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第一章 集合与简易逻辑测试卷(二)(B卷)


第一章 集合与简易逻辑测试卷(二)(B 卷) 说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ 卷可在各题后直接作答.共 100 分,考试时间 90 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.已知命题 p:“一次函数的图象是一条直线” ,命题 q: “函数 y=ax2+bx+c(a、b、c 为常 数)的图象是一条抛物线”.则下列四种形式的复合命题中真命题是 ①非 p ②非 q ③p 或 q ④p 且 q A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 2.命题“若 a>-3,则 a>-b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知条件 p:x+y≠-2,条件 q:x≠-1 且 y≠-1,则 p 是 q 的 A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 4.如果不等式|x-a|<1 成立的充分不必要条件是

1 3 <a< 2 2 3 1 C.a> 或 a< 2 2
A.

1 3 <x< ,则实数 a 的取值范围是 2 2 1 3 B. ≤a≤ 2 2 3 1 D.a≥ 或 a≤ 2 2

5.“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.有下列 4 个命题: ①“若 xy=1,则 x、y 互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若 m≤1,则 x2-2x+m=0”有实根的逆否命题;④“若 A∩B=B,则 A ? B”的逆否命题. 其中是真命题的是 A.①② B.②③ C.①②③ D.③④ 2 2 7.命题“若 a>b,则 ac >bc (a、b∈R)”与它的逆命题、否命题中,真命题的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 8.若 p、q 是两个简单命题,且“p 或 q”的否定是真命题,则必有 A.p 真,q 真 B.p 假,q 假 C.p 真,q 假 D.p 假,q 真 9.已知真命题“a≥b ? c>d”和“a<b ? e≤f” ,则“c≤d”是“e≤f”的_______条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 10.有金盒、银盒、铅盒各一个,只有一个盒子里有肖像.金盒上写有命题 p:肖像在这个 盒子里; 银盒上写有命题 q: 肖像不在这个盒子里; 铅盒上写有命题 r:肖像不在金盒里.p、 q、 r 中有且只有一个是真命题,则肖像在 A.金盒里 B.银盒里

C.铅盒里

D.在哪个盒子里不能确定 第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.已知 a、b 是两个命题,如果 a 是 b 的充分条件,那么 ? a 是 ? b 的_______条件. 12.若 p:“平行四边形一定是菱形” ,则“非 p”为_________. 13.在实数集上定义一个运算“*”:a*b=

a?b ,给出下列四个算式: 2

①a+(b*c)=(a+b)*(a+c);②a+(b*c)=a*(b+c);③a*(b+c)=a*b+a*c;④a*(b+c)=(a+b)*c. 其中正确算式的序号是_______. 14.在下列四个结论中,正确的有________.(填序号) ①若 A 是 B 的必要不充分条件,则非 B 也是非 A 的必要不充分条件

?a ? 0, ②“ ? ”是“一元二次不等式 ax2+bx+c≥0 的解集为 R”的充要条件 2 ? ? b ? 4 ac ? 0 ?
③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件 ④“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 6 分)写出命题“若 x2+7x-8=0,则 x=-8 或 x=1”的逆命题、否命题、逆否 命题,并分别判断它们的真假.

16.(本小题满分 12 分)已知方程 ax2+bx+c=0,且 a、b、c 都是奇数,求证:方程没有整 数根. 证明:设 x0 是方程的整数根,则 ax02+bx0+c=0.※

17.(本小题满分 12 分)设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a<0;q:实数 x 满足 x2-x-6≤0 或 x2+2x-8>0,且 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)如果命题 m、n 满足下列条件:(1)命题“m 且非 n”是假命题, (2)命题“m 或 n”是真命题,请判断命题“非 m 且 n”的真假,并说明理由.

19.(本小题满分 12 分)已知关于 x 的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0,a∈R,求: (1)方程有两个正根的充要条件; (2)方程至少有一正根的充要条件.

