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5二次函数与幂函数(学生版


第六节

二次函数与幂函数

幂函数的图象与性质

典题导入 [例 1] 已知幂函数 f(x)=(m2-m-1)x [答案] -1 由题悟法 1.幂函数 y=xα 的图象与性质由于 α 的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查: (1)α 的正负:α>0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0 时,图象不过 原点,在第一象限的图象下降. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1 时,曲线下凸; 0<α<1 时,曲线上凸;α<0 时,曲线下凸. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数.借助其单调性进行 比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
-5m-3

在(0,+∞)上是增函数,则 m=________.

以题试法 1.(1)如图给出 4 个幂函数大致的图象,则图象与函数对应正确的是( )

1 1 - A.①y=x ,②y=x2,③y=x ,④y=x 1 3 2 1 - B.①y=x3,②y=x2,③y=x ,④y=x 1 2 1 - C.①y=x2,②y=x3,③y=x ,④y=x 1 2 1 1 - D.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x 1 3 2 解析:选 B (2)(2013· 淄博模拟)若 a<0,则下列不等式成立的是( 1?a a A.2a>? ?2? >(0.2) 1?a a C.? ?2? >(0.2) >2a 1?a B.(0.2)a>? ?2? >2a 1?a D.2a>(0.2)a>? ?2?
1

)

解析:选 B 3.已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表: x f(x) 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是( A.{x|0<x≤ 2} C.{x|- 2≤x≤ 2} 解析:选 D
1

1 1

1 2 2 2

) B.{x|0≤x≤4} D.{x|-4≤x≤4}

4.对于函数 y=x2,y= x 2 有下列说法: ①两个函数都是幂函数; ②两个函数在第一象限内都单调递增; ③它们的图象关于直线 y=x 对称; ④两个函数都是偶函数; ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1); ⑥两个函数的图象都是抛物线型. 其中正确的有________. 答案:①②⑤⑥ 1 3 5.如果幂函数 f(x)=x- p2+p+ (p∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.求 p 的 2 2 值,并写出相应的函数 f(x)的解析式. 解:p=1,f(x)=x2. 6.比较下列各组中数值的大小. (1)30.8, (3) 4.1 30.7;(2)0.213, 0.233;

2 5

, 3 .8

?

2 5

3

, (?1.4) 5 ;(4)0.20.5, (2)0.213<0.233. (4)0.20.5<0.40.3.

0.40.3.

解:(1)30.8>30.7.

2 2 3 (3)4.1 >3.8- >(-1.4) . 5 5 5

7.若 f(x)既是幂函数又是二次函数,则 f(x)可以是( A.f(x)=x2-1 C.f(x)=-x2 解析:选 D B.f(x)=5x2 D.f(x)=x2

)

1 ? ? 8.(教材习题改编)设 α∈?-1,1,2,3?,则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数的
? ? 2

所有 α 值为( A.1,3 C.-1,3 解析:选 A

) B.-1,1 D.-1,1,3

9. (教材习题改编)已知点 M? 答案:y=x
-2

3 ? 在幂函数 f(x)的图象上, 则 f(x)的表达式为________. ? 3 ,3?

10.已知 f(x)= x ,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是( 1? ?1? A.f(a)<f(b)<f? ?a?<f?b? 1? ?1? B.f? ?a?<f?b?<f(b)<f(a) 1? ?1? C.f(a)<f(b)<f? ?b?<f?a? 1? ?1?<f(b) D.f? < f ( a )< f ?a? ?b? 解析:选 C

1 2

)

求二次函数的解析式

典题导入 [例 2] 已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和-2,且它有最小值-1. (1)求 f(x)解析式; (2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称,求 g(x)解析式. [自主解答] (1)f(x)=x(x+2)=x2+2x.(2)g(x)=-x2+2x. 由题悟法 以题试法 1.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x,当 x>2 时,y=f(x)的图象是顶 点为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的一部分. (1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数 f(x)的草图; (3)写出函数 f(x)的值域.

3

解:(1)f(x)=-2x2-12x-14. (2)函数 f(x)的图象如图,

(3)函数 f(x)的值域为(-∞,4].

二次函数的图象与性质

典题导入 [例 3] 已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数. [自主解答] (1)f(x)的最大值是 35. (2)a 的取值范围为(-∞,-6]∪[4,+∞).

