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江苏省泰州市姜堰区2015-2016学年高一上学期期中考试 数学


姜堰区 2015~2016 学年度第一学期期中调研测试

高 一 年 级 数 学 试 题
考试时间:120 分 满分:160 分 命题人:鲁 彬(省姜堰二中) 审核人:马永华 孟 太

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)

2? , B = ?2, 3? ,则 A ? B ? 1.已知集合 A= ?1,
2.函数 f ? x ? ?

. . . . . ,则 D( 2 ) =__________.

x ? 1 的定义域是

? 3.已知幂函数 f ( x) ? x 的图象过 (2, 2) ,则 f ( x) ?

4.函数 f ( x) ? log2 (2 ? x) 在 x ? [0,1] 上的最大值为 5.满足不等式 3 ?
x

1 的实数 x 的取值范围是 27

6.著名的 Dirichlet 函数 D( x) ? ?

?1, x取有理数时

?0, x取无理数时

7.若 f ? x ?1? ? x2 ? 2x ? 2, ,则 f ? 2? ? ___________. 8.计算 ( )

1 2

?2

? lg 2 ? lg 5 =_______________. 2 是奇函数,则实数 a 的值为_______________. 2 ?1
x

9.已知函数 f ( x) ? a ?

10.若函数 f ( x) ? kx2 ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x ) 的递减区间是 11.若函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ? x ? 3 的零点为 x0 ,满足 x0 ? ? k , k ? 1? 且 k ? Z ,则 k=

. .
x

12. 已知函数 y ? loga ( x ? 3)(a ? 0, a ? 1) 的图象过定点 A , 若点 A 也在函数 f ( x) ? 3 ? b 的 图象上,则 f (log3 2) ? .

) 13 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 是 满 足 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 , 在 ( ?? , 0 上

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,且 f (5) ? 0 ,则使 f ? x ? ? 0 的 x 取值范围是___________. x1 ? x2

? log 4 x ,0 ? x ? 4 ? 14.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,若 a ? b ? c 且 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? ,则 (ab ?1 )c ?? x ? 3, x ? 4 ? 2
的取值范围是 15. (本题满分 14 分) . 二.解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

2 已知全集 U ? R ,集合 A ? ?x | 2x ?1 ? 0? , B ? x x ? 2 x ? 15 ? 0 .

?

?

(1)分别求 A 、 B ; (2)求 CU A 和 (CU A) ? B .

16. (本题满分 14 分)

?2 x ,x?0 ? 已知函数 f(x)= ? . 2 ? ?2( x ? 1) ? 1 , x ? 0
(1)作出函数 f(x)图象的简图,请根据图象写出函数 f(x)的单调减区间; (2)求解方程 f ( x) ?

1 . 2

17. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 ? mx . 1? x

(1)当 m ? 2 时,用定义证明: f ( x) 在 x ? (0, ??) 上的单调递减; (2)若不恒为 0 的函数 g ( x) ? lg f ( x) 是奇函数,求实数 m 的值.

18. (本题满分 16 分) 姜堰某化学试剂厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ) ,每 小时可获得的利润是 5x ? 1 ?
3 千元. x ..

(1)要使生产该产品 2 小时获得利润不低于 30 千元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 120 千克该产品获得的利润最大,问:该工厂应该选取何种生产速度?并 求此最大利润.

19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ?

? x(3 ? x),0 ? x ? 3 . ?( x ? 3)(a ? x), x ? 3

(1)求 f (2) ? f (4) 的值; (2)若 y ? f ( x) 在 x ? [3,5] 上单调增,在 x ? [6,8] 上单调减,求实数 a 的取值范围; (3)设函数 y ? f ( x) 在区间 [3,5] 上的最大值为 g (a ) ,试求 g (a ) 的表达式.

20. (本题满分 16 分)

,? [ 已 知 函 数 f ( x)? 3 ? 1 a
x

1 3

,若 1) , 数 g ( x)? f ( x 函 ? )

有 a 两个不同的零点

x1 , x2 ( x1 ?

h( x ) ? f ( x ) ? x2,函数 ) 2 ,求 x1 的值; 3

a 有两个不同的零点 x3 , x4 ( x3 ? x4 ) . 2a ? 1

(1)若 a ?

