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2019-2020年高三数学一轮复习第十二篇复数算法推理与证明第1节数系的扩充与复数的引入课时训练理


2019-2020 年高三数学一轮复习第十二篇复数算法推理与证明第 1 节 数系的扩充与复数的引入课时训练理

【选题明细表】

知识点、方法

题号

复数的相关概念

1,5,10,12,14,15,19,22

复数代数形式的运算

3,6,8,9,16,24

复数的几何意义

2,11,13,18,20

复数相等的应用

4,7,17,21

复数的综合

23,25

基础对点练(时间:30 分钟)

1.(xx 资阳模拟)复数 m2-1+(m+1)i 是纯虚数,则实数 m 的值为( B )

(A)-1 (B)1 (C)±1 (D)±2

解析:若复数 m2-1+(m+1)i 是纯虚数,则 m2-1=0 且 m+1≠0,解得 m=1.

2.(xx 重庆模拟)在复平面内,复数 i·(1-i)对应的点位于( A )

(A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限

解析:因为 i·(1-i)=1+i,所以复数 i·(1-i)对应的点的坐标为(1,1),显然位于第一象限.

3.(xx 绵阳模拟)已知 i 是虚数单位,则等于( D )

(A)-1+i (B)-1-i

(C)1+i (D)1-i

解析: ====1-i.

4.(xx 宿州模拟)设 i 为虚数单位,若=b-i(a,b∈R),则 a+b 等于( C )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:因为=b-i(a,b∈R),

所以 a+2i=bi+1,

所以 a=1,b=2,

所以 a+b=3.

5.( xx 高考广东卷)若复数 z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则等于( A )

(A)2-3i (B)2+3i (C)3+2i (D)3-2i

解析:因为 i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以 z=2+3i,

所以=2-3i,故选 A.

6.(xx 高考四川卷)设 i 是虚数单位,则复数 i3-等于( C )

(A)-I (B)-3i (C)i (D)3i

解析:i3-=-i+2i=i.

故选 C.

7.(xx 高考新课标全国卷Ⅱ)若 a 为实数,且=3+i,则 a 等于( D )

(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)4

解析:因为=3+i,所以 2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,

又 a∈R,所以 a=4.

8.(xx 高考湖南卷)已知=1+i(i 为虚数单位),则复数 z 等于( D )

(A)1+i (B)1-i

(C)-1+i (D)-1-i 解析:z===-i(1-i)=-1-i,故选 D. 9.(xx 高考安徽卷)设 i 是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)等于( C ) (A)3+3i (B)-1+3i (C)3+i (D)-1+i 解析:(1-i)(1+2i)=1+i-2i2=3+i.故选 C. 10.(xx 岳阳模拟)已知集合 M={x|x=a+(a2-1)i}(a∈R,i 是虚数单位),若 M? R,则 a 等于 (C) (A)1 (B)-1 (C)±1 (D)0 解析:集合 M={x|x=a+(a2-1)i}(a∈R,i 是虚数单位),若 M? R,可知复数 x=a+(a2-1)i 是实数, 所以 a2-1=0,解得 a=±1. 11.(xx 茂名模拟)复数 1-(i 为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标是( B ) (A)(1,1) (B)(1,-1) (C)(-1,1) (D)(-1,-1) 解析:因为复数 1-=1+=1-i,在复平面上对应的点的坐标为(1,-1). 12.(xx 黄冈模拟)是 z 的共轭复数,若 z+=3,z-=3i(i 为虚数单位),z 的实部与虚部之和为 (B) (A)0 (B)3 (C)-3 (D)2 解析:设 z=a+bi(a,b∈R),由 z+=3,z-=3i,得
所以 a=b=. 所以 a+b=3. 13.设复数 z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则 y≥x 的概率为( B ) (A)+ (B)(C)- (D)+ 解析:由|z|≤1 可得(x-1)2+y2≤1,表示以(1,0)为圆心,半径为 1 的圆及其内部,满足 y≥x 的 部分, 由几何概型概率公式可得所求概率为 P== =-. 14.(xx 烟台模拟)设 i 是虚数单位,a∈R,若是一个纯虚数,则实数 a 的值为( C ) (A)- (B)-1 (C) (D)1 解析:==. 因为复数是纯虚数, 所以解得 a=. 15.(xx 山西模拟)下面是关于复数 z=的四个命题: p1:|z|=2;p2:z2=2i; p3:z 的共轭复数为-1+i;p4:z 的虚部为 1. 其中真命题为( C ) (A)p2,p3 (B)p1,p2 (C)p2,p4 (D)p3,p4 解析:p1:|z|=||=,故命题为假; p2:z2=()2==2i,故命题为真; z==1+i, 所以 z 的共轭复数为 1-i,故命题 p3 为假; 因为 z==1+i,

所以 z 的虚部为 1,故命题 p4 为真.

