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3.2简单的三角恒等变换(2)


3.2简单的三 角恒等变换
2013-3-12

复习 和角公式和差角公式

tan? ? tan ? tan( ? ? ) ? ? 1 ? tan? ? tan ? tan? ? tan ? tan( ? ? ) ? ? 1 ? tan? ? tan ?
2013-3-12

sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? cos( ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin? ? sin? ? cos( ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin? ? sin? ?

二倍角公式

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

sin 2? ? 2 sin ? cos ?
2

? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ?
2

tan2? ?
2013-3-12

2 tan? 1 ? tan ?
2

T2? S2? S(?+?)

复习回顾
sin2 ? ?

b a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )(其中tan? ? ) a

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ; 2? ? cos 2 2

C2? C(?+?)

tan? ? tan? ? tan( ? ? )(1 ? tan? tan? ) ?

C(?-?)

S(?-?)

T(?+?)
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T(?-?)

半角公式: sin

?
2

=?

1 ? cos? 2 1+cos? ? (其中 ? 号由 所在象限的函数符号而定) 2 2 1 ? cos? sin ? 1 ? cos? = = 1+cos? 1+cos? sin ?

cos = ? 2 tan

?

?
2

=?

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积化和差公式 cosαcosβ= sinαsinβ= sinαcosβ= cosαsinβ=
1 ?cos(? ? ? ) ? cos(? - ? )? 1 2 ? ?cos(? ? ? ) ? cos(? - ? )? 2 1 ?si n(? ? ? ) ? sin(? - ? )? 2 1 ?si n(? ? ? ) ? sin(? - ? )? 2

; ; ; .

2013-3-12

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和差化积公式 sinα+ sinβ= sinα- sinβ= cosα+ cosβ= cosα- cosβ=

(? ? ? ) (? - ? 2si n cos ) ; 2 2 (? ? ? ) (? - ? 2cos sin ) ; 2 2 (? ? ? ) (? - ? 2cos cos ) ; 2 2 (? ? ? ) (? - ? - 2si n sin ) . 2 2

2013-3-12

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万能公式

sin2? ?

2 tan? 1 ? tan2 ?

cos 2? ?

1 ? tan ?
2

1 ? tan ?
2

tan2? ?
2013-3-12

2 tan? 1 ? tan ?
2

与三角函数有关的最值问题 对于与三角函数有关的最值问题,我们可以把函数式化成一个 角的一个三角函数, 从而利用三角函数的最值来求解.下面我们分类加以说明. 一、y=a+bsinx型 例1求函数y=5-3sinx的最大和最小值. <分析>根据正弦函数的最值情况来定.

解: y=sinx的最大值和最小值分别是1和-1, ? ? y ? 5 ? 3sinx的最大值和最小值分别是8和2.
二、y=asinx+bcosx型

2013-3-12

例2 当0 ? x ?

?

2 ? 分析 ? 这是关于sinx, x的一次齐次式,可化成一个角的 cos

时,求函数y ? 3sin x ? 4cos x的最值.

4 解: y ? 3sin x ? 4cos x=5sin(x+? )(其中?是满足tan? = 的锐角) 3 ? ? ? ?

一个三角函数式.

而sin? = , sin( + ? )=cos?= ,? ymin ? 5 ? . 5 2 5 5

+?, 当x+?= 时, ? 2 2 2 ? y max ? 5sin(x+ ? )=5sin =5, 2 4 ? 3 3 0? x?

, ? ? x+? ? ?

故ymax=5,ymin ? 3.
2013-3-12

5 ? 3sinx 例3 求函数y ? 的最值. 2+sinx ? 分析 ? 可利用反求法

a+bsinx 三、y ? 型 c+dsinx

5 ? 3sinx 解:由y ? 得 (y+3)sinx =5 ? 2 y, 若y ? ?3矛盾, 2+sinx 5 ? 2y ? sinx= y+3 2 (5 ? 2 y) 2 ? sinx ? 1, sin x ? 1, ? ? ? 1,即 3y 2 ? 26 y+16 ? 0, (y+3)2

2 2 解得: ? y ? 8. y max=8,ymin ? . ? 3 3
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四、y ? asin x +bcos x型
2 2
2 2

例4 求函数y ? 3sin x +4cos x的最值. <分析>这是关于sin2x 、cos2x的二次齐次式,可先降次.

