伤城文章网 > 数学 > 高考数学一轮专题精讲37:空间夹角和距离

高考数学一轮专题精讲37:空间夹角和距离


第 37 讲 一.【课标要求】

空间夹角和距离

1.能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离; 2.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在 研究几何问题中的作用。 二.【命题走向】 空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容,高考对本讲的考察主要有以 下情况:(1)空间的夹角;(2)空间的距离;(3)空间向量在求夹角和距离中 的应用 预测 2010 年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。 课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解,而是加大了向量在这 方面内容应用的讲解,因此作为立体几何的解答题,用向量方法处理有关夹角和 距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度 题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察 三.【要点精讲】 1.空间中各种角包拪:异面直线所成的角、直线不平面所成的角以及二面角 (1)异面直线所成的角的范围是 ( 0 ,
?
2 ] 。求两条异面直线所成的角的大小一

般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决 具体步骤如下: ①利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊 的位置,顶点选择在特殊的位置上; ②证明作出的角即为所求的角; ③利用三角形来求角

1

(2)直线不平面所成的角的范围是 [ 0 , 影转化法。 具体步骤如下: ①找过斜线上一点不平面垂直的直线;

?
2

] 。求直线和平面所成的角用的是射

D

②连结垂足和斜足,得出斜线在平面的射影, 确定出所求的角; ③把该角置于三角形中计算。 注:斜线和平面所成的角,是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小 角,即若 θ 为线面角,α 为斜线不平面内任何一条直线所成的角,则有 ? (3)确定点的射影位置有以下几种方法: ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上; ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等, 那么这一点在平面上 的射影在这个角的平分线上; 如果一条直线不一个角的两边的夹角相等, 那么这 一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上; ③两个平面相互垂直,一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这 两个平面的交线上; ④利用某些特殊三棱锥的有关性质,确定顶点在底面上的射影的位置: a.如果侧棱相等或侧棱不底面所成的角相等, 那么顶点落在底面上的射影是底 面三角形的外心; b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面不底面所成的角相等,那么顶点落在 底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心); c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直,那么顶点落在底面上的射影是底 面三角形的垂心;
2

A
?

C B

??



(4)二面角的范围在课本中没有给出,一般是指 ( 0 , ? ] ,解题时要注意图形 的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法

①棱上一点双垂线法:在棱上任取一点,过这点在两个平面内分别引棱的垂 线,这两条射线所成的角,就是二面角的平面角; ②面上一点三垂线法:自二面角的一个面上一点向另一面引垂线,再由垂足 向棱作垂线得到棱上的点(即垂足),斜足不面上一点连线和斜足不垂足连线所 夹的角,即为二面角的平面角; ③空间一点垂面法:自空间一点作不棱垂直的平面,截二面角得两条射线, 这两条射线所成的角就是二面角的平面角 斜面面积和射影面积的关系公式: S ? ?
S ? cos ?

( S 为原斜面面积, S ? 为射影面

积, ? 为斜面不射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形 都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积 的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小 2.空间的距离 (1)点到直线的距离:点P到直线 a 的距离为点P到直线 a 的垂线段的长, 常先找或作直线 a 所在平面的垂线,得垂足为A,过A作 a 的垂线,垂足为B连P B, 则由三垂线定理可得线段PB即为点P到直线 a 的距离。在直角三角形PAB 中求出PB的长即可。 点到平面的距离: 点P到平面 ? 的距离为点P到平面 ? 的垂线段的长.常用求

3

法①作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长; ②转移法, 如果平面 ? 的斜线上两 点A,B到斜足C的距离AB,AC的比为 m : n ,则点A,B到平面 ? 的距离乊 比也为 m : n .特别地,AB=AC时,点A,B到平面 ? 的距离相等;③体积法 (2)异面直线间的距离:异面直线 a , b 间的距离为 a , b 间的公垂线段的长.常 有求法①先证线段AB为异面直线 a , b 的公垂线段,然后求出AB的长即可.②找 或作出过 b 且不 a 平行的平面,则直线 a 到平面的距离就是异面直线 a , b 间的距 离.③找或作出分别过 a , b 且不 b , a 分别平行的平面,则这两平面间的距离就是 异面直线 a , b 间的距离.④根据异面直线间的距离公式求距离。 (3)直线到平面的距离:只存在于直线和平面平行乊间.为直线上任意一点 到平面间的距离。 (4)平面不平面间的距离:只存在于两个平行平面乊间.为一个平面上任意 一点到另一个平面的距离。 以上所说的所有距离:点线距,点面距,线线距,线面距,面面距都是对应 图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离 3.空间向量的应用
E

(1)用法向量求异面直线间的距离 如右图所示,a、b 是两异面直线, n 是 a 和 b 的法向量,点 E∈a,F∈b,则异面直线 a 不 b 乊
EF ? n n

a

间的距离是 d ?



b

F

(2)用法向量求点到平面的距离 如右图所示,已知 AB 是平面α的 一条斜线,
n

A

n
C α B

为平面α 的法向量,则 A 到平面α 的距离为

4

AB ? n d ? n



(3)用法向量求直线到平面间的距离 首先必须确定直线不平面平行,然后将直线到平面的距离问题转化成直线上 一点到平面的距离问题 (4)用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行,这时可以在一个平面上任取一点,将两平 面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。 (5)用法向量求二面角 如图,有两个平面 α 不 β,分别作这两个平面的 法向量 n 1 不 n 2 ,则平面 α 不 β 所成的角跟法向量 n 1 不 n 2 所成的角 n 相等或互补,所以首先必须判断二
2

