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福建省福州八中2014-2015学年高一(下)期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年福建省福州八中高一(下)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.将两个数 a=8,b=17 交换,使 a=17,b=8,下面语句正确一组是( )

A.

B.

C.

D.

2.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, =3.5,则由该观测数据算 得的线性回归方程可能是( ) A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 C. =﹣2x+9.5 D. =﹣0.3x+4.4

3.某单位老、中、青人数之比依次为 2:3:5.现采用分层抽样方法从中抽出一个容量为 n 的样本,若样本中中年人人数为 12,则此样本的容量 n 为( ) A. 20 B. 30 C. 40 D. 80 4.将 389(10)化成五进位制数的末位是( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 )

5.100 辆汽车通过某一段公路时,时速的频率分布直方图如图所示,则时速在[50,70)的

汽车大约有(



A. 60 辆 B. 80 辆 C. 70 辆 D. 140 辆 6.设 θ 是第三象限角,且|cos |=﹣cos ,则 是( )

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 7.右图给出的是计算 ( ) 的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是

A. i<9 B. i≤9 C. i<10 D. i≤10 8.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=12+35x﹣8x +79x +6x +5x +3x 在 x=﹣4 时的值时, V3 的值为( ) A. ﹣845 B. 220 C. ﹣57 D. 34 9.将一颗正方体型骰子投掷 2 次,向上的点数之和是 6 的概率( A. B. C. D.
2 2 3 4 5 6



10.利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则使关于 x 的一元二次方程 x ﹣x+a=0 无 实根的概率为( ) A. B. C. D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 11.204 与 85 的最大公约数是 . 12.按照如图程序运行,则输出 K 的值是 .

13.cos(﹣

π)﹣sin(﹣ .

π)的值为

14.在任意三角形 ABC 内任取一点 Q,使 S△ ABQ≥ S△ ABC 的概率于



三、解答题: (本大题共 3 小题,共 34 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. ) 15. 以下茎叶图记录了某篮球队内两大中锋在六次训练中抢得篮板球数记录, 由于教练一时 疏忽,忘了记录乙球员其中一次的数据,在图中以 X 表示. (1)如果乙球员抢得篮板球的平均数为 10 时,求 X 的值和乙球员抢得篮板球数的方差; (2)如果您是该球队的教练在正式比赛中您会派谁上场呢?并说明理由(用数据说明) .

16. 表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x 吨与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据. x3456 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图. (2)根据上表数据用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程. (3)由(2)预测技改后生产 100 吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤?(参考数值: 3*2.5+4*3+5*4+6*4.5=66.5) 17. 某校为了解高一年段学生的体重情况, 先按性别分层抽样获取样本, 再从样本中提取男、 女生体重数据,最后绘制出如下图表.已知男生体重在[50,62)的人数为 45.

女生体重数据频数分布表 体重(公斤) [36,40) [40,44) [44,48) [48,52) [52,56) [56,60) 频数 2 18 10 5 3 x (Ⅰ)根据以上图表,计算体重在[56,60)的女生人数 x 的值; (Ⅱ)若从体重在[66,70)的男生和体重在[56,60)的女生中选取 2 人进行复查,求男、 女生各有一人被选中的概率; (Ⅲ)若体重在[50,54) ,[54,58) ,[58,62)的男生人数比为 3:5:7,试估算高一年段 男生的平均体重.

四、选择题(5 分×4=20 分,请将答案填写在答卷上) 18.已知角 2α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点( 2α∈[0,2π) ,则 tanα 等于( A. ﹣ B. C. ﹣ ) D. ) ,且

19.某校高一年段为了控制学生迟到现象,特别规定在每周周一到周五这五天中,“连续 5 天,每天迟到都不超过 5 人次的班级才有资格争夺年段流动红旗”.根据过去 5 天年段统计 的一到四班迟到学生人次数据的数字特征,一定有资格的是( ) A. 一班;总体均值为 3,中位数为 3 B. 二班;总体均值为 2,总体方差大于 0 C. 三班;总体均值为 2,总体方差为 2 D. 四班;中位数为 2,众数为 2 20.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方 形边长的概率为( ) A. B. C. D.

