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江西省南昌铁一中2013届高三第四次月考数学理试题hk


2012~2013 年南昌铁一中第四次月考理科
数学试卷
2 1? i
0.5

2013-01-03

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上 1.如果 A.1 2 若a ? 2 ,那么 m ? ( ? 1 ? mi ( m ? R , i 表示虚数单位) B. ? 1 , b ? log ? 3 , c ? lo g 2 sin
2?

) D.0

C.2 ,则( ) C. c ? a ? b
? ? ?? ? 的图象( ??

A. a ? b ? c

5 B. b ? a ? c

D. b ? c ? a )

3.要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? co s ? x ?
? ? ? ?

A.向右平移 C.向左平移

个单位 个单位

B.向右平移 D.向左平移

? ? ? ?

个单位 个单位

4 在等差数列 { a n } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 a k ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 7 ,则 k ? ( ) A. 2 2 B. 23 C. 2 4 5. 已知直线 l , m , 平面 ? , ? , l ? ? , m ? ? , 且 给出四个命题: D. 25 ①若 ? ∥ ? , l ? m ; 则

②若 l ? m ,则 ? ∥ ? ;③若 ? ? ? ,则 l∥m;④若 l∥m,则 ? ? ? .其中真命题的 个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 6 已知 | a | ? 2 | b |, | b | ? 0 ,且关于 x 的函数 f ( x ) ?
? ? 则 a 与 b 的夹角范围为(

?

?

?

1 3

x ?
3

? ? 1 ? 2 | a | x ? a ? b x 在 R 上有极值, 2 2? 3

) B. (
?
3 ,? ]

? ? ? A. ? 0, ? ? 6 ?

C. (

?
3

,

]

D. (

?
6

,? ]

7 把边长为1 的正方形 ABCD 沿对角线 B D 折起,使得平面 A B D ? 平面 CBD ,形成三棱锥 ) C ? ABD 的 正 视 图 与 俯 视 图 如 下 图 所 示 , 则 侧 视 图 的 面 积 为 (

A.

1 2

B 。

2 2

C。

2 4

D。

1 4

本卷第 1 页(共 7 页)

8 . 已知 定 义在 R 上的 函 数 y ? f (x) 满足下 列 三个 条件 : ①对 任意 的 x ? R 都 有
f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ,②对于任意的 0 ? x1 ? x 2 ? 2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , )

③ y ? f ( x ? 2 ) 的图象关于 y 轴对称,则下列结论中,正确的是 A. f (4.5) ? f (6.5) ? f (7 ) C. f (7 ) ? f (4.5) ? f (6.5)

(

)

B. f (4.5) ? f (7 ) ? f (6.5) D. f (7 ) ? f (6.5) ? f (4.5)

9.函数 y ? ln |

1 x

| 与y ? ?

x ? 1 在同一平面直角坐标系内的大致图象为 (
2



10.定义在(— ? ,0) ? (0,+ ? )上的函数 f ( x ) ,如果对于任意给定的等比数列 { a n },{ f ( a n ) )仍是等比数列,则称 f ( x ) 为“保等比数列函数” .现有定义在(— ? ,0)
? ( 0 , + ? ) 上 的 如 下 函 数 : ① f ( x) = x : ② f ( x ) ? 2 ; ③ f ( x) ?
2

x

| x | ;④

f ( x ) ? ln | x | .则其中是“保等比数列函数”的 f ( x ) 的序号为(

) D.②④

A.①② B.③④ C.①③ 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. 某 个 几 何 体 的 三 视 图 如 下 ,单 位 : cm 则 此 几 何 体 的 体 积 为 ____.
4

2

2

正视图
4

侧视图

2

俯视图

12. 已知 f ( x ) ? ?

? x ?1 ?3e , x ? 3 ? log 3 ( x ? 6 ), x ? 3 , ?
2

则 f ( f ( 3 )) 的值为

.

