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解答题训练--三角函数、平面向量与解三角形1


三角函数、平面向量与解三角形 解答题针对性训练题组
?
2

1. 已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? (1)求 f ( x) 的最小正周期;

) ? 3 cos 2 (3? ? x) ?

1 3 2

( x ? R) .

(2)求 f ( x) 的单调递增区间; (3)求 f ( x) 图象的对称轴方程和对称中心的坐标. 解: f ( x) ?

1 cos 2 x ? 1 1 sin 2 x ? 3 ? 3 2 2 2

? ? ? = ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? = sin(2 x ? ) ?2 ? 2 3 ? ?
(1)T=π ; (2)由 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? (k ? z )

可得单调增区间 [k? ? (3)由 2 x ? 由 2x ?

?
12

, k? ?

5 ? ] ( k ? z) . 12
5? k? ? (k ? z ) , 12 2

?
3

?

?
2

? k? 得对称轴方程为 x ?

k? ,0)( k ? z ) 3 6 2 ? ? ? ? 2. 已知向量 a ? (?1, cos? x ? 3 sin? x ),b ? ( f (x ), cos ? x ),其中 ? >0,且 a ? b ,

?

? k? 得对称中心坐标为 (

?

?

又 f ( x ) 的图像两相邻对称轴间距为 (Ⅰ)求 ? 的值;

3 ?. 2

(Ⅱ) 求函数 f ( x ) 在[- 2? , 2? ]上的单调减区间. 解: (Ⅰ) 由题意 a ? b ? 0

? ?

? f ( x) ? cos ? x(cos ? x ? 3sin ? x)
? 1 ? cos 2? x 3 sin 2? x ? 2 2

1

?

1 ? ? sin(2? x ? ) 2 6
1 ; 3

由题意,函数周期为 3 ? ,又 ? >0,? ? ? (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x ) ?

1 2x ? ? sin( ? ) 2 3 6 ? 2x ? 3? ? 2 k? ? ? ? ? 2 k? ? ,k ? z 2 3 6 2

? 3k? ?

?

2

? x ? 3k? ? 2? , k ? z

又 x ?? ?2? , 2? ? ,? f ( x ) 的减区间是 ? ?2? , ?? ? ? ?

?? ? , 2? ? . ?2 ?

3、在 ?ABC 中, a、 B C 的对边,且满足 b2 ? c2 ? a2 ? bc . b、 c 分别为角 A、、 (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的最大值.

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,由 b ? c ? a ? bc 及余弦定理得 cos A ? 2bc 2
2 2 2

而 0 ? A ? ? ,则 A ? (Ⅱ)由 a ?

?
3



3, A ?

?
3

及正弦定理得

b c a ? ? ? sin B sin C sin A

3 ? 2, 3 2

2? 2? 2? ? x ,则 b ? 2sin x, c ? 2sin( ? x)(0 ? x ? ) 3 3 3 2? ? ? x) ? 2 3 sin( x ? ) ? 3 , 于是 y ? a ? b ? c ? 3 ? 2sin x ? 2sin( 3 6 2? 由0 ? x ? 得,当即时, 。 3
而 B ? x, C ? 5、设函数 (Ⅰ)写出函数的最小正周期及单调递减区间; ()当时,函数的最大值与最小值的和为,的图象、轴的正半轴及轴的正半轴三者围成 图形的面积. 解: (Ⅰ)………2 分 ………4 分 ………6 分 () ………8 分 的图象与 x 轴正半轴的第一个交点为 ………10 分

2

所以的图象、y 轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积 = …12 分 6、已知向量 m=(,1) ,n=(,)。 (I) m?n=1,求的值; (II) 记 f(x)=m?n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数 f(A)的取值范围。 解: (I)m?n= = = ∵m?n=1 ∴┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4 分 = ┉┉┉┉┉┉┉6 分 (II)∵(2a-c)cosB=bcosC 由正弦定理得┉┉┉┉┉┉7 分 ∴ ∴ ∵ ∴,且 ∴┉┉┉┉┉┉8 分 ∴┉┉┉┉┉┉9 分 ∴┉┉┉┉┉┉10 分 又∵f(x)=m?n=, ∴f(A)= ┉┉┉┉┉┉11 分 故函数 f(A)的取值范围是(1,)┉┉┉┉┉┉12 分 7、在中,分别是的对边长,已知. (Ⅰ)若,求实数的值; (Ⅱ)若,求面积的最大值. 解:(Ⅰ) 由两边平方得: 即 解得: …………………………3 分 而可以变形为 即 ,所以…………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,则…………………………7 分 又…………………………8 分 所以即…………………………10 分 故………………………………12 分 8、已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为,且满足 (I) 求角 B 大小; (II) 设,求的最小值.

3

9、在等比数列。 (1)求的值; (2)若的值。 解: (I)依题意, 由正弦定理及 3 分 6分 (II)由 由(舍去负值) 8 分 从而, 9 分 由余弦定理,得 代入数值,得 解得 12 分 10、在锐角中,是角所对的边,是该三角形的面积,若 。 (1)求角的度数; (2)若,求的值。 解: (1) ,则…… (6 分) (2)……………(9 分) …………(12 分) 11、已知(其中 0<<1), 函数若直线是函数图像的一条对称轴, (I) 试求的值; (II) 先列表在作出函数在区间上的图像

4

解:

列表

描点作图,函数在的图像如图所示。

5


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