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高二数学椭圆及其标准方程课件


椭圆及其标准方程









同学们一起观察以下操作: 在图板上,将一根无弹性的长为2a的细绳 的两端(两端点距离为2c)用图钉固定在不 同处,套上铅笔,使笔尖沿细绳运动,能得

到什么图形?

绳长> F1F2

绳长= F1F2

绳长< F1F2





? (1)在画出一个椭圆的过程中,细绳的

两端的位置是固定的还是运动的?

? (2)在画椭圆的过程中,绳子的长度 变了没有?说明了什么?

? (3)在画椭圆的过程中,绳子长度与 两定点距离大小有怎样的关系?

探究:
|MF1|+ |MF2|>|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| 椭圆 线段 |MF1|+ |MF2|<|F1F2| 不存在

归纳:椭圆的定义:
平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆. 定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两焦点的距离 叫做椭圆的焦距.

说明
我们通常把椭圆上的点到两个

焦点的距离之和记为2a ;
焦距记为2c, 注意 即:|F1F2|=2c.

a

c

0

M为椭圆上的点

?



| MF1 | ? | MF2 |? 2a



对于含有两个 M 以直线F1F2为x轴,线段 根式的方程, F1 O 移项 F2 F1F2的垂直平分线为y轴, 可以采用 建立如图坐标系。 两边平方或

y

x

者 设M(x,y)为椭圆上的任意一点, 分子有理化 ∵|F1F2|=2c(c>0), 进 则:F1(-c,0)、F2(c,0)



| MF1 | ? | MF2 |? 2a
2 2

行化简。
2 2

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? 2a



( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a ? ( x ? c) 2 ? y 2


∴ ∴

? a ? c ? 0 ? a ?c ? 0
2 2

这样设法不仅 2 4a ( x ? c) ? y ? 4a ? 4cx 可以使方程简 2 2 2 2 4 2 2 2 单整齐,而且 a (x ? 2cx ? c ? y ) ? a ? 2a cx ? c x b 2还有明确的 2 2 2 2 2 2 2 (a ? c )x ? a y ? a (a ? c ) 意义。
2 2

令 a2 ? c 2 ? b2 , b ? 0
∴ b 2 x2 ? a2 y 2 ? a2b 2

则,椭圆的方程为:

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

结论
y

焦 点: F1(-c,0)、F2(c,0)
方 程:
x y ? 2 ?1 2 a b
2 2

M F1 O F2 x

a,b,c的关系:

b ? a ?c
2 2

2

a>b>0

a>c>0

方程的推导
对于如图的椭圆如何建系 比较方便? 以直线F1F2为y轴,线段 F1F2的垂直平分线为x轴, 建立坐标系。 椭圆的方程为: y 2
2

y F2

o
F1

x

x ? 2 ? 1 (a ? b ? o ) 2 a b

椭圆的标准方程
y M F1 O F2 x M

y F2 O F1 x

F1(-c,0)、F2(c,0)
x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

F1(0 ,-c)、F2(0, c)
y 2 x2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0 ) 2 a b

b ? a ?c
2 2

2

x 下的分母大

2

y 下的分母大

2

例1求适合下列条件的椭圆的标准方程:

x 2 ? y ?1 1)a=4,b=1,焦点在x轴上; 16
2)a=4,c= 15,焦点在y轴上; 3)a+b=10, c= 2 5 ;

2

x

2

36

?

y ?1 或 ? x ?1 16 36 16
2

y2

2

例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), 5 3 (2,0), 并且经过点 ( , ? ) ,求其方程。 2 2 解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0). 2 a b 又∵焦点的坐标为 (?2,0),(2,0)

?c ? 2

? a 2 ? b2 ? 4

① 求椭圆标准方程的解题步骤:

2 3 2 (5 ) ( ? 2 2) 又由已知 2 ? (12)确定焦点的位置; ?1 ② a (2)设出椭圆的标准方程; b 2 2 联立①②, 解得 a ? 10,b ? 6 ( 3)用待定系数法确定 a、b的值,
2 2 x y 写出椭圆的标准方程 ? .? 1 . 因此, 所求椭圆的标准方程为 10 6

例2还有其他解法吗?

变式:椭圆两焦点为 F1(0,-4),F2(0,4),椭 圆上一点P使△PF1F2周长为18,求其方程。_______

课堂练习
1.判定下列椭圆的焦点在哪个轴,并指明a2、b2, 写出焦点坐标

x2 y2 ? ?1 144 169

x y ? ?1 25 16

2

2

答:在 X 轴。(-3,0)和(3,0)
答:在 y 轴。(0,-5)和(0,5)

x2 y2 ? 2 ?1 2 m m ?1

答:在y 轴。(0,-1)和(0,1)

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则: 焦点在分母大的那个轴上。

y x 2、如果椭圆 100 ? 36 ? 1 上的一点P到焦点
2

2

F1的距离等于 6,那么点 P到另一个焦点 F2的距离是( 14 )

Y

M M F2 (c,0) X

Y

F2(0 , c) O
X F1(0,-c)
y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

F1 (-c,0)

O

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

椭圆的标准方程的再认识:

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪

一个轴上。

(3)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。

(4)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。

小结
定 义 平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
y P

y F2
x
O

不 同 点




F1
O

P x

F2

F1

标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0?

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a
F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

a2-c2=b2 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

课后思考
1、如果方程 x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭 圆,则的k取值范围是___________

2、已知△ ABC的顶点B,C在椭圆 x2/3+y2=1 上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外 一个焦点在BC边上,则△ ABC的周长是( ) A2 3 B6 C 4 3 D 12


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