21.假设在 5 秒内的任何时刻,两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机,若这两条短 信进人手机的时间之差小于 2 秒,手机就会受到干扰,则手机受到干扰的概率为( ) A. B. C. D.

五、填空题(4 分×2=8 分) 22.在直角坐标系中,O 是原点,A( 点坐标为 .

,1) ,将点 A 绕 O 逆时针旋转 90°到 B 点,则 B

23.如图,茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分,其中一个数字被污损, 则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为 .

六、解答题: (本大题共 2 小题,共 22 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. ) 24.扇形 AOB 的周长为 8cm. 2 (1)若这个扇形的面积为 3cm ,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 25.求满足下列条件的概率(若是古典概率模型请列出所有基本事件) 2 2 (1)若 mn 都是从集合{1,2,3}中任取的数字,求函数 f(x)=x ﹣4mx+4n 有零点的概 率; (2)若 mn 都是从区间[1,4]中任取的数字, ①求函数 f(x)=x ﹣4mx+4n 在区间[2,4]上为单调函数的概率; 2 2 2 ②在区间[0,4]内任取两个实数 x,y,求事件“x +y >(m﹣n) 恒成立”的概率.
2 2

2014-2015 学年福建省福州八中高一(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.将两个数 a=8,b=17 交换,使 a=17,b=8,下面语句正确一组是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 赋值语句. 专题: 规律型. 分析: 要实现两个变量 a,b 值的交换,需要借助中间量 c,先把 b 的值赋给中间变量 c, 再把 a 的值赋给变量 b,把 c 的值赋给变量 a. 解答: 解:先把 b 的值赋给中间变量 c,这样 c=17,再把 a 的值赋给变量 b,这样 b=8, 把 c 的值赋给变量 a,这样 a=17 故选 B 点评: 本题考查的是赋值语句,考查逻辑思维能力,属于基础题. 2.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, =3.5,则由该观测数据算 得的线性回归方程可能是( ) A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 C. =﹣2x+9.5 D. =﹣0.3x+4.4

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 变量 x 与 y 正相关,可以排除 C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直 线方程. 解答: 解:∵变量 x 与 y 正相关, ∴可以排除 C,D; 样本平均数 =3, =3.5,代入 A 符合,B 不符合, 故选:A. 点评: 本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键. 3.某单位老、中、青人数之比依次为 2:3:5.现采用分层抽样方法从中抽出一个容量为 n 的样本,若样本中中年人人数为 12,则此样本的容量 n 为( ) A. 20 B. 30 C. 40 D. 80 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计.

分析: 根据所给的三个不同部分的人数,做出总人数,根据中年人中要抽取的人数,写出 比例式,得到样本容量. 解答: 解:∵某单位老、中、青人数之比依次为 2:3:5. 若样本中中年人人数为 12, ∴样本容量是 ×12=40

故选 C. 点评: 本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是知道在整个抽样过程中,每个个体被抽 到的概率相等,这是解题的依据. 4.将 389(10)化成五进位制数的末位是( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 )

考点: 进位制. 专题: 计算题;算法和程序框图. 分析: 根据算法的规则,将 389 变为 5 进位制数,即可知末位数是几,对比四个选项,选 出正确选项即可. 解答: 解:389÷5=77…4, 77÷5=15…2, 15÷5=3…0, 3÷5=0…3, 把余数从下往上排序:3024. 即: (389)10=(3024)5. 所以 389 化成四进位制数的末位是 4. 故选:C. 点评: 本题考查排序问题与算法的多样性,解题的关键是掌握进位制换算的方法﹣﹣除 K 取余法,注意:余数自下而上排列,属于基础题. 5.100 辆汽车通过某一段公路时,时速的频率分布直方图如图所示,则时速在[50,70)的

