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贵州省务川仡佬族苗族自治县民族寄宿制中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题


务川民族中学 2015-2016 学年度第一学期半期考试 高二数学
评卷人 得分 考试范围:直线方程,圆的方程,程序框图;考试时间:120 分钟; 第 I 卷(选择题) 一、选择题(每小题 5 分,共计 60 分) 考号:________________ 1.已知直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则该直线的倾斜角为( A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500 ) )



2.直线 L 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 L 的方程是:( A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2 x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 3.直线 3 x ? y ? 2 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得到的弦长为(
2 2



A.1

B.2 3

C. 2 2

D.2 )

4 .两直线 3 x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们 之间的距离为( 封

2 5 7 C. D. 13 13 10 13 26 20 5.已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 L 对称,则直线 L 的方程为(
A. 4 B. A. x ?
y ?1 ? 0

)

姓名:_______________

B. x ? y ? 0

C. x ?

y ?1 ? 0

D. x ? y ? 0 )

2 2 6.若 P (2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(

线

A. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 )

班级:_______________

7.已知 AB ? 0 且 BC ? 0 ,则直线 Ax ? By ? C ? 0 一定不经过( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 2 2 2 8.两圆 x +y -1=0 和 x +y -4x+2y-4=0 的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 9.直线 x+6y+2=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 A. 2, 1
3

B. ? 1 ,?3
2

C. ?2,? 1

D.-2,-3

3

10.已知圆 O 的圆心为坐标原点,半径为 1 ,直线 l : y ? kx ? t (k 为常数,t ? 0) 与圆 O 相交于
M , N 两点,记△ MON 的面积为 S ,则函数 S

? f ? t ? 的奇偶性为(



A.偶函数 B.奇函数 C.既不是偶函数,也不是奇函数 D.奇偶性与 k 的取值有关 11.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为 ( )

1

A.-1

B.0

C.1

D.3 )

12.若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是( A.[ 1 ? 2 2 , 3 ] C.[ ?1 , 1 ? 2 2 ] B.[1 ? 2 ,3] D.[ 1 ? 2 2 , 1 ? 2 2 ]

2

第 II 卷(非选择题)

评卷人

得分 二、填空题(每小题 5 分,共计 20 分)

13.以两点 A(-3,-1)和 B(5,5)为直径端点的圆的方程是_________. 14 . 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 若 输 入 a 的 值 为 2, 则 输 出 的 p 值 是 _ .

15.若圆 x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 上仅有 3 个点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 1,则实数 r =_ 16.已知点 M (a, b) 在直线 3 x ? 4 y ? 15 上,则 a ? b 的最小值为_
2 2

评卷人

得分 三、解答题(17 题 10 分,其余各题每题 12 分,共计 70 分)

17.(本题满分 10 分) 根据下列条件,写出直线的方程.

(1)斜率是

,经过点 A(8,-2);

(2)经过点 B(-2,0),且与 x 轴垂直; (3)斜率为-4,在 y 轴上的截距为 7; (4 )经过点 A(-1,8),B(4,-2) ; (5)在 y 轴上的截距是 2,且与 x 轴平行; (6)在 x 轴,y 轴上的截距分别是 4,-3.

18.(本题满分 12 分) 已知直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 , l2 : ( m ? 2 ) x ? 3 y ? 2m ? 0 ,求当 m 为何值时, l1 与 l2 :

3

(1)平行; (2)相交; (3)垂直.

19.(本题满分 12 分) ·C:x2+y2-6x+4y+4=0.当直线 L 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1 时, 已知点 P(2,0) ,及○ 求直线 L 的方程。

20.(本题满分 12 分) 已知圆:x +y -4x-6y+12=0 , (1)求过点 A(3,5) 的圆的切线方程;
2 2

(2)点 P ( x, y ) 为圆上任意一点,求 y 的最值。 x

21. (本小题 12 分)已 知圆 C: x ? y ? 4 x ? 6 y ? 9 ? 0 及直
2 2

l : 2mx ? 3my ? x ? y ? 1 ? 0(m ? R )
(1)证明:不论 m 取何值,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时的直线方程.