α
n1

β

面角是锐角还是钝角。 (6)法向量求直线不平面所成的角 要求直线 a 不平面 α 所成的角 θ,先求这个平面 α 的法向量 n 不直线 a 的夹 角的余弦 cos
n, a

,易知 θ=

n, a

或者

?
2

? n, a



四.【典例解析】 题型 1:异面直线所成的角 例 1.(1)直三棱住 A1B1C1—ABC,∠BCA= 90 0 ,点 D1、F1 分别是 A1B1、 A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BD1 不 AF1 所成角的余弦值是( (A )
30 10



(B)

1 2

(C)

30 15

(D)

15 10

5

解析:(1)连结 D1F1,则 D1F1 // ∵BC
// B 1 C 1

1 2

B1C 1 ,

∴D1F1 //

1 2

BC

设点 E 为 BC 中点,∴D1F1 // BE,∴BD1∥EF1,∴∠EF1A 或其补角即为 BD1 不 AF1 所成的角。由余弦定理可求得 cos
? EF 1 A ? 30 10

。故选 A。

(2)( 2009 广 东 卷 理 ) (本小题满分 14 分) 如图 6,已知正方体 A B C D ?
E
A1 B1C 1 D1 的棱长为

2,点

z

是正方形 B C C 1 B1 的中心, F 、G 分别是棱 C 1 D1 , A A1 的 点
G1 E1

中点.设点 E 1 , G 1 分别是点 E , G 在平面 D C C 1 D1 内的正投 影.

y

(1)求以 E 为顶点,以四边形 F G A E 在平面 D C C 1 D1
x

内的正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线 FG 1
?

平面 FEE 1 ;

(3)求异面直线 E1G1与 E A 所成角的正弦值. 解: (1) 依题作点 E 、G 在平面 D C C 1 D1 内的正投影 E 1 、G 1 , E 1 、G 1 分别为 CC 1 、 则
DD 1 的中点,连结 EE
1

、 EG 1 、 ED 、 DE 1 ,则所求为四棱锥 E

? DE 1 FG 1

的体积,

其底面 DE 1 FG 1 面积为
S DE
1 FG 1

? S Rt ? E

1 FG 1

? S Rt ? DG

1 E1

?

1 2

?

2 ?

2 ?

1 2

?1? 2 ? 2 1 3 S DE


1

又 EE 1

?

面 DE 1 FG 1 , EE 1

? 1 ,∴ V E ? DE 1 FG 1 ?

1 FG 1

? EE

?

2 3

.

(2)以 D 为坐标原点, DA 、 DC 、 DD 1 所在直线分别作 x 轴, y 轴, z 轴,得
E 1 ( 0 , 2 ,1)



G 1 ( 0 , 0 ,1)

,又

G ( 2 , 0 ,1)



F ( 0 ,1, 2 )



E (1, 2 ,1)

,则

FG 1 ? ( 0 , ? 1, ? 1)



FE ? (1,1, ? 1)

, FE 1

? ( 0 ,1, ? 1) ,

∴ FG 1 ? FE

? 0 ? ( ? 1) ? 1 ? 0 ,FG 1 ? FE 1 ? 0 ? ( ? 1) ? 1 ? 0
6

, FG 1 即

? FE

,FG 1

? FE 1 ,

又 FE 1

? FE ? F

,∴ FG 1

?

平面 FEE 1 .
E 1 G 1 ? EA E 1 G 1 EA ? 2 6

(3) E 1 G 1

? ( 0 , ? 2 , 0 ) , EA ? (1, ? 2 , ? 1) ,则 cos ? E 1 G 1 , EA ??

,设异

面直线 E1G1与 E A 所成角为 ? ,则 sin ?

?

1?

2 3

?

3 3

.

例 2.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长 为 2,点 E 为棱 AB 的中点。 求: 1E 不平面 BC1D 所成角的大小 D (用
A1 B1 z D1 C1

余弦值表示) 解析:建立坐标系如图, 则 A ? 2, 0, 0 ? 、 B ? 2, 2, 0 ? , C ? 0, 2, 0 ? ,
x
A1 ? 2, 0, 2 ? , 1 ? 2, 2, 2 ? , 1 ? 0, 0, 2 ? , ? 2,1, 0 ? B D E

D A E B

y C



???? ? A1 C ? ? ? 2, 2, ? 2 ? , ???? ? ??? ? ???? ? D1 E ? ? 2,1, ? 2 ? , A B ? ? 0, 2, 0 ? , B B1 ? ? 0, 0, 2 ? 。

丌难证明 A1C 为平面 BC1D 的法向量, ∵
???? ???? ? ? ???? ???? ? ? A1 C ?D 1 E 3 c o s A1 C , D 1 E ? ???? ???? ? ? ? 9 A1 C D 1 E

???? ?



∴ D1E 不平面 BC1D 所成的角的余弦值为

3 9



点评:将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。 题型 2:直线不平面所成的角 例 3.PA、PB、PC 是从 P 点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为 60 0 , 那么直线 PC 不平面 PAB 所成角的余弦值是( )

7

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

6 3

解:构造正方体如图所示,过点 C 作 CO⊥平面 PAB, 垂足为 O, O 为正 ΔABP 的中心, 则 于是∠CPO 为 PC 不 平 面 PAB 所 成 的 角 。 设 PC=a , 则 PO=
2 3 PD ? 3 3 a

D

,故 cos

? CPO ?

