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江西省南昌市第十中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案


南昌十中 2016-2017 学年上学期期末考试高二数学(理科)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)

1、已知 i 是虚数单位,复数 z ? i ? 2 ,则复数 z 的虚部是( ) 1?i

A. ? 1 2

B. 3 2

C. ? 3 2

D. ? 2

2、设 x, y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不

必要条件

3、已知命题 p:x2+2x-3>0;命题 q:x>a,且┐p 是┐q 的一个充分不必要条件,则 a 的

取值范围是( )

A.(-∞,1]

B.[1,+∞)

C.[-1,+∞)

D.(-∞,-3]

? 4、

1
(

1? x2 ? x)dx ? (



?1

A. ? 4

B. ? 3

C. ? 2

D. ? ?1 2

5、圆 x2 ? y2 ? 2x ? 8y ?13 ? 0 与直线 ax ? y ?1 ? 0 的相交所得弦长为 2 3 ,则 a=( )

A. ? 4

B. ? 3

C. 3

D.2

3

4

6、已知曲线 y=x22-3lnx 的一条切线的与直线 x+2y+10=0 垂直,则切点的横坐标为(

)

A.13

B.2

C.1

D. 3

7、以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的准线于 D、E 两点.已知

|AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为

A.2

B.4

C.6

D.8

8、已知定义在 R 上的函数 f(x),其导函数 f′(x)的大致图像如图所示,则下

列叙述正确的是( )

A.f(b)>f(c)>f(d)

B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d)

9、抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=

→ 90°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则|M→N|的最大值为( )
|AB|

3 A. 2

2 B. 2

C.1

D. 3

10、已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,其导函数为 f ?(x) ,若 f ?(x) ? f (x) ,且

f (x ?1) ? f (3 ? x) , f (2011)=3,则不等式 f (x)<3ex-1 的解集为( )

A. (e, ??)

B. (1, ??)

C. (??, 0)

D. (??, 1) e

11、已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π3,则椭

圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )

43 A. 3

23 B. 3

C.3

D.2

12、设函数

f

(x)

?

e2x2 x

?1,

g(x)

?

e2x ex

,对任意

x1,

x2

?

? ??

1 e

,

??

? ??

,不等式

g ( x1 ) k

?

f (x2 ) k?2

恒成立,则正数 k 的取值范围是( )

A. (1,??)

B.[1,??)

C. ?2, ???

D.?2, ???

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

13、若复数 z 满足 2z ? z ? 3? 2i ,其中 i 为虚数单位,则| z |?

.

?y ?t

14、由曲线

? ?

x

?

t

2



t

为参数)和

y

?

x

?

2

围成的封闭图形的面积等于___________

15、若函数 f (x) ? kx ? ex 有零点,则 k 的取值范围为_______.

16、已知双曲线 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

? 0,b

?

0? 的左、右焦点分别为 F1 ??c,0?, F2 ?c,0? ,A, B

是圆 ? x ? c?2 ? y2 ? 4c2 与 C 位于 x 轴上方的两个交点,且 F1A / / F2B ,则双曲线 C 的

离心率为______________.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17、(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为

??x ? 1? t ? ?? y ? 3t

(t为参数),椭圆C的参数方程为

?x=2cosθ ??y= 3sinθ

(?

为参数)(1).

直线l的极坐标方程与椭圆C的普通方程(2)设P(1,0)直线l与椭圆C相交于A,B两点 ,求||PA|-|PB||的值

18、(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax3+x2(a∈R)在 x=-43处取得极值.
(1)确定 a 的值和 f(x)的极值; (2)若 g(x)=f(x)ex,讨论 g(x)的单调性.

19、(本小题满分 12 分)已知椭圆ax22+by22=1(a>0,b>0)的左焦点 F 为圆 x2+y2+2x=0 的 圆心,且椭圆上的点到点 F 的距离的最小值为 2-1.
(1)求椭圆方程;
(2)已知经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,点 M??-54,0??,证明:M→A·M→B
为定值.
20、(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lnx-ax(a∈R). (1)函数 f(x)在[2,3]上单调递减,求 a 的取值范围; (2) 当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值.