汽车大约有(



A. 60 辆 B. 80 辆 C. 70 辆 D. 140 辆 考点: 用样本的频率分布估计总体分布. 专题: 概率与统计. 分析: 需根据直方图中求出各个矩形的面积,即为各组频率,再由总数乘以频率即得各组 频数.

解答: 解:由直方图可知,时速在[50,60]的频率为 0.03×10=0.3 时速在[60,70]的频率为 0.04×10=0.4 所以时速在[50,70]的汽车大约有 100×(0.3+0.4)=70 辆, 故选:C. 点评: 本题考查的知识点是频率分布直方图,其中根据已知中的频率分布直方图结合频率 =矩形高×组距计算各组的频率是解答此类问题的关键. 6.设 θ 是第三象限角,且|cos |=﹣cos ,则 是( )

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 考点: 三角函数值的符号. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据三角函数的符号和象限之间的关系进行判断即可. 解答: 解:∵θ 是第三象限角,∴ 由|cos ∴cos 即 |=﹣cos ≤0, , 在第二象限或在第四象限,

在第二象限,

故选:B. 点评: 本题主要考查三角函数值的符号和象限之间的关系,比较基础.

7.右图给出的是计算 ( )

的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是

A. i<9 B. i≤9 C. i<10 D. i≤10 考点: 设计程序框图解决实际问题;循环结构.

专题: 规律型. 分析: 结合框图得到 i 表示的实际意义,要求出所需要的和,只要循环 10 次即可,得到输 出结果时“i”的值,得到判断框中的条件. 解答: 解:根据框图,i﹣1 表示加的项数 当加到 时,总共经过了 10 次运算,则不能超过 10 次,

i﹣1=10 执行“否” 所以判断框中的条件是“i≤10” 故选 D. 点评: 本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件:关键是判断出有关字母的实 际意义,要达到目的,需要对字母有什么限制. 8.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=12+35x﹣8x +79x +6x +5x +3x 在 x=﹣4 时的值时, V3 的值为( ) A. ﹣845 B. 220 C. ﹣57 D. 34 考点: 秦九韶算法. 专题: 算法和程序框图. 2 3 4 5 6 分析: 由于多项式 f(x)=12+35x﹣8x +79x +6x +5x +3x =( ( ( ( (3x+5)x+6)x+79)x﹣ 8)x+35)x+12,可得当 x=﹣4 时,v0=3,v1=3×(﹣4)+5=﹣7,v2,v3 即可得出. 2 3 4 5 6 解答: 解:∵多项式 f(x)=12+35x﹣8x +79x +6x +5x +3x =( ( ( ( (3x+5)x+6)x+79)x﹣8)x+35)x+12, 当 x=﹣4 时, ∴v0=3,v1=3×(﹣4)+5=﹣7,v2=﹣7×(﹣4)+6=34,v3=34×(﹣4)+79=﹣57. 故选:C. 点评: 本题考查了秦九韶算法计算多项式的值,考查了计算能力,属于基础题. 9.将一颗正方体型骰子投掷 2 次,向上的点数之和是 6 的概率( A. B. C. D. )
2 3 4 5 6

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 利用乘法原理计算出所有情况数,列举出有(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) , (5,1) 共有 5 种结果, 再看点数之和为 6 的情况数, 最后计算出所得的点数之和为 6 的占所有情况 数的多少即可. 解答: 解:由题意知,本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子,共有 6×6=36 种结果, 而满足条件的事件是两个点数之和是 6,列举出有(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) , (5,1) 共有 5 种结果, 根据古典概型概率公式得到 P= 故选:C. ,

点评: 本题根据古典概型及其概率计算公式,考查用列表法的方法解决概率问题;得到点 数之和为 6 的情况数是解决本题的关键,属于基础题. 10.利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则使关于 x 的一元二次方程 x ﹣x+a=0 无 实根的概率为( ) A. B. C. D.
2

考点: 模拟方法估计概率. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出(0,1)上产生随机数 a 所对 应图形的长度,及事件“关于 x 的一元二次方程 x ﹣x+a=0 无实根”对应的图形的长度,并将 其代入几何概型计算公式,进行求解. 2 解答: 解:∵关于 x 的一元二次方程 x ﹣x+a=0 无实根, ∴△=1﹣4a<0, ∵0<a<1, ∴ a<1,
2

∴事件“关于 x 的一元二次方程 x ﹣x+a=0 无实根”的概率为 P=

2

= .