22. (本题满分 12 分) 已知圆 C: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 关于直线 x ?
y ? 1 ? 0 对称,圆心在第二象限,半径为

2
(1)求圆 C 的方程; (2)是否存在斜率为 2 的直线 l , l 截圆 C 所得的弦为 AB,且以 AB 为直径的圆过原点,若 存在,则求出 l 的方程,若不存在,请说明理由。

4

高二数学参考答案 1.A 【解析】 试题分析:直线斜率 k ?

3 1 3 , 设 该 直 线 的 倾 斜 角 为 ? , 则 tan ? ? ,因为 ? 3 3 3

0? ? ? ? 180? ,所以 ? ? 30? 。故 A 正确。
考点:直线的倾斜角及斜率。 2.A 【解析】由题意知直线 l 的斜率为 ?

3 , 又因为过点( -1 , 2 ) ,所以直线 l 的方程为 2

3 y ? 2 ? ? ( x ? 1) ,即 3 x ? 2 y ? 1 ? 0 。故选 A。 2
3.B 【解析】 试题分析:直线被圆所截的弦长问题,先放在以圆心,弦的中点, ,弦的端点为顶点的直角 三角形中,计算弦长的一半,该题圆心(0,0)到直线 3 x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ? 所以弦长为 2 4 ? 1 ? 2 3 . 考点:直线被圆所截得的弦长计算方法. 4.D 【解析】 试题分析:∵两直线 3 x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,∴

2 ? 1, 2

6 m 1 ,∴m=2,直线 ? ? 3 1 ?3
2

3 x ? y ? 3 ? 0 化为 6 x ? 2 y ? 6 ? 0 ,故两直线的距离为

1 ? (?6) 6 ?2
2

?

7 10 ,故选 D 20

考点:本题考查了两直线的位置关系及距离公式 点评:熟练运用两直线的位置关系及距离公式是解决此类问题的关键,属基础题 5. A 【解析】P.Q 两点的中点坐标为(2,3)在直线 l 上. 斜率k PQ =-1 .所以直线 l 的斜率为 1 由点斜式写出方程为 y-3=1×(x-2)化简得答案 A. 6.A【解析】本题考查圆标准方程和几何性质,直线的方程. 圆 ( x ? 1) ? y ? 25 的圆心为 Q (1, 0) ,根据圆的几何性质知: PQ ? AB; 直 线 PQ 斜率为
2 2

?1 ? 0 ? ?1, ,所以直线 AB 斜率为 1,则直线 AB 的方程是 y ? 1 ? x ? 2 ,即 x ? y ? 3 ? 0. 2 ?1
故选 A 7.C 【解析】本题考查直线所经过象限与其斜率、纵截距的关系。

5

将直线改写成点斜式: y ? ? 图形,可知选 C。

A C x ? ,由题意可知其斜率小于 0,纵截距大于 0.画出对应 B B

8.B 2 2 2 2 【解析】圆 x +y -1=0 的圆心为(0,0),半径为 1;圆 x +y -4x+2y-4=0 的圆心为(2,-1), 半径为 3.圆心距 d=5,由于 ,∴两圆相交.

考点:直线与圆的位置关系. 9.C 【解析】本题考查直线在坐标轴上的截距的概念. 直线与 x 轴上交点的横坐标叫直线在 x 轴上的截距,直线与 y 轴上交点的纵坐标叫直线在 y 轴上的截距;令 y ? 0 得: x ? ?2; 令 x ? 0 得 y ? ? ; 故选 C 10.A 【解析】 试题分析:圆心 ? 到直线 l 的距离 d ?

1 3

t k 2 ?1

, ?? ? 2 r ? d ? 2 1 ?
2 2

t2 ,所以 k 2 ?1
k 2 ?1? t2 k 2 ?1

???? 的 面 积 是 S ? f ? t ? ?

t t 1 t2 ?? ? d ? 1 ? 2 ? ? 2 k ?1 k 2 ?1

( t ? 0 ). 函 数 f ? t ? 的 定 义 域 是 ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ? , 关 于 原 点 对 称 . 因 为

f ? ?t ? ?