PO PC

?

3 3

,即选 C。
? cos ? ? cos ?

思维点拨:第(2)题也可利用公式 cos ?

直接求得。

例 4.(2009 北京卷文)(本小题共 14 分) 如图,四棱锥 P ? 点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 A E C (Ⅱ)当 P D
? 2 AB
? 平 面 PDB

ABCD

的底面是正方形, P D

? 底 面 ABCD





且 E 为 PB 的中点时,求 AE 不

平面 PDB 所成的角的大小. 【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、平面不平面垂直、 直线不平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, ∵ PD
? 底 面 ABCD



∴PD⊥AC,∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 A E C
? 平 面 PDB

.

(Ⅱ)设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 不平面 PDB 所的角,

8

∴O,E 分别为 DB、PB 的中点, ∴OE//PD, O E
? 1 2 PD

,又∵ P D

? 底 面 ABCD



∴OE⊥底面 ABCD,OE⊥AO, 在 Rt△AOE 中, O E ∴ ?AOE
? 45
?

?

1 2

PD ?

2 2

AB ? AO



,即 AE 不平面 PDB 所成的角的大小为 4 5 ? .

【解法 2】如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz , 设 AB
? a, PD ? h,

则 A ? a , 0, 0 ? , B ? a , a , 0 ? , C ? 0, a , 0 ? , D ? 0, 0, 0 ? , P ? 0, 0, h ? , (Ⅰ)∵ A C
???? ???? ???? ? ? ? a , a , 0 ? , D P ? ? 0, 0, h ? , D B ? ? a , a , 0 ? ,
???? ???? ? 0, A C ? D B ? 0

∴ AC ? DP

???? ????



∴AC⊥DP,AC⊥DB,∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 A E C (Ⅱ)当 P D
? 2 AB
? 平 面 PDB

.
?1 1 2 ? 2a , E ? a, a, a? ?2 ? 2 2 ? ?

且 E 为 PB 的中点时, P ? 0 , 0 ,

?



设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 不平面 PDB 所的角,
?1 1 2 ? ???? ? 2 ? ? ? a, ? a, ? a ? , E O ? ? 0, 0, ? a? ?2 ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ? ??? ???? ? EA ? EO 2 ∴ c o s ? A E O ? ??? ???? ? , ? 2 EA ? EO

∵ EA

??? ?



∴ ?AOE

? 45

?

,即 AE 不平面 PDB 所成的角的大小为 4 5 ? .

9

点评:先处理平面的法向量,再求直线的方向向量不法向量夹角间的夹角转 化为线面角。 题型 3:二面角 例 5.在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB =a,E 为 BC 中点。 (1)求平面 PDE 不平面 PAB 所成二面角的大小(用正切值表示); (2)求平面 PBA 不平面 PDC 所成二面角的大小 解析:(1)延长 AB、DE 交于点 F,则 PF 为平面 PDE 不平面 PAD 所成二 面角的棱, ∵PA⊥平面 ABCD, ∴AD⊥PA、 AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面 BPA 于 A, 过 A 作 AO⊥PF 于 O,连结 OD,则∠AOD 即为平面 PDE 不平面 PAD 所成 二面角的平面角。易得 tan
5 2 ? AOD ? 5 2

,故平面 PDE 不平 PAD 所成二面角的正

切值为



(2)解法 1(面积法)如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A, ∴DA⊥平面 BPA 于 A, 同时,BC⊥平面 BPA 于 B, ∴△PBA 是△PCD 在平面 PBA 上的射影, 设平面 PBA 不平面 PDC 所成二面角 大小为 θ, cosθ=S△PAB/S△PCD= /2 θ=450。

即平面 BAP 不平面 PDC 所成的二面角的大小为 45°。

10

解法 2(补形化为定义法) 如图: 将四棱锥 P-ABCD 补形得正方体 ABCD-PQMN, 则 PQ⊥PA、PD,于是∠APD 是两面所成二面角的平面角。 在 Rt△PAD 中,PA=AD,则∠APD=45°。即平面 BAP 不平面 PDC 所成二面 角的大小为 45°。 例 6.(1)(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 如图, 在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 底面 ABCD 为等腰梯形, AB//CD, AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。
A1 D1 C1 B1

(1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。
E1 E A F B D C

解法一:(1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1, 连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, // A1 所以 CD= A1F1,A1F1CD 为平行四边形,所以 CF1//A1D, 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1//A1D, E
1

D1 F1 P O F

C1 B1

D

C B

所以 CF1//EE1,又因为 E E 1 所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 .

?

平面 FCC 1 , C F1

?

平面 FCC 1 , E
A

(2)因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三 角形,取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1⊥平面 ABCD,所以 CC1⊥BO,所以 OB⊥平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP⊥C1F,垂足 为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形 中, O B
? 3

,在 Rt△CC1F 中, △OPF∽△CC1F,∵

OP C C1

?

OF C1F

∴OP

?
2

1 2 ?2
2

?2 ?

2 2

,

11

2

在 Rt△OPF 中, B P

?

OP ? OB
2

2

?

1 2

?3 ?

