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湖南省衡阳市八中2010-2011学年度高一数学下学期期中考试


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湖南省衡阳市八中 2010-2011 学年度高一下学期期中考试高一数学

考生注意:本卷共三道大题,满分 100 分,考试时间 120 分钟。 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. sin 240 的值是( A. ? )

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2
)

D.

3 2

2.下列函数中,最小正周期为 A. y ? 4sin x

? 的是( 2

B. y ? sin x cos x

C. y ? tan )

x 2

D. y ? cos 4 x

3.半径为 10cm,弧长为 20 cm 的扇形的圆心角为( A. 2? B.2 弧度 C. 2? 弧度

D.10 弧度 )

4.已知在平行四边形 ABCD 中,若 AC ? a , BD ? b ,则 AB ? ( A.

1 ? ? (a ? b) 2

B.

1 ? ? (b ? a) 2

C. a ?

?

1? b 2

D.

1 ? ? (a ? b) 2

5.已知向量 a =(3, 2), b =(x, 4),若 a 与 b 共线,则 x 的值为( A.6 B.-6 C. ?

)

8 3

D.

8 3
)

6.若 a ? (2, ?2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为(

(cos A.

?

,sin ) 4 4

?

( B.

2 2 2 2 , )或(,) 2 2 2 2

(C.

2 2 ,) 2 2

D.( 1, 1)或(-1,-1)

7.函数 y ? A sin(?x ? ? ) , ( ? ? 0, ? ? ? )在一个周期内 的图象如右图所示,此函数的解析式为( A. y ? 2 sin( 2 x ? )

2? ) 3

B. y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

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C. y ? 2 sin(

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?
3 )

x ? ? ) 2 3

D. y ? 2 sin( 2 x ?

8.设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P( x, y ) ,由此定义了正弦( sin ? ) 、余弦 x ( cos? ) 、正切( tan? ) ,其实还有另外三个三角函数,分别是:余切( cot ? ? ) 、正割 y 1 1 ( sec ? ? ) 、余割( csc ? ? ). 则下列关系式错误的是( ) y x A. cot ? ?

cos ? sin ?

B. sec? ?

1 cos ?

C. csc? ?

1 sin ?

D. cot 2 ? ? csc2 ? ? 1

二.填空题:本大题共 7 个小题,每小题 3 分,共 21 分,把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上。 9.若 a ? (2, 2), b ? (?1,3), 则2a ? b ? 10. sin 62? cos 58? ? cos 62? sin122? 的值为 11.已知 a ? b ,且 a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 a 与 a ? b 的夹角为 12.函数 y ? 2sin x-1 的定义域是
?

. . .

.

x?R, 13.已知函数 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ) ? 4 , 且 f (2010 则 f (2 ) ? 2, 0 1 1 )
的值为 . .

3 5 14. 在?ABC中,sinA ? , cos B ? , 则cosC ? 5 13
15.给出下列命题: ①函数 y ? sin(

5? ? 2 x) 是偶函数; 2

②函数 y ? sin( x ? ③直线 x ?

?
4

) 在闭区间 [ ?

? ?

, ] 上是增函数; 2 2

?
8

是函数 y ? sin( 2 x ?

5? ) 图象的一条对称轴; 4

④将函数 y ? cos( 2 x ?

?
3

) 的图象向左平移

? 单位,得到函数 y ? cos2 x 的图象; 3
.

其中正确的命题的序号是

三.解答题:本大题共 6 小题,共 55 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 8 分)

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已知 ? , ? 为锐角,若 sin? ?

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4 3 , cos(? ? ? ) ? ? ,试求 cos ? 的值. 5 5

17.(本小题满分 9 分) 已知 a , b 是同一平面内的两个向量,其中 a ? (1,2) , | b |? (1)求 a ? b ; (2)求| a - b |.

5 且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直, 2

18. (本小题满分 9 分) 已知: tan( ? ?

?
4

)?2

(1)求 tan? 的值;

sin 2? ? cos2 ? (2)求 的值. 1 ? cos 2?

