 2 20 25 即抛物线的解析式为 y ? x ? x ? . 9 9 9 5 20 25 5 y ? x2 ? x ? ? ( x ? 2)2 ? 5 的顶点为 P(?2 , ? 5) . 9 9 9 9 ( 2 )点 P(?2 , ? 5) 、 M 关于点 B(1 , 0) 成中心对称时, M (4 , 5) ,
5 5 2 40 35 2 ∴平移后的抛物线 C2 的解析式 y ? ? ( x ? 4) ? 5 ? ? x ? x ? . 9 9 9 9 5 2 40 35 x? . 即平移后的抛物线 C2 的解析式为 y ? ? x ? 9 9 9 6 ( 3 )抛物线 C1 的对称轴为 x ? ?2 , E (?2 , ? m) 5 12 抛物线 C2 的对称轴 x ? 4 , F (4 , ? ? m) 5

①当 ?

1? 6 12 18 12 37 ? ? m≥5 时,即 m≥ 时, S ? ?( ? m ? 5) ? (? ? m ? 5) ? ? 6 ? 6m ? ; 2? 5 5 5 5 5 ?

? 12 ? ?m?5 ? 1? 6 12 204 31 37 ? ? 5 ②当 ? 时,即 ? ? m ? 时, S ? ?( ? m ? 5) ? (5 ? ? m) ? ? 6 ? ; 2? 5 5 5 5 5 ? ? 6 ? m ? ?5 ? ?5
1? 6 12 18 6 31 ? ③当 ? m≤ ? 5 时,即 m≤ ? 时, S ? ?(?5 ? ? m) ? (5 ? ? m) ? ? 6 ? ? 6m 2? 5 5 5 5 5 ?

18 37 ? ?6m ? 5 (m≥ 5 ) ? 37 ? 204 31 (? ? m ? ) . 综上所述, S ? ? 5 5 ? 5 ?18 31 ? 5 ? 6m(m≤ ? 5 ) ?

24.解:( 1 )结论成立. 延长 CB 至 E ,使得 BE ? DN ,连结 AE . ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴ AB ? AD ,
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∴ ?ABE ? ?ADN ? 90? . 在 △ABE 和 △ ADN 中,
? AB ? AD ? ??ABE ? ?ADN , ? BE ? DN ?

∴ △ABE ≌ △ ADN (SAS) . ∴ AE ? AN , ?BAE ? ?DAN . ∴ ?MAE ? ?MAN ? 45? . 在 △AEM 和 △ ANM 中,
? AE ? AN ? ??MAE ? ?MAN , ? AM ? AM ?

∴ △AEM ≌ △ ANM (SAS) , ∴ ME ? MN ? BM ? DN . ( 2 ) MN ? DN ? BM . 在 DN 上截取 DF ? BM ,连结 AF . 在 △ADF 和 △ABM 中,
? AD ? AB ? ??ADF ? ?ABM ? DF ? BM ?

∴ △ADF ≌ △ABM , ∴ AF ? AM , ?DAF ? ?BAM . 在 △ AMN 和 △ AFN 中,
? AM ? AF ? ??MAN ? ?FAN , ? AN ? AN ?

∴ △ AMN ≌ △ AFN , ∴ MN ? FN . ∴ MN ? DN ? DF ? DN ? BM . 25.解:( 1 )直线 l1 : y ? ? 3x ? 6 3 交 x 轴、 y 轴于 A 、 B 两点,
A(6 , 0) , B(0 , 6 3) ,

∵点 C 是线段 OA 的三等分点, ∴ C (2 , 0) 或 C (4 , 0) . ( 2 )①过点 M 作 MN ? y 轴于 N , ∴ △BMN ∽△BAO , ∴
BM BN 1 MN 1 ? ? , ? . AM ON 2 OA 3

