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北京市海淀区2015届高三期末练习(二模)数学理试题及答案(扫描版)


海淀区高三年级第二学期期末练习

数学(理)答案及评分参考
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)B (2)D (6)A (3)D (7)C

2015.5

(4)A (8)C

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分) (9)2,

4n ? 1 3

(10) 30 ? , 1

(11) a ? 0 , a ? a ? 2

(12) ( 2, ??) 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15)(共 13 分) 解:(Ⅰ)因为 a ?

(13)14

(14) (

10 ,1] 10

3 6 cos A , 2
??????3 分

所以 a ?

3 6 b2 ? c 2 ? a 2 . ? 2 2bc

因为 c ? 5 , b ? 2 6 , 所以 3a ? 40a ? 49 ? 3 ? 0 .
2

解得: a ? 3 ,或 a ? ?

49 (舍). 3

??????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得: cos A ?
2

2 6 . ?3 ? 3 3 6
1 . 3
??????9 分

所以 cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ?

因为 a ? 3 , c ? 5 , b ? 2 6 ,

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? . 所以 cos B ? 2ac 3
所以 cos 2 A ? cos B . 因为 c ? b ? a ,

??????11 分 ??????12 分

所以 A ? (0, ) . 因为 B ? (0, ?) , 所以 ?B ? 2?A . ??????13 分

? 3

另解:因为 A ? (0, ?) ,

所以 sin A ? 1 ? cos A ?
2

3 . 3

由正弦定理得:

2 6 3 ? . sin B 3 3

所以 sin B ?

2 2 . 3 3 6 2 2 ? ? ? sin B . 3 3 3
? 2
??????12 分

所以 sin 2 A ? 2 ? 因为 c ? b ? a ,

? 3 所以 ?B ? 2?A .
(16)(共 13 分)

所以 A ? (0, ) , B ? (0, ) . ??????13 分

解:(Ⅰ)20 名女生掷实心球得分如下: 5,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,10. 所以中位数为 8,众数为 9. ??????3 分 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2. ??????4 分

P ? X ? 0? ?

1 1 2 C82 14 C12 C8 C12 33 48 ; ; ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? ; ? ? ? ? 2 2 2 C20 95 C20 95 C20 95

所以抽取的 2 名男生中优秀人数 X 的分布列为:

X

0

1

2

P
(Ⅲ)略.

33 95

48 95

14 95
??????10 分 ??????13 分

评分建议:从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行 合理的说明即可;也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比;或根据目前情况对学生今后在

该项目的训练提出合理建议.

P M

(17)(共 14 分) (Ⅰ)证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 OM . 因为 AB / / CD , AB ? 2CD , 所以 因为 所以 所以 所以 因为 所以

BO AB ? ? 2. DO CD BM ? 2 MP , BM ? 2. PM BM BO ? . PM DO OM / / PD . ??????2 分 OM ? 平面 MAC , PD ? 平面 MAC , PD / / 平面 MAC .

A O D C

B

??????4 分

(Ⅱ) 证明: 因为 平面 PAD ? 平面 ABCD ,AD ? AB , 平面 PAD 平面 ABCD , 所以 AB ? 平面 PAD . 因为 PA ? 平面 PAD , 所以 AB ? PA . 同理可证: AD ? PA . 因为 AD ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , AD 所以 PA ? 平面 ABCD .

平面 ABCD ? AD ,AB ? ??????6 分 ??????7 分

AB ? A ,
??????9 分

z

(Ⅲ)解:分别以边 AD, AB, AP 所在直线为 x, y , z 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 . 由

P M

轴 ,

AB ? AD ? AP ? 2CD ? 2



A(0, 0, 0)



B(0, 2, 0) , C (2,1, 0) , D(2,0,0) , P(0, 0, 2) ,则

uuu r uur AC ? (2,1, 0), PB ? (0,2, ?2) .
由(Ⅱ)得: PA ? 平面 ABCD . 所 以 平 面 A B C D 的 一 个 法 向 量 为
D x

A

B y C

r n ? (0,0,1) .


