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上海市2011届高三一模试卷(杨浦区)


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杨浦区 2010 学年度高三学科测试

数学试卷
考生注意: 答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号. 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号.
道题, 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

2011.1.

3. 本试卷为文、 理合卷, 的题目, 本试卷为文、 理合卷, 分别标有 文科考生做” 理科考生做” “文科考生做” 理科考生做” 、 “ 的题目, 没有标记的是 文” “ 、 “理”考生共同做的题目. 考生共同做的题目

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填空题( 填写结果, 否则一律得零分. 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若复数 z 满足 z ( i + 1) =

2 ,则 z = __________.
.

2.抛物线 y 2 = 4 x 的焦点到准线的距离是 3.函数 f ( x ) = log 2 ?

? x ? ? 的定义域为 ? x ?1 ?

.

4.已知等差数列 {an } 首项为 1,公差为 2.若 ak = 7 时,则项数 k = 5.若 f ( x ) =



1 + a 是奇函数,则实数 a = 2 +1
x
2

. .

6.函数 f ( x ) = ( sin x ? cos x ) 的最小正周期是

7.在 ( x + ) 的二项展开式中, x 的系数是_________(用数字作答) .
5
3

2 x

8.计算: lim

n2 = n →∞ 1 + 2 + 3 + ??? + n

.

9.设 △ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .若 b = 则角 C = .

3 ,c = 1,B = 60o ,

10.若经过点 P (0 , 2) 且以 d = (1 , a ) 为方向向量的直线 l 与双曲线 3 x 2 ? y 2 = 1 相交于不同

r

--1--

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两点 A 、 B ,则实数 a 的取值范围是

.

x
11.若全集 U = R ,不等式 x
2

0 0 x 1 >0 的解集为 A ,则 2 1
3 ,则 cot 2θ = 5
.
A=

.

x3

12.若 θ 为第二象限的角, sin θ =

13.若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y + 1 = 0 与 l2 : x ? y + 3 = 0 所截得线段的长为 2 2 ,则直 线 m 的倾斜角是 .

14.如图,已知 ?OAP 的面积为 S , OA ? AP = 1 .

uuu uuu r r

uuu uuu r r 1 (文科考生做 如果 < S < 2 ,那么向量 OA 与 AP 的夹角 文科考生做) 文科考生做 2

y

P

θ 的取值范围
uuu r



设 (理科考生做) | OA |= c (c ≥ 2) ,S = 理科考生做)

3 c, 并且以 O 中心、 4

o

A

x

uuu r A 为焦点的椭圆经过点 P .当 | OP | 取得最小值时,则此椭圆的方程

.

每题有且只有一个正确答案, 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 选择题( 答案纸的相应编号上,填上正确的答案, 否则一律得零分 一律得零分。 答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分。 15.函数 f ( x ) = x 3 + sin x + 1 ( x ∈ R ) ,若 f ( a ) = 2 ,则 f ( ? a ) 的值为 ( ).

( A )?2

( B ) ?1

(C )0

( D )1
( ).

16. “ a = 2 ”是“函数 f ( x ) = x ? a 在 [ 2 ,+ ∞ ) 上是增函数”的

( A ) 充分非必要条件 ( C ) 充要条件

( B ) 必要非充分条件 ( D ) 即非充分也非必要条件

--2--

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17. 已知点 A 的坐标为 ( 3 , 2 ) , F 为抛物线 y = 2 x 的焦点.若点 P 在抛物线上移动,当
2

PA + PF 取最小值时, 则点 P 的坐标是

(

).

( A)

(1 , 2 )

( B ) ( 2 , 2)

( C ) (2 , ? 2)

(D)

(3 , 6 )
12 . 13
( ).

18.已知 △ ABC 的面积是 30 ,内角 A 、B 、C 所对边分别为 a 、b 、c , cos A = 若 c ? b = 1 ,则 a 的值是

( A)

3

(B)

4

(C)

5

(D)

不确定

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 解答题( 定区域内写出必要的步骤 . 19. 本题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x ) = a
x ?1

? 2 ( a > 0 且 a ≠ 1 )的反函数 y = f ?1 ( x) 定义域为集合 A ,
1 ? , x ∈ R ? .若 A I B = φ ,求实数 t 的取值范围. 2 ?

集合 B = ? x || x ? t |≤

? ?

--3--

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20. 本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . ( 个小题, 设函数 f ( x ) = ? x + 2 x + a
2

( 0 ≤ x ≤ 3 ) 的最大值为 m ,最小值为 n ,

其中 a ≠ 0 , a ∈ R . (1)求 m 、 的值(用 a 表示) n ; (2)已知角 β 的顶点与平面直角坐标系 xOy 中的原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重 合,终边经过点 A ( m ? 1, n + 3) . (文科考生做 求 tan ? β + 文科考生做) 文科考生做

? ?