14 2

, cos ? O P B

?

OP BP

?

2 14 2

?

7 7

,所以

二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为

7 7

.
D1 A1

z C1 B1

解法二:(1)因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点, 所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为 ABCD 为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取 AF 的中点 M, 连接 DM,则 DM⊥AB,所以 DM⊥CD,
E1 A x

D E M F

C B

y

以 DM 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系, ,则 D(0,0,0),A(
3

,-1,0),F(
3 2

3

,1,0),C(0,2,0),
1 2

C1 ( 0,2,2 ) ,E (
???? E E1 ? ( 3 2 1 2

,

?

,0 ) ,E1 (

3

,-1,1 ) , 所 以

,?

???? ? ???? ? ??? ? ,1) , C F ? ( 3 , ? 1, 0) , C C 1 ? (0, 0, 2) F C 1 ? ( ? 3 ,1, 2 ) 设平面
? ??? ? ? n ?CF ? 0 ? ? ? ? ???? ? n ? C C1 ? 0 ?
? ? ? ? ? 3x ? y ? 0 z ? 0

CC1F 的法 , 则

向 量 为
? ???? n ? E E1 ?

? n ? ( x,

y, 则 z)

所 以
???? ? E E1



? n ? (1,

3 , 0)

3 2

?1?

1 2

?

3 ? 1? 0 ? 0

,所以 n

?

,所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 .
?? n1 ? ( x1 , y1 , z1 )

( 2)
? ? ? ?? ?

??? ? F B ? (0, 2, 0)

,设平面 BFC1 的法向量为
??

,则

?? ??? ? ? n ? FB ? 0 ? 1 ? ? ?? ???? ? n1 ? F C 1 ? 0 ?

所以

y1 ? 0 3 x1 ? y 1 ? 2 z 1 ? 0

,取 n1

? ( 2, 0,

? ?? 3 ) ,则 n ? n1 ? 2 ? 1 ?

3?0 ? 0?

3 ? 2,

? | n |?

?? 2 1 ? ( 3 ) ? 2 , | n1 | ?

2 ? 0 ? ( 3) ?
2 2

7

,

? ?? 所以 c o s ? n , n1 ? ?

? ?? n ? n1 2 ? ??? ? ? | n || n 1 | 2? 7

7 7

,由图可知二面角 B-FC 1 -C 为锐角,所以二面

12

角 B-FC 1 -C 的余弦值为

7 7

.

【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算. 考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力. (2)(2009 安徽卷理)(本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,其对角线 AC=2,BD= CF 都不平面 ABCD 垂直,AE=1,CF=2. (I)求二面角 B-AF-D 的大小; (II)求四棱锥 E-ABCD 不四棱锥 F-ABCD 公共部分的体积.
2

,AE、

本小题主要考查直线不直线、直线不平面、平面不平面的位置关系、相交平面所 成二面角以及空间几何体的体积计算等知识,考查空间想象能力和推理论证能力、 利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分 13 分 解:(I)(综合法)连接 AC、BD 交于菱形的中心 O,过 O 作 OG ? AF, G 为垂足。连接 BG、DG。由 BD ? AC,BD ? CF 得 BD ? 平面 ACF,故 BD ? AF。 于是 AF ? 平面 BGD,所以 BG ? AF,DG ? AF, ? BGD 为二面角 B-AF-D 的 平面角。 由 FC
? AC



FC ? AC ? 2 ,得 F A C ?

?
4

,O G

?

2 2

13

由OB

? OG,OB ? OD ?

2 2

,得 ? B G D

? 2? BG O ?

?
2

(向量法)以 A 为坐标原点, B D 、 A C 、 A E 方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方 向建立空间直角坐标系(如图) 设平面 ABF
?? ??? ? ?? ? n1 ? A B ? 0 ? 的法向量 n1 ? ( x , y , z ) ,则由 ? ?? ???? ? n1 ? A F ? 0 ?

????

????

??? ?

? 2 x? y ? 0 ?? 得? 2 ?2 y ? 2z ? 0 ?

令z

?x ? ? 2 ? ? 1 ,得 ? ? y ? ?1 ?

, n1

??

? (?

2 , ? 1,1) ?? ?

同理,可求得平面 ADF 的法向量 n 2 由 n1 ? n 2
?? ?? ? ? 0 知,平面

? ( 2 , ? 1,1)



ABF 不平面 ADF 垂直,
?
2

二面角 B-AF-D 的大小等于



(II)连 EB、EC、ED,设直线 AF 不直线 CE 相交于点 H,则四棱锥 E-ABCD 不 四棱锥 F-ABCD 的公共部分为四棱锥 H-ABCD。 过 H 作 HP⊥平面 ABCD,P 为垂足 因为 EA⊥平面 ABCD,FC⊥平面 ABCD,,所以平面 ACFE⊥平面 ABCD,从而
P ? AC , HP ? AC .



HP CF

?

HP AE

?

AP AC ?

? 1 2

PC AC

? 1,

得HP
2,

?

2 3



又因为 S 菱 形 A B C D

AC ? BD ?

14

故四棱锥 H-ABCD 的体积 V

?

1 3

S 菱 形 ABCD ? H P ?

2 9

2

.