故选:C. 点评: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且 这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 11.204 与 85 的最大公约数是 17 . 考点: 辗转相除法. 专题: 算法和程序框图. 分析: 用较大的数字除以较小的数字,得到商和余数,然后再用上一式中的除数和得到的 余数中较大的除以较小的,以此类推,当整除时就得到要求的最大公约数. 解答: 解:∵204=2×85+34 85=2×34+17 34=2×17 ∴204 与 85 的最大公约数为 17, 故答案为:17. 点评: 本题考查用辗转相除法求两个数的最大公约数, 在解题时注意数字的运算不要出错, 属于基础题. 12.按照如图程序运行,则输出 K 的值是 3 .

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据语句的含义知,本程序是直到型循环结构的程序框图,依次计算程序运行的结 果,直到满足条件 x>16,输出 k 值. 解答: 解:由程序语句知:算法是直到型循环结构的程序框图, 第一次运行 x=2×3+1=7,k=1; 第二次运行 x=2×7+1=15,k=2; 第三次运行 x=2×15+1=31,k=3;此时满足 x>16,程序运行终止,输出 k=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了循环结构的程序语句,根据程序语句判断程序的流程是解答此类问题的 关键.

13.cos(﹣ .

π)﹣sin(﹣

π)的值为

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式化简 cos(﹣ 三角函数,求值即可. 解答: 解:cos(﹣ =cos(4π+ = + = )+sin(4π+ . )﹣sin(﹣ )=cos +sin )=cos π+sin π)﹣sin(﹣ π)为正角的三角函数,转化为锐角的

故答案为: 点评: 本题考查应用诱导公式的化简和求值,考查计算能力,基本知识的掌握程度决定解 题速度.

14.在任意三角形 ABC 内任取一点 Q,使 S△ ABQ≥ S△ ABC 的概率于



考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 设 DE 是△ ABC 平行于 AB,且 = = ,可得当 Q 点位于△ ABC 内部的线段 DE

上方时, 能使 S△ ABQ≥ S△ ABC 因此所求的概率等于△ CDE 的面积与△ ABC 的面积比值, 根 据相似三角形的性质求出这个面积比即可. 解答: 解:分别取 CA、CB 点 D、E,且 = = ,连接 DE

∴DE 上一点到 AB 的距离等于 C 到 AB 距离的 , 设 C 到 AB 的距离为 h,则当动点 P 位于线段 DE 上时, △ QAB 的面积 S= AB? h= S△ ABC= S 因此,当点 Q 位于△ ABC 内部,且位于线段 DE 上方时,△ QAB 的面积大于 ∵△CDE∽△CAB,且相似比 ∴S△ CDE:S△ ABC= 由此可得△ PAB 的面积大于 故答案为: . S 的概率为 P= . = S.

点评: 本题给出三角形 ABC 内部一点 P,求三角形 PBC 面积大于或等于三角形 ABC 面积 的一半的概率,着重考查了相似三角形的性质和几何概型的计算等知识,属于基础题. 三、解答题: (本大题共 3 小题,共 34 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. ) 15. 以下茎叶图记录了某篮球队内两大中锋在六次训练中抢得篮板球数记录, 由于教练一时 疏忽,忘了记录乙球员其中一次的数据,在图中以 X 表示. (1)如果乙球员抢得篮板球的平均数为 10 时,求 X 的值和乙球员抢得篮板球数的方差; (2)如果您是该球队的教练在正式比赛中您会派谁上场呢?并说明理由(用数据说明) .

