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江西省九江第一中学2015-2016学年高二数学下学期第二次月考试题文(新)


九江一中高二下学期第二次月考数学试题(文)
时间:120 分钟 满分:150 分 第Ⅰ卷(选择题 60 分)

一 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 1.已知 z A. ? i

?

1? i ( i 为虚数单位) ,则复数 z =( 1? i B. i C.1 ? i
x

) D.1 ? i )

2.设集合 A ? A. [0,2]

?x x ? 1 ? 2?, B ? ?y y ? 2 , x ?[0,2]?,则 A ? B =(
B. (1,3) C. [1,3) D. (1,4)

3.设 a ? 0, b ? 0 ,若 a ? b ? 1 ,则 A. 7 B. 8

4 1 ? 的最小值为( ) a b C. 9 D.10

4.已知函数

1 3 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ,若曲线 y ? f ( x) 的一条切线的斜率是 ? ,则切 2 2
) B. ?

点的横坐标为( A. ? 1

1 2

C.

1 2

D.1

5.函数

f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的单调减区间为(
2

) D. (3,??)

A. (??,?1)

B. (??,1)

C. (1,??)

?x ? y ? 0 ? 6.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,若目标函数 z ? ? x ? 3 y 的最大值为( ) ? y?0 ? A. ? 2 B. 0 C.1 D. 2 ? a?b 7.已知 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , ?C ? ,则 的取值范围 2 c
为( ) B. (0, A. (0,2)

2]

C. (1,

2]

D. [1,

2]

a 在区间 (1,2) 上单调递增;命题 Q :不等 x 2 式 x ? ax ? 1 ? 0 对任意的 x ? R 都成立.若“ P 且 Q ”是真命题,则实数 a 的取值范
8.当 a ? 0 时,设命题 P :函数

f ( x) ? x ?

围是( A. (0,1]

) B. [1,2) C. [0,2]

D. (0,1) ? [2,??)

1

9.已知函数 ① ③

x ?1 ,关于 f(x)的性质,有以下四个推断: x ? 2x ? 2 1 1 ② f ( x) 的值域是 [ ? , ] ; f ( x) 的定义域是 (??,??) ; 2 2 ④ f ( x) 是区间 (0,2) 上的增函数. f ( x) 是奇函数; f ( x) ?
2

其中推断正确的是( ) A.①②③ B.①②④

C.①③④

D.②③④

1 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? 2) , g ( x) ? ( ) x ? m ,若对任意的 x1 ? [0, 6 ] ,存在 2 x2 ?[?1,2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 m 的取值范围是( ) 3 3 A. (??,?1] B. ( ??, ] C. [?1,??) D. [ ,??) 4 4 2 2 x y 11.已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,短轴的一个端点为 M ,直 a b 线 l : 3x ? 4 y ? 0 交椭圆 E 于 A, B 两点,若 AF ? BF ? 8 ,点 M 到直线 l 的距离 8 不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) 5 3 3 3 3 A. (0, B. (0, ] C. [ D. [ ,1) ,1) ] 4 4 2 2 1 ? ? ? 3, x ? (?1,0] 12.已知函数 f ( x) ? ? x ? 1 ,且 g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 在区间 ? x x ? (0,1] ? (?1,1] 内有且仅有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是( ) 9 1 11 1 A. (? ,?2] ? (0, ] B. (? ,?2] ? (0, ] 4 2 4 2 9 2 11 2 C. (? ,?2] ? (0, ] D. (? ,?2] ? (0, ] 4 3 4 3
10.已知 第Ⅱ卷(非选择题 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分, 第 13-21 题为必考题, 每个实体考生都必须作答, 第 22-24 题为选考题,学生根据要求作答. 二 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设 a, b 是实数,则“ a ? b ? 0 ”是“ ab ? 0 ”的___________条件. ( “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” )

2

14.若不等式 是 15.定义 运算

x?


4 ? a ? 2 ? 1 对于一切非 零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围 x

n a b a 1 ? ad ? bc ,若数列 ?an ?满足: 1 ? 1 ,且 c d 1 4 an
.数列

n ?1 an?1


?2

(n ? N * ) 则 a3 ?
16.设

?an ?的通项公式为 an =

f ( x) 定义在 R 上的奇函数,且 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ?


f (1) ? f (2) ? ? ? f (2016) ?

1 对称,则 2

三 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,设向量 m ? (1,2 sin( A ? C )) , 向量 n
?

?