13. 已知函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ,且 f ?? x ? ? 2 f ? x ? , f ?? x ? 是 f ? x ? 的导函数,则

本卷第 2 页(共 7 页)

1 ? sin cos
2

2

x

x ? sin 2 x

?



14. .底面边长为 1 、侧棱长为 2 的正四棱柱 A B C D ? A1 B1 C1 D1 的 8 个顶点都在球 O 的表 面上, E 是侧棱 A A1 的中点, F 是正方形 ABCD 的中心,则直线 E F 被球 O 所截得的线段 长为 .

15.下列结论: ①已知命题 p: ? x ? R , tan x ? 1 ;命题 q: ? x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 . 则命题“ p ? ? q ”是假命题; ②函数 y ?
|x| x ?1
2

的最小值为

1 2

且它的图像关于 y 轴对称;

③“ a ? b ”是“ 2 a ? 2 b ”的充分不必要条件; ④在 ? ABC 中,若 sin A cos B ? sin C ,则 ? ABC 中是直角三角形。
2

⑤若 tan ? ? 2, 则 sin 2? ? 其中正确命题的序号为

4 5


0 7

0

. (把你认为正确的命题序号填在横线里)

0

3

2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 6 题,共 75 分)
6

16. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? { x |

6 x ?1

? 1, x ? R }, B ? { x | x ? 2 x ? m ? 0}
2

(1)当 m ? 3 时,求 A ? ( C R B ) ; (2)若 A ? B ? { x | ? 1 ? x ? 4}, 求实数 m 的值.

17. (本小题满分 12 分)设 m ? R , a ? (cos x , sin x ), b ? ( m sin x , 2 cos(
f ( x ) ? a ? (b ? a ) 且 f ? ? ?
?

?
2

? x )) ,

? ?

, ? ? f ?0? 3 ?
a a
2 2

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)设 ? ABC 三内角 A , B , C 所对边分别为 a , b , c 且
?c ?b
2 2 2

?b ?c
2

?

c 2a ? c

,求 f ( x ) 在

?0 , B ? 上的值域

18. (本小题满分 12 分)已知命题 p:函数 f ( x ) ? x ? ax ? 2 在 [ ? 1,1] 内有且仅有一个零
2

本卷第 3 页(共 7 页)

点.命题 q: x 2 ? 3( a ? 1) x ? 2 ? 0 在区间 [ , ] 内恒成立.若命题“p 且 q”是假命题,
2 2

1 3

求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, P A 丄平面 ABCD , AC 丄 A D , A B 丄 BC , ? B A C = 45 , P A = A D = 2 , AC =1 .
0

P

(Ⅰ)证明 PC 丄 A D ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 P A 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 3 0 ,求 AE 的长
B A C
0

D

20. (本小题满分 13 分)数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 1, a 2 ?

3 2

, an?2 ?

3 2

a n ?1 ?

1 2

a n ?n ? N * ? 。

⑴ 记 d n ? a n ?1 ? a n ,求证 ?d n ? 是等比数列; ⑵ 求数列 ?a n ? 的通项公式; ⑶ 令 b n ? 3 n ? 2 ,求数列 ?a n ? b n ? 的前 n 项和 S n 。

21. (本小题满分 14 分)函数 f ( x ) ?

x 1? x

( x ? 0 ) ,数列 { a n } 和 {bn } 满足: a 1 ?
*

1 2



a n ?1 ? f ( a n ) ,函数 y
截距为 b n .

? f ( x ) 的图像在点 ( n ,

f ( n ))( n ? N ) 处的切线在 y 轴上的

(1)求数列{ a n }的通项公式; (2)若数列 {

bn a
2 n

?

?
an

} 的项中仅

b5 a
2 5

?

?
a5

最小,求 ? 的取值范围;
1? x 1? x
2 2

(3)若函数 g ( x ) ?
{ x n } 满足: x 1 ?
1 2

x 1? x

,令函数 h ( x ) ? [ f ( x ) ? g ( x )] ?