∴ BN ? 2 3 , ON ? 4 3 , MN ? 2 , ∴即 M (2 , 4 3) ∵ △ACM 绕点 M 旋转 180? 得到 △A?C? M ,
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∴ △ACM ≌ △A?C? M , ∴ AM ? A? M , CM ? C? M . ∴四边形 A?CAC? 为平行四边形,且 M 为平行四边形 A?CAC? 的对角线交点, 将平行四边形 A?CAC? 分成面积相等的两个四边形,必过对角线交点 M , 设此直线的解析式为 y ? kx ,过点 M (2 , 4 3) ,

y ? 2 3x .
②当点 C (2 , 0) 时, (i)若 A? H∥CM ,即 CM ∥ x 轴,∴ M (2 , 4 3) ; (ii)若 A?C∥HM , ∵ M 为 A? A 的中点, ∴ AH ? CH , H (4 , 0) , ∴ A? (4 , 2 3) , M (5 , 3) . 当点 C (4 , 0) 时, (i)若 A? H∥CM ,即 CM ∥ x 轴,∴ M (4 , 2 3) ; (ii)若 A?C∥HM , ∵ M 为 A? A 的中点, ∴ AH ? CH , H (5 , 0) , ∴ A? (5 , 3) , M (
11 3 , ). 2 2 11 3 , ). 2 2

综上所述,所求 M 点的坐标为:

M (2 , 4 3) , M (5 , 3) , M (4 , 2 3) , M (

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2014 年北京八一中学零模数学试卷部分解析
一、选择题 1. 【答案】B 【解析】 ?6 的绝对值的相反数是 ?6 .故选 B. 【答案】C 【解析】 258 000 用科学记数法表示应为 2.58 ? 105 .故选 C. 3. 【答案】B
3

2.

【解析】 a 2 ? a 2 ? a 4 , ? a 2 ? ? a 6 , 2a 2 ? a 2 ? a 2 .故选 B. 4. 【答案】A
3 .故选 A. 4

【解析】布袋中有 4 个球,其中 3 个白球,1 个红球,故从袋中任意摸出 1 个球是白球的概率是 5. 【答案】C

1 【解析】∵ AB∥CD ,∴ ?2 ? ?CEF ,∵ EF 平分 ?CEG ,∴ ?CEF ? ?GEF ? ?CEG ,又∵ ?1 ? 80? , 2 ?CEG ? 100? ,∴ ? 2 ? 50? .故选 C.

6.

【答案】B
420 420 ? ? 20 .故选 B. x ? 0.5 x

【解析】依题意列方程得,

7.

【答案】A

?? ? 9 ? 4( x ? 2) ? 0 1 2 【解析】关于 x 的方程 ? x ? 2? x ? 3x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根, ? ,解得 x ? 且 4 ?x ? 2 ? 0
x ? ?2 .故选 A.

8.

【答案】D
BE BP ? ,∴ BE ? CD ? BP ? CP . PC CD

【解析】依题可知, PE 平分 ?BPC? , PD 平分 ?CPC? ,∴ ?EPD ? 90? , ∴ △EBP∽△PCD ,∴

∴ BP ? x , BE ? y , BC ? 4 , AB ? CD ? 3 , CP ? 4 ? x , ∴ 3 y ? x(4 ? x) , y ? ?

x2 4 x ? .故选 D. 3 3

二、填空题 9. 【答案】 a( x ? 1)2 . 【解析】分解因式: ax2 ? 2ax ? a ? a( x2 ? 2 x ? 1) ? a( x ? 1)2 . 故答案为: a( x ? 1)2 .

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10. 【答案】 x≥ ? 2 且 x ? 1 . 【解析】在函数 y ?
? x ? 2≥0 x?2 中,自变量 x 的取值范围是 ? ,解得 x≥ ? 2 且 x ? 1 . x ?1 ?x ?1 ? 0

故答案为: x≥ ? 2 且 x ? 1 . 11. 【答案】 12 . 【解析】∵ DE∥BC , 故答案为: 12 . 12. 【答案】 ?
64 n2 n ?1 ? 3n?1 . 23 , (?1) a a AD 1 ? , DE ? 1 ,等边 △ADE 的周长为 3 ,故等边 △ ABC 的周长为 12 . AB 4

【解析】这组数是正负相间隔,故用 (?1)n?1 ,分子式自然数的完全平方,第 n 个式子分子是 n2 ,分母中 a 的 指数是成等差数列排列,首项为 2 ,公差为 3 ,故为 a3n ?1 .∴第 n 个式子是 (?1)n?1 ? 故答案为: ?
64 n2 n ?1 ? 3n?1 . 23 , (?1) a a

n2 a3n?1

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