19.(本小题满分 9 分)

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如图,在 ?ABC 中, AB ? AC ? 0 , AB ? 8, AC ? 6, L 为线段 BC 的垂直平分线,L 与 BC 交与点 D,E 为 L 上异于 D 的任意一点, (1)求 AD ? CB 的值。 (2)判断 AE ? CB 的值是否为一个常数,并说明理由。 B D C E L A

20.(本小题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与单位 圆相交于 A、B 两点,已知 A、B 的纵坐标分别为 (1)求 ? +? ; (2)求 tan(? ? ? ) 的值. O

5 10 . , 5 10

y A B x

21. (本小题满分 10 分) 已知向量 a ? (sin x,? cos x),b ? ( 3 cos x, cos x), 设函数 f ? x ? ? a ? b ? (1)写出函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)若 x ? ?

1 ; 2

?? ? ? , ? 求函数 f ?x ? 的最值及对应的 x 的值;?4 2? ?? ? ? , ? 恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

(3)若不等式 f ?x? ? m ? 1 在 x ? ?

数学试题答卷(第 II 卷)
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题号 答案 1 C. 2 D 3 B

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4 A 5 A 6 B 7 A 8 D

一、选择题答案表:本大题共 8 题,每小题 3 分,共 24 分

二、填空题答案:本大题共有 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分 9、(5,1) 10、

3 2

11、 30 15 ①③

0

12、? x

? ? 5? ? ? 2 k? ? x ? ? 2 k ? , k ? z ? 6 ? ? 6

13、6

14、

16 65

三、解答题:本大题共 6 小题,共 55 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 8 分) 已知 ? , ? 为锐角,若 sin? ?

4 3 , cos(? ? ? ) ? ? ,试求 cos ? 的值. 5 5
3 3 4 4 7 ? = 5 5 5 5 25

3 4 解法1: ?,? 为锐角? cos ? ? ,sin(? ? ? ) ? 5 5

(? +?)cos? +sin(? +? )sin? =- ? + 故: cos ? = cos ? ??? +? ? -? ? ? = cos

4 3 , 得 cos ? ? 5 5 3 4 3 所以: cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? ? (1) 5 5 5 3 3 7 或 cos? ? 由 (1) 知 sin ? ? ? cos ? 再联立 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 可得 cos ? ? ? 1 4 4 25 7 又 ? 为锐角, 所以 cos ? ? 25 4 3 解法 3: 由 ? 为锐角,sin ? ? , 得 cos ? ? , 5 5
解法 2:联立方程组求解:由 ? 为锐角,sin ? ? 此时 cos(? ? ? ) ? ? cos ? ? cos(? ? ? ) 而 ? , ? 为锐角, 所以? ? ? ? ? ? ?

2 2 即 ? ? ? ? 2? , 所以 cos ? ? cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? 2sin ? ? 1 ? 2 ? ( ) ? 1 ?

4 5

7 . 25

17.(本小题满分 9 分) 已知 a , b 是同一平面内的两个向量,其中 a ? (1,2) , | b |?

5 且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直, 2

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(1) 求 a ? b ; (2)求 | a - b |。

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17.解:⑴∵ (a ? 2b ) ? (2a ? b) 又 a ? a ? 5, b ? b ? (2)解法一: cos ? ?
2 2 2 2

∴ (a ? 2b) ? (2a ? b)=0 即: 2a ? 3a ? b ? 2b ? 0

2

2

5 4
a? b a b


?

a ?b ? ?
? 5 2 5 5? 2

5 2
∴? ? ?

? ?1 而 ? ? [0 , ? ]

故: | a - b |= a + b =
2

3 5 2

解法二: a ? b ? a ? b 18. (本小题满分 9 分) 已知: tan( ? ?

?

?

2

? a ? 2a ? b ? b ? 5 ? 5 ?

2

2

5 45 ? 4 4

? a ?b ?

3 5 2

?
4

)?2

(1)求 tan? 的值; (2)求 解:(1) tan(

sin 2? ? cos2 ? 的值. 1 ? cos 2?

? 1 ? tan ? 1 + ? )= =2,解得 tan ? = 。 4 1 ? tan ? 3

(2)

sin 2? ? cos2 ? 2 sin ? cos? ? cos2 ? 2 sin ? ? cos? 1 1 ? ? ? tan? ? ? ? 2 1 ? cos 2? 2 cos? 2 6 1 ? 2 cos ? ? 1

19.(本小题满分 9 分) 如图,在 ?ABC 中, AB ? AC ? 0 , AB ? 8, AC ? 6, L 为线段 BC 的垂直平分线,L 与 BC 交与点 D,E 为 L 上异于点 D 的任意一点, (1)求 AD ? CB 的值。 (2)判断 AE ? CB 的值是否为一个常数,并说明理由。 解法 1: (1)由已知可得 AD ? E L A

1 AB ? AC , CB ? AB ? AC , 2
B D C

?

