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含绝对值不等式的解法


含绝对值的不等式解法

复习绝对值的意义:
x |x|= 0 -x X>0 X=0 X<0

一个数的绝对值表示: 与这个数对应的点到 原点的距离,|x|≥0
x2
B O

代数的意义

x1
A X

|x1| =|OA|

|x2|=|OB|

几何意义

方程│x│=2的解集?
-2 0 2

为{x│x=2或x=-2}

观察、思考: 不等式│x│<2的解集 为{x│-2 < x < 2 }
-2 0 2 -a a 不等式│x│> 2解集 为{x│x > 2或x<-2 } -2 0 2 -a a 类比:|x|<3的解 |x|>3 的解 1 1 归纳: |x|<a ( a>0) |x|> 的解 -a<x<a |x|< 的 解
5

|x|>a |x|<0 的解 (a>0)|x|>0的解 X>a 或 x<-a |x|>-2的解 |x|<-2的解

5

1形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集:

① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a} 0 -a a ② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }

0 -a a 注:如果 a ≤ 0 ,不等式的解集易得. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.

变式例题:

如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是 | x-1 | <2如何解? 如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就 是 | 3x-1 | >2如何解?

题型一:研究|ax+b|<(>)c型不等式 在这里,我们只要把 ax+b 看作是 整体就可以了,此时可以得到:

| ax ? b |? c ? ?c ? ax ? b ? c | ax ? b |? c ? ax ? b ? ?c 或 ax ? b ? c (c ? 0)

例1 解不等式| 2x ? 5 | ?7.
解:由原不等式可得
2 x ? 5 ? ?7 ,或 2 x ? 5 ? 7 .
整理,得
x ? ?6 ,或 x ? 1 .

所以,原不等式的解集是

{x |x ? ?6 ,或 x ? 1 } .

练习:解不等式. (1)|x-5|<8;
(2)|2x

+ 3|>1.

解:(1)由原不等式可得-8<x-5<8, ∴-3<x<13 ∴原不等式的解集为{x|-3<x<13}. (2)由原不等式可得2x + 3< -1或2x + 3 >1, ∴x<-2或x>-1 ∴原不等式的解集为{x | x<-2或x>-1}.

解题反思:
| f(x)|<a

-a<f(x)<a

1、采用了整体换元。
| f(x)|>a

2、归纳型如(a>0) | f(x)|<a, |f(x)|>a

f(x)<-a或 f(x)>a



等式的解法。

变式例题:型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中
“a”用代数式替换,如何解?

解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
思考一:关键是去绝对值符号,能用定义吗? |x|=
x X≥0
- x X<0

思考二:是否可以转化为熟悉问题求解?

解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
解:
5x-6 ≥ 0
(Ⅰ ) 或

5x-6<0

(Ⅱ)

-(5x-6)<6-x 5x-6<6-x 解(Ⅰ)得:6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得:0<x<6/5 取它们的并集得:(0,2)

解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
解: 由绝对值的意义,原不等式转化为: -(6-x)<5x-6<(6-x)

解(Ⅰ)得:0<x<2;

综合得0<x<2

题型:不等式|x|<a与|x|>a (a>0)的解集 |x|<a(a>0)的解集为: {x|-a<x<a} |x|>a(a>0)的解集为: {x|x<-a或x>a}
f ? x ? ? a (a ? 0) ? ? a ? f ? x ? ? a;

推广

f ? x ? ? a(a ? 0) ? f ? x ? ? a或f ? x ? ? ?a;
f ? x ? ? g ( x ) ? ? g ( x ) ? f ? x ? ? g ( x );

推广

f ? x ? ? g( x ) ? f ? x ? ? g( x )或f ? x ? ? ? g( x );

题型:不等式|x|<a与|x|>a (a>0)的解集

练习1 (1) 3 x ? 1 ? x ? 2
(2) 3 x ? 1 ? 2 ? x

;

2.解不等式 :|3x-1|>x+3.