, 0 ? x ? 1, 数列

, 0 ? x n ? 1 且 x n ?1 ? h ( x n ) 其中 n ? N ? .

证明:

( x1 ? x 2 ) x1 x 2

2

?

( x 2 ? x3 ) x 2 x3

2

?… ?

( x n ?1 ? x n ) x n x n ?1

2

?

2 ?1 8


本卷第 4 页(共 7 页)

2012 年南昌一中、南昌十中第四次联考数学试卷(理)
参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上

1 A

2 A

3 A

4 A

5 C

6 B

7 D

8 B

9 C

10 C

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

11.------40/3-----; 15.------ -1,4,5--- --。

12.-----3----

13.------

11 15

---

14.-------

42 3

-------;

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 6 题,共 75 分)
16(本小题满分 12 分

解: A ? { x | ? 1 ? x ? 5} , (1)当 m ? 3 时 , B ? { x | ? 1 ? x ? 3} 则 C R B = { x | x ? ? 1或 x ? 3}
A ? ( C R B ) = { x | 3 ? x ? 5}

6分

(2)? A ? B ? { x | ? 1 ? x ? 4},
? 有 4 ? 2 ? 4 ? m ? 0   解 得 m ? 8, 此 时 B ? { x | ? 2 ? x ? 4}, 符 合 题 意 .
2

17 (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ( x ) ? m sin x cos x ? cos x ? sin
2 2

x?

m 2

sin 2 x ? cos 2 x

f (?

?
3

) ? f (0) ? m ? 2 3
a a
2 2

(Ⅱ)由余弦定理知:

?c ?b

2 2

?b ?c

2 2

?

2 ac cos B 2 ab cos C

?

c cos B b cos C

?

c 2a ? c

即 2 a cos B ? c cos B ? b cos C , 又由正弦定理知: 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C ? sin ? B ? C ? ? sin A 即 cos B ?
f ( x) ?
1 2

,所以 B ?

?
3

当 x ? ? 0,
?

?

? ?

? ? ? ? ? ? 时, 2 x ? 6 ? ? ? 6 , 2 ? , 3? ? ?
) 6 ,

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?

f ? x ? ? ?? 1, 2 ?

故 f ( x ) 在 ?0 , B ? 上的值域为 ?? 1, 2 ? 18. (本小题满分 12 分)解析:先考查命题 p: 若 a=0,则容易验证不合题意;
本卷第 5 页(共 7 页)

故? ?

a ?0

? f ( ? 1) ? f (1) ? 0

,解得:a≤-1 或 a≥1.

再考查命题 q: 1 3 2 1 3 ∵x∈?2,2?,∴3(a+1)≤-?x+x ?在?2,2?上恒成立. ? ? ? ? ? ? 1? 9 9 5 易知?(x+x )?max= ,故只需 3(a+1) ≤- 即可.解得 a≤- . ? 2 2 2 ∵命题“p 且 q”是假命题,∴命题 p 和命题 q 中一真一假。 5 当 p 真 q 假时,- <a≤-1 或 a≥1; 2 当 p 假 q 真时, a ? ? . 当 p 假 q 假时, ? 1 ? a ? 1 . 5 综上,a 的取值范围为{a| - <a 2 ???????12 分 19. (本小题满分 12 分) (1)以 A D , A C , A P 为 x , y , z 正半轴方向,建立空间直角左边 系 A ? xyz 则 D (2, 0, 0), C (0,1, 0), B ( ?
1 1 , , 0), P (0, 0, 2) 2 2 ??? ? ???? ??? ???? ? P C ? (0,1, ? 2), A D ? (2, 0, 0) ? P C ?A D ? 0 ? P C ? A D
??? ? ???? ?

???? ???? ??? ?