?

? AD ? CB ?

1 ( AB ? AC ) ? ( AB ? AC ) 2 2 2 1 ? 1 = ? ? AB ? AC ? ? (64 ? 36) ? 14 ? 2 2?

(2) AE ? CB 的值为一个常数

? L 为 L 为线段 BC 的垂直平分线,L 与 BC 交与点 D,E 为 L 上异于 D 的任意一点, ? DE ? CB ? 0 ,故: AE ? CB ? ( AD ? DE) ? CB ? AD ? CB ? DE ? CB = AD ? CB ? 14
解法 2: (1)以 D 点为原点,BC 所在直线为 X 轴,L 所在直线为 Y 轴建立直角坐标系,可

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求 A(

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7 24 7 24 , ) ,此时 AD ? ( ? ,? ) , CB ? (?10,0), 5 5 5 5 7 24 AD ? CB ? ? ? ? ?10 ? ? (? ) ? 0 ? 14 5 5 7 24 ), (2)设 E 点坐标为(0,y)(y ? 0),此时 AE ? (? , y ? 5 5 7 24 ) ? 0 ? 14 (常数)。 此时 AE ? CB ? ? ? ? ?10 ? ? ( y ? 5 5
20. (本小题满分 9 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与单位

圆相交于 A、B 两点,已知 A、B 的纵坐标分别为

5 10 . , 5 10

y A B O x

(1) 求 ? +? ; (2)求 tan(? ? ? ) 的值; 解:由条件得 sin ? ?

5 10 ,sin ? ? 5 10 2 5 3 10 ?、? 为锐角,? cos ? ? ,cos ? ? 5 10
(1) cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

?

2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

又 ? , ? 为锐角,所以

? ? ? ? ?0, ? ?

故: ? ? ? ?

?
4

1 1 (2)由条件可知 tan ? ? , tan ? ? 2 3
(21)(本小题满分 10 分)

1 1 ? tan ? ? tan ? 2 3 ?1 ∴ tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 1 ? 1 7 3 2
1 ; 2

已知向量 a ? (sin x,? cos x),b ? ( 3 cos x, cos x), 设函数 f ? x ? ? a ? b ? (1)写出函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)若 x ? ?

?? ? ? , ? 求函数 f ?x ? 的最值及对应的 x 的值;?4 2? ?? ? ? , ? 恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?
1 1 2 = 3 sin x cos x ? cos x 2 2

(3)若不等式 f ?x? ? m ? 1 在 x ? ?

解析: (1)由已知得 f (x)= a ? b ?

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= 由 ?

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? 3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1= sin(2 x ? ) ? 1 6 2 2
得: ?

1 ? cos 2 x 1 3 ? = sin 2 x ? 2 2 2

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?
1 2

?
2

? 2k?

?
6

? k? ? x ?

?
3

? k?

(k ? z )

所以 f (x)= a ? b ?

的单调递增区间为 ? x ?

? ?

?
6

? k? ? x ?

?

? ? k? , k ? z ? 。 3 ?

(2)由(1)知 f ( x) ? sin(2 x ? 故 当 2x ?

?

? ? 5? ?? ? ? ) ? 1 , x ? ? , ? ,所以 ? 2x ? ? 6 3 6 6 ?4 2?

时, f ( x)max ? 0 6 2 3 ? 5? ? 1 当 2x ? ? 时,即 x ? 时, f ( x ) min ? ? 6 6 2 2

?

?

?

时,即 x ?

?

(3)解法 1?

f ?x ? ? m ? 1 ? f ( x ) ? 1 ? m ? f ( x ) ? 1

(x ? ?

?? ? ? ; , ?) ?4 2?
1 )。 2

? m ? f ( x) max ? 1 且 m ? f ( x) min ? 1

故 m 的范围为(-1,

解法 2: f ?x? ? m ? 1 ? m ? 1 ? f ?x ? ? m ? 1

1 1 ? m ? 1 ? ? , 且 m ? 1 ? o ;故 m 的范围为(-1, )。 2 2

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