1 {x | x ? ? 或x ? 2} 2

练习解不等式 | x ? 3x ? 4 |? x ? 1.
2
2 2 ? ? ? x ? 3x ? 4 ? 0 ? x ? 3x ? 4 ? 0 解 1:原不等式 ? ? 2 或? 2 ? ? x ? 3x ? 4 ? x ? 1 ? ??( x ? 3x ? 4) ? x ? 1

? x ? 4或x ? ?1 ??1 ? x ? 4 ?? 或? ? x ? 5或x ? ?1 ??1 ? x ? 3

? x ? ?1, 或x ? 5,或 ? 1 ? x ? 3,
?原不等式的解集为{x | x ? ?1, 或 ?1 ? x ? 3, 或x ? 5}.

练习 解不等式 | x ? 3x ? 4 |? x ? 1.
2

解2:原不等式 ? x2 ? 3x ? 4 ? ?( x ? 1)或x2 ? 3x ? 4 ? x ? 1

? x ? 2x ? 3 ? 0 或 x ? 4x ? 5 ? 0
2 2

? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0, 或( x ? 1)( x ? 5) ? 0

? ?1 ? x ? 3, 或x ? ?1, 或x ? 5,
?原不等式的解集为{x | x ? ?1, 或 ?1 ? x ? 3, 或x ? 5}.

练习:绝对值不等式的解法
解不等式:|x2-3|>2x. 解析:(等价转换法)原不等式 2 2 x ? 3 ? 2 x或x ? 3 ? ?2 x
x ? 2 x ? 3 ? 0或x ? 2 x ? 3 ? 0 x>3或x<-1或-3<x<1. 故原不等式的解集为{x|x<1或x>3}.
2 2

练习:把下列绝对值不等式转 化为同解的非绝对值不等式。
1、|2x-3|<5x 2、|x2-3x-4|>4 3、| x-1 | > 2( x-3)
x x ? x?2 x?2

4、

5、| 2x+1 |> | x+2 |

例3、解不等式 1<︱3x+4︱≤6
解法一:原不等式可化为:

?| 3x ? 4|? 6 ? ?|3x ? 4|> 1

2 ? 10 ? ?x? ? ??6 ? 3x ? 4 ? 6 ? 3 3 ?? ?? ?3x ? 4 ? ?1 或 3 x ? 4 ? 1 ? x ? ? 5 或 x ? ?1 ? 3 ?
∴原不等式的解集为:

10 5 2 {x|- ? x ? ? 或 ? 1 ? x ? } 3 3 3

例3、解不等式 1<︱3x+4︱≤6

解法二:依绝对值的意义,原不等式等价于: -6≤3x+4<-1 或 1<3x+4 ≤6
解得:
10 5 2 ∴原不等式的解集为: {x|? x ? ? 或 ?1 ? x ? } 3 3 3

10 5 2 ? x ? ? 或 ?1 ? x ? , 3 3 3

比较此题的两种解法,解法二比较简单,解法二 去掉绝对值符号的依据是:

a ?| x|? b ? a ? x ? b 或 a ? ? x ? b ? a ? x ? b 或 -b ? x ? ?a (a ? 0)

题型:不等式n<| ax + b | <m (m>n>0) 的解集
方法一:等价于 不等式组 方法二:几何意义

?| ax ? b |? n ? ?| ax ? b |? m
-n 0 n m

-m

? n ? ax ? b ? m, 或 ? m ? ax ? b ? ?n
推广

a ? f(x) ? b ? a ? f(x) ? b或-b ? f(x) ? ?a

题型二:不等式n<| ax + b | <m (m>n>0) 的解集
例2 解不等式 3<|3-2x|≤5 .

解法1: 3 ?| 3 ? 2 x |? 5 ? 3 ?| 2 x ? 3 |? 5

?| 2 x ? 3 |? 3 或2 x ? 3 ? ?3 ?2 x ? 3 ? 3, ?? ?? ?| 2 x ? 3 |? 5 ?? 5 ? 2 x ? 3 ? 5
或x ? 0 ? x ? 3, 即? ?? 1 ? x ? 4
-1 0

3

4

?原不等式的解集是 {x | ?1 ? x ? 0, 或3 ? x ? 4}.

题型二:不等式n<| ax + b | <m (m>n>0) 的解集
例2 解不等式 3<|3-2x|≤5 .