(2)求 x2 ? x1 ? x4 ? x3 的最小值.

姜堰区 2015~2016 学年度第一学期期中调研测试
















孟 太

考试时间:120 分 满分:160 分 命题人:鲁 彬(省姜堰二中) 审核人:马永华

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)

2? , B = ?2, 3? ,则 A ? B ? 1.已知集合 A= ?1,
2.函数 f ? x ? ?

?2?

. .

, ) x ? 1 的定义域是 [ 1 ??
?

3.已知幂函数 f ( x) ? x 的图象过 (2, 2) ,则 f ( x) ? 4.函数 f ( x) ? log 2 (2 ? x) 在 x ? [0,1] 上的最大值为 5.满足不等式 3 ?
x

x
1

1 2

. . .

1 的实数 x 的取值范围是 27

x ? ?3

6.著名的 Dirichlet 函数 D( x) ? ?
2

?1, x取有理数时

?0, x取无理数时

,则 D( 2 ) =___0_______.

7.若 f ? x ?1? ? x ? 2x ? 2, ,则 f ? 2? ? _____5______.

8.计算 ( )

1 2

?2

? lg 2 ? lg 5 =______3_________.
x

2 是奇函数,则实数 a 的值为________1_______. 2 ?1 10.若函数 f ( x) ? kx2 ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x ) 的递减区间是 ( ??, 0) 或 ( ??, 0] .
9.已知函数 f ( x) ? a ? 11.若函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ? x ? 3 的零点为 x0 ,满足 x0 ? ? k , k ? 1? 且 k ? Z ,则 k= 2 .

12. 已知函数 y ? loga ( x ? 3)(a ? 0, a ? 1) 的图象过定点 A , 若点 A 也在函数 f ( x) ? 3x ? b 的 图象上,则 f (log3 2) ?

17 9



13 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 是 满 足 f

f ? ?x ? 0 ?x ?? ?

) , 在 ( ?? , 0 上

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,且 f (5) ? 0 ,则使 f ? x ? ? 0 的 x 取值范围是 (?5,0) ? (5, ??) _. x1 ? x2

? log 4 x ,0 ? x ? 4 ? 14.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,若 a ? b ? c 且 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? ,则 (ab ? 1)c ?? x ? 3, x ? 4 ? 2
的取值范围是

(16,64)

.

二.解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分)
2 已知全集 U ? R ,集合 A ? ?x | 2x ?1 ? 0? , B ? x x ? 2 x ? 15 ? 0 .

?

?

(1)分别求 A 、 B ; (2)求 Cu A 和 (Cu A) ? B .

解: (1) A ? ( ??, ] ……………………………………………………3 分

1 2

B ? ??3,5?……………………………………………………7 分
(2) Cu A ? ( , ??) ……………………………………………………10 分

1 2

(Cu A) ? B ? ?5? ……………………………………………………14 分

16. (本题满分 14 分)
x ? ,x?0 ?2 已知函数 f(x)= ? . 2 ? ?2( x ? 1) ? 1 , x ? 0

(1)作出函数 f(x)图象的简图,请根据图象写出函数 f(x)的单调减区间;

(2)若函数满足 f ( x) ?

1 ,求方程的解. 2

解: (1)画图……………………………………………………4 分 单调减区间 (0,1) ;……………………………………………………8 分

(2)方程的解为 ?1,1 ? 17. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

3 。…………………………………14 分 2

1 ? mx . 1? x

(1)当 m ? 2 时,证明: f ( x) 在 x ? (0, ??) 上的单调递减; (2)若不恒为 0 的函数 g ( x) ? lg f ( x) 是奇函数,求实数 m 的值. 解: (1)略……………………………………………………7 分

1 ? mx 是奇函数, 1? x 1 ? mx 1 ? mx 1? x ? g (? x) ? ? g ( x), lg ? ? lg ? lg , 1? x 1? x 1 ? mx 1 ? mx 1? x ? ? , 即?1 ? m 2 x 2 ? 1 ? x 2 , 1? x 1 ? mx
(2)因为函数 g ( x) ? lg

? (1 ? m 2 ) x 2 ? 0, ? m ? ?1. …………………12 分
当 m ? ?1 时, g ( x) ? lg

1? x ? 0 与不恒为 0 矛盾,所以 m ? 1 …………………14 分 1? x

18. (本题满分 16 分) 姜堰某化学试剂厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ) ,每 小时可获得的利润是 5x ? 1 ?
3 千元. x ..

