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排列组合 古典概型—复习归纳(教师)


1.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次 投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表 示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机 模拟产生了如下 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( ) A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 解析:∵20 组随机数中恰有 2 个大于等于 1 且小于等于 4 的共有 191、271、932、812、393 5 五组,∴其概率为 =0.25. 20 2.(2010· 北京高考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b, 则 b>a 的概率是 ( 4 A. 5 2 C. 5 ) 3 B. 5 1 D. 5

解析:分别从两个集合中各取一个数,共有 15 种取法,其中满足 b>a 的有 3 种取法,故 3 1 所求事件的概率为 P= = . 15 5 3. 先 后 抛掷 两枚 均匀 的骰 子 (骰 子 是一 种正 方体玩 具 ,在 正方 体各 面 上分 别 有点 数 1,2,3,4,5,6),骰子落地后朝上的点数分别为 x,y,则 log2xy=1 的概率为 1 A. 6 1 C. 12 5 B. 36 1 D. 2 ( )

解析:抛掷 2 枚骰子,共有 6×6=36 种情况,因为 log2xy=1,所以 y=2x,此时满足题意 的数对(x,y)共有(1,2)、(2,4)、(3,6)三种情况,所以概率 P= 3 1 = . 36 12

4.(2010·江苏高考)盒子里共有大小相同的 3 只白球,1 只黑球.若从中随机摸出两只球, 则它们颜色不同的概率是________.

解析:设 3 只白球为 A,B,C,1 只黑球为 d,则从中随机摸出两只球的情形有:AB,AC, 1 Ad,BC,Bd,Cd 共 6 种,其中两只球颜色不同的有 3 种,故所求概率为 . 2 5.学校有两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同 一个食堂用餐的概率为________. 解析:每人用餐有两种情况,故共有 23=8 种情况.他们在同一食堂用餐有 2 种情况,故他 2 1 们在同一食堂用餐的概率为 = . 8 4

1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是 的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典模型. (1)试验中所有可能出现的基本事件 . (2)每个基本事件出现的可能性 . 3.古典概型的概率公式 一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率为 P(A)= .

考点一

简单古典概型的概率

有两颗正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字 1,2,3,4,下面做投掷这两颗正 四面体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中 x 表示第 1 颗正四面体玩具出现的点数,y 表 示第 2 颗正四面体玩具出现的点数. (1)写出试验的基本事件; (2)求事件“出现点数之和大于 3”的概率; (3)求事件“出现点数相等”的概率. [自主解答] (1)这个试验的基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共 16 个. (2)事件“出现点数之和大于 3”包含以下 13 个基本事件:(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4). 13 故 P= . 16 (3)事件“出现点数相等”包含以下 4 个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).故 P= 4 1 = . 16 4

某口袋内装有大小相同的 5 只球,其中 3 只白球,2 只黑球,从中一次摸出 2 只球.

(1)共有多少个基本事件? (2)摸出的 2 只球都是白球的概率是多少?

解:(1)分别记白球为 1,2,3 号,黑球为 4,5 号,从中摸出 2 只球,有如下基本事件[摸到 1,2 号球用(1,2)表示]:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5). 因此,共有 10 个基本事件.

(2)如图所示,上述 10 个基本事件的可能性相同,且只有 3 个基本事件是摸到 2 只白球(记 为事件 A),即(1,2),(1,3),(2,3),故 P(A)= 3 . 10 3 . 10

(3)故共有 10 个基本事件,摸出 2 只球都是白球的概率为

考点二

复杂的古典概型

(2011·苏北四市联考)如图,在某城市中,M,N 两地之间有整齐的方格形道路网, 其中 A1、A2、A3、A4 是道路网中位于一条对角线上的 4 个交汇处.今在道路网 M,N 处的 甲、乙两人分别要到 N,M 处,他们分别随机地选择一条沿街的最短路径,以相同的速度同 时出发,直到到达 N,M 处为止. (1)求甲经过 A2 到达 N 处的方法有多少种; (2)求甲、乙两人在 A2 处相遇的概率; (3)求甲、乙两人相遇的概率. [自主解答] (1)甲经过 A2,可分为两步: 第一步,甲从 M 到 A2 的方法有 C1种; 3
1 第二步,甲从 A2 到 N 的方法有 C3种.

1 所以甲经过 A2 到达 N 处的方法有(C3)2=9 种.