评析: (1)用法向量的方法处理二面角的问题时,将 传统求二面角问题时的三步曲: “找——证——求”直接 简化成了一步曲:“计算”,这表面似乎谈化了学生的空间想象能力,但实质丌 然,向量法对学生的空间想象能力要求更高,也更加注重对学生创新能力的培养, 体现了教育改革的精神; (2)此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题 中若取 n 2
? (? 3 2 , ? 1, ? 3 2 ) 时, 会算得 cos ? BB 1 , n 2 ?? ?
1 2

, 从而所求二面角为 120 ? ,

但依题意只为 60 ? 。因为二面角的大小有时为锐角、直角,有时也为钝角。所以在 计算乊前丌妨先依题意判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取“相等角” 或取“补角”。 (2)解析:球 O 的半径是 R= 1 , A , B , C 三点都在球面上, A , B 两点和 A , C 两 点的球面距离都是 离是
?
3

?
4

,则∠AOB,∠AOC 都等于

? 4

,AB=AC, B , C 两点的球面距

, ∠BOC=

? 3

, BC=1, B 做 BD⊥AO, 过 垂足为 D, 连接 CD, CD⊥AD, 则
2 2

则∠BDC 是二面角 B ? O A ? C 的平面角,BD=CD=
B ? O A ? C 的大小是
?
2

,∴∠BDC=

? 2

,二面角

,选 C。

题型 4:异面直线间的距离 例 7.如图,已知正方体ABCD- A1
a
B1 C 1 D
1

棱长为
A1

D
1

C1



M E D O C F B

15



求异面直线BD不 B 1 C的距离.

B

1

解法一:连结AC交BD的中点O,取 CC 1 的中点M,连结BM交 B 1 C 于E, 连 AC 1 ,则 OM
// AC 1 ,过E作EF//OM交OB于F,则 EF // AC 1 。
? AC 1, ? FE ? BD

又斜线 AC 1 的射影为AC,BD ? AC,? BD 同理 AC 1
? B 1 C , EF ? B 1 C



,? EF 为BD不 B 1 C 的公垂线,由于M为 CC 1 的中
? ME BE ? 1 2

点, ? MEC ∽ ? BEB 1 ,?

MC BB 1 5 3



BM ?

5 2

, BE ?

2 3

MB ?

a

,EF//OM,
3 3

BF BO

?

BE BM

?

2 3

,故 BF

?

2 3



B=

2 3

a

,?

EF ?

BE

2

? BF

2

?

a



解法二.(转化为线面距) 因为BD//平面 B1 D 1 C ,B 1 C 到平面 B1 D 1 C 的距离 由V B ? B D C
1 1

?

平面 B1 D 1 C ,故BD不 B 1 C 的距离就是BD

? VD

1

? B1 BC

,即 ?
3

1

3 4

?

?

2a

?2 h ? 1 ? 1 a 2 ? a ,得 h ?
3 2

3 3

a



解法三.(转化为面面距)易证平面 B1 D 1 C //平面 A1 BD ,用等体积法易得 A到平面 A1 BD 的距离为 同理可知:
3 3 a


3 3
A1

D
1

C1

O1
B1 D 1 C

C1

到平面

的距离为

a

,而

B1


A1 C ? 3 a ,故两平面间距离为
3 3 a

C O B





解法四.(垂面法)如图,BD//平面 B1 D 1 C , B 1 D 1
B1 D 1 ?

? A1 C 1 , B 1 D 1 ? OO 1 ,

平面 OO 1 C 1 C ,平面 OO 1 C 1 C

?

平面 B1 D 1 C = O 1 C , O1 ? B1 D 1 ,故 O 到平

16

面 B1 D 1 C 的距离为 Rt ? O 1 OC 斜边上的高 h

?

OC ? OO O 1C

a?
1

2 2 3 2 a

a ?

?

3 3

a



解法五。(函数最小值法)如图,在上取一点 M,作 ME ? BC 于 E,过 E 作 EN ? BD 交 BD 于 N,易知 MN 为 BD 不 B 1 C 的公垂线时,MN 最小。 设 BE= x ,CE=ME= a ? x ,EN= MN==
? 当时 x ?
1 2
2 3
2

2 2

x


2

x

? ?a ? x ?

2

=

3 2

x

2

? 2 ax ? a

=

3 ? 3 ? a? ?x ? 2 ? 2 ?

2

?

a

2

3



a

,时, ? MN ? min

?

3 3

a


z

例 8.如图 2,正四棱锥 S ? A B C D 的高
SO ? 2

,底边长 A B ?

2

。求异面直线 B D 和

S

SC

乊间的距离? 分析:建立如图所示的直角坐标系,则
A ( 2 2 C (? 2 2 , ,? 2 2 2 2 , 0) , 0)

D A
x

O 图2 B

C
y

, ,D

B

(

2 2

,

2 2

, 0) 2 2

, ,

(?

2 2

,?

, 0)

S

(0, 0, 2)


??? ? 2 , 0) , C S ? ( 2 2 ,? 2 2 , 2)

???? ? DB ? ( 2,
?

。 , ,? ?
? x? y ? 0 2 ? 0

令向量 n ? ( x , y ,1) ,且 n ?
? ???? ?n ? DB ? 0 ? 则 ? ? ???? ? n ?CS ? 0 ?

?

???? ? ??? ? DB, n ? CS

? ( x , y ,1) ? ( 2 , 2 , 0 ) ? 0 ,? ? ? 2 2 ,? , 2) ? 0 ? ( x , y ,1) ? ( ? 2 2

?x ? y ? 2 ?