21、(本小题满分 12 分)已知椭圆 C1:ay22+bx22=1(a>b>0)与抛物线 C2:x2=2py(p>0)有一个 公共焦点,抛物线 C2 的准线 l 与椭圆 C1 有一坐标是( 2,-2)的交点. (1)求椭圆 C1 与抛物线 C2 的方程; (2)若点 P 是直线 l 上的动点,过点 P 作抛物线的两条切线,切点分别为 A,B,直线 AB 与椭圆 C1 分别交于点 E,F,求O→E·O→F的取值范围.
22、(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1). (1) 若函数 y=|f(x)-t|-1 有三个零点,求 t 的值; (2) 若存在 x1、x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求 a 的取值范围.

南昌十中 2016-2017 学年上学期期末考试高二数学(文)

命题人:衷敬奎

审题人:魏斌

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)

1、已知 i 是虚数单位,复数 z ? i ? 2 ,则复数 z 的虚部是( 1?i

A. ? 1 2

B. 3 2

C. ? 3 2


D. ? 2

2、设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不

必要条件

3、已知命题 p:x2+2x-3>0;命题 q:x>a,且┐p 是┐q 的一个充分不必要条件,则 a 的

取值范围是( )

A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.[-1,+∞) D.(-∞,-3]

4、设点 P 是曲线 y=x3+ 3x+23上的任意一点,P 点处切线的倾斜角为 α,则角 α 的取值范

围是( ) A.[0,π2)∪[23π,π)

B.[0,π2)∪[56π,π) C.[3π ,π2)

D.(π2,56π]

5、圆 x2 ? y2 ? 2x ? 8y ?13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ?1 ? 0 的距离为 1,则 a=( )

A. ? 4

B. ? 3

C. 3

D.2

3

4

6、已知曲线 y=x22-3lnx 的一条切线的与直线 x+2y+10=0 垂直,则切点的横坐标为(

)

A.13

B.2

C.1

D. 3

7、以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的准线于 D、E 两点.已知

|AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为

A.2

B.4

C.6

D.8

8、已知定义在 R 上的函数 f(x),其导函数 f′(x)的大致图像如图

所示,则下列叙述正确的是( )

A.f(b)>f(c)>f(d)

B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a)

D.f(c)>f(e)>f(d)

9、抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=

→ 90°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则|M→N|的最大值为( )
|AB|

2 A. 2

3 B. 2

C.1

D. 3

10、若函数 f(x)=2x3-9x2+12x-a 恰好有两个不同的零点,则 a 可能的值为( )

A.3

B.5

C.7

D.9

11、已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π3,则椭

圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )

43 A. 3

23 B. 3

C.3

D.2

12、设函数

f

(x)

?

e2x2 x

?1,

g(x)

?

e2x ex

,对任意

x1,

x2

?

? ??

1 e

,

??

? ??

,不等式

g ( x1 ) k

?

f (x2 ) k?2

恒成立,则正数 k 的取值范围是( )

A. (1,??)

B.[1,??)

C. ?2, ???

D.?2, ???

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

13、若复数 z 满足 2z ? z ? 3? 2i ,其中 i 为虚数单位,则| z |?

.

14、已知函数f(x)=2xsinx,则当x=π2时,其导函数的值为________. 15、若 f(x)=2x3-3x2-12x+3 在区间[m,m+4]上是单调函数,则实数 m 的取值范围





16、已知双曲线 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

? 0,b

?

0? 的左、右焦点分别为 F1 ??c,0?, F2 ?c,0? ,A, B

是圆 ? x ? c?2 ? y2 ? 4c2 与 C 位于 x 轴上方的两个交点,且 F1A / / F2B ,则双曲线 C 的

离心率为_________. 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为
(t为参数),椭圆C的参数方程为???xy==2c3ossiθnθ (? 为参数)
(1). 直线l的极坐标方程与椭圆C的普通方程 (2)设P(1,0)直线l与椭圆C相交于A,B两点,求||PA|-|PB||的值.