(2)由(1)知,甲经过 A2 的方法数为 9;乙经过 A2 的方法数也为 9. 所以甲、乙两人在 A2 处相遇的方法数为 9×9=81; 81 81 甲、乙两人在 A2 处相遇的概率为 3 3= . C6C6 400 (3)甲、乙两人沿最短路径行走,只可能在 A1、A2、A3、A4 处相遇,他们在 Ai(i=1,2,3,4)处
i 2 相遇的走法有(C3 1)4 种方法,所以(C0)4+(C1)4+(C3)4+(C3)4=164,故甲、乙两人相遇的概 3 3 3


164 41 率为 = . 400 100

某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 10 名工人,其中有 6 名女工人.现 采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、 乙两组中共抽取 4 名工人进行技术 考核. (1)求从甲、乙两组各抽取的人数; (2)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (3)求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率.

解:(1)由于甲、乙两组各有 10 名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共抽取 4 名 工人进行技术考核,则从每组各抽取 2 名工人. (2)记 A 表示事件:从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人,则 P(A)= (3)Ai 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人,i=0,1,2.
1 C4C1 8 6 . 2 = C10 15

Bj 表示事件:从乙组抽取的 2 名工人中恰有 j 名男工人,j=0,1,2. B 表示事件:抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人. Ai 与 Bj 独立,i,j=0,1,2,且 B=A0·B2+A1·B1+A2·B0. 故 P(B)=P(A0·B2+A·B1+A2·B0) =P(A0) ·P(B2)+P(A1) ·P(B1)+P(A2) ·P(B0) =
2 C2 C4 C1C1 C1C1 C2 C2 31 4 4 6 6 4 6 6 · 2 + 2· 2= . 2 · 2 + C10 C10 C2 C10 C10 C10 75 10

现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1、A2、A3 通晓日语,B1、B2、B3 通晓俄语,C1、 C2 通晓韩语,从中选出 通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组. (1)求 A1 被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率.

解:从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其所有可能的结果组成的基本事件空 间Ω ={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1)(A1, B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1), (A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3, B3,C1),(A3,B3,C2)}由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽 取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.

(1)用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件,则 M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2, C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)},事件 M 由 6 个基本事件组成, 因而 P(M)= 6 1 = . 18 3

(2)用 N 表示“B1、C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 N 表示“B1、C1 全被选中” 这一事件,由 N ={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件 N 有 3 个基本事件 组成,所以 P( N )= 3 1 = . 18 6

1 5 (3)由对立事件的概率公式 P(N)=1-P( N )=1- = . 6 6

考点三

古典概型与统计的综合问题

(2010·湖南高考)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人). 高校 A B C 相关人数 18 36 54 抽取人数 x 2 y

(1)求 x,y; (2)若从高校 B,C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这 2 人都来自高校 C 的概率. x 2 y = = ,所以 x=1,y=3. 18 36 54

[自主解答] (1)由题意可得,

(2)记从高校 B 抽取的 2 人为 b1,b2,从高校 C 抽取的 3 人为 c1,c2,c3,则从高校 B,C 抽 取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1), (b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)共 10 种. 设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 X,则 X 包含的基本事件有(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3) 共 3 种.因此 P(X)= 3 . 10 3 . 10

故选中的 2 人都来自高校 C 的概率为

某高级中学共有学生 2000 人,各年级男、女生人数如下表: 年级 性别 女生 男生 373 377 x 370 y z 高一 高二 高三

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.19. (1)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在高三 年级抽取多少人? (2)已知 y≥245,z≥245,求高三年级女生比男生多的概率.

解:(1)∵

x =0.19,∴x=380, 2000

高三年级人数为 y+z=2000-(373+377+380+370)=500,现用分层抽样的方法在全校抽 取 48 名学生,应在高三年级抽取的人数为 48 ×500=12. 2000

(2)设“高三年级女生比男生多”为事件 A,高三年级女生、男生数记为(y,z).由(1)知 y+ z=500,且 y,z∈N*, 则基本事件空间包含的基本事件有 (245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),(250,250),(251,249),(252,248), (253,247),(254,246),(255,245),共 11 个, 事件 A 包含的基本事件有 (251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245),共 5 个,

5 5 ∴P(A)= .故高三年级女生比男生多的概率为 . 11 11

高考对本节内容的考查形式既有选择题、填空题,也有解答题,主要考查古典概 型概率公式的应用.尤其是古典概型与互斥事件、对立事件的综合问题更是高考的热点, 2010 年福建高考将古典概型与向量等知识结合考查,代表了高考的一个重要考向. [考题印证] {1,2,3,4}. (1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果; (2)记“使得 am⊥(am-bn)成立的(m,n)”为事件 A,求事件 A 发生的概率. (2010·福建高考)(12 分)设平面向量 am=(m,1),bn=(2,n),其中 m,n∈