第一章 集合与简易逻辑测试卷(二)(B 卷)参考答案 说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ 卷可在各题后直接作答.共 100 分,考试时间 90 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.已知命题 p:“一次函数的图象是一条直线” ,命题 q: “函数 y=ax2+bx+c(a、b、c 为常 数)的图象是一条抛物线”.则下列四种形式的复合命题中真命题是 ①非 p ②非 q ③p 或 q ④p 且 q A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 解析:∵p 为真命题,q 为假命题,∴②非 q 为真命题,③p 或 q 为真. 答案:C 2.命题“若 a>-3,则 a>-b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:命题 “若 a>-3,则 a>-b” 的逆命题为 “若 a>-b,则 a>-3” 为假命题,则它的否命题 “若 a≤-3,则 a≤-b”也必为假命题;它的逆否命题“若 a≤-b,则 a≤-3”为真命题.故真命题的个 数为 2. 答案:B 3.已知条件 p:x+y≠-2,条件 q:x≠-1 且 y≠-1,则 p 是 q 的 A.充要条件 B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 解析:判断 p 是 q 的什么条件等价于判断 ? q 是 ? p 的什么条件. ? q:x=-1 或 y=-1, ? p:x+y=-2, ? q ? p(如 x=-1,y=1,x+y=0), ? p ? q(如 x=-3,y=1,x+y=-2).所以 p 是 q 的既不 充分也不必要条件. 答案:B 4.如果不等式|x-a|<1 成立的充分不必要条件是

1 3 <a< 2 2 3 1 C.a> 或 a< 2 2 解析:|x-a|<1 ? a-1<x<a+1, 1 3 由题意可知( , ) (a-1,a+1). 2 2 1 ? a ?1? , ? ? 2 解得 1 ≤a≤ 3 . 则有 ? 2 2 ?a ? 1 ? 3 . ? 2 ?
A. 答案:B 5.“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

1 3 <x< ,则实数 a 的取值范围是 2 2 1 3 B. ≤a≤ 2 2 3 1 D.a≥ 或 a≤ 2 2

? x ? 0, ? x ? 0, 解析:(1)如果 xy>0,即 ? 或? ? y ? 0 ? y ? 0. ? x ? 0, ①当 ? 时,|x+y|=x+y=|x|+|y|; ?y ? 0 ? x ? 0, ②当 ? 时,|x+y|=-(x+y)=(-x)+(-y)=|x|+|y|. ? y ? 0.
综上①②可知,当 xy>0 时,有|x+y|=|x|+|y|成立. (2)当 x=0,y≠0 时,有|x+y|=0+|y|=|x|+|y|, 但 xy=0,∴|x+y|=|x|+|y| xy>0. ∴“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的充分不必要条件. 答案:A 6.有下列 4 个命题: ①“若 xy=1,则 x、y 互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若 m≤1,则 x2-2x+m=0”有实根的逆否命题;④“若 A∩B=B,则 A ? B”的逆否命题. 其中是真命题的是 A.①② B.②③ C.①②③ D.③④