??????10 分

uuur uu u r uur uuu r uur PM ? ? (0 ? ? ? 1) ,即 PM ? ? PB .所以 AM ? AP ? ? PB ? (0,2?,2 ? 2?) . PB

设平面 AMC 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,则

u r

u r uuu r ? ?m ? AC ? 0, ?2 x ? y ? 0, 即? r uuur ?u ?2? ? y ? (2 ? 2? ) ? z ? 0. m ? AM ? 0, ? ?
令 x ? ? ? 1 ,则 y ? 2 ? 2? , z ? ?2? . 所以 m ? (? ?1, 2 ? 2?, ?2? ) . 因为 二面角 B ? AC ? M 的余弦值为 所以

u r

??????12 分

2 , 3

| 2? | 9? ? 10? ? 5
2

?

1 2 ,解得 ? ? . 2 3
??????14 分

所以

PM 1 的值为 . 2 PB

(18)(共 13 分) 解:(Ⅰ)令 f ( x) ? 0 ,得 x ? e . 故 f ( x) 的零点为 e . ??????1 分

1 (? ) ? x 2 ? (1 ? ln x) ? 2 x 2 ln x ? 3 f '( x) ? x ? ( x ? 0 ). 2 2 (x ) x3
令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? e . 当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 的变化情况如下表:
3 2

??????3 分

f ( x)
f '( x)

3

(0, e 2 )

e

3 2

(e 2 , ??)

3

?

3

0

?

3

f ( x)

所以 f ( x) 的单调递减区间为 (0, e 2 ) ,单调递增区间为 (e 2 , ??) .

??????6 分

1 ? x ? 1? ln x ln x 1 ? ln x x (Ⅱ)令 g ( x) ? .则 g '( x) ? ??????7 分 ? ? f ( x) . 2 x x x2 1 1 因为 f ( ) ? 4 ? 4 ln 2 ? 4 ? 4 ? ? 6 , f (e) ? 0 ,且由(Ⅰ)得, f ( x) 在 (0, e) 内是减 2 2

函数, 所以 存在唯一的 x0 ? ( , e) ,使得 g '( x0 ) ? f ( x0 ) ? 6 . 当 x ? [e, ??) 时, f ( x) ? 0 . 所以 曲线 y ? 由 g '( x0 ) ?

1 2

ln x 存在以 ( x0 , g ( x0 )) 为切点,斜率为 6 的切线. ??????10 分 x

1 ? ln x0 2 . ? 6 得: ln x0 ? 1 ? 6x0 2 x0
2 ln x0 1 ? 6 x0 1 ? ? ? 6 x0 . x0 x0 x0

所以 g ( x0 ) ? 因为 x0 ? 所以

1 , 2

1 ? 2 , ?6 x0 ? ?3 . x0
??????13 分

所以 y0 ? g ( x0 ) ? ?1 .

(19)(共 14 分)

?2a ? 4, ? 解:(Ⅰ)依题意得 ?c ? b, 解得: a ? 2 , b ? c ? 2 . ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?
所以圆 O 的方程为 x ? y ? 2 ,椭圆 C 的方
2 2

??????3 分

程为
y N P Q A M O B x

x2 y 2 ? ? 1 . ??????5 分 4 2
(Ⅱ)解法一:如图所示,设 P( x0 , y0 ) ( y0 ? 0 ),

Q( xQ , y0 ) ,则
2 2 ? x0 y0 2 2 ? ? 1, ? ? ? x0 ? 4 ? 2 y0 , 4 2 即? 2 ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 2, ? ? xQ ? 2 ? y0 . Q 0 ?

??????7 分 又由 AP : y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) 得 M (0, ). x0 ? 2 x0 ? 2

由 BP : y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) 得 N (0, ? ). x0 ? 2 x0 ? 2
??????10 分

所以 QM ? ( ? xQ ,

uuur

2 y0 xy ? y0 ) ? (? xQ , ? 0 0 ) , x0 ? 2 x0 ? 2

uuu r 2 y0 x y QN ? ( ? xQ , ? ? y0 ) ? (? xQ , ? 0 0 ) . x0 ? 2 x0 ? 2

2 2 uuur uuu r x2 y 2 (4 ? 2 y0 ) y0 2 2 QM ? QN ? xQ ? 20 0 ? 2 ? y0 ? ? 0. 2 x0 ? 4 ?2 y0



y N P





QM ? QN




A

Q

M O B x

?MQN ? 90? .


??????

