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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课时提升作业11_1


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椭圆及其标准方程
(25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.椭圆 +y =1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2,则点 P 到另一个焦点的距离为 ( A.5 B.6 C.7 D.8 )
2

60 分)

【解析】选 D.因为 a=5,点 P 到一个焦点的距离为 2,所以点 P 到另一个焦点的距离为 2×5-2=8. 2.(2015·珠海高二检测)椭圆 那么|PF1|是|PF2|的 ( A.7 倍 ) C.4 倍 D.3 倍 + =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,

B.5 倍

【解析】选 A. 不妨设 F1(-3 , 0) , F2(3 , 0) ,由条件知 P

,即 |PF2|=

,由椭圆定义知

|PF1|+|PF2|=2a=4 即|PF1|=7|PF2|. 3.已知椭圆过点 P A. C. +x =1 +y =1
2 2

,|PF1|=

,|PF2|=



和点 Q

,则此椭圆的标准方程是 ( B. +y =1 或 x +
2 2

)

=1

D.以上都不对
2 2

【解析】选 A.设椭圆方程为:Ax +By =1(A>0,B>0),

由题意得

解得

4.若方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 ( A.(0,+∞) C.(1,+∞) 【 解析】选 D.先将方程 x +ky =2 变形为
2 2

2

2

)

B.(0,2) D.(0,1) + =1.

-1-

要使方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,需 >2, 即 0<k<1. 【补偿训练】椭圆 5x +ky =5 的一个焦点是(0,2),那么 k= A.-1 B.1
2 2 2 2

(

)

C.
2

D.=1.

【解析】选 B.由 5x +ky =5 得,x +

因为焦点为(0,2),所以 a = ,b =1, 所以 c =a -b = -1 =4, 所以 k=1. 5.已知椭圆 A.钝角三角形 C.锐角三角形 + =1 的两个焦点 F1,F2,M 是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2 是 B.直角三角形 D.等边三角形 ( )
2 2 2

2

2

【解题指南】利用条件和椭圆的定义解出|MF1|,|MF2|的长度,再判断. 【解析】 选 B.由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a=4, 且已知|MF1|-|MF2|=1, 所以|MF1|= , |MF2|= .又|F1F2|=2c=2. 所以有|MF1| =|MF2| +|F1F2| .因此∠MF2F1=90°,即△MF1F2 为直角三角形. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.已知椭圆的标准方程为 + =1(m>0).且焦距为 6,则实数 m 的值为__________.
2 2 2 2 2 2

【解析】若椭圆的焦点在 x 轴上,则 a =25,b =m , 因为 a =b +c , 即 25=m +9,所以 m =16, 因为 m>0,所以 m=4. 若椭圆的焦点在 y 轴上, 则 a =m ,b =25, 由 a =b +c , 所以 m =25+9, 所以 m =34,因为 m>0,所以 m= 综上可得 m=4 或 m= .
-22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

.

答案:m=4 或 m= 【误区警示】忽视焦点位置,导致丢解 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标 准方程中 x 和 y 项分母的大小,如果 x 项的分母大于 y 项的分 母,则椭圆的焦点在 x 轴上;反之,焦点在 y 轴上.由于本题中 x 和 y 项分母的大小不确定,因此需要进 行分类讨论. 【补偿训练】椭圆 + =1 的焦距等于 2,则 m 的值是________.
2 2 2 2 2 2

【解析】当焦点在 x 轴上时,m-15=1,m=16;当焦点在 y 轴上时,15-m=1,m=14. 答案:16 或 14 7.(2015·双鸭山高二检测)已知 F1,F2 是椭圆 C: 且 + ⊥ =1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点, ,若△PF1F2 的面积为 9,则 b=__________. ⊥ ,

【解析】因为 所以 PF1⊥PF2,

因此|PF1| +|PF2| =|F1F2| . 即(|PF1|+|PF2|) -2|PF1|·|PF2|=|F1F2| , 所以(2a) -2|PF1|·|PF2|=(2c) , 因此|PF1|·|PF2|=2b . 由 答案:3 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 顶点 A(-4,0)和 C(4,0),顶点 B 在椭圆 =____________. 【解题指南】利用正弦定理求解. 【解析】由题意知,A,C 为椭圆的两焦点, 则|AC|=8,|AB|+|BC|=10. 所以, 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
-32 2 2 2 2

2

2

2

= |PF1|·|PF2|=b =9,所以 b=3.

2

+

=1 上,则

=

=

= .

9.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)椭圆上一点 P(3,2)到两焦点的距离之和为 8. (2)椭圆两焦点间的距离为 16,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于 9 和 15. 【解析】(1)①若焦点在 x 轴上, 可设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0).

由题意知 2a=8,所以 a=4, 又点 P(3,2)在椭圆上, 所以 + =1,得 b =
2

. + =1.

所以椭圆的标准方程为

②若焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为: + =1(a>b>0),

因为 2a=8,所以 a=4. 又点 P(3,2)在椭圆上, 所以 + =1,得 b =12. + =1. + =1 或 + =1.
2

所以椭圆的标准方程为

由①②知椭圆的标准方程为

(2)由题意知,2c=16,2a=9+15=24, 所以 a=12,c=8, 所以 b =80. 又焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上, 所以所求方程为 + =1 或 +
2 2

=1.
2

10.已知圆 B:(x+1) +y =16 及点 A(1,0),C 为圆 B 上任意一点,求 AC 的垂直平分线 l 与线段 CB 的交点 P 的轨迹方程.