?t

k 2 ? 1 ? ? ?t ? k 2 ?1

2

?

t

k 2 ?1? t2 ? f ? t ? ,所以 f ? t ? 是偶函数,故选 A. k 2 ?1

考点:1、点到直线的 距离;2、圆的弦长;3、三角形的面积;4、函数的奇偶性. 11.B 【解析】 试题分析:开始 s ? 1, i ? 1 ,执行循环体 s ? 1 ? (3 ? 1) ? 1 ? 3 , i ? 2 ,判断条件不成立继续 执 行 循 环 体 , s ? 3 ? (3 ? 2) ? 1 ? 4 , i ? 3 , 判 断 条 件 不 成 立 继 续 执 行 循 环 体 ,

i ?5, 判断条件不成立继续执行循环体,s ? 1 ? (3 ? 4) ? 1 ? 0 , s ? 4 ? (3 ? 3) ? 1 ? 1 ,i ? 4 ,
条件成立终止 循环,输出 s ? 0 ,答案选 B 考点:算法与程序框图 12.A

6

【解析】 试题分析:由题可知, y ? 3 ? 4 x ? x 2 得 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 (1 ? y ? 3) ,它表示圆心 在(2,3) ,半径为 2 的圆的下半部分,y=x+b 表示 斜率为 1 的平行线,其中 b 是直线 在 y 轴上的截距,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径,由点到直线的距离公 式可知, d ?

2?b?3 1?1

? 2 ,解得 b ? 1 ? 2 2 ,由图知 b 的取值范围是 [1 ? 2 2 ,3] 。

13.(x-1) +(y-2) =25 【解析】设 P(x,y)是所求圆上任意一点.∵A、B 是直径的端点,∴ PA · PB = 0.又 PA = (-3-x, -1-y),PB =(5-x, 5-y). 由 PA ·PB =0 (-3-x)·(5-x)+(-1-y)(5 -y)=0 14.4 x -2x+y -4y-20=0
2 2

2

2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(x-1) +(y-2) =25.

2

2

15. 2 ? 1 【解析】 试题分析:圆 x ? y ? r (r ? 0) 的圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为
2 2 2

|0?0?2| 2

? 2,

因为圆 x ? y ? r (r ? 0) 上仅有 3 个点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 1 ,所 以半径
2 2 2

r ? 2 ? 1.
考点:直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式. 16.3 【解析】 试题分析:因为点 M (a, b) 在直线 3 x ? 4 y ? 15 上,所以 3a ? 4b ? 15, 是原点到直线 3 x ? 4 y ? 15 的距离,所以 a ? b =
2 2

a 2 ? b 2 可以看成
? 3.

3 ? 0 ? 4 ? 0 ? 15 32 ? 42

考点:本小题主要考查点到直线的距离公式的应用和学生转化问题的能力. 点评:本题的解题关键是将 a ? b 转化成原点到直线 3 x ? 4 y ? 15 的距离.
2 2

7

17. (1)由点斜式得 (2)x=-2,即 x+2=0; (3)由斜截式得 y=-4x+7;

;

(4)由两点式得 (5)y=2,即 y-2=0;

;

(6)由截距式得

.

18.见解析 【解析】 试 题 分 析 : 判 断 两 直 线 的 位 置 关 系 的 方 法 , 设 直 线

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0, ( A1, B1不同时为0;A2 , B2 不同时为0)
( 1 )



l1 // l 2 ? A1 B2 ? A2 B1且A1C 2 ? A2 C1 (或B1C 2 ? B2 C1 )



2 )

l1与l 2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1
也可利用两条直线相交时, 由方程组得到的一次方程有唯一解, 一次项的系数不等于 0. (3)

l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0
试题解析: (1)由 1 ? 3 ? m ? ( m ? 2) ? 0 得:m = – 1 或 m = 3 当 m = – 1 时, l1 : x ? y ? 6 ? 0 , l 2 : ?3x ? 3 y ? 2 ? 0 ,即 3x ? 3 y ? 2 ? 0
1 ?1 6 ? ? ∵ 3 ?3 2

l1 // l 2



当 m = 3 时 , l1 : x ? 3 y ? 6 ? 0 , : l 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,此时 l1 与重 l 2 合 ∴ m = – 1 时, l1 与平 l 2 行 4分