解析:①的逆命题为“若 x、y 互为倒数,则 xy=1”,是真命题;②的否命题为“面积不相等 的三角形不全等”,是真命题;③“若 m≤1,则 x2-2x+m=0 有实根”为真命题,因此其逆否命题 也为真命题;④“若 A∩B=B,则 A ? B”为假命题,则其逆否命题也为假命题. 答案:C 7.命题“若 a>b,则 ac2>bc2(a、b∈R)”与它的逆命题、否命题中,真命题的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 2 2 解析:逆命题:若 ac >bc ,则 a>b,是真命题. 否命题:若 a≤b,则 ac2≤bc2,是真命题. 另:逆命题与否命题互为逆否命题,它们同真同假. 答案:B 8.若 p、q 是两个简单命题,且“p 或 q”的否定是真命题,则必有 A.p 真,q 真 B.p 假,q 假 C.p 真,q 假 D.p 假,q 真 解析:∵“p 或 q”的否定是“ ? p 且 ? q” ,且它是真命题,由真值表可知“ ? p 真”且 “ ? q 真” ,∴“p 假,q 假”. 答案:B 9.已知真命题“a≥b ? c>d”和“a<b ? e≤f” ,则“c≤d”是“e≤f”的_______条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 解析: “a≥b ? c>d” 是真命题, ∴其逆否命题 “c≤d ? a<b” 也是真命题.又 “a<b ? e ≤f”是真命题,∴“c≤d ? e≤f”是真命题.但不能判定“e≤f ? c≤d”的真假.故“c≤d” 是“e≤f”的充分不必要条件. 答案:A 10.有金盒、银盒、铅盒各一个,只有一个盒子里有肖像.金盒上写有命题 p:肖像在这个 盒子里; 银盒上写有命题 q: 肖像不在这个盒子里; 铅盒上写有命题 r:肖像不在金盒里.p、 q、 r 中有且只有一个是真命题,则肖像在 A.金盒里 B.银盒里 C.铅盒里 D.在哪个盒子里不能确定 解析:∵p=非 r,∴p 与 r 一真一假.而 p、q、r 中有且只有一个真命题,∴q 必为假命题. ∴非 q: “肖像在这个盒子里”为真命题,即肖像在银盒里. 答案:B 第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.已知 a、b 是两个命题,如果 a 是 b 的充分条件,那么 ? a 是 ? b 的_______条件. 解析:由已知条件可知 a ? b, ∴ ? b ? ? a,即 ? a ? ? b. ∴ ? a 是 ? b 的必要条件. 答案:必要 12.若 p:“平行四边形一定是菱形” ,则“非 p”为_________. 解析:p: “平行四边形一定是菱形”是假命题,这里“一定是”的否定是用“一定不是” 还是“不一定是”?若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题,与真值表相违,故原命 题的“非 p”为“平行四边形不一定是菱形” ,是一个真命题. 答案:真命题

13.在实数集上定义一个运算“*”:a*b=

a?b ,给出下列四个算式: 2

①a+(b*c)=(a+b)*(a+c);②a+(b*c)=a*(b+c);③a*(b+c)=a*b+a*c;④a*(b+c)=(a+b)*c. 其中正确算式的序号是_______. 解析:∵a+(b*c)=a+ a*(b+c)=

b?c a?b?a?c b?c ,(a+b)*(a+c)= = a+ , 2 2 2

a?b?c ,∴a+(b*c)=(a+b)*(a+c),即①式正确. 2 a?b?c a ? b a ? c 2a ? b ? c 又∵a*(b+c)= ,a*b+a*c= + = , 2 2 2 2 a?b?c (a+b)*c= ,∴a*(b+c)=(a+b)*c,即④式正确. 2
答案:①④ 14.在下列四个结论中,正确的有________.(填序号) ①若 A 是 B 的必要不充分条件,则非 B 也是非 A 的必要不充分条件

?a ? 0, ②“ ? ”是“一元二次不等式 ax2+bx+c≥0 的解集为 R”的充要条件 2 ?? ? b ? 4ac ? 0
③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件 ④“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件 解析:∵原命题与其逆否命题等价,∴若 A 是 B 的必要不充分条件,则非 B 也是非 A 的 必要不充分条件. x≠1 x2≠1,反例:x=-1 ? x2=1,∴“x≠1”是“x2≠1”的不充分条件. x≠0 x+|x|>0,反例 x=-2 ? x+|x|=0. 但 x+|x|>0 ? x>0 ? x≠0,∴“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件. 答案:①②④ 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 6 分)写出命题“若 x2+7x-8=0,则 x=-8 或 x=1”的逆命题、否命题、逆否 命题,并分别判断它们的真假. 解:逆命题:若 x=-8 或 x=1,则 x2+7x-8=0.逆命题为真. 否命题:若 x2+7x-8≠0,则 x≠-8 且 x≠1.否命题为真. 逆否命题:若 x≠-8 且 x≠1,则 x2+7x-8≠0.逆否命题为真. 16.(本小题满分 12 分)已知方程 ax2+bx+c=0,且 a、b、c 都是奇数,求证:方程没有整 数根. 证明:设 x0 是方程的整数根,则 ax02+bx0+c=0.※ 若 x0 是奇数,则 ax02、bx0、c 均为奇数, ∴ax02+bx0+c 为奇数,这和※式矛盾. 若 x0 是偶数,则 ax02、bx0 是偶数. ∵c 为奇数, ∴ax02+bx0+c 仍为奇数,这和※式矛盾. ∴x0 不是整数,即方程没有整数根. 17.(本小题满分 12 分)设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a<0;q:实数 x 满足 x2-x-6≤0 或 x2+2x-8>0,且 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. 分析:将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系,从而列出 a 所满足的不等式去求解.