(2) P C ? (0,1, ? 2), C D ? (2, ? 1, 0) ,设平面 PCD 的法向量 n ? ( x , y , z )
? ??? ? ? ? n ?P C ? 0 ? y ? 2z ? 0 ? y ? 2z ? 则 ? ? ???? 取 z ? 1 ? n ? (1, 2,1) ? ? ? ? ?2 x ? y ? 0 ? x? z ? n ?C D ? 0 ?
???? A D ? (2, 0, 0 ) 是平面 PAC 的法向量

???? ? ???? ? ???? ? A D ?n 6 cos ? A D , n ?? ???? ? ? ? sin ? A D , n ?? 6 AD n
30 6
??? ?

30 6

得:二面角 A ? PC ? D 的正弦值为
??? ?

(3)设 A E ? h ? [0, 2] ;则 A E ? (0, 0, 2 ) , B E ? ( , ?
??? ???? ? ??? ???? ? B E ?C D cos ? B E , C D ?? ??? ???? ? ? BE CD
2

1

1 2

???? , h ), C D ? (2, ? 1, 0 )

3 10 ? 20 h
2

?

3 2

? h?

10 10

即 AE ?

10 10

21. (本小题满分 14 分)解:(1) ? a n ? 1 ? f ( a n ) ?
本卷第 6 页(共 7 页)

an 1 ? an

, 得

1 a n ?1

?

1 an

? 1.

?{

1 an

} 是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,故 a n ?

1 n ?1

.

…………3 分

(2) ? f ( x ) ?

x 1? x

( x ? 0 ) ,? f ( x ) ?
'

1 (1 ? x )
2



? y ? f ( x ) 在点 ( n , f ( n )) 处的切线方程为 y ?

n n ?1

?

1 (1 ? n )
2

( x ? n ),

令 x ? 0 得 bn ?

n

2 2

(1 ? n )

.?

bn an
2

?

?
an

? n ? ? ( n ? 1) ? ( n ?
2

?
2

) ???
2

?

2

.

4

? 仅当 n ? 5 时取得最小值,? 4.5 ?

?
2

? 5.5.

∴ ? 的取值范围为 (9,1 1). ………6 分
x 1? x 1? x 1? x
2 2

(3) h ( x ) ? [ f ( x ) ? g ( x )] ?

1? x 1? x

2 2

?[

x 1? x

?

]?

?

2x 1? x
2

, 0 ? x ? 1,

所以 x n ? 1 ? x n ? x n (1 ? x n ) ?

1 ? xn xn ? 1
2

, 又因 0 ? x n ? 1, 则 x n ? 1 ? x n .

显然 1 ? x n ? 1 ? x n ? ? x 2 ? 分
x n ? 1 ? x n ? x n (1 ? x n ) ?

1 2

.

…………8

1 ? xn x ?1
2 n

?

1 4

? xn ? 1 ?

1 2 xn ? 1 ?2

?

1

4 2 2?2

?

1

?

2 ?1 8

?

( x n ?1 ? x n ) x n x n ?1

2

?

x n ?1 ? x n x n x n ?1

( x n ? 1 ? x n ) ? ( x n ? 1 ? x n )(

1 xn

?

1 x n ?1 1 x1 ?

)?

2 ?1 1 1 ( ? ) 8 xn x n ?1 )?( 1 x2 ? 1 x3 )?… ? ( 1 xn ? 1 x n ?1

?

( x1 ? x 2 ) x1 x 2 ?

2

?

( x 2 ? x3 ) x 2 x3

2

?… ?

( x n ?1 ? x n ) x n x n ?1 ? 2 1 (? 2 xn ?

2

?

2 ?1 8

[(

1 x2

)]

2? 1 1 1 ( ? )? 8 x1 x n ? 1
?1 ? 1 x n ?1

1
1

)

………12 分

8
? 2,

?

1 2

? x n ? 1 ? 1,

1 ?0 ? 2 ? x n ?1

?1

?

( x1 ? x 2 ) x1 x 2

2

?

( x 2 ? x3 ) x 2 x3

2

?… ?

( x n ?1 ? x n ) x n x n ?1

2

?

2 ?1 8

(2 ?

1 x n ?1

)?

2 ?1 8

………

…14 分

本卷第 7 页(共 7 页)


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