解:

7 1 = + cos 2 x. 2 2 ?ymax=4,ymin ? 3.

1 ? cos 2 x 1+ cos 2 x ? y ? 3sin x +4cos x=3 +4 2 2
2 2

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五、y ? asin x +bsinxcosx+ccos x型
2 2 2 2

例5 求函数y ? sin x +2sinxcosx+3cos x的最值.
解: y ? sin x +2sinxcosx+3cos x ?
2 2

1 ? cos 2 x 1+ cos 2 x = +sin2x +3 2 2 ?

=sin2x + cos 2 x+2= 2sin ( + )+2 2x 4 ?

ymax=2+ 2,ymin ? 2 ? 2.

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六、y ? asin 2x +bsinx +c型 例6 求函数y ? 2cos x ? sin x ? 4cosx+2,x ?[ , ]的最值. 3 3 <分析>对于这种二次非齐次式,可以看作是可化为二次函数
2 2

? 2?

的函数求解.

? 解: y ? 2cos x ? sin x ? 4cosx+ 2 ? 3cos x ? 4cosx+1 2 2 1 =3(cosx ? ) ? 3 3
2 2 2

2? 1 1 又? ? x ? ,?? ? cosx ? , 3 3 2 2 2? 1 15 ?当x= 时,(cosx)min ? ? , y max= ; 3 2 4 ? 1 1 当x= 时,(cosx)max ? , y min= ? . 3 2 4
2013-3-12

?

七、y ? (sinx +cosx)+bsinxcosx型 a 例7 求函数y ? sinx +cosx+sinxcosx的最值. 2 <分析>注意到(sinx +cosx) 1 ? 2sinxcosx. 可把sinx +cosx =

看作是一个整体,利用换元法.

解: sinx +cosx=t, t=sinx +cosx= 2sin(x + ? ), 设 ? 4 ?? 2 ? t ? 2 t2 ?1 2 t 2=(sinx +cosx) 1 ? 2sinxcosx , ? sinxcosx= = 2 2 t ?1 1 2 1 1 代入得:y= t + = t +t ? = (t ? 1) 2 ? 1, 2 2 2 2 ? .2 ? t ? 2

1 ?当t= ? 1时,y min=-1; 当t= 2时,y max= ? 2 2
2013-3-12

练习题 3 ? sinx ; ? 2 ? y=log2 3+sinx

1.求下列函数的最值:
3

?1? y=log 1 (2 ? cosx);

x x 3? y=4sin +3cos x ? ?0,? ? ? 4 ? y=3sin 2 x ? 6sinxcosx+11cos2x. ? 2 2 ?? ? 2 2.已知函数f(x)=cos2x ? 2acosx+a ? 2a ? 0 ? x ? ?的最小值是-2, 2? ? 试确定实数a的值,并求出f(x)的最大值.

1 3.讨论函数f(x)= cos(2x ? 2?)+cos2? ? 2cos(x ? ? )cosxcos?的 2 值域、周期性、奇偶性及其单调性.

2013-3-12

作业P143 B组 <<学与练>>

2013-3-12

答案:?1? -1, ? 2 ? -1 , ?3 ?3 , ?4 ?12 , 1. 0 1 5 2 2.a=3时,y max=2;a=2 ? 2时,y max= ?1.

?? ? 1 1? ? 3. ? ? , ? ,T=?,偶函数,在区间 ? k? , k? + ? 上 ? , 2? ? 2 2? ? ? ? ? 在区间 ? k? ? , k? ? 上 ? ? k ? Z ? . 2 ? ?

2013-3-12

? 例5.如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为 的扇形,C是扇形 3 弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形,记∠COP= ? ,问当
角 ? 取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积。

解:在Rt?OBC中,OB= cos? ,BC=sin ? . DA tan 60?= 3. 在Rt ? OAD中, = D C OA 3 OA= DA= 3 BC= 3 sin ? . 3 3 3 ? 3 O B P A AB= OB ? OA= cos? ? sin ? . 3 ? ? 3 设矩形ABCD的面积为S. S=AB ? BC=? cos ? ? sin ? ? sin ? ? ? 3 ? 3 1 ? cos 2? ? 3 2 1 =sin ? cos ? ? sin ? = sin 2? ? ? 3 2 3 2 ? ? 1 3 3 = 1 ? 3 sin 2? ? 1 cos 2? ? ? 3 = sin 2? ? cos 2? ? ? 6 2 3? 2 ? ? 2 2013-3-12 6 6