解法一:设 A={x|x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0}, B={x|x2-x-6≤0 或 x2+2x-8>0}={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4 或 x>2}={x|x<-4 或 x≥-2}. ∵ ? p 是 ? q 的必要不充分条件, ∴ ? q ? ? p,且 ? p ? q, 即{x| ? q} {x| ? p}. 而{x| ? q}=
RB={x|-4≤x<-2},{x| ? p}= RA={x|x≤3a

或 x≥a,a<0},

∴{x|-4≤x<-2} {x|x≤3a 或 x≥a,a<0}.

?3a ? ?2, ?a ? ?4, 则? 或? ?a ? 0, ?a ? 0
即-

2 ≤a<0 或 a≤-4. 3

解法二:本题也可依据四种命题间的关系进行等价转化. 由 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,转化成它的逆否命题 q 是 p 的必要不充分条件,即 p 是 q 的充分不必要条件,也就是 p ? q 且 q p. 化简条件 p 得,A={x|3a<x<a,a<0},化简条件 q 得,B={x|x<-4 或 x≥-2}.

?a ? ?4, ?3a ? ?2, 由 A B ,得 ? 或? ?a ? 0 ?a ? 0,
解得 a≤-4 或-

2 ≤a<0. 3

18.(本小题满分 12 分)如果命题 m、n 满足下列条件:(1)命题“m 且非 n”是假命题, (2)命题“m 或 n”是真命题,请判断命题“非 m 且 n”的真假,并说明理由. 解法一: m 真 真 假 假 n 真 假 真 假 m 且非 n 假 真 假 假 m或n 真 真 真 假 非m且n 假 假 真 假

由上表知只有 m、n 均真或 m 假 n 真符合题设条件,当 m、n 均真时非 m 且 n 为假,当 m 假 n 真时非 m 且 n 为真. 解法二:由命题“m 且非 n”是假命题知 m 假或非 n 假. (1)若 m 假,由“m 或 n”是真命题知 n 为真,此时“非 m 且 n”为真. (2)若非 n 为假,则 n 为真,由(2)不能判定 m 的真假,需分类讨论. ①m 真时,非 m 假,非 m 且 n 为假, ②m 假时,非 m 真,非 m 且 n 为真. 综上可知,m 假 n 真时,非 m 且 n 为真, m 真 n 真时,非 m 且 n 为假. 19.(本小题满分 12 分)已知关于 x 的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0,a∈R,求: (1)方程有两个正根的充要条件; (2)方程至少有一正根的充要条件. 解:方程有两个实根的充要条件是

?1 ? a ? 0, ?a ? 1 即? ? 2 ?? ? 0, ?(a ? 2) ? 16(1 ? a) ? 0

?a ? 1, 即 a≥10 或 a≤2 且 a≠1. ?? ?a ? 2或a ? 10,
(1)设此方程的两个实数根为 x1、x2,则方程有两个正根

?a ? 1, ? ?a ? 1 ?a ? 2或a ? 10, ? a ? 2 或 a ? 10 ? ? ?? ? ? a ? 2 ? 0, x ? x ? 0 2 ? 1 ? a ?1 ? ? 4 x x ? 0 ? 1 2 ? 0. ? ?a ?1
解得 1<a≤2 或 a≥10. ∴1<a≤2 或 a≥10 是方程有两个正根的充要条件. (2)①由(1)可知,当 a≥10 或 1<a≤2 时,方程有两个正根; ②方程有一正根一负根的充要条件是 x1x2<0 ?

4 <0,即 a<1. a ?1 4 . 3

③当 a=1 时,方程可化为 3x-4=0,有一正根 x=

综上①②③,可知方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0 至少有一正根的充要条件是 a≤2 或 a≥10.


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