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2014届高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 2.9 函数与方程


2014 届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂 内外+限时训练) :2.9
一、选择题 1.(2012·天津)函数 f(x)=2 +x -2 在区间(0,1)内的零点个数是( A.0 B.1 C.2
x
3

函数与方程
)

x

3

D.3

解析: 原题可以转化为函数 y1=2 -2 与 y2=-x 的图像在区间(0,1)内的交点个数问题, 可知在区间(0,1)内只有一个交点,正确答案为 B.

答案:B 2.(2012·湖北)函数 f(x)=xcosx 在区间[0,4]上的零点个数为( A.4 C.6
2 2

)

B.5 D.7
2

解析:令 f(x)=0,得 x=0 或 cosx =0,因为 x∈[0,4],所以 x ∈[0,16]. π 3π 5π 7π 9π ?π ? 2 2 由于 cos? +kπ ?=0(k∈Z),故当 x = , , , , 时,cosx =0. 2 2 2 2 2 ?2 ? 所以零点个数为 6. 答案:C 3.函数 f(x)=e +x-2 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) C.(0,1)
x

)

B.(-1,0) D.(1,2)

解析:由于 f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,根据函数的零点存在性定理 ,知函数 f(x) 的零点在区间(0,1)内. 答案:C

1

?1?x 4.(2013·顺义月考)已知函数 f(x)=? ? -log2x,若实数 x0 是函数 f(x)的零点,且 0 ?3?
<x1<x0,则 f(x1)的值( A.恒为正值 C.恒为负值 ) B.等于 0 D.不大于 0

?1?x 解析 : 根据指数函数与对数函数的单调性可以推知函数 f(x)=? ? -log2x 在(0, +∞) ?3?
上单调递减,函数 f(x)在(0,+∞)上至多有一个零点.若有零点的话,零点左侧的函数值 恒正,右侧的函数值恒负,对于 0<x1<x0,f(x1)的值恒为正值. 答案:A 5.若函数 f(x)的零点与 g(x)=4 +2x-2 的零点之差的绝对值 不超过 0.25,则 f(x) 可以是( ) B.f(x)= (x-1)
2

x

A.f(x)=4x-1 C.f(x)=e -1
x

? 1? D.f(x)=ln?x- ? ? 2?

解析: (x)=4 +2x-2 的零点, g 即函数 y=4 与函数 y=-2x+2 图像交点的横坐标(如 1 图),由图知 g(x)的零点 x0 满足 0<x0< . 2 1 又 f(x)=4x-1 的零点为 ,∴选 A. 4 答案:A 1 6.设函数 f(x)= x-lnx(x>0),则 y=f(x)( 3 )

x

x

?1 ? A.在区间? ,1?,(1,e)内均有零点 ?e ?

2

?1 ? B.在区间? ,1?,(1,e)内均无零点 ?e ? ?1 ? C.在区间? ,1?内有零点,在区间(1,e)内无零 点 ?e ? ?1 ? D.在区间? ,1?内无零点,在区间(1,e)内有零点 ?e ?
1 1 ?1? 1 ?1 ? 解析: 由于 f? ?= +1>0,(1)= >0,(e)= e-1<0, f f 故函数 y=f(x)在区间? ,1? 3 3 ?e? 3e ?e ? 内无零点,在区间(1,e)内有零点. 答案:D 二、填空题 7.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 1,则函数 g(x)=bx -ax 的零点是__________. 解析:由题意知 ax+b=0(a≠0)的解为 x=1,∴b=-a. ∴g(x)=-ax -ax=-ax(x+1). 由 g(x)=0 得 x=0 或 x=-1. 答案:0 或-1 8. (2013·珠海质检)已知二次函数 f(x)=4x -2(p-2)x-2p -p+1, 若在区间[-1,1] 内至少存在一个实数 c,使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是__________. 3 1 2 2 解析:只需 f(1)=-2p -3p+9>0 或 f(-1)=-2p +p+1>0,即-3<p< 或- < 2 2
2 2 2 2

p<1,∴p∈?-3, ?. 2

? ?

3?

?