14

( Ⅱ ) 解 法 二 : 如 图 所 示 , 设 P( x0 , y0 ) ,

AP : y ? k ( x ? 2) ( k ? 0 ).

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 由? 4 得 (2k ? 1) x ? 8k x ? 8k ? 4 ? 0 . 2 ? y ? k ( x ? 2) ?
8k 2 ? 4 2 ? 4k 2 所以 ?2 x0 ? ,即 x0 ? . 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
所以 y0 ?

2 ? 4k 2 4k 4k P ( , 2 ). ,即 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

4k 2 1 ?? 1 . 所以 直线 BP 的斜率为 2k ? 2 2 ? 4k 2k ?2 2 2k ? 1 1 ( x ? 2) . 所以 BP : y ? ? 2k 1 令 x ? 0 得: M (0, 2k ) , N (0, ) . ??????10 分 k uuur uuu r 1 设 Q( xQ , y0 ) ,则 QM ? (? xQ , 2k ? y0 ) , QN ? ( ? xQ , ? y0 ) . k

所以 QM ? QN ? xQ ? (2k ? y0 )( ? y0 ) ? xQ ? y0 ? 2 ?
2 2 2
2 2 因为 xQ ? y0 ? 2, y0 ?

uuur uuu r

1 k

2k 2 ? 1 ? y0 . k

所以 QM ? QN ? 0 . 所以 QM ? QN ,即 ?MQN ? 90? . ??????14 分

uuur uuu r

4k , 2k 2 ? 1

(20)(共 13 分) 解:(Ⅰ) A1 : 2,1,3 或 A1 :1,3, 2 . . (Ⅱ) A3 : 5,6,7, 2,3, 4,9,8,1; ??????4 分 ??????6 分 ??????2 分

A4 : 5,6,7,8,1, 2,3, 4,9 .

(Ⅲ)考虑数列 A : a1 , a2 ,L , an ,满足 ai ? ai ?1 的数对 ai , ai ?1 的个数,我们称之为“顺序数”.则 等差数列 A0 : 2015, 2004, L ,1的顺序数为 0 ,等差数列 An : 1, 2,L , 2015 的顺序数为 2014 . 首先,证明对于一个数列,经过变换 T ,数列的顺序数至多增加 2.实际上,考虑对数列

L , p, a,L , b, c,L , d , q,L ,交换其相邻两段 a,L , b 和 c,L , d 的位置,变换为数列
L , p, c,L , d , a,L , b, q,L .
显然至多有三个数对位置变化.假设三个数对的元素都改变顺序,使得相应的顺序数增加,即 由 p ? a, b ? c, d ? q 变为 p ? c, d ? a, b ? q . 分别将三个不等式相加得 p ? b ? d ? a ? c ? q 与 p ? b ? d ? a ? c ? q ,矛盾. 所以 经过变换 T ,数列的顺序数至多增加 2. 其次,第一次和最后一次变换,顺序数均改变 1.设 n 的最小值为 x ,则

2 ? 2 ? x ? 2? ? 2014 ,即 x ? 1008 .
最后,说明可以按下列步骤,使得数列 A1008 为 1, 2,L , 2015 . 对数列 A0 : 2015, 2014, L ,1,

??????10 分

第 1 次交换 1, 2,L ,1007 和 1008,1009 位置上的两段,得到数列 A 1:

1008,1007, 2015, 2014,L ,1010,1009,1006,1005,L , 2,1 ;
第 2 次交换 2,3,L ,1008 和 1009,1010 位置上的两段,得到数列 A2 :

1008,1009,1006,1007, 2015, 2014,L ,1011,1010,1005,1004,L , 2,1 ;
第 3 次交换 3, 4,L ,1009 和 1010,1011位置上的两段,得到数列 A3 :

1008,1009,1010,1005,1006,1007, 2015, 2014,L ,1012,1011,1004,1003,L , 2,1;
L L ,以此类推
第 1007 次交换 1007,1008, L , 2013 和 2014, 2015 位置上的两段,得到数列 A1007 :

1008,1009,L , 2013, 2014,1, 2,L ,1006,1007, 2015 ;
最终再交换 1, 2,L ,1007 和 1008,1009, L , 2014 位置上的两段,即得 A1008 : 1, 2,L , 2015 . 所以 n 的最小值为 1008. ??????13 分


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