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人教版高中数学必修2笔记本.doc文件(空间几何体、直线与方程)


高中数学必修 2 笔记本

[高中数学]知识摘要

[必修 2]

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高中数学必修 2 笔记本

高中数学知识点摘要 (必修 2)

第一部份 空间几何体..................................................................................................................... 4 一、 空间几何体的结构 ......................................................................................................... 4 1. 基本概念(多面体、面、棱、项点) ................................................................... 4 2. 棱柱的结构特征 ....................................................................................................... 4 3. 棱锥的结构特征 ....................................................................................................... 4 4. 棱台的结构特征(截棱锥) ................................................................................... 4 5. 圆柱的结构特征(矩形旋转) ............................................................................... 4 6. 圆锥的结构特征(三角形旋转) ........................................................................... 4 7. 圆台的结构特征(截圆锥) ................................................................................... 4 8. 球的结构特征(半圆旋转) ................................................................................... 4 9. 简单组合体的结构特征 ........................................................................................... 5 二、 空间几何体的三视图和直观图 ..................................................................................... 5 1. 中心投影与平行投影 ............................................................................................... 5 2. 柱、锥、台、球的三视图,简单组合体的三视图 ............................................... 5 3. 空间几何体的直观图(斜二侧画法) ................................................................... 5 三、 空间几何体的表面积和体积 ......................................................................................... 5 1. 柱体的表面积 ........................................................................................................... 5 2. 锥体的表面积 ........................................................................................................... 5 3. 台体的表面积 ........................................................................................................... 5 4. 柱体的体积............................................................................................................... 5 5. 锥体的体积............................................................................................................... 5 6. 台体的体积............................................................................................................... 6 7. 球的表面积和体积 ................................................................................................... 6 8. 正棱台、正棱柱、正棱锥侧面积公式的关系(正棱台侧面积公式是基础) ... 6 9. 圆台、圆柱、圆锥侧面积公式的关系(圆台侧面积公式是基础) ................... 6 10. 台体、柱体、锥体体积公式的关系(台体体积公式是基础) ......................... 6 第二部份 点、直线、平面之间的位置关系 ................................................................................. 6 一、 空间点、直线、平面之间的位置关系 ......................................................................... 6 1. 平面(表示法、定理、语言符号) ....................................................................... 6 2. 空间中直线与直线之间的位置关系(相交、平行、异面) ............................... 7 3. 空间中直线与平面之间的位置关系(在平面内、相交、平行) ....................... 7 4. 平面与平面之间的位置关系(相交、平行) ....................................................... 7 二、 直线、平面平行的判定及其性质 ................................................................................. 7 1. 直线与平面平行的判定 ........................................................................................... 7 2. 直线与平面平行的性质 ........................................................................................... 7 3. 平面与平面平行的判定 ........................................................................................... 7 4. 平面与平面平行的性质 ........................................................................................... 7 三、 直线、平面垂直的判定及其性质 ................................................................................. 8
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1. 直线与平面垂直的判定 ........................................................................................... 8 2. 直线与平面垂直的性质 ........................................................................................... 8 3. 平面与平面垂直的判定 ........................................................................................... 8 4. 平面与平面垂直的性质 ........................................................................................... 8 第三部份 直线与方程..................................................................................................................... 8 一、 直线的倾斜角与斜率 ..................................................................................................... 8 1. 倾斜角( 0? ~ 180 ? )与斜率................................................................................. 8 2. 两条直线平行的判定(充要条件) ?l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ...................................... 8 3. 两条直线垂直的判定(充要条件) ?l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1? ............................... 8 二、 直线的方程..................................................................................................................... 9 1. 直线的点斜式方程 ................................................................................................... 9 2. 直线的二点式方程 ................................................................................................... 9 3. 直线的一般式方程 ................................................................................................... 9 三、 直线的交点坐标与距离公式 ......................................................................................... 9 1. 两条直线的交点坐标(组成联立方程,相交、平行、重合) ........................... 9 2. 两点间的距离 ........................................................................................................... 9 3. 点到直线的距离 ..................................................................................................... 10 4. 两条直线间的距离 ................................................................................................. 10 5. 两条直线的夹角 ? ................................................................................................. 10 第四部份 圆的方程....................................................................................................................... 10 一、 圆的方程....................................................................................................................... 10
2 1. 圆的标准方程 ?x ? a ? ? ? y ? b? ? r ................................................................. 10 2 2