考点: 极差、方差与标准差. 专题: 计算题. 分析: (1)由茎叶图数据,根据平均数公式,构造关于 X 方程,解方程可得答案. (2)分别计算两人的均值与方差,作出决定. 解答: 解:乙球员抢得篮板球的平均数为 10, 乙球员抢得篮板球数的方差 ﹣10) +(12﹣10) ]=5 (2)由(1)得 =10, =5, , (11﹣10) +(11﹣10) ]=6 ∵ ∴由数据结果说明,甲球员发挥地更稳定,所以选派甲球员上场.…
2 2 2 2 2 2

,解得 x=9,
2 2

= [(9﹣10) +(8﹣10) +(9﹣10) +(8﹣10) +(14

= [(6﹣10) +(9﹣10) +(9﹣10) +(14﹣10) +

2

2

2

2

(12 分) 点评: 本题考查本题考查平均数、方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量, 方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小, 表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定. 16. 表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x 吨与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据. x3456 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图. (2)根据上表数据用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程. (3)由(2)预测技改后生产 100 吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤?(参考数值: 3*2.5+4*3+5*4+6*4.5=66.5) 考点: 回归分析的初步应用. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)把所给的四对数据写成对应的点的坐标,在坐标系中描出来,得到散点图. (2)根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据,代入求系数 b 的公式, 求得结果,再把样本中心点代入,求出 a 的值,得到线性回归方程. (3)根据上一问所求的线性回归方程,把 x=100 代入线性回归方程,即可估计生产 100 吨 甲产品的生产能耗.

解答: 解: (1)把所给的四对数据写成对应的点的坐标,在坐标系中描出来,得到散点图. (2)由对照数据,计算得 =86, xiyi=66.5, =4.5, =3.5,

∴回归方程的系数为 b=

=0.7,a=0.35,

∴所求线性回归方程为 y=0.7x+0.35 (3) 由 (2) 求出的线性回归方程, 估计生产 100 吨甲产品的生产能耗为 0.7×100+0.35=70.35 (吨) , ∴估计生产 100 吨甲产品的生产能耗为 70.35 吨.

点评: 本题考查线性回归方程,两个变量之间的关系,除了函数关系,还存在相关关系, 通过建立回归直线方程, 就可以根据其部分观测值, 获得对这两个变量之间整体关系的了解. 17. 某校为了解高一年段学生的体重情况, 先按性别分层抽样获取样本, 再从样本中提取男、 女生体重数据,最后绘制出如下图表.已知男生体重在[50,62)的人数为 45.

女生体重数据频数分布表 体重(公斤) [36,40) [40,44) [44,48) [48,52) [52,56) [56,60) 频数 2 18 10 5 3 x (Ⅰ)根据以上图表,计算体重在[56,60)的女生人数 x 的值; (Ⅱ)若从体重在[66,70)的男生和体重在[56,60)的女生中选取 2 人进行复查,求男、 女生各有一人被选中的概率; (Ⅲ)若体重在[50,54) ,[54,58) ,[58,62)的男生人数比为 3:5:7,试估算高一年段 男生的平均体重.

