2011—2012 学年度第二学期期末考试 高一年级数学（理科）试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题
共 60 分）
注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。 一、 选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答
案的序号填涂在答题卡上） 1、已知向量 a ? ( 2 , t ), b ? (1, 2 ), 若 t ? t 1 时， a ∥ b ； t ? t 2 时， a ? b ，则( A． t 1 ? ? 4 , t 2 ? ? 1 2、若 a 、 b 、 c ? R , A.
1 a ? 1 b
?
?
?
?
?
?
)
B. t 1 ? ? 4 , t 2 ? 1
C. t 1 ? 4 , t 2 ? ? 1 )
D. t 1 ? 4 , t 2 ? 1
a ?b
，则下列不等式恒成立的是 (
a ? c b
2
B.
c
2
?1
?1
开始
C. a 2 ? b 2
D. a | c |? b | c |
?
i ? 1, s ? 1
3、 下列函数中， 在区间(0， )上为增函数且以 ? 为周期的函数是(
2
)
i ? i ?1
s ? 2 ( s ? 1)
A． y ? sin
x 2
B． y ? sin x D． y ? ? cos 2 x ） D.190 ）
C． y ? ? tan x
否
i ? 5?
4、如果执行右面的程序框图，那么输出的 S ? （ A.22 5、在△ABC 中，若 A.等腰三角形 C.等腰直角三角形
a b
2 2
是
输出s
B.46
? a b
2 2
C. 9 4
2 2
? c ? c
?b ? a
2 2
，则△ABC 是（
结束
B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
甲
第 4 题图
乙
6、如图：是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，
5 3 6 7 3 8 9 1 1 2 3 4 4 2 5 5 6 7 3 7 8
-1-
4
则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 （ A.62 7、函数 y ? ta n (
?
4
）
B.63
x?
C.64
D.65
?
2
)(0 ? x ? 4 ) 的图象与 x 轴交于 A 点，
过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B , C 两点， 则 (O B ? O C ) ? O A ? （ A.4 B.10 C.6
??? ? ???? ??? ?
第 6 题图
） D. 8
y ?1 x ?1
?y ? 0 ? 8、实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ?2x ? y ? 2 ? 0 ?
，则 t ?
的取值范围是 （
）
A.
? 1 ? ? ? 2 ,1 ? ? ?
B.
? 1 ? ?? 2 , ?? ? ? ?
2
C.
1? ? ? ? 1, 3 ? ? ?
D.
? 1 1? ?? 2 , 3 ? ? ?
9、在区间 (1, 2 ) 上,不等式 ? x ? mx ? 4 ? 0 有解，则 m 的取值范围为（ A. m ? ? 4 B. m ? ? 4 C. m ? ? 5 D. m ? ? 5
b a
）
10、锐角三角形 A B C 中，内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若 B ? 2 A ，则 ( ) A. ( 2 , 3 ) B. ( 2 , 2 )
? ?
的取值范围是
C. ( 0 , 2 )
1 2
D. ( 0 , 3 )
3 2
? ?
11、已知 ? ABC 的面积为 S ，且 AB ? AC ? 1, 若 是（ ） A. (
?
6 ,
? S ?
，则 AB , AC 夹角的取值范围
?
4
)
B. (
?
6
,
?
2
)
C. (
?
3
,
?
2
)
D. (
?
4
,
?
3
)
12、已知△ABC 的面积为 1，设 M 是△ A B C 内的一点(不在边界上)，定义 f ( M ) ? ( x , y , z ) ，
1
1 x 4 y
其中 x , y , z 分别表示△ M B C ,△ M C A ,△ M A B 的面积， f ( M ) ? ( x , y , ) ， 若 则
2
?
的最小值为（ A.8 B.9
） C.16 D.18
-2-
第Ⅱ卷（非选择题
二、
共 90 分）
填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）
2
13、设关于的一元二次不等式 ax
? bx ? 1 ? 0 的解集为 ( ? 1,
1 3
) ，则 a ? b ?
．
14、不等式
2x 3x
2
2 2
? 5x ? 1 ? 7x ? 2
? 1 的解集是______________.
15、方程 2 x ? 8 x ? a ? 0 在区间 (1, 4 ) 上有两个不同的根，则 a 的取值范围是___________.