本例条件不变,求当 a=1 时,f(|x|)的单调区间. 解:f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0]. 由题悟法 以题试法 1.(2012· 泰安调研)已知函数 f(x)=-x +2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,则 a 的值 为________. 答案:2 或-1 2.已知函数 y=ax2+bx+c,如果 a>b>c 且 a+b+c=0,则它的图象可能是( )
2

4

解析:选 D 3.已知 f(x)=x2+bx+c 且 f(-1)=f(3),则( 5? A.f(-3)<c<f? ?2? 5? C.f? ?2?<f(-3)<c 解析:选 D 4. 若方程 x2-2mx+4=0 的两根满足一根大于 1, 一根小于 1, 则 m 的取值范围是( 5? A.? ?-∞,-2? C.(-∞,-2)∪(2,+∞) 解析:选 B 5. (2012· 北京西城二模)已知函数 f(x)=x2+bx+1 是 R 上的偶函数, 则实数 b=________, 不等式 f(x-1)<x 的解集为________. 答案:0 {x|1<x<2} 5 ? B.? ?2,+∞? 5 ? D.? ?-2,+∞? ) )

5? B.f? ?2?<c<f(-3) 5? D.c<f? ?2?<f(-3)

6.若 x≥0,y≥0,且 x+2y=1,那么 2x+3y2 的最小值为________. 3 答案: 4 7.已知二次函数 f(x)的图象过点 A(-1,0)、B(3,0)、C(1,-8). (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在 x∈[0,3]上的最值; (3)求不等式 f(x)≥0 的解集. 解:(1)f(x)=2x2-4x-6. (2)f(x)min=f(1)=-8,f(x)max=f(3)=0.

(3)f(x)≥0 的解集为{x|x≤-1,或 x≥3}. 8.已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-m· x 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围.
? ?a=1, 解:(1) ? ?b=0. ? ? ?a=-1, ? ?b=3. ?

(2) m≤2 或 m≥6. )

9.设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是(

5

解析:选 D 10.(教材习题改编)已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x 轴上方,则 a 的取值范围是 ( ) 1? A.? ?0,20? 1 ? C.? ?20,+∞? 解析:选 C 11.如果函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直线 x=1 对称,则函数 f(x) 的最小值为________. 答案:5 1? B.? ?-∞,-20? 1 ? D.? ?-20,0?

二次函数的综合问题

典题导入 [例 4] (2012· 衡水月考)已知函数 f(x)=x2,g(x)=x-1. (1)若存在 x∈R 使 f(x)<b· g(x),求实数 b 的取值范围; (2)设 F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数 m 的取值范围. [自主解答] (1)b 的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞). (2) m 的取值范围为[-1,0]∪[2,+∞). 以题试法 1.若二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)f(x)=x2-x+1. (2) m 的取值范围是(-∞,-1).

2.设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取 值范围是( ) B.[2,+∞)

A.(-∞,0]

6

C.(-∞,0]∪[2,+∞) 解析:选 D

D.[0,2]

1? 3.已知 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=(x-1)2,若当 x∈? ?-2,-2?时,n≤f(x)≤m 恒成立,则 m-n 的最小值为( 1 A. 3 3 C. 4 解析:选 D 4.(2012· 青岛质检)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x) -g(x)在 x∈[a, b]上有两个不同的零点, 则称 f(x)和 g(x)在[a, b]上是“关联函数”, 区间[a, b]称为“关联区间”.若 f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的 取值范围为________. 9 - ,-2? 答案:? ? 4 ? 5.(2013· 滨州模拟)已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
?f?x?,x>0, ? (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,F(x)=? 求 F(2)+F(-2) ?-f?x?,x<0, ?

) 1 B. 2 D.1

的值; (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. 解:(1) 8. (2)-2≤b≤0.

6.已知函数 f(x)=ax2-2x+1. (1)试讨论函数 f(x)的单调性; 1 (2)若 ≤a≤1,且 f(x)在[1,3]上的最大值为 M(a),最小值为 N(a),令 g(a)=M(a)-N(a), 3 求 g(a)的表达式; 1 (3)在(2)的条件下,求证:g(a)≥ . 2 解:(1)当 a=0 时,函数 f(x)=-2x+1 在(-∞,+∞)上为减函数; 1? ?1 ? 当 a>0 时,函数 f(x)在? ?-∞,a?上为减函数,在?a,+∞?上为增函数; 1? ?1 ? 当 a<0 时,函数 f(x)在? ?-∞,a?上为增函数,在?a,+∞?上为减函数.

7

? ?a+a-2,a∈? ?3,2?, (2)g(a)=? 1 ? 1 ?9a+a-6,a∈? ?2,1?.

1

1 1

8


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