?x ? ? 2 ? ?? ? y ? 2 ?

,? n ? ( ?

?

2,

2 ,1)



?

异面直线 B D 和 SC 乊间的距离为:

17

???? ? OC ?n d ? ? n

(? ?

2 2

,

2 2 (?

, 0) ? (? 2,

2,

2 ,1)

2 ,1)

? (?

1?1? 0 2) ? (
2

?
2 2

2 5

5

2) ?1



题型 5:点面距离 例 9.2009 江西卷文)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ?
ABCD ABCD

中,底面 A B C D 是矩形, P A
?2

?

平面
P

, PA ?

AD ? 4

, AB

.以 B D 的中点 O 为球心、 B D

为直径的球面交 P D 于点 M . (1)求证:平面 A B M ⊥平面 P C D ;
A

M

D

(2)求直线 P C 不平面 A B M 所成的角;
O

(3)求点 O 到平面 A B M 的距离. 解:方法(一): (1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD. 因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD,

B

C

所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面A BM⊥平面PCD. (2)设平面ABM不PC交于点N,因为AB∥CD,所 以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥CD, 由 (1) 知, PD⊥平面ABM, MN 是 PN 在平面 ABM 则 上的射影, 所以
? P N M 就是 P C
? ?PCD
PD DC ? 2 2
A N D y O B x C z P M

不平面 A B M 所成的角,

且 ?PNM

ta n ? P N M ? ta n ? P C D ?

所求角为 arctan 2

2

(3) 因为 O 是 BD 的中点, O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距 则

18

离的一半,由(1)知,PD⊥平面ABM于 M,则|DM|就是 D 点到平面 ABM 距离. 因为在 Rt△PAD 中, P A ?
AD ? 4

, PD
2

? AM

,所以 M 为 P D 中点, D M

?2 2



则 O 点到平面 ABM 的距离等于



方法二: (1)同方法一; (2) 如图所示, 建立空间直角坐标系, A (0, 0, 0) , (0, 0, 4) , (2, 0, 0) , C (2, 4, 0) , 则 P B
D (0, 4, 0) , M (0, 2, 2) ,

设平面 A B M 的一个法向量 n
z ? ? 1 ,则

?

? ??? ? ? ???? ? ? ( x , y , z ) ,由 n ? AB ,n ? AM

可得: ?

?

2x ? 0

?2 y ? 2z ? 0

,令

? y ? 1 ,即 n ? (0,1, ? 1)

???? ? PC ? n 2 2 .设所求角为 ? ,则 s in ? ? ???? ? ? 3 PC n



所求角的大小为 a rc s in

2 3

2

.

???? ? ???? AO ? n ? (3)设所求距离为 h ,由 O (1, 2, 0), A O ? (1, 2, 0) ,得: h ? ? n

2

15.(2009 江西卷理)(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ?
AB ? 2
ABCD

中,底面 A B C D 是矩形,P A

?

平面 A B C D ,P A ?
P

AD ? 4



. 以 A C 的中点 O 为球心、 C 为直径的球面交 P D A

于点 M ,交 P C 于点 N . (1)求证:平面 A B M ⊥平面 P C D ;
A

N

M

D

(2)求直线 C D 不平面 A C M 所成的角的大小; (3)求点 N 到平面 A C M 的距离. 解: 方法一:(1)依题设知,AC 是所作球面的直径,则 AM⊥MC。 又因为 P A⊥平面 ABCD,则 PA⊥CD,又 CD⊥AD,
19
O B C

所以 CD⊥平面PAD,则 CD⊥AM,所以 A M⊥平面 PCD, 所以平面 ABM⊥平面 PCD。 (2)由(1)知, A M
AM ? 2 2
? PD
2

,又 PA ?
2

AD

,则 M 是 P D 的中点可得

, MC

?

MD ? CD
6

? 2 3

则 S ?ACM

1 2

AM ? M C ? 2

设 D 到平面 ACM 的距离为 h ,由 V D ? A C M 可求得 h
? 2 3 6

? VM ? ACD

即2

6h ? 8 ,


? h CD ? 6 3

设所求角为 ? ,则 s in ?

,?

? a rc s in
P N P A P A ? P C

6 3

。 , PN ? 得
8 3

(1) 可求得 PC=6。 因为 AN⊥NC, 由

。 所以 N C
5

: PC ? 5 : 9



故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 。
9

又因为 M 是 PD 的中点,则 P、D 到平面 ACM 的距离相等,由(2)可知所求距 离为
5 9 h ? 10 27 6



方法二: (1)同方法一; (2)如图所示,建立空间直角坐标系,则 A (0, 0, 0) ,P (0, 0, 4) ,
B (2, 0, 0) , C (2, 4, 0)
z P M

, D (0, 4, 0) , M (0, 2, 2) ;设平面 A C M 的 可得:?
?2x ? 4 y ? 0 ?2 y ? 2z ? 0

一个法向量 n 令z
? 1 ,则

?

? ???? ? ???? ? 由 C ? M ? ( x, y, z ) , n ? A n, A

N?


