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解含参一元二次不等式恒成立问题学案


含参的一元二次不等式恒成立问题
青云实验中学 孙锴

学习目标:1. 理解恒成立问题的本质,会将问题的形式进行转化; 2. 熟练运用分类讨论思想与数形结合思想; 3. 培养学生多角度思考问题的习惯,激发学习兴趣。 学习重点:掌握解恒成立问题的几种方法。 学习难点:选择适合的方法解恒成立问题。 学习过程: 一、创设情境 高一(14)班新来了甲、乙两名同学,其中甲同学的体重恒小于班级原来任何一名同 学的体重,乙同学的身高恒大于班级原来任何一名同学的身高,请问: (1)你如何用快捷的方式说明甲同学的体重小于班级原来任何一名同学的体重?

(2)你如何用快捷的方式说明乙同学的身高大于班级原来任何一名同学的身高?

二、建构知识 对关于 x 的二次含参不等式 F ( x) ? 0 或 F ( x) ? 0 恒成立,求参数范围的基本解法: 1. 2 :一般适合于二次含参不等式在 上恒成立问题。

:构造函数,求出函数最值的表达式,进而求出参数范围。 一般地( m 为参数)(1)若 F ( x) ? 0 恒成立,则 : (2)若 F ( x) ? 0 恒成立,则 ; 。

3 :通过恒等变形,使参数与主元分离于不等式两端,从而将问题转化为求 主元函数的最值,进而求出参数的范围。 一般地( m 为参数)(1)若 g (m) ? f ( x) 恒成立,则 : (2)若 g (m) ? f ( x) 恒成立,则
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; 。

三、探究活动 问题 1 不等式 x ? 2 x ? m ? 0 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。
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变式 不等式 x ? 2 x ? m ? 0 对实数 x ? [1,2] 恒成立,求实数 m 的取值范围。
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问题 2

不等式 mx ? 2 x ? 1 ? 0 对实数 x ? [1,2] 恒成立,求实数 m 的取值范围。
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问题 3

不等式 mx ? 2mx ? 1 ? 0 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。
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四、课堂小结 前面介绍了二次含参不等式恒成立问题的三种解题方法,在解决问题时,要分清不等 式中的主元与参数,根据题目给定的条件,选择适当的方法,快速、准确地求出结果。 请你总结一下以下解法的适用范围: 1. 判别式法: 2. 构造法: 3. 参变分离法:

五、课后提高 1、函数 f ( x) ? log 2 (ax ? 2 x ? 1) 的定义域为 R ,求 a 的取值范围。
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2、若 (m ? 1) x ? (m ? 1) x ? 3m ? 3 ? 0 对任意实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。
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