??x ? 1? t ? ?? y ? 3t

18、(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax3+x2(a∈R)在 x=-43处取得极值. (1)确定 a 的值和 f(x)的极值;

(2)若 g(x)=f(x)ex,讨论 g(x)的单调性.

19、(本小题满分 12 分)已知椭圆ax22+by22=1(a>0,b>0)的左焦点 F 为圆 x2+y2+2x=0 的 圆心,且椭圆上的点到点 F 的距离的最小值为 2-1. (1)求椭圆方程;
(2)已知经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,点 M??-54,0??,证明:M→A·M→B
为定值.
20、(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lnx-ax(a∈R). (1)函数 f(x)在[2,3]上单调递减,求 a 的取值范围; (2) 当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值.

21、(本小题满分 12 分)已知椭圆 C1:ay22+bx22=1(a>b>0)与抛物线 C2:x2=2py(p>0)有一个 公共焦点,抛物线 C2 的准线 l 与椭圆 C1 有一坐标是( 2,-2)的交点. (1)求椭圆 C1 与抛物线 C2 的方程; (2)若点 P 是直线 l 上的动点,过点 P 作抛物线的两条切线,切点分别为 A,B,直线
AB 与椭圆 C1 分别交于. 点 E,F,求O→E·O→F的取值范围.
22、(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1). (1) 若函数 y=|f(x)-t|-1 有三个零点,求 t 的值; (2) 若存在 x1、x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求 a 的取值范围.

南昌十中 2016-2017 学年上学期期末考试高二数学(理)

答案

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)

1、已知 i 是虚数单位,复数 z ? i ? 2 ,则复数 z 的虚部是( ) 1?i

A. ?1 2
D. ? 2

B. 3 2

C. ? 3 2

【答案】D【解析】

2、设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不

必要条件

解:设 A=???(x,y)|???x≥2,???, B={(x,y)|x2+y2≥4},通过画草图可知 A B,则“x≥2

??

??y≥2 ??

且 y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件,故选 A.注:此题也可采用定义法来判断.

3、已知命题 p:x2+2x-3>0;命题 q:x>a,且┐p 是┐q 的一个充分不必要条件,则 a 的

取值范围是( )

A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.[-1,+∞) D.(-∞,-3] 解:由 x2+2x-3>0,得 x<-3 或 x>1,由┐q 的一个充分不必要条件是┐p,可知┐p 是┐q 的充分不必要条件,等价于 q 是 p 的充分不必要条件,有 a≥1.故选 B. 【点拨】解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,

然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解,在求解参数的取值范围时,一定

要注意对区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等

式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的情形.

? 4、

1
(

1? x2 ? x)dx ? (



?1

A. ? 4

B. ? 3

? 【答案】C【解析】依题意 1 ?1

C. ? 2

D. ? ?1 2

? 1? x2 dx ? 1 xdx ? ? ? 0 ? ? ,其中 y ?

?1

2

2

1? x2 表示的是

单位圆的上半部分.

5、圆 x2 ? y2 ? 2x ? 8y ?13 ? 0 与直线 ax ? y ?1 ? 0 的相交所得弦长为 2 3 ,则 a=( )

A. ? 4 3

B. ? 3 4

C. 3

D.2

【答案】A【解析】圆的方程可化为 (x ?1)2 ? (y ? 4)2 ? 4 ,所以圆心坐标为 (1, 4) ,由点到

直线的距离公式得:

d ? a ? 4 ?1 ? 1,解得 a ? ? 4 ,故选 A.

a2 ?1

3

6、已知曲线 y=x22-3lnx 的一条切线的与直线 x+2y+10=0 垂直,则切点的横坐标为(

)

A.13

B.2

C.1

D. 3

解:设切点坐标为(x0,y0),且 x0>0,由 y′=x-3x,得 k=x0-x30=2,解得 x0=3.故选 D

7、以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的准线于 D、E 两点.已知

|AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为

A.2

B.4

C.6

D.8

【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为 y2 ? 2 px , AB, DE 交 x 轴于 C, F 点,

