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2006.12.20空间向量及其运算(三)共线与共面分析


空间向量及其运算(三)共线与共面
复习问题引入
练习1、2

共面向量定 理

1

复习回顾: 1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行 ? ? ? ? 向量. a 平行于 b 记作 a // b . ? ? 规定: o 与任一向量 a 是共线向量. ? ? ? ? 2.共线向量定理: 空间任意两个向量 a 、 ( b ≠ 0 ) , b ? ? ? ? a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a ? ? b . ? 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
那么如何表示直线 l 上的任一点 P ?
?

共线与共面分析

A?

l

? a

P

? 注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.
2

思考

? 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
? ?

A?

l

??? ? ? O ??? ? ? ⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 t ? R ,使 AP ? t a . ??? ? ? ∴ 点 P 在直线 l 上 ? ? 唯一实数 t ? R, 使 AP ? t a ①
??? ??? ? ? ? 则点 P 在直线 l 上 ? ? 唯一实数 t ? R, 使 OP ? OA ? t a ② ??? ? ? ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB ? a ??? ??? ? ? ??? ? 则点 P 在直线 l 上 ? ? 唯一实数 t ? R, 使 OP ? OA ? t AB ③ 注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定. 3
??? ??? ??? ? ? ? ⑵对于任意一点 O,有 AP ? OP ? OA

? a

BP

? 注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.

OB OC 练习 1:已知 OE 是以 OA 、 、 为棱的平行六面 体 OADB─CFEG 的对角线,点 M 是 △ ABC 的重心. G 求证:点 M 在直线 OE 上. E

分析: 证三点共线可 尝试用向量来分析.
O

C
B

F

?M
O
A

D

练习2:已知A、B、P三点共线,O为直线AB 外一点 , 且
??? ? ??? ? ??? ? ,求 OP ? xOA ? yOB

x 的值. ? y
4

练习2:已知A、B、P三点共线,O为直线AB
x 的值. ? y 外一点 , 且 ??? ??? ??? ? ? ? ? 解:∵ A 、 、 ?三点共线,∴ ?t??? R ,使 OP ? OA ? t AB B P ??? ??? ? ?
??? ? ??? ? ??? ? ,求 OP ? xOA ? yOB

∴ OP ? (1 ? t )OA ? tOB ??? ? ??? ? ??? ? ∵ A 、 、 、 四点在同一个平面内,且 OP ? xOA ? yOB B P O ??? ??? ? ? ∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA 、 不共线 OB

∴由平面向量基本定理可知 x ? 1 ? t , y ? t
??? ? ??? ? ??? ? 反过来,如果已知 OP ? xOA ? yOB ,且 x ? y ? 1 ,
∴ x? y ?1

B P 那么 A 、 、 三点共线吗?
学习共面
5

二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

a
O A

?

a

2.共面向量定理:如果两个向量 a 、 不共线,则向 b ? ? ? ? 量 p 与向量 a 、 共面的充要条件是存在唯一的有 b ? ? ? ? 序实数对 ( x, y) 使 p ? xa ? yb . ??
?C b? A a B
p

注意:空间任意两个 向量是共面的,但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。 ? ?

P

6

思考1

思考 1:如图,平面 ? 为经过已知点 A 且平行两不共线
? ? 的非零向量 a 、 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P b ?? P 呢? p ?C

??? ? ? ? ⑴∵ AP与a 、b 共面,

??? ? ??? ? ? ? C ⑵∵已知点 B 、 在平面 ? 内且 AB ? a , AC ? b

??? ? ? ? ∴ ? 唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP ? xa ? yb . O ???? ? ? ∴点 P 在平面 ? 上 ? ∴ ? 唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP ? xa ? yb ①

b? A a B

???? ???? ???? ∴点 P 在平面 ? 上 ? ? 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP ? xAB ? yAC ②

??? ? ???? ? ? C ⑶∵已知点 B 、 在平面 ? 内且 AB ? a , AC ? b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 ? 上 ? ??? ??? ? ? ??? ? ???? ? 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 OP ? OA ? xAB ? yAC ③ 注:①、②、③式都称为平面?的向量表示式, 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 7
思考2

思考 2(课本 P95 思考) B C 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A 、 、 , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 满 足 向 量 关 系 式 OP ? xOA ? yOB ? zOC ( 其 中 B C x ? y ? z ? 1 )的点 P 与点 A 、 、 是否共面?

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