2. 圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .......................................................... 10
2 2

3. 圆系方程................................................................................................................. 10 二、 点、直线、圆的位置关系 ........................................................................................... 10 1. 点与标准圆的位置关系(圆外、圆上、圆内) ................................................. 10 2. 点与一般圆的位置关系(圆外、圆上、圆内) ................................................. 11 3. 代数法判定直线与圆的位置关系(相交、相切、相离) ................................. 11 4. 几何法判定直线与圆的位置关系(相交、相切、相离) (常用) ................... 11 5. 圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含) ................................. 11 6. 过圆上某点 P 0 ? x0 , y0 ? 的切线方程 ....................................................................... 11 7. 过圆外某点 P 0 ? x0 , y0 ? 的切线方程 ....................................................................... 12 8. 斜率为 k 的直线同圆的切线方程 ......................................................................... 12 9. 切线长公式、弦长公式、圆心到切线距离 d 与半径 r 同弦长关系.................. 12 三、 空间直角坐标系 ........................................................................................................... 12 1. 空间直角坐标系 ..................................................................................................... 12 2. 空间两点间的距离 ................................................................................................. 13
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第五部份 第六部份 第七部份 第八部份

[空间几何体]练习题 .................................................................... 错误!未定义书签。 [点、直线、平面之间的位置关系]练习题 ................................ 错误!未定义书签。 [直线与方程]练习题 .................................................................... 错误!未定义书签。 [圆的方程]练习题 ........................................................................ 错误!未定义书签。

第一部份

空间几何体

一、空间几何体的结构 1.基本概念(多面体、面、棱、项点) 多面体、面、棱、项点。 (1)柱体:棱柱、圆柱; (2)锥体:棱锥、圆锥; (3)台体: 棱台、圆台; (4)球体。 2.棱柱的结构特征 特征: (1)两个面(即底面)互相平行; (2)其余各面(即侧面)是四边形; (3)每相 邻两个四边形的公共边(即侧棱)互相平行。侧面与底面的公共顶点叫顶点。 分类:三棱柱(底面是三角形)四棱柱(底面是四边形) 、五棱柱(底面是五边形)等。 表示:三棱柱 ABC ? A' B ' C ' 、四棱柱 ABCD ? A' B' C ' D' 。 3.棱锥的结构特征 特征: (1)一个面(即底面)是多边形; (2)其余各面(即侧面)是有一个公共点的三 角形; (3)每相邻侧面的公共边(即侧棱) 。侧面的公共顶点叫顶点。 分类:三棱锥(底面是三角形)四棱锥(底面是四边形) 、五棱锥(底面是五边形)等。 表示:三棱锥 S ? ABC 、四棱锥 S ? ABCD 4.棱台的结构特征(截棱锥) 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面(下底面)与截面(上底面)之间的部分,叫 棱台。 表示:三棱台 ABC ? A' B ' C ' 、四棱台 ABCD ? A' B' C ' D' 。 5.圆柱的结构特征(矩形旋转) 矩形旋转而成。轴、底、侧面、母线。 表示:圆柱 O ' O 。 6.圆锥的结构特征(三角形旋转) 直角三角形旋转而成。轴、底、侧面、母线。 表示:圆锥 SO 。 7.圆台的结构特征(截圆锥) 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面(下底面)与截面(上底面)之间的部分,叫 圆台。轴、底、侧面、母线。 表示:圆台 O ' O 。 8.球的结构特征(半圆旋转) 半圆旋转而成。表示:球 O 。

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9.简单组合体的结构特征 物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。 二、空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影与平行投影 中心投影与平行投影: 中心投影指由一点向外散射形成的投影; 平行投影指由平行光线 照射而形成的投影。 正投影与斜投影:在平行投影下,与投影面平行的平面图形的影子,叫正投影;在平行 投影下,与投影面不平行的平面图形的影子,叫斜投影。 2.柱、锥、台、球的三视图,简单组合体的三视图 (1)三种正投影图形:正视图、侧视图、俯视图(三个不同位置观察) 。能看见的轮廓 线和棱用实线表示;不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。 (2)能看见的轮廓线和棱用实线表示;不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。 3.空间几何体的直观图(斜二侧画法) (1)观察者站在某一个位置观察一个空间几何体而画出的图形,叫直观图。 (2)斜二侧画法:特殊的平行投影。主要用于画直观图(水平放置的平面图) 。 三、空间几何体的表面积和体积 1.柱体的表面积 (1)棱柱的表面积:棱柱的侧面展开图为平行四边形。表面积为侧面积与两底面积之和。 其中,直棱柱的侧面展开图为矩形;长方体、正方体是特殊的直棱柱。 (1)圆柱:圆柱的侧面展开图为矩形。圆柱的底面周长 C ? 2?l , S圆柱侧 ? Cl ? 2?rl ,其 中, l 是母线。底面面积为 S上 ? ?r 2,S 2.锥体的表面积 (2)棱锥的表面积:正棱锥的侧面展开图是多个相等的等腰三角形组成。 (3)圆 锥 的 表 面 积 : 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 是 一 个 扇 形 。 圆 锥 的 底 面 周 长 C ? 2?l ,