则 AC ? 2 2 ,即 A 点纵坐标为 2 2 ,则 A 点横坐标为 4 ,即 p

OC ? 4 ,由勾股定理知 DF 2 ? OF 2 ? DO2 ? r2 , AC2 ? OC2 ? AO2 ? r2 , p

即 ( 5)2 ? ( p )2 ? (2 2)2 ? ( 4 )2 ,解得 p ? 4 ,即 C 的焦点到准线的距离为 4,故选 B.

2

p

8、已知定义在 R 上的函数 f(x),其导函数 f′(x)的大致图像如图所示,则下列叙述正确的是 ()

A.f(b)>f(c)>f(d)

B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d)

答案:C 解析:依题意得,当 x∈(-∞,c)时,f′(x)>0;当 x∈(c,e)时,f′(x)<0;当 x∈(e,

+∞)时,f′(x)>0.因此,函数 f(x)在(-∞,c)上是增函数,在(c,e)上是减函数,在(e,+∞)

上是增函数,又 a<b<c,所以 f(c)>f(b)>f(a),

9、抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=

→ 90°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则|M→N|的最大值为( )
|AB|

2 A. 2

3 B. 2

C.1

D. 3

答案 A 解析 设准线为 l,过 A,B 分别作 AQ⊥l,BP⊥l,垂足分别为 Q,P.设|AF|

=a,|BF|=b,由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,在梯形 ABPQ 中,2|MN|=|AQ|+

|BP|=a+b.由勾股定理得,|AB|2=a2+b2=(a+b)2-2ab,又 ab≤(a+2 b)2,所以(a+b)2-2ab≥(a

+b)2-

a+b 2

→1

2
,得到|AB|≥

22(a+b),所以|M→N|≤

2 2

|AB| 2

a+b a+b

→ = 22,即|M→N|的最大值为 22,
|AB|

故选 A.

10、已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,其导函数为 f ?(x) ,若 f ?(x) ? f (x) ,且

f (x ?1) ? f (3 ? x) , f (2011)=3,则不等式 f (x)<3ex-1 的解集为( )

A. (e, ??)

B. (1, ??)

C. (??, 0)

D. (??, 1) e

【答案】B【解析】试题分析:因为函数 f (x) 是偶函数,所以 f (x ?1) ? f (3 ? x) ? f (x ? 3) ,

所以 f (x ? 4) ? f (x) ,即函数 f (x) 是周期为 4 的周期函数.

因为 f(2011)=f(-1)=f(1)=3,设 g(x) ?

f (x) ,所以 ex

g?(x) ?

f ?(x)ex ? f (x)ex e2x

?

f ?(x) ? ex

f (x) ? 0 所以 g(x) 在 R 上是单调递减,不等式 f

(x)<3ex-1 等价于

f (x) ex

? 32/e e

即 g(x) ?

g(1) ,所以 x ?1 .所以不等式 f (x)<3ex-1 的解集为

(1, ??) ,故答案选 B

11、已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π3,则椭

圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )

43 A. 3

23 B. 3

C.3

D.2

【解析】设|PF1|=r1,|PF2|=r2,r1>r2,椭圆的长半轴长为 a1,双曲线的实半轴长为 a2,椭

圆、双曲线

所以e11+e12≤4 3 3.故选 A. 法二:x=e11,y=e12,x2+3y2=4 ,t=x+y 再线性规划

l 是经过双曲线

C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

? 0,b

? 0?
焦点 F

且与实轴垂直的直线, A, B

是双曲线

C 的两个顶点, 若在

12、设函数

f

(x)

?

e2x2 x

?1,

g(x)

?

e2x ex

,对任意

x1,

x2

?

? ??

1 e

,

??

? ??

,不等式

g ( x1 ) k

?

f (x2 ) k?2

恒成立,则正数 k 的取值范围是( )A. (1,??)