-4-

【解题指南】利用椭圆定义先判断 P 的轨迹是椭圆. 【解析】如图所示,连接 AP,

因为 l 垂直平分 AC,所以|AP|=|CP|, 所以|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4. 所以 P 点的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆. 因为 2a=4,2c=|AB|=2, 所以 a=2,c=1,b =a -c =3. 所以点 P 的轨迹方程为 + =1. (20 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2015·长春高二检 测)在△ABC 中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC 满足 的条件,就能得到 动点 A 的轨迹方程,下表给出了一些条件及方程: 40 分)
2 2 2

条件 ①△ABC 周长为 10 ②△ABC 面积为 10 ③△ABC 中,∠A=90° 则满足条件①②③的点 A 轨迹方程按顺序分别是 ( )

方程 C1:y =25 C2:x +y =4(y≠0) C3: + =1(y≠0)
2 2 2

-5-

A.C3,C1,C2 C.C1,C3,C2

B.C2,C1,C3 D.C3,C2,C1

【解题指南】根据条件逐一判断轨迹形状. 【解析】选 A.当△ABC 的周长为常数时,顶点 A 到 点 B,C 的距离之和为常数,所以轨迹为椭圆;当△ABC 的面积为常数时, 顶点 A 到直线 BC 的距离为常数, 所以轨迹为平行于 BC 的两条直线; 当△ABC 中∠A=90° 时,轨迹是以线段 BC 为直径的圆,故选 A. 2.设α ∈ A. ,方程 x sinα +y cosα =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则α 的取值范围是 ( B.
2 2

)

C.

D.

【解析】选 C.由题意可知 所以 sinα >cosα >0,

<



又因为α ∈

,解得

<α <

.

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2015·南昌高二检测)与椭圆 9x +4y =36 有相同焦点,且 b=2 【解析】由 9x +4y =36,得 所以 =9, =4,得 c1=
2 2 2 2

的椭圆方程是__________.

+ ,

=1,

所以焦点坐标为(0,
2 2

),(0,-

). + =1,则 a =b +c =(2
2 2 2

因为所求椭圆与 9x +4y =36 有相同焦点,设方程为 所以所求方程为 答案: + =1
2 2

) +(

2

) =25,

2

+

=1.

【一题多解】由 9x +4y =36,得
2 2

+

=1, + =1.

设与 9x +4y =36 共焦点的椭圆的方程为 由 4+k=(2 ) ,得 k=16.
2

-6-

所以所求椭圆方程为 答案: + =1

+

=1.

4.(2015·哈尔滨高二检测)已知椭圆 角时,点 P 的横坐标 x0=__________. 【解析】由椭圆的方程为

+y =1 的焦点为 F1,F2,设 P(x0,y0)为椭圆上一点,当∠F1PF2 为直

2

+y =1,得 c=2, =(-2-x0,-y0),

2

所以 F1(-2,0),F2(2,0), =(2-x0,-y0). 因为∠F1PF2 为直角,所以 即 又 + + =4,① =1,② 得 . = , ·

=0,

①②联立消去 所以 x0=± 答案:±

【延伸探究】若把条件“当∠F1PF2 为直角时”改为|PF1|= 则∠F1PF2=__________. 【解析】由椭圆的方程为 得 2a=2 所以|PF2|=
2 2

+



+y =1, ,

2

,2c=4,因为|PF1|+|PF2|=2a=2 , + ) +(
2

而|PF1| +|PF2| =( 答案:90°

-

) =16=|F1F2| ,所以∠F1PF2 为直角.

2

2

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.设椭圆 E: + =1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1, F2, 过 F1 的直线交椭圆 E 于 A, B 两点, 满足|AF1|=2|F1B|,

且|AB|=3,△ABF2 的周长为 12. (1)求|AF2|.
-7-

(2)若 cos∠F1AF2=- ,求椭圆 E 的方程. 【解析】(1)|AF1|=2|F1B|,|AB|=3, 所以|AF1|=2,|F1B|=1. 因为 4a=12,所以 a=3, 所以|AF1|+|AF2|=6,所以|AF2|=4. (2)因为|AF1|=2,|AF2|=4,cos∠F1AF2=- , 所以|F1F2|= 所以 c=
2

=2
2 2



,b =a -c =3, + =1. +y =1 的两焦点,B 为椭圆上的点且坐标为(0,-1). |的最大值. ,求λ 的值.
2

所以椭圆 E 的方程为

6.(2015·南京高二检测)设 F1,F2 分别是椭圆 (1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求| (2)若 C 为椭圆上异于 B 的一点,且 【解析】(1)因为椭圆的方程为 所以 a=2,b=1,c= 即|F1F2|=2 , ,
2

|·| =λ

+y =1,

又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,

所以|PF1|·|PF2|≤ 当且仅当|PF1|=|PF2|=2 时取“=” , 所以|PF 1|·|PF2|的最大值为 4, 即| |·| |的最大值为 4.

=

=4,

(2)设 C(x0,y0),B(0,-1),F1(由 又 + =λ 得 x0=
2

,0),

,y0=- .

=1,所以有λ +6λ -7=0, 与 方向相反,故λ =1 舍去,λ =-7.
-8-

解得λ =-7 或λ =1,又


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