? ?r 2 。

1 S圆锥侧 ? Cl ? ?rl ,其中, l 是母线。底面面积为 S ? ?r 2 。 2
3.台体的表面积 (1)棱台的表面积:正棱台的侧面展开图是多个相等的等腰梯形组成。 (2)圆台:圆台的侧面展开图是一个扇环。 S圆台侧 ? ? ?r ? r '?l ,其中 r ? r ' 为圆台上下底 面的半径, l 是母线。上下底面积为: S上 ? ?r ' , S下 ? ?r 。
2 2

4.柱体的体积 柱体体积 V柱体 ? S底h 。包括(1)棱柱; (2)圆柱。 5.锥体的体积 锥体体积 V锥体 ?

1 S h 。包括(1)棱锥; (2)圆锥。 3 底
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6.台体的体积 台体体积 V台体 ?

1 S ? S上 S下 ? S下 h 。包括(1)棱台; (2)圆台。 3 上

?

?

7.球的表面积和体积 (1)球的表面积: S球 ? 4?R2 , R 为球的半径。 (2)球的体积: V球 ?

4 3 ?R 3

8.正棱台、正棱柱、正棱锥侧面积公式的关系(正棱台侧面积公式是基础)

S正棱台侧 ?

1 ?C ? C '?h ,其中 C , C ' 为正棱台上下底的周长。当 C ? C ' 时,是正棱柱; 2

当 C ' ? 0 时,是正棱锥。 9.圆台、圆柱、圆锥侧面积公式的关系(圆台侧面积公式是基础)

S圆台侧 ? ? ?r ? r '?l ,其中 r ? r ' 为圆台上下底面的半径,l 是母线。当 rC ? r ' 时,是圆
柱;当 r ' ? 0 时,是圆锥。 10.台体、柱体、锥体体积公式的关系(台体体积公式是基础) 台体体积 V台体 ?

1 S ? S上 S下 ? S下 h 。当 S上 ? S下 时,是柱体;当 S上 ? 0 时,是 3 上

?

?

锥体。包括棱台、棱柱、棱锥、圆台、圆柱、圆锥。

第二部份

点、直线、平面之间的位置关系

一、空间点、直线、平面之间的位置关系 1.平面(表示法、定理、语言符号) (1)表示法:平面通常用平行四边形来表示,字母为 ? , ? 等。平面语言符号有:

?,?, ?, ?,? 。
(2)如果一条直线上的二点在平面内,那么该直线在此平面内。即:

A ? l , B ? l ,且 A ? ? , B ? ? ? l ? ?
(3)过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。即:

A, B, C 三点不共线 ? 有且只有一个平面 ? ,使 A ?? , B ?? , C ??
(4)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。即:

A ? l ? 有且只有一个平面 ? ,使 A ? ? , l ? ?
(5)经过二条相交直线,有且只有一个平面。即:

a ? b ? P ? 有且只有一个平面 ? ,使 a ? ? , b ? ?
(6)经过二条平行直线,有且只有一个平面。即:

a // b ? P ? 有且只有一个平面 ? ,使 a ? ? , b ? ?
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2.空间中直线与直线之间的位置关系(相交、平行、异面) (1)位置关系:相交、平行、异面。 (2)异面直线:二条直线不在同一个平面内。 (错误:异面直线是在不同平面内的二条 直线) (3)异面直线的判定定理:过平面外一点和平面内一点的直线,和平面内不经过该点 的直线是异面直线。 (4)异面直线的判定法:定理法、定义法、反正法。 (5)空间等角定理:空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补。 (6)异面直线所成的角:平移相交时所成的角(取锐角或直角) 。 3.空间中直线与平面之间的位置关系(在平面内、相交、平行) (1)位置关系:直线在平面内、相交、平行。 (2)表示方法:直线在平面内 ?a ? ? ? 、相交 ?a ? ? ? A? (必须把交点 A 写出来) 、 平行 ?a // ? ? 。其中相交、平行又可以统一表示为 a ?? 。 4.平面与平面之间的位置关系(相交、平行) (1)位置关系:相交、平行。 (2)表示方法:相交 ?? ? ? ? l ? (必须把相交线 l 写出来) 、平行 ?? // ? ? 。 二、直线、平面平行的判定及其性质 1.直线与平面平行的判定 (1)判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行。 符号语言: a ? ? , b ? ? , 且a // b ? a // ? (线线平行,则线面平行) (2)判定方法:定理法、定义法。 2.直线与平面平行的性质 定理: 一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任何一个平面同与此平面的交线平行。 符号语言: a // ? , a ? ? ,? ? ? ? b ? a // b (线面平行,则线线平行) 3.平面与平面平行的判定 (1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

a ? ? , b ? ? , a ? b ? P, a // ? , b // ? ? ? // ? (线面平行,则面面平行)
(2)推论:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的二条直线,则这 两个平面平行。 (3)推论:垂直于同一条直线的两个平面平行。 (4)判定方法:定理法、定义法。 4.平面与平面平行的性质 定理:如果二个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行。 符号语言: ? // ? ,? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b (面面平行,则线线平行)
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三、直线、平面垂直的判定及其性质 1.直线与平面垂直的判定 (1)定义:直线 l 垂直于平面 ? 内任何一条直线,叫做直线 l 与 ? 平面垂直。垂足 P 是唯一公共点。记作 l ? ? 。 (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂 直。符号语言: m ? ? , n ? ? , m ? n ? B, l ? m, l ? n ? l ? ? (线线垂直,则线面垂直) 2.直线与平面垂直的性质 定理:垂直于同一平面的两条直线平行。 a ? ? , b ? ? ? a // b 3.平面与平面垂直的判定 (1)半平面:平面内的一条直线将平面分成二个部份,这二个部份称为半平面。 (2)二面角:从一条直线出发的二个半平面组成的图形,叫二面角。这条直线叫棱。 记作 ? ? l ? ? ,或 P ? l ? Q ( P, Q 是平面内的任意点) (3)二面角的平面角:从二面角的棱上一点出发,在二个半平面内分别作垂直于棱的 二条射线,则二条射线的夹角叫二面角的平面角。该角的大小是 0? ~ 180 ? 。 (4)平面垂直的定义:两个平面相交,则当二面角是直二面角时,则二个平面垂直。 (5)平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直。 符号语言: AB ? ? , AB ? ? ? B, AB ? ? ? ? ? ? 4.平面与平面垂直的性质 定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 符号语言: ? ? ? ,? ? ? ? CD, AB ? ? , AB ? CD ? AB ? ?

第三部份

直线与方程

一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角( 0? ~ 180 ? )与斜率 (1)倾斜角:X 轴正向与直线的夹角,叫倾斜角,该角的大小是 0? ~ 180 ? 。 (2)斜率:倾斜角的正切值, k ? tan ? , 。倾斜角是 90 度的直线没有斜率。 (3)二点斜率公式: k ?

y2 ? y1 , ?x2 ? x1 ? x2 ? x1

2.两条直线平行的判定(充要条件) ?l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? 两条直线的斜率相等,则两条直线平行。 ?l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? 3.两条直线垂直的判定(充要条件) ?l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1? 两条直线的斜率之积等于 ?1 ,则两条直线垂直。 ?l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1?

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二、直线的方程 1.直线的点斜式方程 (1)若直线经过点 P?x1, y1 ? ,斜率为 k ,则直线点斜式方程为: y ? y1 ? k ?x ? x1 ? (2)点斜式方程中, 若直线过点 P?0, b ? , 即 b 是直线在 Y 轴上的截距, 则 y ? kx ? b , 称斜截式方程。 2.直线的二点式方程 (1)若直线经过点 P 1 ?x1 , y1 ?, P 2 ?x2 , y2 ? ,则直线方程为: y ? y1 ?

y2 ? y1 ?x ? x1 ? x2 ? x1

(2)在二点式方程中,若 P 1, P 2 是直线与 X 轴和 Y 轴的交点,即 P 1 ?a,0?, P 2 ?0, b ? ,则 直线的截距式方程为

x y ? ? 1。 a b

3.直线的一般式方程

Ax ? By ? C ? 0 , A2 ? B2 ? 0
三、直线的交点坐标与距离公式

?