3? ? 答案:?-3, ? 2? ? 9.已知三个函数 f(x)=2 +x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c, 则 a,b,c 的大小关系是__________. 1 1 解析:由于 f(-1)= -1=- <0,f(0)=1>0, 2 2 故 f(x)=2 +x 的零点 a∈(-1,0). 因为 g(2)=0,故 g(x)的零点 b=2;
x x

h? ?=-1+ =- <0,h(1)=1>0, 2

?1? ? ?

1 2

1 2

?1 ? 故 h(x)的零点 c∈? ,1?,因此 a<c<b. ?2 ?
答案:a<c<b 三、解答题 10. 已知函数 f(x)=4 +m·2 +1 有且仅有一个零点, m 的取值范围, 求 并求出该零点.
3
x x

解析:∵f(x)=4 +m·2 +1 有且仅有一个零点, 即方程(2 ) +m·2 +1=0 有且仅有一个实根. 设 2 =t(t>0),则 t +mt+1=0. 当 Δ =0,即 m -4=0, ∴ m =-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不符合题意,舍去). ∴2 =1,x=0 符合题意. 当 Δ >0,即 m>2,或 m<-2 时,
x
2

x

x

x 2

x

x

2

t2+mt+1=0 有一正一负根,
即 t1t2<0,这与 t1t2>0 矛盾. ∴这种情况不可能. 综上,可知 m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. e 2 11.已知函数 f(x)=-x +2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0).
2

x

(1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. e 2 解析:(1)方法一:∵g(x)=x+ ≥2 e =2e,
2

x

等号成立的条件是 x=e,∴g(x)的值域是[2e,+∞),

因而只需 m≥2e,则 g(x)=m 就有零点. e 方法二:作出 g(x)=x+ (x >0)的图像如图所示,
2

x

可知若使 g(x)=m 有零点,则只需 m≥2e. 方法三:由 g(x)=m 得 x -mx+e =0.
2 2

?m>0, ? 此方程有大于零的根,故?2 ?Δ =m2-4e2≥0, ?
4

等价于?

? ?m>0, ? ?m≥2e,或m≤-2e,

故 m≥2e.

(2)方法一:若 g(x)-f(x)=0 有两相异的实根,

即 g(x)与 f(x)的图像有两个不同的交点, e 作出 g(x)=x+ (x>0)的图像.
2

x

∵f(x)=-x +2ex+m-1 =-(x-e) +m-1+e . 其对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 m-1+e . 故当 m-1+e >2e,即 m>-e +2e+1 时,
2 2 2 2 2

2

g(x)与 f(x)的图像有两个交点,即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.
∴m 的取值范围是(-e +2e+1,+∞). 方法二:令 F(x)=g(x)-f(x), 则由已知 F(x)=g(x)-f(x)有两个零点. e 又 F′(x)=g′(x)-f′(x)=1- 2+2x-2e
2 2

x

= =
2 2

2x +? ?

3

1-2e? x -e

2

2

x2 x-e? ? 2x2+x+e? , x2

∵x >0 恒成立,2x +x+e>0 恒成立, ∴当 x>e 时 F′(x)>0,x<e 时 F′(x)<0,故 F(x)在(0,e)上为减函数,在(e,+ ∞)上为增函数. ∴F(x)=g(x)-f(x)在 x=e 处取得极小值, 若 F(x)=g(x)-f(x)有两个零点,则 f(e)<0. e 2 即 e+ +e -2e·e-m+1<0, e
5
2

即 m>-e +2e+1. 4 3 12.已知函数 f(x)=ax -bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . 3 (1)求函数的解析式; (2)若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个零点,求实数 k 的取值范围. 解析:由题意,可知 f′(x)=3ax -b.
2

2

?f′? 2? =12a-b=0, ? (1)于是? 4 ?f? 2? =8a-2b+4=-3, ?
1 3 故所求的解析式 为 f(x)= x -4x+4. 3

?a=1, ? 解得? 3 ?b=4. ?

(2)由(1)可知,f′(x)=x -4=(x-2)(x+2). 令 f′(x)=0,得 x=2,或 x=-2. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示:

2

x f′(x) f(x)

(-∞,-2) + 单调递增

-2 0 28 3

(-2,2) - 单调递减

2 0 4 - 3

(2,+∞) + 单调递增

28 因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值 ; 3 4 当 x=2 时,f(x)有极小值- . 3 所以函数的大致图像如图.

4 28 故实数 k 的取值范围是- <k< . 3 3

6


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