考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)利用男生体重数据频率分布直方图,直接求解体重落在区间[50,62)的频率, 得到男生体重在[50,62)的人数,按性别分层抽样,根据饼图描述的男,女生人数比,求 出体重落在区间[56,60]的女生人数. (Ⅱ)体重落在区间[66,70]的男生人数.记体重落在 [66,70]的 3 名男生为 A,B,C,体重落在[56,60]的 2 名女生为 a,b.列出所有基本事件 个数.记“男、女生各有一人被选中”的事件为 R 的数目,利用古典概率模型求解即可. (Ⅲ)利用体重在[50,54) ,[54,58) ,[58,62)的男生人数比为 3:5:7,推出男生第 2, 3,4 组体重数据的频率分别为 0.15,0.25,0.35,男生第 1,5,6 组体重数据的频率.即可 估计高一年段男生平均体重. 解答: 解: (Ⅰ)由男生体重数据频率分布直方图可知,体重落在区间[50,62)的频率为 1﹣(0.025+0.025+0.0125)×4=0.75. 因为男生体重在[50,62)的人数为 45, 所以本次抽样中男生抽取的总人数为 45÷0.75=60. 因为样本是按性别分层抽样获取的, 所以根据饼形图描述的男,女生人数比,可知女生抽取的总人数为 40. 所以体重落在区间[56,60]的女生人数为 x=40﹣(2+18+10+5+3)=2. (Ⅱ)体重落在区间[66,70]的男生人数为 60×0.0125×4=3. 记体重落在[66,70]的 3 名男生为 A,B,C,体重落在[56,60]的 2 名女生为 a,b. 则事件“从体重在[66,70)的男生和体重在[56,60)的女生中选取 2 人进行复查”包含的基 本事件有: (A,B) , (A,C) , (B,C) , (A,a) , (A,b) , (B,a) , (B,b) , (C,a) , (C, b) , (a,b) ,总数为 10. 记“男、女生各有一人被选中”的事件为 R,则事件 R 包含的基本事件有: (A,a) , (A,b) , (B,a) , (B,b) , (C,a) , (C,b) ,共 6 个. 因为事件空间中基本事件个数有限, 且每个基本事件发生的可能性相同, 所以该概率模型属 于古典概率模型, 所以男、女生各有一人被选中的概率 .

(Ⅲ)因为体重在[50,54) ,[54,58) ,[58,62)的男生人数比为 3:5:7, 又由(Ⅰ)可知体重落在区间[50,62)的频率为 0.75, 所以男生第 2,3,4 组体重数据的频率分别为 0.15,0.25,0.35. 因为由直方图可知,男生第 1,5,6 组体重数据的频率分别为 0.1,0.1,0.05, 所以样本中 60 名男生的平均体重约为: 48×0.1+52×0.15+56×0.25+60×0.35+64×0.1+68×0.05=57.4. 以样本估计总体,可以估计高一年段男生平均体重为 57.4 公斤. 点评: 本小题主要考查频率分布直方图、频率分布图表、古典概型、用频率估计概率的统 计思想等统计与概率的基础知识,考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查必然 与或然思想等. 四、选择题(5 分×4=20 分,请将答案填写在答卷上) 18.已知角 2α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点( 2α∈[0,2π) ,则 tanα 等于( ) ) ,且

A. ﹣

B.

C. ﹣

D.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据题意求出 2α= ,可得 α= ,由此求得 tanα 的值. ) ,且 2α∈[0,2π) ,可得 2α= ,

解答: 解:由角 2α 的终边经过点( 故 α= ,可得 tanα=tan = ,

故选 B. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,求出 2α= 题.本题从角的角度求解,比较简练 19.某校高一年段为了控制学生迟到现象,特别规定在每周周一到周五这五天中,“连续 5 天,每天迟到都不超过 5 人次的班级才有资格争夺年段流动红旗”.根据过去 5 天年段统计 的一到四班迟到学生人次数据的数字特征,一定有资格的是( ) A. 一班;总体均值为 3,中位数为 3 B. 二班;总体均值为 2,总体方差大于 0 C. 三班;总体均值为 2,总体方差为 2 D. 四班;中位数为 2,众数为 2 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 阅读型. 分析: 根据均值,中位数、众数、方差的意义,结合特殊数值逐一判断. 解答: 解:A 总体均值为 3,说明数据集中于 3,中位数为 3 说明迟到 3 人的天数较多, 但不能说明每天迟到都不超过 5 人, 比如 1,3,3,3,5 B 总体均值为 2,说明数据集中于 2,总体方差大于 0,仍有可能某天迟到学生超过 5 人次 C 总体均值为 2,总体方差为 2,当总体平均数是 2,若有一个数据 n 超过 5,则方差就会 大于 [(n﹣2) ]≥
2