π?

π? ? 理科考生做) ? 的值. (理科考生做)求 sin ? β + ? 的值. 3? 6? ?

21. 本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (本题满分 个小题, 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足条件 2 S n = 3( an ? 1) ,其中 n ∈ N . (1)求证:数列 {an } 成等比数列; (2)设数列 {bn } 满足 bn = log 3 an (文科考生做 文科考生做) 文科考生做 若 tn = .
?

1 , 求数列 { tn } 的前 n 项的和. bn bn +1
,求数列 { cn } 的前 n 项的和.

(理科考生做) 若 cn = an bn 理科考生做)

--4--

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22. 本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 ( 个小题, 题满分 6 分. 在上海世博期间某工厂生产 A , B , C 三种世博纪念品,每种纪念品均有精品型和普通型两种, 某一天产量如下表(单位:个): 纪念品 A 精品型 普通型 100 300 纪念品 B 150 450 纪念品 C

n
600

现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取 200 个,其中有 A 种纪念品 40 个. (1) 求 n 的值; (2) 从 B 种精品型纪念品中抽取 5 个,其某种指标的数据分别如下:

x , y , 10 , 11 , 9 .把这 5 个数据看作一个总体, 其均值为 10、方差为 2,求 x ? y 的值;
(3) 用分层抽样的方法在 C 种纪念品中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体, 从中任取 2 个纪念品,求至少有 1 个精品型纪念品的概率.

--5--

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23. 本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 ( 个小题, 题满分 8 分.

x2 y2 给定椭圆 C : 2 + 2 = 1 a b
圆 C 的“伴随圆” . (1)若椭圆 C 过点

( a > b > 0)

,称圆心在坐标原点 O ,半径为 a + b 的圆是椭
2 2

(

5 , 0 ,且焦距为 4 ,求“伴随圆”的方程;

)

(2)如果直线 x + y = 3 2 与椭圆 C 的“伴随圆”有且只有一个交点,那么请你画出动点

Q ( a , b ) 轨迹的大致图形;
(3)已知椭圆 C 的两个焦点分别是 F1 ? 2 , 0 、 2 F

(

)

(

2,0 ,

)

椭圆 C 上一动点 M 1 满足 M 1 F1 + M 1 F 2 = 2 3 .设点 P 是椭圆 C 的“伴随圆”上的动 点, 过点 P 作直线 l1 、2 使得 l1 、 2 与椭圆 C 都各只有一个交 l l 点,且 l1 、 2 分别交其“伴随圆”于点 M 、N . l (文科考生做 文科考生做) 文科考生做 当 P 为“伴随圆”与 y 轴正半轴的交点时,

uuuuu r

uuuuu r

uuuu r
求 l1 与 l2 的方程,并求线段 MN 的长度.

uuuu r
(理科考生做)研究:线段 MN 的长度是否为定值, 理科考生做) 并证明你的结论.

--6--

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参考答案及评分标准
一、填空题 1.1;2.2;3.( ?∞ , 0 ) ∪ (1, + ∞ ) ;4.4;5. ? 10. ? 15 , ? 3 ∪ ? 3 , 3 ∪ 或 75
0

(

) (

) (

1 0 ;6.π ;7. 10;8. 2;9. 30 ; 2 7 7 0 3 , 15 ;11.[ 0 , 2] ;12.文 理? ;13. 15 25 24

)

14. 文 ?

x2 y 2 ?π ? , 理 + = 1; , arc tan 4 ? 10 6 ?4 ?

二、 选择题

15. C ;16. A ;17. B ; 18. C ;
三、 解答题

19.解法1: 由题意得,函数 f ( x ) = a 所 以 ,

x ?1

?2

( a > 0 且 a ≠ 1 )值域为 ( ?2 , + ∞ ) 的 定 义 域 为

y = f ?1 ( x)

A = ( ?2 , + ∞ )


..................6分 .................



1 ? ? B = ? x | | x ? t |≤ , x ∈ R ? 2 ? ?



t?

1 1 ≤ x≤t+ 2 2

............. 分 .............8 ,

Q AI B =φ t≤?
5 2

∴t +

1 ≤ ?2 , 2



.................11分 ................

所以, 实数 t 的取值范围为 ? ?∞ , ?

? ?