? (sin B,1 ? 2 cos 2

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 sin Asin C ? sin

? ? B ) ,且 m ? n . 2

2

B ,求 a ? c 的值.

18.微信是腾讯公司 推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、视频、图片和文字, 一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批 在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商) .为 了调查手机用户每天使用微信的时间,某微商进入某高校进行采访(其中该校共有学生 15000 人,其中男生 10500 人,女生 4500 人) ,现采用分层抽样的方法,收集 300 名学生每 天使用微信的时间的样本数据(单位:小时) . (Ⅰ)应收集多少位女生的样本数据? (Ⅱ)根据这 300 个样本数据,得到学生每天使用 微信的时间的频率分布直方图(如图所示) ,其中 样本数据的分组区间为:[0,2], (2,4], (4,6], (6,8], (8,10], (10,12],估计该校学生每天 使用微信的时间超过 4 小时的概率; (Ⅲ)在样本数据中,有 60 位女生 的每天使用微信的 时间超过 4 小时(超过 4 小时者称为“微信控”,否则 微信控 非微信控 合计 称为“非微信控”) ,请完成每天使用微信的时间与 性别列联表,并判断是否有 95%的把握认为“微信控与 男性 60 女性 性别有关”. 合计

n(ad ? bc ) 2 附: K ? . (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )
2

P(K ≥k0) k0

2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

3

19.已知 S n 是等比数列 (Ⅰ)求数列

?an ?的通项公式;

?an ?的前 n 项和, S4 , S2 , S3 成等差数, a2 ? a3 ? a4 ? ?18 .
? 2016 ?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若

(Ⅱ)是否存在正整数 n ,使得 Sn 不存在,说明理由.

x2 y2 20.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 1 , F2 ,其离心率 a b 为 3 ,直线 y ? 2 与双曲线 C 的两个交点间的距离为 6 . (I)求双曲线 C 的方程; (II)是否存在过 F2 且与双曲线 C 的左、右两支分别相交于 A, B 两点的直线 l ,使得 AF2 , AB , BF2 成等比数列?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由.
f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R, a ? 0) . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调区间;
21.已知函数 (Ⅱ)若函数 y ?

f ( x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为
x3 ? x 2[

? ,问: m 在什么范 4

围取值时,对于任意的 t ?[1,2] ,函数 g ( x) ? 在极值?

m ? f ?( x)] 在区间 (t ,3) 上总存 2

p ? 2e ? 3 ,若在区间 [1, e] 上至少存在 x 一个 x0 ,使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) 成立,试求实数 p 的取值范围.
(Ⅲ)当 a ? 2 时,设函数 h( x) ? ( p ? 2) x ? 四 请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

? x ? ?1 ? 4 cos t ( t 为参数) .在极 y ? ? 2 ? 4 sin t ? 坐标系(与平面直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点 ,以 x 轴非 负半轴
22.在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 ?

2? sin(? ? ) ? m, m ? R . 4 (Ⅰ)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2 2 ,求 m 的值.
为极轴)中,直线 l 的方程为

?

f ( x) ? x ? a ? x ? 3 , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 2 ; (Ⅱ)若当 x ?[?1,1] 时, f ( x) ? 4 ,求 a 的取值范围.
23.已知函数

4

1—5 ACCCD

九江一中高二下学期第二次月考数学试题(文) 6—10 DCABB 11—12AA 14、 [?3,7] 15、

13、 既不充分也不必要条件

11 5 , n?2 2 2
155 60 215 55 30 85

16、 0

17 (1) B 18(1) 90

?

?
3

(2) a

?c?0

微信控 非微信控 合计 男性 女性 合计 210 90 300

(2) P ? 0.75
2

(3)

?2 ?

300(155 ? 30 ? 55 ? 60) ? 1.5830 ? 3.841 ,所以没有 95%的把握认 215 ? 85 ? 210 ? 90

为“微信控与性别有关”.

