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2014高中数学 2-2-1 直线与平面平行的判定课件 新人教A版必修2


2.2

直线、平面平行的判定及其 性质

2.2.1

直线与平面平行的判定

1.阅读教材P54~55回答 直线与平面平行的判定定理:如果 平面外 一 条 直 线

和 平面内
行.

一条直线平行,那么这条直线和这个平面平
.

这个定理用符号表示为 a?α,b?α,a∥b?a∥α 的棱有 A1A、C1C ;

2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面BDD1B1平行

与棱CD平行的面有

面A1B1C1D1、面ABB1A1

.

3.在四面体ABCD中,E、F、G、H分别为棱AB、BC、 CD、DA的中点.

求证:(1)直线AC∥平面EFGH;
(2)直线BD∥平面EFGH. [证明] (1)E、F分别为AB、BC的中点, ∴AC∥EF, ∵EF?平面EFGH,AC?平面EFGH,

∴AC∥平面EFGH.
(2)同理可由BD∥FG,推证BD∥平面EFGH.

本节学习重点:线面平行的判定. 本节学习难点:应用判定定理证明线面平行时,平面

内那条直线的找法.

判定一条直线与平面平行除了根据定义外,更主要是 依据直线与平面平行的判定定理:

应用此定理时,要注意三个条件 (“ 内”、“外”、 “平行”)必须齐备,缺一不可.

[例1]
[ 分析 ]

P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA
根据线面平行的判定定理,要证线面平行,

的中点,求证:PC∥平面BDQ. 只需证明线线平行,即在平面BDQ内找一条直线平行于PC, 可以利用“中点”构造中位线解决.

[解析] 如图所示,连结AC交BD于O,连结QO. ∵ABCD是平行四边形,∴O为AC的中点.

又Q为PA的中点,
∴QO∥PC. 显然QO?平面BDQ,PC?平面BDQ, ∴PC∥平面BDQ.

总结评述: 线面平行问题,通常转化为线线平行来 处理,如何寻找平行直线自然成为问题的关键.这可通过

联想三角形中位线、平行四边形对边、梯形两底边、平行
公理等来完成.

长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为BB1、DD1的

中点,求证:EF∥平面ABCD.
[证明] ∵E、F分别为棱BB1、DD1的中点, ∴DF綊BE,∴四边形BDFE为平行四边形, ∴EF∥BD, ∵EF?平面ABCD,BD?平面ABCD,

∴EF∥平面ABCD.

[例 2]

正四棱锥 P-ABCD的各条棱长都是 13, M 、N

分别是 PA和 BD上的点,且PM?MA= BN?ND=5?8,求

证MN∥平面PBC.

[分析]

欲证 MN∥平面 PBC,根据判定定理,关键

是在平面 PBC 内找到一条直线与 MN 平行, 而所给条件为 PM BN MA=ND,比例式自然会和平行产生联想,但 PA 与 BD 为 异面直线,无法直接利用此条件,于是想怎样做才能化异 为共,使问题得到解决,很自然的一个想法就是直线 PB 与两异面直线均相交,且 PB?平面 PBC 内,只要在 PB 上取点 E,符合上述比例关系,产生平行线即可解决,于 PE PM 是在 PB 上取 E,使 = ,则 ME∥AB∥CD,只须再 EB MA 过 N 作 NF∥CD,∴ME∥NF.

[ 解析 ]

在平面 PAB 内过 M 作 ME∥AB 交 PB 于 E ,在平

面BCD内过N作NF∥DC交BC于F,连EF,可得ME∥NF.

∴ME=NF,∴MNFE是平行四边形,∴MN∥EF, ∵MN?平面PBC,EF?平面PBC, ∴MN∥平面PBC.

如图所示,已知三棱柱 ABC - A1B1C1 中, D 为 AC 的中

点.求证AB1∥平面BC1D.

[ 分析 ] 即可获证.

欲证 AB1∥平面 BC1D ,∵ D 为 AC 边中点, AC

与AB1相交,故立即可得到△AB1C的中位线,故取B1C中点

[ 证明 ]

如图,连结 B1C 交 BC1 于 O ,因为 B1C1CB 为平

行 四 边 形 , 所 以 O 为 B1C 的 中点 , 又 D 为 AC 中 点, 所 以

OD∥AB1,又因为AB1?平面BC1D,所以AB1∥平面BC1D.

[例3]

已知四面体ABCD中,M、N分别是三角形ABC

和三角形 ACD的重心,求证: (1)MN∥面 ABD; (2)BD∥面

CMN.
[ 分析 ] 首先根据条件画出图形,如图所示.证明线 面平行最常用的方法是利用判定定理,要证MN∥面ABD, 只要证明MN平行于面ABD内的某一条直线即可.根据M、 N分别为△ABC、△ACD的重心的条件,连结CM、CN并延

长分别交 AB 、 AD 于 G 、 H ,连结 GH. 若有 MN∥GH ,则结
论可证.或连结 AM 、 AN 并延长交 BC 、 CD 于 E 、 F ,连结 EF,若有MN∥EF,EF∥BD,结论可证.

[解析]

(1)如图所示,连结 CM、CN并延长分别交 AB、

AD于G、H,连结GH、MN.

∵M、N分别为△ABC、△ACD的重心,

又GH?面ABD,MN?面ABD, ∴MN∥面ABD.

(2)由(1)知,G、H分别为AB、AD的中点,
∴GH∥BD, 又BD?平面CMN,GH?平面CMN,∴BD∥面CMN.

下图是一个直三棱柱 ( 以 A1B1C1 为底面 ) 被一平面所截

得到的几何体,截面为ABC.已知A1B1=B1C1=1,∠A1B1C1
=90°,AA1=4,BB1=2,C1C=3.设点O是AB的中点,证 明:OC∥平面A1B1C1.

[证明] 作OD∥AA1交A1B1于D,连C1D. 则OD∥BB1∥CC1.

因为O是AB的中点,
所以OD= (AA1+BB1)=3=CC1. 则ODC1C是平行四边形, ∴OC∥C1D, ∵C1D?平面C1B1A1且OC?平面C1B1A1,

∴OC∥面A1B1C1.

一、选择题 1 .如图,在四面体 ABCD中,若截面PQMN是正方形,

则在下列命题中,错误的为
( A.AC⊥BD B.AC∥截面PQMN C.AC=BD )

D.异面直线PM与
BD所成的角为45°

[答案] C [解析] 由 PQ∥AC , QM∥BD , 以 及 PQ⊥QM 可 得

AC⊥BD ,故 A 正确;又由 PQ∥AC 可得 AC∥ 截面 PQMN ,
故B正确;异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的 角,故D正确,综上可知C错误.

二、解答题

2 .如图,在三棱锥 P - ABC 中,点 O 、 D 分别是 AC 、
PC的中点. 求证:OD∥平面PAB.

[证明]

∵点O、D分别是AC、PC的中点,∴OD∥AP.

∵OD?平面PABC,AP?平面PAB. ∴OD∥平面PAB.

3.如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC的中 点.

证明:AB1∥平面DBC1.

[证明] ∵A1B1C1-ABC是正三棱柱, ∴四边形B1BCC1是矩形.

连接B1C交BC1于点E,则B1E=EC.
在△AB1C中,∵AD=DC,∴DE∥AB1. 又AB1?平面DBC1,DE?平面DBC1, ∴AB1∥平面DBC1.


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