,是解题的关键,属于基础

>2

由此每天迟到都不超过 5 人次 D 中位数为 2,众数为 2,比如 0,1,2,2,6,6>5,不合要求. 故选 C 点评: 本题考查数据的几个特征量,这几个量各自表示数据的一个方面,有时候一个或两 个量不能说明这组数据的特点,若要掌握这组数据则要全面掌握. 20.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方 形边长的概率为( ) A. B. C. D.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 应用题;概率与统计;排列组合. 分析: 设正方形边长为 1,则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,共有 10 条线段,4 条长度为 1,4 条长度为 ,两条长度为 ,即可得出结论.

解答: 解:设正方形边长为 1,则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,共 有 10 条线段,4 条长度为 1,4 条长度为 ∴所求概率为 = . ,两条长度为 ,

故选:C. 点评: 本题考查概率的计算,列举基本事件是关键. 21.假设在 5 秒内的任何时刻,两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机,若这两条短 信进人手机的时间之差小于 2 秒,手机就会受到干扰,则手机受到干扰的概率为( ) A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据几何概型的概率公式求出对应的测度,即可得到结论. 解答: 解:分别设两个互相独立的短信收到的时间为 x,y.则所有事件集可表示为 0≤x≤5, 0≤y≤5. 由题目得,如果手机受则到干扰的事件发生,必有|x﹣y|≤2. 三个不等式联立,则该事件即为 x﹣y=2 和 y﹣x=2 在 0≤x≤5,0≤y≤5 的正方形中围起来的图 形 即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积 5 =25, 阴影部分的面积 25﹣2× (5﹣2) =16, 所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为 故选:C. .
2 2

点评: 本题主要考查几何概型的概率的计算, 分别求出对应区域的面积是解决本题的关键, 比较基础. 五、填空题(4 分×2=8 分) 22.在直角坐标系中,O 是原点,A( 点坐标为 (﹣1, ) .

,1) ,将点 A 绕 O 逆时针旋转 90°到 B 点,则 B

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: 依题意知 OA=OB=2,利用任意角的三角函数的定义,直接求出 B 的坐标即可. 解答: 解:依题意知 OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°, 所以 x=2cos120°=﹣1,y=2sin120°= , 即 B(﹣1, ) . 故答案为: (﹣1, ) 点评: 本题是基础题,考查任意角的三角函数的定义,考查计算能力,常考题型. 23.如图,茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分,其中一个数字被污损, 则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为 .

考点: 古典概型及其概率计算公式;茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 由已知的茎叶图,求出甲乙两人的平均成绩,然后求出乙的平均成绩不小于甲的平 均成绩的概率,得到答案. 解答: 解:由茎叶图可得甲的 5 次得分分别为 18,19,20,21,22, 则甲的平均得分: (18+19+20+21+22)=20 设污损数字为 x 则乙的 5 次得分分别为 15,16,18,28, (20+x) 则乙的平均成绩: (15+16+18+28+20+x)=19.4+ , ∵0≤x≤9,x∈Z,当 x=3,4,5,6,7,8,9 时, 甲的平均得分≤乙的平均得分, ∴甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为 故答案为: . ;

点评: 本题考查了平均数与茎叶图以及古典概型概率计算公式问题,是基础题.