(1) 要使生产该产品 2 小时获得利润不低于 30 千元,求 x 的取值范围;

(2) 要使生产 120 千克该产品获得的利润最大,问:该工厂应该选取何种生产速度?并求 此最大利润.
3 解: (1)由题意可知: 2(5x ? 1 ? ) ? 30, x 1 ?5x2 ? 14x ? 3 ? (5x ? 1)(x ? 3) ? 0, ? x ? ? 或x ? 3, …………………………………………4 分 5

又因为 1 ? x ? 10 ,? 3 ? x ? 10 …………………………………………………………………6 分 (2)? y ?
120 3 3 1 (5x ? 1 ? ) ? 120(? 2 ? ? 5), x ? [1,10] …………………………………10 分 x x x x

1 1 令 t ? ? [ ,1] ,? y ? 120(?3t 2 ? t ? 5) x 10

当t ?

1 即 x ? 6 时,? ymax ? 610 千元。…………………………………………15 分 6

答:该工厂应该选取 6 千克/小时生产速度,利润最大,且最大利润为 610 千元.……16 分

19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ?

? x(3 ? x),0 ? x ? 3 . ?( x ? 3)(a ? x), x ? 3

(1)求 f (2) ? f (4) 的值; (2)若 y ? f ( x) 在 x ? [3,5] 上单调增,在 x ? [6,8] 上单调减,求实数 a 的取值范围; (3)设函数 y ? f ( x) 在区间 [3,5] 上的最大值为 g (a ) ,试求 g (a ) 的表达式. 解: (1) f (2) ? f (4) ? a ? 2 ;……………………………2 分 (2) a ? [7,9] ;……………………………7 分

?0, a ? 3 ? ? ( a ? 3) 2 ,3 ? a ? 7 ……………………………16 分 (3) g ( a ) ? ? ? 4 ? ? 2(a ? 5), a ? 7
20. (本题满分 16 分) 已 知 函 数 f ( x)?

x1 , x2 ( x ? 1
(1)若 a ?

1 3 ? 1 a, ? [ 若 ,1 ), x) 有 a两个不同的零点 函 数 g ( x)? f ( ? 3 a h( x ) ? f ( x ) ? ,函数 有两个不同的零点 x3 , x4 ( x3 ? x4 ) . x ) 2 2a ? 1
x

2 ,求 x1 的值; 3

(2)求 x2 ? x1 ? x4 ? x3 的最小值.

解: (1)当 a ?

2 2 1 5 x x 时, g ( x) ? 3 ? 1 ? ? 0 ,即 3 ? 或 , 3 3 3 3

? x1 ? x2 ,? x1 ? ?1 ……………………………4 分
x x (2)? g ( x) ? 3 ? 1 ? a ? 0,? 3 ? 1 ? a

? x1 ? x2 ? x1 ? log3 (1 ? a), x2 ? log3 (1 ? a), ……………………………8 分
a a ? 0,? 3x ? 1 ? 2a ? 1 2a ? 1 a a ? x3 ? x4 ? x3 ? log3 (1 ? ), x4 ? log 3 (1 ? ), ……………………………12 分 2a ? 1 2a ? 1 a (1 ? a)(1 ? ) 1 ? 3a 4 2 a ? 1 ? x2 ? x1 ? x4 ? x3 ? log3 ? log3 ? log3 ( ? 3) a 1 ? a 1 ? a (1 ? a)(1 ? ) 2a ? 1 4 1 ? y ? log 3 ( ? 3) 在 a ? [ ,1) 上单调递增,……………………………14 分 1? a 3 1 所以当 a ? 时, x2 ? x1 ? x4 ? x3 的最小值为 1。……………………………16 分 3 ? h( x ) ? 3x ? 1 ?


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