B. [1,??)

C. ?2, ???

D.?2, ???

【答案】D【解析】∵k

为正数,∴对任意

x1,

x2

? (0,??)

,不等式

g ( x1 ) k

?

f (x2 ) 恒成立 k?2

? g(x1) ? f (x2 ) , k k?2



g ?( x)

?

ex?2 (1? e2x

x)

?

0



x

?1,

x ?(0,1)



g?(x)

?

0,

x ? (1,??)



g?(x)

?

0





[

g

(x) k

]m

ax

?

g(1) k

?

e k

.同理

f

?( x)

?

exx2 ?1 x2

?

0

?

x

?

1, e

x ? (0, 1) e



f

?(x)

?

0,

x ? (1 ,??) , f ?(x) ? 0 , e

[

f k

(?[x1k)f ](?mx1i)n

]?>m

f (1f) ink??e1k

(1) ?e

2?e

2,e ∴,故选

?1k ?1k ?1

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

13、若复数 z 满足 2z ? z ? 3? 2i ,其中 i 为虚数单位,则| z |?

.

【解析】设 z ? a ? bi,(a,b ?R) ,则 2z ? z ? z ? (z ? z) ? a ? bi ? 2a ?

3a ? bi ? 3? 2i ,所以 a ? 1,b ? ?2 ,即 z ?1? 2i .故选| z |? 5

?y ?t

14、由曲线

? ?x

?

t2



t

为参数)和

y

?

x

?

2

围成的封闭图形的面积等于__________

_

思路:所给曲线为参数方程,考虑化为普通方程为 x ? y2 ,作出两个曲线图像,可得两个

交 点 的 横 坐 标 为 y ? ?1, y ? 2 , 结 合 图 象 可 得 :

? ? ? S ?

2 -1

y?2?

y2

dy

?

? ??

1 2

y2

? 2y ? 1 3

y

3

? ??

|2?1

?

9 2

答案: 9 2

15、若函数 f (x) ? kx ? ex 有零点,则 k 的取值范围为_______.

【答案】k≥e 或 k<0

所以 k≥e (文科)若 f(x)=2x3-3x2-12x+3 在区间[m,m+4]上是单调函数,则实数 m 的取值范围





【解析】∴f′(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2).由(1)知,f(x)在(-∞,-1]和[2,+∞)上单调

递增,在[-1,2]上

??m≥-1, 单调递减.∴m+4≤-1 或???m+4≤2, 或 m≥2.∴m≤-5 或 m≥2,即 m 的取值范围是(-

∞,-5]∪[2,+∞).

16、已知双曲线 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

? 0,b

?

0? 的左、右焦点分别为 F1 ??c,0?, F2 ?c,0? ,A, B

是圆 ? x ? c?2 ? y2 ? 4c2 与 C 位于 x 轴上方的两个交点,且 F1A / / F2B ,则双曲线 C 的离心
率为______________.

【答案】 3 ? 17 4
【解析】

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17、(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为

??x ? 1? t ? ?? y ? 3t

(t为参数),椭圆C的参数方程为

?x=2cosθ ??y= 3sinθ



?

为参数)(1).

直线l的极坐标方程与椭圆C的普通方程(2)设P(1,0)直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线 段||PA|-|PB||的长.
解:(1)椭圆 C 的普通方程为x42+y32=1,

(2)椭圆

C

的普通方程为

x2 4



y2 3

=1,将直线

l

的参数方程

? ??

x

?

1?

1 2

t

?

? ??

y

?

3t 2

,代入

x2 4



y2 3

=1,得 3(1? 1 t)2 ? 4( 2

3 t)2 2

? 12 ,即 5t2 ? 4t ?12 ? 0 ,解得 t1 ? t2

?

?

4 5



t1t2

? ? 12 . 5

所以

AB

?||

t1

|

?

|

t2

||?|

t1

?

t2

|?

4 5

.