? 3 ? (?2) n?1 3[1 ? (?2) n ] ? 1 ? (?2) n ? 2016 ,即 (?2) n ? ?2015 (2) S n ? (*) 1 ? (?2) n 当 n 为偶数时, (?2) ? 0 , (*)不可能成立; n n 9 当 n 为 奇 数 时 , (?2) ? ?2 ? 0 , 因 为 (?2) ? ?512 ? ?2015 , (?2)11 ? ?2048 ? ?2015 ,所以当 n ? 2k ? 1, k ? 5, k ? N ? 时, (*)都会成立 所 以 , 综 上 , 存 在 正 整 数 n , 使 得 Sn ? 2016 , 其 中 所 有 n 的 集 合 为
19(1) an

{n n ? 2k ? 1, k ? 5, k ? N ? }
20(1)

x2 ?

y2 ?1 8
的方程为

AF2 , AB , BF2 成 等 比 数 列 , 且 设 直 线 l ? y ? k ( x ? 3) ? ,消去 y ,得 y ? k ( x ? 3) ,联立方程 ? 2 y 2 x ? ? 1 ? 8 ? 2 (8 ? k ) x 2 ? 6k 2 x ? 9k 2 ? 8 ? 0 6k 2 9k 2 ? 8 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 k ?8 k ?8 2 2 2 AB ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] 所以
6k 2 2 4(9k 2 ? 8) 64(1 ? k 2 ) 2 ? (1 ? k )[( 2 ) ? ]? k ?8 k2 ?8 (k 2 ? 8) 2
2

(2)假设存在直线 l 使得

AF2 ? ( x1 ? 3) 2 ? y 2 ? ( x1 ? 3) 2 ? 8 x12 ? 8 ? 1 ? 3x1
2 BF2 ? ( x2 ? 3) 2 ? y 2 ? ( x2 ? 3) 2 ? 8 x2 ? 8 ? 3 x2 ? 1

AF2 ? BF2 ? (1 ? 3x1 )(3x2 ? 1) ? 3( x1 ? x2 ) ? 9 x1 x2 ? 1

5

因 为

18k 2 9(9k 2 ? 8) ? 64(1 ? k 2 ) ? 2 ? ?1? k ?8 k2 ?8 k2 ?8 2 AF2 , AB , BF2 成 等 比 数 列 , 所 以 AB ? AF2 ? BF2
,得到

, 即 方程为

64(1 ? k 2 ) 2 ? 64(1 ? k 2 ) ? (k 2 ? 8) 2 k2 ?8 2 5 y?? ( x ? 3) . 5

k ??

2 5 5

,从而得到直线

l

21(1)单调增区间为 (0,1) ,单调减区间为 (1,??)

a a 2 ? a ,由 f ?(2) ? ? a ? 1 ,得 a ? ?2 ,此时 f ?( x) ? ? ? 2 , 2 x x m 2 g ( x) ? x 3 ? x 2 [ ? ? 2] , g ?( x) ? 3x 2 ? (4 ? m) x ? 2 2 x 3 2 m 因为对于任意的 t ?[1,2] ,函数 g ( x) ? x ? x [ ? f ?( x)] 在区间 (t ,3) 上总存在极 2 2 值,所以 g ?( x) ? 3x ? (4 ? m) x ? 2 在区间 (t ,3) 上总有实根,从而有 ? g ?(2) ? 0 37 ,得到 ? ? m ? ?9 . ? ? g ( 3 ) ? 0 3 ? p ? 2e (3)令 F ( x) ? h( x) ? f ( x) ? ( p ? 2) x ? ? 3 ? (2 ln x ? 2 x ? 3) x p ? 2e p 2e ? px ? ? 2 ln x ? px ? ? ? 2 ln x x x x 2e p ①当 p ? 0 时,因为 x ?[1, e] ,所以 px ? ? 0 , ? ? 2 ln x ? 0 ,此时在区 x x 间 [1, e] 上不存在 x0 ,使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) 成立;
(2) f

?( x) ?

p ? 2e 2 px2 ? 2 x ? p ? 2e , 因 为 ? ? x2 x x2 x ?[1, e] ,所以 2e ? 2 x ? 0, px2 ? p ? 0 ,从而 F ?( x) ? 0 在 x ?[1, e] 上恒成立,故 p 要使得在区间 [1, e] 上 F ( x) 在区间 [1, e] 上单调递增, F ( x) max ? F (e) ? pe ? ? 4 , e p 至少存在一个 x0 ,使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) 成立,只需 F ( x) max ? pe ? ? 4 ? 0 ,从而 e 4e 4e 得到 p ? 2 ,即实数 p 的取值范围为 ( 2 ,??) e ?1 e ?1 m ? 3 或 m ? ?5 22 (Ⅰ) (Ⅱ) l : x ? y ? m ? 0; C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 16 , 23(Ⅰ) [?2,??) ; (Ⅱ) [?7,5] .
② 当

p?0

时 ,

F ?( x) ? p ?

6


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