故真命题为 p2,p4.

16.(xx 高考天津卷)i 是虚数单位,计算的结果为

.

解析:===-i.

答案:-i

17.(xx 龙岩模拟)已知 a,b∈R,i 为虚数单位,若 a-i=2+bi,则 a+b=

.

解析:因为 a-i=2+bi,

所以 a=2,-1=b,

所以 a+b=2-1=1.

答案:1

18.(xx 盐城模拟)已知复数 z=(2-i)(1+3i),其中 i 是虚数单位,则复数 z 在复平面上对应的

点位于第

象限.

解析:复数 z=(2-i)(1+3i)=5+5i,

复数 z 在复平面上对应的点(5,5)位于第一象限.

答案:一

19.(xx 厦门模拟)设 i 是虚数单位,是复数 z 的共轭复数,若复数 z=3-i,则 z·=

.

解析:由 z=3-i,得 z·=|z|2=()2=10.

答案:10

20.(xx 宁德模拟)复数 z=(i 是虚数单位)在复平面上对应的点到原点的距离为

.

解析:复数 z==-i(1+i)=1-i.复数 z=(i 是虚数单位)在复平面上对应的点(1,-1)到原点的距

离为.

答案:

能力提升练(时间:15 分钟)

21.(xx 高考浙江卷)已知 i 是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( A )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

解析:当“a=b=1”时,“(a+bi)2=(1+i)2=2i”成立,

故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分条件;

当“(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i”时,

“a=b=1”或“a=b=-1”,

故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的不必要条件;

综上所述, “a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件.

22.(xx 钦州模拟)若复数(a∈R,i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( B )

(A)-3 (B)3 (C)-6 (D)6

解析:因为==是纯虚数,所以 a-3=0,a+3≠0,所以 a=3.

23.在复平面内,复数 z=(-1)+(2x-1)i 的对应点位于第二象限,则实数 x 的范围是( C )

(A)(1,+∞) (B)(-∞,0)

(C)(0,1) (D)(-∞,0)∪(1,+∞)

解析:因为复数 z=(-1)+(2x-1)i 的对应点位于第二象限,

则解得 0<x<1.

所以实数 x 的范围是(0,1).

24.(xx 安徽模拟)复数 z=(a2-4)+(a+2)i 为纯虚数,则的值为

.

解析:因为 z=(a2-4)+(a+2)i 为纯虚数,

所以即

解得 a=2,则===-i.

答案:-i

25.设复数 z 满足=i,则|z|=

.

解析:由=i,得 1+z=i-zi,z==i,

所以|z|=|i|=1.

答案:1

精彩 5 分钟

1.定义:z2=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则称复数 z 是复数 a+bi 的平方根.根据定义,则复数

-3+4i 的平方根是( B )

(A)1-2i 或-1+2i (B)1+2i 或-1-2i

(C)-7-24i

(D)7+24i

解题关键:利用复数相等的充要条件求解.

解析:设(x+yi)2=-3+4i,则

解得或

2.(xx 黄山模拟)“复数(a∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限”是“a<-1”

的( B )

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

解题关键:根据复数的几何意义先求出点位于第二象限时 a 的取值范围,再作出

判断.

解析:复数==.因为复数(a∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限,所以解得

a<-.所以“复数(a∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限”是“a<-1”的必

要不充分条件.故选 B.

【教师备用】(xx 泰安校级期中)定义运算|a bc d|=ad-bc,若复数 x=,y=|4i 3-xi1+i

x+i|,则 y=

.

解题关键:理解新运算的含义.

解析:x====-i,

y=

=4xi-4-(3+3i-xi+x)

=5xi-7-3i-x=-5.

答案:-5


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