解法2:3 ?| 3 ? 2 x |? 5 ? 3 ?| 2 x ? 3 |? 5

? 3 ? 2 x ? 3 ? 5, 或 ? 5 ? 2 x ? 3 ? ?3

? 3 ? x ? 4, 或 ?1 ? x ? 0 .
?原不等式的解集是 {x | ?1 ? x ? 0, 或3 ? x ? 4}.
0 4

-1

3

题型二:不等式n<| ax + b | <m (m>n>0) 的解集

练习 2 解不等式 4 ? 3x ? 5 ? 7

当堂训练
1.不等式1<|x+1|<3的解集是
A.(0,2) C.(-4,0) B.(-2,0)∪(2,4) D.(-4,-2)∪(0,2) ( D )

【解析】原不等式等价于1<x+1<3或-3 <x+1<-1, 解得0<x<2或-4<x<-2.

解不等式:

x ?1 ? x ? 3
a2>b2

依据: |a|>|b|
解:因为 |x-1| > |x-3|

所以 两边平方可以等价转化为
(x-1)2>(x-3)2
化简整理:x>2

平方法:注意两边都为非负数

题型三:不等式 的解集|f(x)|> |g(x)|
例3、解不等式 x ? 2 ≥ x
x?2 ≥ x ? (x ? 2)≥ x
2 2 ? (x ? 2) ? x2 ≥ 0 2

? ( x ? 2 ? x)( x ? 2 ? x) ≥ 0 ? 2(2 x ? 2) ≥ 0 ? x ≥ -1

不等式解集为

? x x ≥ -1?
2 2

推广

? ? ? f ? x? ? g ? x? ? ? f x ? g x ? ? ? ? ? ? ? ?

题型三:不等式 的解集|f(x)|> |g(x)|

练习3 解不等式 | x ? 2 |?| x ? 1|

四、练习
2.解不等式 x ? 9 ? x ? 1 解:

x ? 9 ? x ?1

? ?x ? 9? ? ?x ? 1? ?x?5
2
1 5 9

2

题型: x ? a ? x ? b ? c和 x ? a ? x ? b ? c型不等式的解法

题型四:含多个绝对值不等式的解法

例4 怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5 呢?
方法一:利用绝对值的几何意义(体现了数形结 合的思想).

例5

解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 5
A1 -3 A -2 B 1 B1 2 x

解 法1: 设 数 轴 上 与 ? 2, 1对 应 的 点 分 别 是 A,,B

?? 2, 那 么A,, 两 点 的 距 离 是 3, 因 此 区 间 1?上 的

数都不是原不等式的。 解将 点A向 左 移 动 1个 单 位 到 点A1, 这 时 有A1 A ? A1 B ? 5; 同 理, 将 点B向 右移动一个单位到点 B1, 这 时 也 有B1 A ? B1 B ? 5, 从数轴上可以看到点 A1与B1之 间 的 任 何 点 到 点 A, B的 距 离 之 和 都 小 于 5; 点A1的 左 边 或 点 B1的 右 边 的任何点到点 A,, 的 距 离 之 和 都 大 于 。 故原不等

?? ?,? 3? ? ?2,? ? ? 式的解集是

题型四:含多个绝对值不等式的解法
方法二: |x-1|+|x+2|≥5,利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,把 数轴分为三段,然后分段考虑把原不等式转化为不含绝对 值符号的不等式求解(零点分段讨论法)

解:(1)当x>1时,原不等式同解于 x> 1 x≥ 2 ? (x-1)+(x+2) ≥5 (2)当-2≤x≤1时,原不等式同解于

-2 ≤ x ≤ 1

-(x-1)+(x+2) (3)当x<-2时,原不等式同解于 x< - 2 ? x≤ - 3 -(x-1)-(x+2) ≥5 综合上述知不等式的解集为? x x ≥ 2或x ≤ ?3?

x ?? ? ≥5

题型四:含多个绝对值不等式的解法

? (x-1)+(x+2)-5 (x ? 1) ? f(x)= ?-(x-1)+(x+2)-5 (-2<x<1) ? ? -(x-1)-(x+2)-5 (x ? -2) ?

方法三: |x-1|+|x+2|≥5通过构造函数,利用函数的 图象(体现了函数与方程的思想). 解 原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 ≥0 令f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,则
y

? 2x-4 ? f(x)= ? -2 ?-2x-6 ?

(x ? 1) (x ? -2) (x ? -2)

由图象知不等式的解集为

-2
-3

1 -2 2 x

? x x ≥ 2或x ≤ ?3?