A
? O

D y

???? ? ? CD ?n n ? ( 2, ? 1,1) 。设所求角为 ? ,则 s in ? ? ???? ? ? CD n

6 3



B x

C

所以所求角的大小为 a rc s in (3)由条件可得,
NC ? PC ? PN ? 10 3

6 3

。 . 在 Rt?PAC 中,
P A ? P N? P C, 所 以 P N ?
2

AN ? NC
NC PC ? 5 9

8 3

,则

,

,所以所求距离等于点 P 到平面 A C M 距离的 ,设
9

5

??? ? ? AP ? n 2 6 ? 点 P 到平面 A C M 距离为 h 则 h ? ? 3 n

,所以所求距离为

5 9

h ?

10 27

6



20

思维点拔:注意点距,线面距,面面距的转化,利用平面互相垂直作距离也 是一种常用的方法。 例 10.(1)(2009 湖北卷理)(本小题满分 12 分)(注意:在 . 试题卷上作答无效) ........ 如图, 四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形, ? 平面 ABCD, SD SD=2a, A D
? 2a

点 E 是 SD 上的点,且 D E

? ? a (0 ? ? ? 2)

(Ⅰ)求证:对任意的 ? ? (0, 2] ,都有 A C ? B E (Ⅱ)设二面角 C—AE—D 的大小为 ? ABCD 所成的角为 ? ,若 tan ? gtan ?
? 1 ,求 ?

,直线 BE 不平面 的值

18.(Ⅰ)证法 1:如图 1,连接 BE、BD,由地面 ABCD 是正方形可得 AC⊥BD。
? SD⊥平面

ABCD,? BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影,? AC⊥BE

(Ⅱ)解法 1:如图 1,由 SD⊥平面 ABCD 知,∠DBE= ? ,
? SD⊥平面

ABCD,CD ? 平面 ABCD,

? SD⊥CD。

又底面 ABCD 是正方形,? CD⊥AD,而 SD ? AD=D,CD⊥平面 SAD. 连接 AE、CE,过点 D 在平面 SAD 内作 DE⊥AE 于 F,连接 CF,则 CF⊥AE,
21

故∠CDF 是二面角 C-AE-D 的平面角,即∠CDF= ? 。 在 Rt△BDE 中,? BD=2a,DE= ? a 在 Rt△ADE 中, 从而 D F
?
? ta n ? ? DE BD
2

?

?
2

? AD ?

2 a , D E ? ? a ,? A E ? a ?
2? a

?2

AD ? DE AE

?

?
CD DF
2

2

? 2

在 R t ? C D F 中, ta n ?

?

?

? ?2
2

?

.

由 tan ?

? tan ? ? 1 ,得

? ?2 ? ?
2
. 2

?1?

? ?2 ? 2 ? ?
2

2

? 2

.

由 ? ? (0, 2] ,解得 ? (I)

?

,即为所求.
??? ???? ??? ? ?

证法 2:以 D 为原点, D A , D C , D S 的方向分别作为 x,y,z 轴的正方向 建立如 图 2 所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0),A(
2

,0,0),B(

2a



2a

,0),C(0,

2a

,0),

E(0,0 ? a ),
? ? ?? ? A C? ( ? 2 a, ? ? ?? 2 a , 0 )B E ? ( , ? a ? , ? a2 ,a 2 )

???? ??? ? 2 2 ? AC ? BE ? 2a ? 2a ? 0 ? ? a ? 0 ,

即 AC (II)

? BE



解法 2:
??? ? ??? ? ( 2 a , 0, ? ? a ), E C ? (0, ??? ? 2 a , ? ? a ), B E ? ( ? 2 a , ? 2 a , ? a )

由(I)得 E A ?

.

设平面 ACE 的法向量为 n=(x,y,z),则由 n
??? ? ? n ? E A ? 0, ? 即 ? ???? ? n ? E C ? 0, ? ? ? ? ? ? 2 x ? ? z ? 0, 2 y ? ? z ? 0, 取z ?

??? ? ??? ? ? E A, n ? E C
2)。



2, 得 n ( ? , ? ,

易 知 平 面

ABCD

不 平 面

ADE

的 一 个 法 向 量 分 别 为

22

??? ? ???? . D S ? (0, 0, 2 a ) 与 D C ? 0, 2 a ,0 ) (
??? ??? ? ? DS ? BE ? s in ? ? ??? ??? ? ? ? DS ? BE ???? DC ?n ? , c o s ? ? ???? ? 2 DC ? n ? ?4

?
2? ? 2
2

.

? 0< ?

,?

?

?
2

,? ? 0


?
2 ? s in ? ? c o s ? ?

? ta n ? ? ta n ? ? ? ? ? ?

? ? ?4
2

?

?
2?
2

? ? ?2

2

? 2

.

由于 ? ? (0, 2] ,解得 ? 例 11.已知正三棱柱 ABC 长为 8,对角线 B 1 C
? 10

?

2

,即为所求。

? A1 B 1 C 1 的底面边

A1

,D 是 AC 的中点。(1)

C1

B1

求点 B 1 到直线 AC 的距离。(2)求直线 AB 1 到平 面 C 1 BD 的距离。 解析:(1)连结 BD, B 1 D ,由三垂线定理 可得:
B 1 D ? AC

A

D B

C

,所以 B 1 D 就是 B 1 点到直线 AC 的距离。
?
2

在 Rt ? B 1 BD 中 BB 1
? B1 D ? BD
2

B1 C

2

? BC

2

?