Q

? 例5.如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为 的扇形,C是扇形 3 弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形,记∠COP= ? ,问当
Q ? ? 3 S=AB ? BC= cos ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? 3 ? ? 3 1 ? 3 ? 1 D = ? sin 2? ? cos 2? ? ? ? 6 2 3? 2 ? ? 1 ?? 3 ? = sin ? 2? ? ? ? ? 6? 6 O 3 ? A ? ? ? 5? 所以当2? ? ? = ? , 由0 ? ? ? ,得 ? 2? ? ? , 6 2 3 6 6 6 ? 即?= 时, S最大== 1 ? 3 = 3 . 6 6 3 6 ? 3 因此当?= 时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为 . 6 6 2013-3-12

角 ? 取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积。

C

B P

例2 求函数y ? sin 4 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 4 x的最小正周期和最小值, 并写出该函数在区间? 0,? ? 上的单调递增区间.

解:y ? sin x ? 2 3sin x cos x ? cos x
4 4

? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) ? 3sin 2 x
2 2 2 2

函数的最小正周期是? ,最小值是 ? 2; ? ? ? ? ? 令 ? +2k? ? 2 x ? ? +2k? , 令 ? +k? ? x ? +k? , 2 6 2 6 3 ? 5? k =0,0 ? x ? , k =1, ? x ? ?, 3 6 该函数在区间?0,? ? 上的单调递增区间是

? 3sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6

?

? 1 ? ?0, 3 ? ? , ? 2013-3-12 ?

5 [ ? , ? ]. 6

? x x ? ? x ? x ? 例3已知向量 a ? (2cos , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 2 2 4 2 4 2 4 ? ? 令f ( x) ? a ? b.求函数f ? x ?的最大值,最小正周期,并写出函数在?0,? ? 上的单调区间.

? ? x x ? x ? x ? 解:f ( x) ? a ? b ? 2 2 cos sin( ? ) ? tan( + ) tan( ? ) 2 2 4 2 4 2 4

x x 1 ? tan tan ?1 x 2 x 2 x 2? 2 ? 2 2 cos ( sin ? cos ) ? 2 2 2 2 2 1 ? tan x 1 ? tan x x x 2 x ? 2sin cos ? 2cos ?1 2 2 2 2 2

= 2 sin( x ? ). 4 函数的最小正周期是2? ,最小值是 2; ? ? ?? 该函数在区间 ?0, ? 上的单调递增,在区间[ , ? ]单调递减. 4? 4 2013-3-12 ?

? sin x ? cos x

?

例4设函数f ( x) ? 3 cos 2 ? x+sin ? xcos? x ? ? ?? ? 0, ? ? R ? 且函数

f ? x ?的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是 . 6 ?I? 求?的值;

?

? ? 5? ? ? II ? 如果f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上的最小值为 3,求?的值. ? 3 6 ?

3 1 3 解:(I)f ( x) ? cos 2? x ? sin 2? x ? ?? 2 2 2
依题意得 2? ?
?? 3 ? ? sin ? 2? x ? ? ? ?? 3? 2 ?

?

6

?

?

3

?

?

2

,

1 解之得? ? . 2

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3 (II)由(I)知,f(x)=sin(x+ ) ? ?? 3 2
? ? 7? ? ? ? 5? ? 又当x ? ? ? , ? 时,x ? ? ?0, ? , 3 ? 6 ? ? 3 6 ?
1 ? 故 ? ? sin( x ? ) ? 1, 2 3

?

1 3 ? ? 5? ? 从而f ( x)在 ?? , ? 上取得最小值 ? ? ? ?, 2 2 ? 3 6 ?
1 3 因此,由题 设知 ? ? ? ? ? 3. 2 2 3 ?1 故? ? . 2
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? ? ? ? 例4.若 a ? (sin x, m), b ? (sin x ? 3 cos x,1) ,设 f ( x) ? a ? b ,
(1)写出函数 f(x)的解析式,并指出它的最小正周期; (2)若 x ? [0, ] , f(x)的最小值为2,求m的值。

?

3

2013-3-12

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