5? .................... 1 ? ..................... 2?
--7--

www.yingedu.com 2分 解法2:由函数 f ( x ) = a 所 以 ,
x ?1

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? 2 得 y = f ?1 ( x) = log a ( x + 2 ) + 1 ( a > 0 且 a ≠ 1 )
y = f ?1 ( x)
的 定 义 域 为

A = ( ?2 , + ∞ )

.................. ..................6分

(以下解法同上)

20



















f ( x ) = ? ( x ? 1) + 1 + a
2



0 ≤ x ≤ 3 .............3分 ............
所 以 ,

m = f (1) = 1 + a , n = f ( 3) = a ? 3 ....................6分 ...................
则 (2) 文科 角 β 终边经过点 A ( a , a ) , tan β = 0分 所 以 ,

a = 1 .............. ............. 1 a

π? ? 3 = 1 + 3 = ?2 ? 3 .............14分 tan ? β + ? = ............ 3 ? 1 ? tan β tan π 1 ? 3 ? 3
理 科 角

tan β + tan

π

β











A ( a , a ) .......................7分 ......................
当 a > 0 时, r = 所

a 2 + a 2 = 2a

则 sin β = 以

a 2 a 2 = , cos β = = 2 2 2a 2a


π? π π 2+ 6 ? sin ? β + ? = sin β cos + cos β sin = ............10分 ........... 6? 6 6 4 ?
--8--

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当 a < 0 时, r = 则 sin β = 所

a 2 + a 2 = ? 2a

2 2 a a =? , cos β = =? 2 2 ? 2a ? 2a
以 ,

π? π π 2+ 6 ? sin ? β + ? = sin β cos + cos β sin = ? ........... ...........13分 6? 6 6 4 ?
综 上 所 述

π? 2+ 6 ? sin ? β + ? = ? 6? 4 ?



2+ 6 4
21. 解

...........14分 .......... : ( 1 ) 由 题 得

an = S n ? S n ?1 =


3 (an ? an ?1 ) (n ≥ 2) 2


...............2分 .............. 故 有

an = 3an ?1

an = 3 (n ≥ 2) .....................4分 .................... an ?1
又 S1 = 所

3 (a1 ? 1) = a1 ,解得 a1 = 3 , 2
以 数 列

{ an }









列.......................... ..........................6分 (2) 文 科 由 ( 1 ) 得

an = 3n





bn = log 3 an = log 3 3n = n .................8分 ................
故有 tn =

1 1 = bn bn +1 n ( n + 1)

--9--

www.yingedu.com 所

新赢教育 以

t1 + t2 + t3 + ??? + tn =

1 1 1 1 + + ??? + ............ ............10分 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ( n + 1)

1 ? ?1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ?1 . . . . . . . . . . .. . = ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ??? + ? ? ? . . . . . . . . . . .. . ?1 2 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ? ? n n +1?
.14分

=
.16分

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n +1















an = 3n





bn = log 3 an = log 3 3n = n ................ ................8分
故有 cn = an bn = n 3
1 2
n

设 Tn = 1 ? 3 + 2 ? 3 + 3 ? 3 + ??? + ( n ? 1) 3
3

n ?1

+ n ? 3n

3Tn = 1 ? 32 + 2 ? 33 + 3 ? 34 + ??? + ( n ? 1) 3n + n ? 3n +1 . . . . . . . . . . . . . . . ..............
.10分 则 ?2Tn = (3 + 3 + 3 + ??? + 3 ) ? n ? 3
1 2 3 n n +1

=

3 (1 ? 3n ) 1? 3

? n ? 3n +1




Tn =

( 2n ? 1) 3n +1 + 3
4

........................ ........................14分

22. (1)解:设这一天生产的纪念品为 m , 由 题 意





200 40 = , ∴ m = 2000 ................... ...................2分 m 100 + 300
以 n = 2000 ? 100 ? 300 ? 150 ? 450 ? 600 = 400 ................ ................4分 所

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1 ( x + y + 10 + 11 + 9 ) = 10 5



x + y = 20 ............. .............6分
由 于

1 2 ( x + y 2 + 102 + 112 + 92 ? 5 ?102 ) = 2 5



x 2 + y 2 = 208 ...........8分 ..........
从而 ( x + y ) = x + y + 2 xy , ∴ 2 xy = 192
2 2 2



x? y =

( x ? y)

2

= x 2 + y 2 ? 2 xy = 208 ? 192 = 4 ............ ............10分
400 p = , 1000 5

(3)设所抽样本中有 p 个精品型纪念品,则

∴p=2 也 就 是 抽 取 了 2 个 精 品 型 纪 念 品 , 3 个 普 通 型 纪 念
品...........13分 .......... 所以, 至少有 1 个精品型纪念品的概率为 6分 (其他解法,参照给分) 其他解法,参照给分) 23. 23 ( 1 ) 解 由 题 意 得 :