? ? ? ?
16、已知在四边形 ABCD 中，AB=AD=4，BC=6，CD=2， 3 AB ? AD ? 4 CB ? CD ? 0 ，求三角形 ABC 的外接圆半径 R 为 三、 .
解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
写在答题纸的相应位置） 17、 （本小题满分 10 分） 求值：
3 ta n 1 2 ? ? 3 s in 1 2 ? ( 4 c o s 1 2 ? ? 2 )
2
.
18、 （本小题满分 12 分） 在△ABC 中，已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点，AD=10, AC=14,DC=6，求 AB 的长.
19、 （本小题满分 12 分）
-3-
某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间，将测试结果按如下方式 分成五组：第一组 ?13 ,14 ) ；第二组 ?14 ,15 ) ??第五组 ?17 ,18 ? ．下图是按上述分组方法得到的 频率分布直方图. （I）若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人 数； （II）设 m 、 n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知 m , n ? [13 ,14 ) ? [17 ,18 ], 求事 件“ m
? n ? 1
频率 组距 0.38 0.32
”的概率.
0.16
0.08 0.06
O
13
14
15
16
17
18
秒
19题 图
20、 （本小题满分 12 分）
已知向量 a
?
? 1 ? (sin x , ? 1) b ? ( 3 cos x , ? ) 2
f (x)
，函数
? ? ? f ( x) ? (a ? b ) ? a ? 2
(1)求函数
的值域；
? 2 3
(2)已知 a , b , c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边， a 和△ABC 面积的最大值。
，且
f ( A ) ? 1 ，求
A
21、 （本小题满分 12 分） 某人上午 7:00 时，乘摩托车以匀速 v 千米/时 ( 4 ?
v ? 20)
从 A 地出发到相距 50 千米的 B 地
-4-
去，然后乘汽车以匀速 w 千米/时 (3 0 ?
w ? 100)
自 B 地向相距 300 千米的 C 地驶去，要求
在当天 16:00 时至 21:00 时这段时间到达 C 地． 设汽车所需要的时间为 x 小时， 摩托车所 需要的时间为 y 小时． （1）写出满足上述要求的 x , y 的约束条件； （2）如果途中所需的经费为 p ,且 p ? 1 0 0 ? 3(5 ? x ) ? 2 (8 ? y ) （元） ，那么 v ， w 分别 是多少时所要的经费最少？此时需花费多少元？
22、 （本小题满分 12 分） 已知 f ( x ) ? a x ? x ? a , a ? R 。
2
（1） 若不等式 f ( x ) ? ( a ? 1) x ? ( 2 a ? 1) x ? 3 a ? 1 对任意实数 x ? [ ? 1,1] 恒成立， 求实数 a 的
2
取值范围； （2）若 a ? 0 ，解不等式 f ( x ) ? 1 。
-5-
-6-
2011—2012 学年度第二学期期末考试 高一年级数学（理科）试卷答案
一、CBDCD 二、13、-1； CDACA 14、 ? x |
? ? 1
DD
? ? x ? 2? ； 3 ?
1 sin 12 ? ? 3 sin 12 ? ? 3 cos 12 ? sin 24 ? ? ( 2 cos
2
15、(6,8)；
16、
2
21 3
(
3 sin 12 ? cos 12 ? 2 ( 2 cos
? 3) ?
2
17、解：原式=
12 ? ? 1 )
12 ? ? 1 )
2 3( ?
1
cos 12 ? ) 2 3 sin( 12 ? ? 60 ? ) 2 2 ? ? ?4 3 1 sin 24 ? ? cos 24 ? sin 48 ? 2
sin 12 ? ?
3
18、 cos ?
解: 在△ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6,
AD ? DC
2 2
由余弦定理得
1 2
? AC
2
=
100 ? 36 ? 196 2 ? 10 ? 6
2 A D ?D C
? ?
,? 3 分
? ? ADC=120°, ? ADB=60°
??? 6 分
在△ABD 中，AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°， 由正弦定理得
AB s in ? A D B ? AD s in B
,
???9 分
3 2 2 2 ? 5 6 .
?
AB=
A D ?s in ? A D B s in B
?
1 0 s in 6 0 ? s in 4 5 ?
10 ? ?