18、(本小题满分 12 分)(2015·重庆)已知函数 f(x)=ax3+x2(a∈R)在 x=-43处取得极值. (1)确定 a 的值和 f(x)的极值; (2)若 g(x)=f(x)ex,讨论 g(x)的单调性.
解:(1)对 f(x)求导得 f′(x)=3ax2+2x.因为 f(x)在 x=-43处取得极值,所以 f′??-43??=0,
即 3a·196+2×??-43??=136a-83=0,解得 a=12. f(-43)=1267, f(0)=0
(2)由(1)得 g(x)=??12x3+x2??ex,故 g′(x)=12x(x+1)(x+4)ex.
令 g′(x)=0,解得 x=0 或 x=-1 或 x=-4. 当 x<-4 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当-4<x<-1 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数; 当-1<x<0 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当 x>0 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数. 综上知,g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)上为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)上为增函数. 19、(本小题满分 12 分)已知椭圆ax22+by22=1(a>0,b>0)的左焦点 F 为圆 x2+y2+2x=0 的

圆心,且椭圆上的点到点 F 的距离的最小值为 2-1.

(1)求椭圆方程;
(2)已知经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,点 M??-54,0??,证明:M→A·M→B

为定值.

解:(1)圆的标准方程为(x+1)2+y2=1,

则圆心为(-1,0),半径 r=1,∴椭圆的半焦距 c=1.
又椭圆上的点到点 F 的距离的最小值为 2-1,∴a-c= 2-1,即 a= 2,则 b2=a2
-c2=1. 故所求椭圆的方程为x22+y2=1.
(2)证明:①当直线 l 与 x 轴垂直时,l 的方程为 x=-1.可求得 A??-1, 22??,B??-1,- 22??. 此时M→A·M→B=??14, 22??·??14,- 22??=-176.

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),

??y=k(x+1),

由???x22+y2=1

得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),

则 x1+x2=-1+4k22k2,x1x2=21k+2-2k22.

∵M→A

·M→B=??x1+54,y1??

·??x2+54,y2??



??x1+54????x2+54??+

y1y2

=x1x2+54

(x1



x2)



?5? ?4?

2



k(x1+1)·k(x2+1)
=(1+k2)x1x2+??k2+54??(x1+x2)+k2+1265=(1+k2)·21k+2-2k22+??k2+54????-1+4k22k2??+k2+2156
=-14+k22-k22+2156=-2+1265=-176.
综上得M→A·M→B为定值,且定值为-176.

20、(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lnx-ax(a∈R). (1)函数 f(x)在[2,3]上单调递减,求 a 的取值范围; (2) 当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值. 审题引导: ① 知函数解析式求单调区间,实质是求 f′(x)>0,f′(x)<0 的解区间,并注意
定义域; ② 先研究 f(x)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值; ③ 由于解析式中含有参数 a,要对参数 a 进行分类讨论.

规范解答: 解:(1) f′(x)=1x-a≤0 恒成立(x>0). ??12,+∞??.(6 分)

(2) ① 当1a≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是减函数, 所以 f(x)的最小值是 f(2)=ln2-2a.(8 分)

② 当1a≥2,即 0<a≤12时,函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数, 所以 f(x)的最小值是 f(1)=-a.(10 分)