六、解答题: (本大题共 2 小题,共 22 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. ) 24.扇形 AOB 的周长为 8cm. (1)若这个扇形的面积为 3cm ,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题. 分析: (1)根据周长和面积列出关于 r 和 l 的方程组,解方程组即可. (2)根据周长和 S= lr= l?2r 以及均值不等式求出最大值,进而得出半径,即可求出弦长. 解答: 解:设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α, (1)由题意知 解得: 或 ∴α= = 或 6; ,
2

(2)∵2r+l=8, ∴S= lr= l?2r≤ ,

当且仅当 2r=l,即 α= =2 时,面积取得最大值 4, ∴r=2, ∴弦长 AB=2sin1×2=4sin1. 点评: 此题考查了扇形面积公式以及均值不等式的运用,属于中档题. 25.求满足下列条件的概率(若是古典概率模型请列出所有基本事件) (1)若 mn 都是从集合{1,2,3}中任取的数字,求函数 f(x)=x ﹣4mx+4n 有零点的概 率; (2)若 mn 都是从区间[1,4]中任取的数字, 2 2 ①求函数 f(x)=x ﹣4mx+4n 在区间[2,4]上为单调函数的概率; 2 2 2 ②在区间[0,4]内任取两个实数 x,y,求事件“x +y >(m﹣n) 恒成立”的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)设函数 f(x)有零点为事件 A,由于 m、n 都是从集合{1,2,3}中任取的数 2 2 字,依题意得所有的基本事件个数为 N=9.若函数 f(x)=x ﹣4mx+4n 有零点, 2 2 则△ =16m ﹣16n ≥0,化简可得 m≥n.用列举法求得事件 A 所含的基本事件共有 6 个,由此 可得事件 A 的概率. 2 2 (2)①设函数 f(x)=x ﹣4mx+4n 在区间[2,4]上为单调函数为事件 B,依题意得所有基 本事件构成的区域面积为 SΩ=9.则构成事件 B 的区域 SB=6,由此求得事件 B 的概率.
2 2

②设在区间[0,4]内任取两个实数 x,y,“x +y >(m﹣n) 恒成立”为事件 C,则事件 C 2 2 等价于“x +y >9”,求得全部结果所构成的区域 Ω 的面积为 16,而事件 C 所构成的区域 B 构成的区域面积 ,根据 P(C)= ,运算求得结果.

2

2

2

解答: 解: (1)设函数 f(x)有零点为事件 A,由于 m、n 都是从 集合{1,2,3}中任取的数字,依题意得 所有的基本事件为(1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) , (3,3) ,其中第一个数表示 m 的取值, 第二个数表示 n 的取值,即基本事件总数为 N=9. 若函数 f(x)=x ﹣4mx+4n 有零点,则△ =16m ﹣16n ≥0, 化简可得 m≥n. 故事件 A 所含的基本事件为(1,1) , (2,1) , (2,2) , (3,1) , (3,2) , (3,3) ,共计 6 个基本事件, 则 .…(5 分)
2 2 2 2

(2)①设 m、n 都是从区间[1,4]中任取的数字, 2 2 设函数 f(x)=x ﹣4mx+4n 在区间[2,4]上为单调函数为事件 B, 依题意得,所有的基本事件构成的区域 ,故所有基本事件构

成的区域面积为 SΩ=9. 2 2 若函数 f(x)=x ﹣4mx+4n 在区间[2,4]上为非单调函数,其对称轴方程为 x=2m, 则有 2≤2m≤4,求得 1≤m≤2. 则构成事件 B 的区域 则 .…(9 分)
2 2 2

=6,如图所示(阴影部分表示事件 B 的对立事件) .

②设在区间[0,4]内任取两个实数 x,y,“x +y >(m﹣n) 恒成立”为事件 C,则事件 C 2 2 等价于“x +y >9”, (x,y)可以看成平面中的点,则全部结果所构成的区域 Ω={(x,y)|0≤x≤4,0≤y≤4,x, y∈R}, 2 2 而事件 C 所构成的区域 B={(x,y)|x +y >9, (x,y)∈Ω }.如图所示(阴影部分表示事 件 C) SΩ=4×4=16, ,

∴P(C)=

=

=1﹣

π. …(14 分)

点评: 本题主要考查几何概型、古典概型及其概率计算公式的应用,列举法,是解决古典 概型问题的一种重要的解题方法,属于基础题.


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