??? 12 分
19、解： （1）由直方图知，成绩在 [1 4 ,1 6 ) 内的人数为： 50 ? 0 . 16 ? 50 ? 0 . 38 ? 27 （人） 所以该班成绩良好的人数为 27 人??????..4 分 （2）由直方图知，成绩在 [1 3,1 4 ) 的人数为 5 0 ? 0 .0 6 ? 3 人，?????5 分 设为 x , y , z ；成绩在 [1 7 ,1 8 ) 的人数为 5 0 ? 0 .0 8 ? 4 人，?????6 分 设为 A,B,C,D. 若 m , n ? [1 3,1 4 ) 时，有 x y , x z , yz 3 种情况；
-7-
若 m , n ? [1 7 ,1 8) 时，有 A B , A C , A D , B C , B D , C D 6 种情况； 若 n , m 分别在 [1 3,1 4 ) 和 [1 7 ,1 8 ) 内时， A x y z xA yA zA B xB yB zB C xC yC zC D xD yD zD
共有 12 种情况。??????????????8 分 所以基本事件总数为 21 种， ?????10 分
事 件 “ | n ? m |? 1 ” 所 包 含 的 基 本 事 件 个 数 有 12 种 . ∴ P （ | n ? m |? 1 ） =
4 7
??????????????12 分
20、
所以 f ( x ) 的值域为 [ ? 1,1]
所以 b c ? 1 2 ? 2 b c , b c ? 1 2 ，当且仅当 b ? c ? 2 3 时取等号 此时 S ? A B C ?
1 2
50 y
b c sin A ? 3 3
所以 ? A B C 面积的最大值为 3 3
? 300 x
21、解： （1）依题意得： v ?
，w
，又 4 ? v ? 2 0 ， 3 0 ?
w ? 100
，
-8-
? 3 ? x ? 10 ? 所以 ? 5 ? y ? 2 5 ? 2 ? 2 ?9 ? x ? y ? 14 ?
，所以满足条件的点的范围是图中阴影部分：
（2）? p ? 1 0 0 ? 3 ? (5 ? x ) ? 2 ? (8 ? y ) ，
? 3 x ? 2 y ? 131 ? p ，
作出一组平行直线 3 x ? 2 y ? t （t 为参数） ， 由图可知，当直线 3 x ? 2 y ? t 经过点 (1 0 , 4 ) 时， 其在 y 轴上截距最大， 此时 p 有最小值，即当 x ? 1 0, y ? 4 时， p 最小， 此时 v ? 1 2 .5, w ? 3 0, p m in ? 9 3 元 ? 22、解： （1）原不等式等价于 x ? 2 ax ? 2 a ? 1 ? 0 对任意的实数 x ? [ ? 1,1] 恒成立，
2
设 g ( x ) ? x ? 2 ax ? 2 a ? 1 ? ( x ? a ) ? a ? 2 a ? 1
2 2 2
1 ○当 a ? ? 1 时， g
min
( x ) ? g ( ? 1) ? 1 ? 2 a ? 2 a ? 1 ? 0 ，得 a ? ? ；
( x) ? g (a ) ? ? a
2
2 ○当 ? 1 ? a ? 1 时， g 3 ○当 a ? 1 时， g 综上 a ? 1 ?
2
min
? 2 a ? 1 ? 0 ，得 ? 1 ?
2 ? a ? 1；
min
( x ) ? g (1) ? 1 ? 2 a ? 2 a ? 1 ? 0 ，得 a ? 1 ；
2
（3） a x ? x ? a ? 1 ? 0 ，即 ( x ? 1)( a x ? a ? 1) ? 0 因为 a ? 0 ，所以 ( x ? 1)( x ? 所以当 ? 当a ? ? 当a ? ?
1 2
1 2 1 2
2
a ?1 a
) ? 0 ，因为 1 ? ( ?
a ?1 a
)?
2a ? 1 a
? a ? 0 时， 1 ? ?
a ?1 a
， 解集为｛x| 1 ? x ? ?
a ?1 a
｝ ；
时， ( x ? 1) ? 0 ，解集为 ? ； 时， 1 ? ?
a ?1 a
， 解集为｛x| ?
a ?1 a
? x ? 1｝
-9-
- 10 -