③ 当 1<1a<2,即12<a<1 时,函数 f(x)在区间??1,1a??上是增函数,在区间??1a,2??上是减函
数, 又 f(2)-f(1)=ln2-a, 所以当12<a<ln2 时,最小值是 f(1)=-a; 当 ln2≤a<1 时,最小值是 f(2)=ln2-2a.(12 分) 综上可知,当 0<a<ln2 时,最小值是-a; 当 a≥ln2 时,最小值是 ln2-2a.(14 分)
21、已知椭圆 C1:ay22+bx22=1(a>b>0)与抛物线 C2:x2=2py(p>0)有一个公共焦点,抛物线 C2
的准线 l 与椭圆 C1 有一坐标是( 2,-2)的交点. (1)求椭圆 C1 与抛物线 C2 的方程; (2)若点 P 是直线 l 上的动点,过点 P 作抛物线的两条切线,切点分别为 A,B,直线
AB 与椭圆 C1 分别交于点 E,F,求O→E·O→F的取值范围. 解:(1)抛物线 C2 的准线方程是 y=-2,所以p2=2,p=4,所以抛物线 C2 的方程是: x2=8y, 椭圆 C1:ya22+xb22=1(a>b>0)的焦点坐标是(0,-2),(0,2),所以 c=2,2a= 2+0+ 2+(2+2)2=4 2,所以 a=2 2,b=2,故椭圆 C1 的方程是y82+x42=1. (2)设点 P(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3),F(x4,y4),抛物线方程可化为:y =18x2,y′=14x,
所以 AP 的方程为:y-y1=14x1(x-x1),所以-2-y1=14x1t-2y1,即 y1=14tx1+2, 同理 BP 的方程为:y2=14tx2+2,所以直线 AB 的方程为:y=14tx+2, 将直线 AB 的方程代入椭圆 C1 的方程得到:(t2+32)x2+16tx-64=0, 则 Δ=256t2+256(t2+32)>0,且 x3+x4=t-2+1362t ,x3x4=t2-+6342, 所以O→E·O→F=x3x4+y3y4=(1+1t26)x3x4+2t (x3+x4)+4=-t82+t2+3264=t23+2032-8.
因为 0<t23+2032≤10,所以O→E·O→F的取值范围是(-8,2].
22、已知函数 f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1). (1) 若函数 y=|f(x)-t|-1 有三个零点,求 t 的值; (2) 若存在 x1、x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求 a 的取值范围.
审题引导: 本题考查函数与导数的综合性质,函数模型并不复杂,(1)(2)两问是很常规

的,考查利用导数证明单调性,考查函数与方程的零点问题.第(3)问要将“若存在 x1、x2∈[- 1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1”转化成|f(x)max-f(x)min|=f(x)max-f(x)min≥e-1 成立,最后仍然是 求值域问题,但在求值域过程中,问题设计比较巧妙,因为在过程中还要构造函数研究单调 性来确定导函数的正负.
(1) 当 a>1 时,求证:函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; 规范解答: (1) 证明:f′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)·lna.(2 分) 由于 a>1,故当 x∈(0,+∞)时,lna>0,ax-1>0,所以 f′(x)>0. 故函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增.(4 分) (1) 解:当 a>0,a≠1 时,因为 f′(0)=0,且 f′(x)在 R 上单调递增,故 f′(x)=0 有唯一解 x= 0.(6 分) 所以 x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示:

x

(-∞,0)

0

(0,+∞)

f′(x)



0



f(x)

极小值

又函数 y=|f(x)-t|-1 有三个零点,所以方程 f(x)=t±1 有三个根,而 t+1>t-1,所以 t -1=f(x)min=f(0)=1,解得 t=2.(10 分)
(2) 解:因为存在 x1、x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,所以当 x∈[-1,1]时,|f(x)max -f(x)min|=f(x)max-f(x)min≥e-1.(12 分) 由(2)知,f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增,所以当 x∈[-1,1]时,f(x)min=f(0)=1, f(x)max=max{f(-1),f(1)}.

而 f(1)-f(-1)=(a+1-lna)-??1a+1+lna??=a-1a-2lna,

记 g(t)=t-1t -2lnt(t>0),因为 g′(t)=1+t12-2t =??1t -1??2≥0(当且仅当 t=1 时取等号),

所以 g(t)=t-1t -2lnt 在 t∈(0,+∞)上单调递增,而 g(1)=0,

所以当 t>1 时,g(t)>0;当 0<t<1 时,g(t)<0, 也就是当 a>1 时,f(1)>f(-1);当 0<a<1 时,f(1)<f(-1).(14 分) ① 当 a>1 时,由 f(1)-f(0)≥e-1 a-lna≥e-1 a≥e,

② 当 0<a<1 时,由 f(-1)-f(0)≥e-1 1a+lna≥e-1 0<a≤1e,

综上知,所求 a 的取值范围为??0,1e??∪[e,+∞).


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