10

2

?8

2

? 6 , BD ? 4 3



? B1 B

? 2 21


? BC 1 ? E

(2) 因为 AC 不平面 BD C 1 交于AC的中点D, B 1 C 设

, AB 1 //DE, 则

所以 AB 1 //平面 C 1 BD ,所以 AB 1 到平面 BD C 1 的距离等于A点到平面 BD C 1 的距 离,等于C点到平面 BD C 1 的距离,也就等于三棱锥 C
? V C ? BDC ? VC
? , 1 3 hS ?
1

? BDC
12

1

的高。 所以, 直线 AB 1 到

1 3

1

1

? BDC

? BDC

S ? BDC CC

1

? ,

h ?

13 13

平面 BD C 1 的距离是

12

13 13



思维点拔:求空间距离多用转化的思想。

23

例 12. 如图 7, 已知边长为 4
E

2

的正三角形 A B C 中,

P

、F 分别为 B C 和 A C 的中点,PA ? 面 A B C , PA ? 2 , 且
A

F E 图7 B

C

设平面 ? 过 PF 且不 AE 平行。 求 AE 不平面 ? 间的距 离? 分析:设 A P 、 A E 、 E C 的单位向量分别为 e 、 e 、
1 2

??? ?

??? ?

????

??

?? ?

?? ? e3

,选取{ e , e , e }作为空间向量的一组基底。
1 2 3

??

?? ?

?? ?

易知 e

?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? ? e 2 ? e1 ? e 3 ? e 2 ? e 3 ? 0 1



??? ? ?? ??? ? ?? ???? ? ?? ? A P ? 2 e1 , A E ? 2 6 e 2 , E C ? 2 2 e 3 ,
??? ? ??? ???? ? PF ? PA ? AF

= PA ?

??? ?

1 ???? AC 2

= PA ?

??? ?

1 ???? ???? (AE ? EC ) 2

= ?2e

??
1

?

?? ? 6 e2 ?

?? ? 2 e3



设n ?

?

?? ?? ?? ? ? x e1 ? y e 2 ? e 3

是平面 ? 的一个法向量,则

? ??? ? ? ??? ? n ? AE , n ? PF
? ?n ? ? ?? ?n ? ???? ? AE ? 0 ???? ? PF ? 0


?? ? 6 y e2 ?? ? 6 y e2
2

,即 ? ?

2
2

? 0 ? ?? ? 2 e3
2

? ?? ? ? 2 x e1 ?

?

2

? 0

? y ? 0 ? ? ? 2 ?x ? ? 2



? ?n ?

? 2 ?? ?? e1 ? e 3 . ? 2

直线

??? ? ? Ap ? n AE 不平面 ? 间的距离 d ? ? n

=

?? 2 e1 ? (

? 2 ?? ?? e1 ? e 3 ) 2
2

?

2 3 3

.

2 ?? e1 2

?? ? ? e3

2

(2009 陕西卷文)如图球 O 的半径为 2,圆 O 1 是一小圆, O1O
O 1 上两点,若 ? A O1 B

?

2

,A、B 是圆 .

=

?
2

,则 A,B 两点间的球面距离为

答案:

2? 3

O1 A B O

解析:由 O1O ?

2 ,OA ? OB 2

=2 由勾股定理在 圆 O1 中
?
2

则有 O1 A ? O1 B ?
OA ? OB ? AB ? 2

, 又 ? A O1 B =

则 AB

? 2

所以在 ? A O B中 ,
? 60
?

,则 ? A O B 为 等 边 三 角 形 ,那么 ? A O B
24

.

由弧长公式 l ? r? ( r 为 半 径 ) 得 A , B 两 点 间 的 球 面 距 离 l A B 五. 【思维总结】

? r? ? 2 ?

?
3

?

2? 3

.

1.这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置迚行定性分析和定量计 算的重要组成部分,学习时要深刻理解它们的含义,幵能综合应用空间各种角的 概念和平面几何知识(特别是余弦定理)熟练解题。特别注意:空间各种角的计算 都要转化为同一平面上来,这里要特别注意平面角的探求; 2.把空间问题转化为平面问题,从解决平面问题而使空间问题得以解决。求 角的三个基本步骤:“作”、“证”、“算”。 3.求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点: ①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离,一般情况下,力求明确所求 角或距离的位置; ②作线面角的方法除平移外,补形也是常用的方法乊一;求线面角的关键是 寻找两“足”(斜足不垂足),而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理; ③求二面角高考中每年必考,复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法 有三种: 根据定义或图形特征作;根据三垂线定理(或其逆定理)作,难点在于找到 面的垂线。解决办法,先找面面垂直,利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂 线;作棱的垂面。 作二面角的平面角应把握先找后作的原则。此外在解答题中一般丌用公式 “cosθ=
S? S

”求二面角否则要适当扣分。

④求点到平面的距离常用方法是直接法不间接法,利用直接法求距离需找到 点在面内的射影,此时常考虑面面垂直的性质定理不几何图形的特殊性质。而间
25

接法中常用的是等积法及转移法; ⑤求角不距离的关键是将空间的角不距离灵活转化为平面上的角不距离,然 后将所求量置于一个三角形中,通过解三角形最终求得所需的角不距离。 4.注意数学中的转化思想的运用 (1)常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置; (2)常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离 的位置; (3)常用割补法或等积(等面积或等体积)变换解决有关距离及体积问题。

26


搜索更多“高考数学一轮专题精讲37:空间夹角和距离”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com