[规范解答] (1)有序数组(m,n)的所有可能结果为: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),共 16 个. ……………………………………………………………(6 分) (2)由 am⊥(am-bn)得 m2-2m+1-n=0,即 n=(m-1)2. ……………………………………………………………(8 分) 由于 m,n∈{1,2,3,4},故事件 A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4),共 2 个.又基本事件的总 数为 16,故所求的概率为 P(A)= 2 1 = .……………………………………………(12 分) 16 8

1.求古典概型概率的步骤 (1)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m. m (2)利用公式 P(A)= 求出事件 A 的概率. n 2.有放回抽样和无放回抽样的概率 在古典概型的概率中,将涉及两种不同的抽取方法,设袋内装有 n 个不同的球,现从中依 次摸球,每次只 摸一只,具有两种摸球的方法. (1)有放回. 每次摸出一只后,仍放回袋中,然后再摸一只,这种摸 球的方法称为有放回的抽样,显然,对于有放回的抽

样,每次摸出的球可以重复,且摸球可无限地进行下去. (2)无放回. 每次摸出一只后,不放回原袋中,在剩下的球中再摸一 只,这种摸球方法称为无放回的抽样.显然,对于无放 回的抽样,每次摸出的球不会重复出现,且摸球只能进 行有限次.

1.(2011·黄冈模拟)设集合 P={b,1},Q={c,1,2},P b=c 的概率是 1 A. 8 ( 1 B. 4 ) 1 C. 2

?
3 D. 4

Q,若 b,c∈{2,3,4,5,6,7,8,9},则

解析:依题意得当 b=2 时,c 可从 3,4,5,6,7,8,9 中选取,此时 b≠c;当 b 从 3,4,5,6,7,8,9 中 选取时,有 b=c.因此,b=c 的概率为 7 1 = . 7+7 2

2 2.(2011·银川模拟)将一骰子抛掷两次,所得向上的点数分别为 m 和 n,则函数 y= mx3 3 -nx+1 在[1,+∞)上为增函数的概率是 1 A. 2 3 C. 4 5 B. 6 2 D. 3 ( )

2 解析:由题可知,函数 y= mx3-nx+1 在[1,+∞)上单调递增,所以 y′=2mx2-n≥0 3 在[1, +∞)上恒成立, 所以 2m≥n, 则不满足条件的(m, n)有(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,5), 2 (2,6)共 6 种情况,所以满足条件的共有 30 种情况,则函数 y= mx3-nx+1 在[1,+∞)上 3 30 5 单调递增的概率为 = . 36 6 3.(2010·安徽高考)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形 四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是 3 A. 18 5 C. 18 4 B. 18 6 D. 18 ( )

解析:甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形的四个顶点中 6×6 任意选择两个顶点连成直线,所得的直线共有 =18(对),而相互垂直的有 5 对,故根据 2

5 古典概型概率公式得 P= . 18 4.(2010·辽宁高考)三张卡片上分别写上字母 E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰 好排成英文单词 BEE 的概率为________.

解析: 2 1 基本事件总数为 6,所含基本事件个数为 2,所以所求的概率是 P= = . 6 3 5.一笼里有 3 只白兔和 2 只灰兔,现让它们一一出笼,假设每一只跑出笼的概率相同,则 先出笼的两只中一只是白兔,而另一只是灰兔的概率是__________. 解析:法一:设 3 只白免分别为 b1,b2,b3,2 只灰兔分别为 h1,h2.则所有可能的情况是(b1, h1),(b1,h2),(b2,h1),(b2,h2),(b3,h1),(b3,h2),(h1,b1),(h2,b1),(h1,b2),(h2, b2),(h1,b3),(h2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b1),(b2,b3),(b3,b1),(b3,b2),(h1, h2),(h2,h1),共 20 种情况,其中符合一只白兔而另一只是灰兔的情况有 12 种,∴所求概 12 3 率为 = . 20 5
2 法二:从笼子中跑出两只兔子的情况有 A5=20 种情况.

设事件 A:出笼的两只中一只是白兔,另一只是灰兔.则 P(A)=

C1C1+C1C1 12 3 3 2 2 3 = = . A2 20 5 5

6.(2010·山东高考)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球, 该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率. 解:(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个. 从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3 两个. 2 1 因此所求事件的概率 P= = . 6 3 (2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为 n,其一切可能的结果(m,n)有: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),共 16 个.

又满足条件 n≥m+2 的事件为(1,3),(1,4),(2,4),共 3 个,所以满足条件 n≥m+2 的事件 的概率为 P1= 3 . 16 3 13 = . 16 16

故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 1-P1=1-


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