?

1.两条直线的交点坐标(组成联立方程,相交、平行、重合) (1)交点坐标: 两条直线 l1 : A 组成联立方 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 与 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 , 程求解。 (2)两条直线关系的判定:相交、平行、重合。 相交:当

A1 B1 ? 时,联立方程有唯一解,两条直线 l1 , l2 相交。 A2 B2 A1 B1 C1 ? ? 时,联立方程无解,两条直线 l1 , l2 平行。 A2 B2 C2 A1 B1 C1 ? ? 时,联立方程有无数组解,两条直线 l1 , l2 重合。 A2 B2 C2

平行:当

重合:当

2.两点间的距离 (1)平面上任意两点 P 1P 2 ? 1 ?x1 , y1 ?, P 2 ?x2 , y2 ? ,距离: P (2)两点 P 1 ?x1 , y1 ?, P 2 ?x2 , y2 ? 的中点 M 的坐标 M ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? 2 ? ? 2

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3.点到直线的距离 平面上任意点 P 0 ? x0 , y0 ? 到直线 Ax ? By ? C ? 0 ,距离: d ? 4.两条直线间的距离 两条平行直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,距离: d ? 5.两条直线的夹角 ? 直线 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 与 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 夹角: cos? ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

C1 ? C2 A2 ? B 2

A1 A2 ? B1B2 A ? B1 ? A2 ? B2
2 1 2 2 2

第四部份
一、圆的方程

圆的方程
2 2

1.圆的标准方程 ?x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 (1)圆标准方程:?x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 , 圆心坐标为 ?a, b ? , 半径为 r 。 通过配方后,
2 2

得到该形式的方程,否则不是圆方程。 (2)单位圆方程: x 2 ? y 2 ? 1 ,圆心坐标为 ?0,0? ,半径为 1。 2.圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 条件:D
2 2

?

2

? E 2 ? 4F ? 0, 否则, 不是圆

?

(1)当 D ? E ? 4 F ? 0 时,是圆,圆心 ? ?
2 2

1 ? D E? D2 ? E 2 ? 4F 。 ,? ? ,半径 r ? 2 2 2 ? ?

(2)当 D ? E ? 4 F ? 0 时,是一个点 ? ?
2 2

? D E? ,? ? 。 ? 2 2?

(3)当 D ? E ? 4F ? 0 时,不表示任何图形。
2 2

3.圆系方程 直线与圆相交,过二交点的圆系方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? ? ? Ax ? By ? C ? ? 0
2 2

二、点、直线、圆的位置关系 1.点与标准圆的位置关系(圆外、圆上、圆内)
2 点P 0 到圆心的距离: 0 ? x0 , y0 ? 与圆 ?x ? a ? ? ? y ? b? ? r 的位置关系, d 为点 P 2 2

⑴当 ?x0 ? a? ? ? y0 ? b? ? r 2 时,则点 P0 在圆外, d ? r 。
2 2

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⑵当 ?x0 ? a? ? ? y0 ? b? ? r 2 时,则点 P0 在圆上, d ? r 。
2 2

⑶当 ?x0 ? a? ? ? y0 ? b? ? r 2 时,则点 P0 在圆内, d ? r 。
2 2

2.点与一般圆的位置关系(圆外、圆上、圆内)
2 2 点P 0 到圆心的距离: 0 ? x0 , y0 ? 与圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的位置关系, d 为点 P

⑴当 x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 时,则点 P0 在圆外, d ? r 。 ⑵当 x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 时,则点 P0 在圆上, d ? r 。 ⑶当 x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 时,则点 P0 在圆内, d ? r 。 3.代数法判定直线与圆的位置关系(相交、相切、相离) 直线方程同圆方程组成联立方程,消去其中的 x 或 y ,得到一元二次方程,利用判别式
2 2 2 2