(2)由 1 ? 3 ? m ? ( m ? 2) ? 0 得:m≠– 1 且 m≠3 ,∴ m≠– 1 且 m≠3 时,l1 与相 l 2 交 8 分 (3)由 1 ? ( m ? 2) ? m ? 3 ? 0 得: 考点:两条直线的位置关系 19. y ? ?
m? 1 1 m? 2 ,∴ 2 时, l 与 l 垂直 1 2

12 分

3 ( x ? 2)即3 x ? 4 y ? 6 ? 0 4
8

当 k 不存在时,l 的方程为 x=2 【解析】解:设直线 l 的斜率为 k(k 存在)则方程为 y-0=k(x-2) 又⊙C 的 圆心为(3 , -2)

r=3 由 | 3k ? 2k ? 2 | ? 1 ? k ? ? 3
k 2 ?1 4

所以直线方程为 y ? ? 20.(1) (2) x=3 和 3x-4y+11=0

3 l 的方程为 x=2。 ( x ? 2)即3 x ? 4 y ? 6 ? 0 当 k 不存在时 , 4

6?2 3 6?2 3 y y 的最大值为 ; 的最小值为 3 3 x x

【解析】略 【答案】 (1)见解析; (2)y=x-1。 【解析】本题考查直线 与圆相交的证明,考查直线被圆截得的线段的最短长度以及此时直 线的方程.考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大, 有一定的探索性,对数学思维能力要求较高, 是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解 答. 21 解:由 x ? y ? 4 x ? 6 y ? 9 ? 0 得 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 2
2 2 2 2 2

∴圆 C 的圆心为(2,3),半径为 2……………2 分 (1)由 l : 2mx ? 3my ? x ? y ? 1 ? 0(m ? R ) 得 m(2 x ? 3 y ) ? x ? y ? 1 ? 0

由?

?2 x ? 3 y ? 0 ? x ? 3 得? ?x ? y ?1 ? 0 ? y ? 2

∴不论 m 取何值,直线 l 恒过点 P(3,2)…………….4 分 ∵ 32 ? 22 ? 4 ? 3 ? 6 ? 2 ? 9 ? ?2 ? 0 ∴点 P(3,2)在圆 C 内 所以不论 m 取何值,直线 l 与圆 C 恒相交…………….6 分 (2)当直线 l 垂直 CP 时,直线 l 被圆 C 截得的弦长最短 ∵ kCP ? ?1 所以所求的直线方程为 y=x-1…………….12 分 22. (1) x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 (2)满足条件的直线不存在
2 2

【解析】试题分析: (1)圆心为 (?

D E , ? ), r ? 2 2

D 2 ? E 2 ? 12 2

2分

D E ? ? ? ?1 ? 0 ? 2 2 ? 由题意: ? 2 2 ? D ? E ? 12 ? 2 ? ? 2

4分

9

解得: D ? 2, E ? ?4 或 D ? ?4, E ? 2 (舍) 圆 C 的方程为 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0
2 2

6分

(2)假设存在满足要求的直线 l ,设其方程为 y ? 2 x ? b , 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,由题意, OA ? OB,? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 得: x1 x2 ? (2 x1 ? b)(2 x2 ? b) ? 5 x1 x2 ? 2b( x1 ? x2 ) ? b 2 ? 0 (*) 将 y ? 2 x ? b 代入圆的方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 得:
2 2

??? ? ??? ?

8分

10 分

5 x 2 ? (4b ? 6) x ? b 2 ? 4b ? 3 ? 0 ,该方程的两根为 x1 , x2
将 x1 ? x2 ? ?

12 分

4b ? 6 b 2 ? 4b ? 3 代入 (*)得: , x1 x2 ? 5 5
14 分 16 分

2b 2 ? 8b ? 15 ? 0

?? ? 0,?方 程无解,满足条件的直线 不存在.

考点:圆的方程,直线与圆的位置关系 点评:解决的关键是根据直线与圆的位置关系,结合韦达定理来求解分析,属于基础题。

10


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