C52 ? C32 7 = .............1 ............. C52 10

( 5)
a2
所 以

2

02 + 2 =1 b





a 2 = 5 ................. .................1分
又 由 焦 距 为

2c = 4









b 2 = a 2 ? c 2 = 1 ...................2分 ..................
故 所 求 的 “ 伴 随 圆 ” 的 方 程 为

x 2 + y 2 = 6 .......................4分 ......................
(2)由于椭圆 C 的“伴随圆” x 2 + y 2 = a 2 + b 2 与直线 x + y = 3 2 有且只有一个交点,
- - 11 - -

www.yingedu.com 则圆心到直线的距离等于半径, 即

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0+0?3 2 1 +1
2 2

= a 2 + b2

. . . .. . .. . . . . .. . .. .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. .. . . . .

.7分 故动点 Q ( a , b ) 轨迹方程为 a + b = 9
2 2

( a > b > 0)

即动点的轨迹是: 以原点为圆心半径为3的圆上四分之一弧 (除去两端点) 如图..... .... 1 0分 (3)由题意得: 2a = 2 3 得a=

3 ,半焦距 c = 2

x2 则 b = 1 椭圆 C 的方程为 + y 2 = 1 “伴随圆”的方程为 x 2 + y 2 = 4 3

. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .11 分 “伴随圆” 的方程为 x 2 + y 2 = 4 与 y 轴正半轴的交点 P ( 0 , 2 ) , 设过点 P ( 0 , 2 ) , 文科 因为 且与椭圆有一个交点的直线为 y = kx + 2 ,



? y = kx + 2 ? 2 ?x 2 ? + y =1 ?3
2 2







(1 + 3k ) x
所 以

+ 12kx + 9 = 0 ................14分 ...............

所以 ? = 144k 2 ? 4 × 9 1 + 3k 2 = 0 ,解得 k = ±1

(

)

l1



l2









y = x+2



y = ? x + 2 ....................16分 ...................

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uuuu r
由于 l1 ,l2 垂直, 线段 MN 的长度为4...................... ..................... 1 8分 理科 ①当 l1 , l2 中有一条无斜率时,不妨设 l1 无斜率, 因为 l1 与椭圆只有一个交点,则其方程为 x = 3 或 x = ? 3 , 当 l1 方程为 x = 3 时,此时 l1 与“伴随圆”交于点 此时经过点

(

3 ,1 ,

) (

3 , ?1 ,

)

(

3 ,1 (或

)

(

3 , ? 1 )且与椭圆只有一个公点的直线 y = 1 (或 y = ?1 ) ,即

)

l2 为 y = 1 (或 y = ?1 )显然直线 l1 , l2 垂直;
同理可证 l1 方程为 x = ? 3 时 , 直线 l1 ,l2 垂直, 所以 MN = 4 .......... 1 .......... 4分 ②当 l1 , l2 都有斜时,设点 P x0 , y0 ,其中 x0 + y0 = 4 。设经过点 P x0 , y0 与椭圆
2 2

uuuu r

(

)

(

)

? y = tx + ( y0 ? tx0 ) ? 为只有一共点的直线为 y = t ( x ? x0 ) + y0 ,则 ? x 2 消去 y , 2 ? + y =1 ?3
得 x 2 + 3 ?tx + ( y0 ? tx0 ) ? ? 3 = 0 ? ?
2

即 1 + 3t 2 x 2 + 6t ( y0 ? tx0 ) x + 3 ( y0 ? tx0 ) ? 3 = 0
2

(

)

2 2 ? = ?6t ( y0 ? tx0 ) ? ? 4 (1 + 3t 2 ) ?3 ( y0 ? tx0 ) ? 3? = 0 ? ? ? ?

经过化简得到: 3 ? x0 2 t 2 + 2 x0 y0t + 1 ? y0 2 = 0 因 为
2 2

(

)

x0 2 + y0 2 = 4









(3 ? x ) t
0

+ 2 x0 y0t + x0 2 ? 3 = 0 ............. .............16分

设 l1 , l2 的斜率分为 t1 , t2 ,因为 l1 , l2 与椭圆都有只有一个交点,
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所以 t1 , t2 满足方程 3 ? x0 2 t 2 + 2 x0 y0t + x0 2 ? 3 = 0 所以 t1 t2 = ?1 ,即 l1 , l2 垂直. 综合①②知:因为 l1 , l2 经过点 P x0 , y0 ,又分别交其“伴随圆”于点 M 、N ,且 l1 ,

(

)

(

)

uuuu r l2 垂 直 , 所 以 线 段 MN 为 “ 伴 随 圆 ” uuuu r MN = 4 ......... .........18分

x2 + y 2 = 4 的 直 径 , 所 以

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