(2) x ? a ? x ? b ? c和 x ? a ? x ? b ? c 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义
②零点分区间法

③构造函数法

同步训练:解不等式 x ? 2 ? x ? 3 ? 4

题型四:含多个绝对值不等式的解法

练习4 解不等式 x +1 - x -3 ? 2

解不等式

x ? 2 ? x ?3 ? 7 2x ? 4 ? 3x ? 3 ? 7

3.解不等式:|

x ? 2 |?| x ? 1| ?3

x ? ?2

-1 ② 3 三、例题讲解 ① 例2 解不等式|x +1| + |3-x| >2 + x.



解析原不等式变形为| X +1| + |X -3| > 2 + X. 若| X +1| = 0,X =-1;若| X -3| = 0,X=3.
零点-1,3把数轴分成了三部分,如上图所示.
(1)当x ? ?1时, x ? 1 ? 0, x ? 3 ? 0,

?原不等式变形为? ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 2 ? x,即x ? 0.

此时, 得{x | x ? ?1} ?{x | x ? 0} ? {x | x ? ?1}.

-1 ② 3 三、例题讲解 ① 例2 解不等式|x +1| + |3-x| >2 + x.



解:(1)当x ? ?1时, 原不等式的解为{x|x ? ?1};
(2)当 ?1 ? x ? 3时, x ? 1 ? 0, x ? 3 ? 0,

?原不等式变形为( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 2 ? x,即x ? 2.
此时, 得{x | ?1 ? x ? 3} ?{x | x ? 2} ? {x | ?1 ? x ? 2};

(3)当x ? 3时, x ? 1 ? 0, x ? 3 ? 0, ?原不等式变形为( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 2 ? x,即x ? 4.
此时, 得{x | x ? 3} ?{x | x ? 4} ? {x | x ? 4}; 2 4 将(1)、 (2)、 (3)的结果取并集 ,

则原不等式的解集为 {x | x ? 2, 或x ? 4}.

三、例题讲解 例3 解不等式| x -1 | + | 2x-4 |>3 + x 解:(1)当x≤1时原不等式化为: 1-x + 4 -2x >3 + x 1 1 ② 2 ① ③ ?x? 2 (2)当1<x ≤2时,原不等式化为:

x ?1 ? 4 ? 2x ? 3 ? x ? x ? 0

又∵ 1<x ≤2,∴此时原不等式的解集为φ (3)当x>2时,原不等式化为 综上所述,原不等式的解集为 ?
① 1 ② 2 ③

x ?1 ? 2x ? 4 ? 3 ? x ? x ? 4

1 ? ? x | x ? 或x ? 4?. 2 ? ?

1/2

4

例6 解不等式:
(1) x ? 3 ? x ? 3 ? 3
x (2) x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ? 1 2

x (3) x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ? 1 2

(4)

x ?1 ? 7 1? x ?1

?3

练习:解下列不等式

1、

x ?1 ? 2( x ? 3)

5? ?-?,

x x 2、 ? x?2 x?2
提升练习:解下列不等式

?-2,0?
? a?b ? 当a ? b时, , ?? ? ? ? 2 ? a?b? ? 当a ? b时,- ? ?, ? 2 ? ?

1、 x ? a ? x ? b ? a ? b ?

1 1 2、 2 ? x ?2 x

?-?,-2? ? ?-

2 ? ? 2, ? ??

?

归纳:
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有:
(1) f ? x ? ? a (a ? 0) ? f ? x ? ? a或f ? x ? ? ? a

(2) f ? x ? ? a(a ? 0) ? ? a ? f ? x ? ? a
(3) f ? x ? ? g( x ) ? f ? x ? ? g( x )或f ? x ? ? ? g( x )

(4) f ? x ? ? g( x ) ? ? g ( x ) ? f ? x ? ? g ( x )
(5) f ? x ? ? g ? x ?

?? ? f ? x ?? ?

2

?? ? g ? x ?? ?

2

五、小结 (1)解含绝对值的不等式的关键是要去掉绝对 值的符号,其基本思想是把含绝对值的不等式转 为不含绝对值的不等式。 (2)零点分段法解含有多个绝对值的不等式。 ①
x1


x2




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