2

2

? ? b2 ? 4ac 进行判别:
⑴ ? ? b ? 4ac ? 0 ,有两个公共点(相交) 。
2

⑵ ? ? b ? 4ac ? 0 ,只有一个公共点(相切) 。
2

⑶ ? ? b ? 4ac ? 0 ,没有公共点(相离) 。
2

4.几何法判定直线与圆的位置关系(相交、相切、相离) (常用) 圆心到直线的距离 d 同圆的半径进行大小比较: ⑴直线与圆相交(d<r) ,有两个公共点(相交) 。 ⑵直线与圆相切(d=r) ,只有一个公共点(相切) 。 ⑶直线与圆相离(d>r) ,没有公共点(相离) 。 5.圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含) (1)位置关系:外离、外切、相交、内切、内含 (2)代数法判定位置关系:联立方程求实数解的个数。 (3)几何法判定位置关系:设圆心距 d ? C1C2 ,二圆半径分别为 R , r ,且 R ? r ,则 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 ? ? 0 一组实数解 ? ? 0 二组实数解 ? ? 0 一组实数解 ? ? 0 无实数解 ? ? 0

d ? R?r d ? R?r R?r ? d ? R?r d ? R?r d ? R?r

6.过圆上某点 P 0 ? x0 , y0 ? 的切线方程 (1)过圆 x ? y ? r 上 P 0 ? x0 , y0 ? 切线: x0 x ? y0 y ? r
2 2 2

2

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2 (2)过圆 ?x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 上 P 0 ? x0 , y0 ? 切线: ?x0 ? a ??x ? a ? ? ? y0 ? b?? y ? b? ? r
2 2

7.过圆外某点 P 0 ? x0 , y0 ? 的切线方程 共有二条切线。可以设切线方程为 y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,再利用圆心到切线的距离 d 等 于半径 r ,求出斜率 k 。若求出的 k 只有一个,则还有一条斜率不存在的切线 x ? x0 。 8.斜率为 k 的直线同圆的切线方程 (1)斜率为 k 的直线同圆 x2 ? y 2 ? r 2 的切线方程: y ? kx ? r 1 ? k 2 (2)斜率为 k 的直线同圆 ?x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 的切线方程:可以设切线方程为
2 2

y ? kx ? m , 化成一般式 kx ? y ? m ? 0 , 再利用圆心到切线的距离 d 等于半径 r , 求出 m 。
9.切线长公式、弦长公式、圆心到切线距离 d 与半径 r 同弦长关系 (1)圆外某点 P 0 ? x0 , y0 ? 到圆的切线长: l ? 者l ?

?x0 ? a ?2 ? ? y0 ? b?2 ? r 2 (标准圆) ,或

x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F (一般圆) 。

2

2

2 (2)弦长公式: L ? 1 ? k ? x1 ? x2

(3)圆心到切线距离 d 与半径 r 同弦长关系:构成直角三角形。直线与圆交于二点

? AB ? 2 A, B ,则有 d ? ? ? 2 ? ? ?r 。 ? ?
2

2

Z c

M

三、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 (1)表示法: Oxyz ,如图。
a X

O

b

Y

(2)三条轴: X 轴、 Y 轴、 Z 轴。 平面画法上, X 轴同 Y 轴成 135 ? , X 轴同 Z 轴成 135 ? , Y 轴同 Z 轴成成 90 ? (即垂直) 。Y 轴和 Z 轴上单位长度相等,X 轴上长度为 (3)三个面: xoy 平面、 yoz 平面、 zox 平面,其中 O 为坐标原点。 (4)空间点的投影和射影:空间点分别在 X 轴、Y 轴、Z 轴方向上的垂直投影,称空 间点的投影; 空间点分别在 xoy 平面、 yoz 平面、zox 平面上的垂直投影, 称空间点的射影。 (5)空间点的坐标:空间某点分别在 X 轴、Y 轴、Z 轴方向上的垂直投影点到原点的 距离,分别是该空间某点在 X 轴、Y 轴、Z 轴方向上的坐标,即横坐标、纵坐标、竖坐标。 如空间点坐标 M( a , b, c ) 。

1 。 2

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高中数学必修 2 笔记本

2.空间两点间的距离 (1) P 1P 2 ? 1 ?x1 , y1 , z1 ?, P 2 ?x2 , y2 , z2 ? 距离: P

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2 ? ?z1 ? z2 ?2
? x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 ? , , ? 2 2 ? ? 2

(2)两点 P 1 ?x1 , y1 , z1 ?, P 2 ?x2 , y2 , z2 ? 的中点坐标: P?

(3)可证明空间三点共线:若 AC ? AB ? BC ,则 A, B, C 点共线。

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