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2014高考数学一轮复习 第五章 数列的概念及简单的表示方法训练 理 新人教A版


【创新设计】 2014 高考数学一轮复习 第五章 数列的概念及简单 的表示方法训练 理 新人教 A 版 [备考方向要明了] 考 什 么 1.了解数列的概念和几种简单的 表示方法(列表、图象、通项公 式). 2.了解数列是自变量为正整数的 一类函数. 怎 么 考 数列的概念在高考试题中常与其他知识综合进行考查, 主要有: (1)以考查通项公式为主, 同时考查 Sn 与 an 的关系, 如 2012 年江西 T16 等. (2)以递推关系为载体,考查数列的各项的求法,如 2012 年新课标全国 T16 等. [归纳·知识整合] 1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第 一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做首项). 2.数列的分类 分类原则 项数 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 项与项间 的大小关 系 摆动数列 递减数列 常数列 满足条件 项数有限 项数无限 an+1>an an+1<an an+1=an 从第 2 项起有些项大于它的前一项, 有些项小于 它的前一项. 其中 n∈N * 1 3.数列的表示法 数列的表示方法有列表法、图象法、公式法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做 这个数列的通项公式. [探究] 1.数列的通项公式唯一吗?是否每个数列都有通项公式? 提 示 : 不 唯 一 , 如 数 列- 1,1 , - 1,1 , ? 的 通项 公 式 可 以 为 an = ( - 1) 或 an = ? ?-1,n为奇数, ? ?1,n为偶数. ? n 有的数列没有通项公式. 5.数列的递推公式 若一个数列{an}的首项 a1 确定,其余各项用 an 与 an-1 的关系式表示(如 an=2an-1+1,n >1),则这个关系式就称为数列的递推公式. [探究] 2.通项公式和递推公式有何异同点? 提示: 不同点 通项公式法 可根据某项的序号,直接用代入法 求出该项 可根据第 1 项或前几项的值,通过 递推公式法 一次或多次赋值,逐项求出数列的 项,直至求出所需的项 都可确定一个数列,都 可求出数列的任何一项 相同点 [自测·牛刀小试] 1.(教材习题改编)已知数列{an}的前 4 项分别为 2,0,2,0,?,则下列各式不可以作 为数列{an}的通项公式的一项是( A.an=1+(-1) n+1 ) B.an=2sin nπ 2 C.an=1-cos nπ ?2,n为奇数, ? D.a=? ? ?0,n为偶数 解析:选 B 若 an=2sin nπ π 3π ,则 a1=2sin =2,a2=2sin π =0,a3=2sin =-2, 2 2 2 a4=2sin 2π =0. 2.已知数列的通项公式为 an=n -8n+15,则 3( A.不是数列{an}中的项 2 ) 2 B.只是数列{an}中的第 2 项 C.只是数列{an}中的第 6 项 D.是数列{an}中的第 2 项或第 6 项 解析:选 D 令 an=3,即 n -8n+15=3,解得 n=2 或 6,故 3 是数列{an}中的第 2 项 或第 6 项. 3.(教材习题改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+ A. C. 3 2 7 4 B. D. 5 3 8 5 1 2 an-1 (n≥2),则 a5=( ) 3 5 8 解析:选 D 由题意知,a1=1,a2=2,a3= ,a4= ,a5= . 2 3 5 4.(教材改编题)已知数列 2, 5,2 2,?,根据数列的规律,2 5应该是该数列的 第________项. 解析:由于 2=3×1-1,5=3×2-1,8=3×3-1,? 故可知该数列的通项公式为 an= 3n-1 由 2 5= 3n-1,得 n=7. 答案:7 5.若数列{an}的前 n 项和 Sn=n -10n(n=1,2,3,?),则此数列的通项公式为 an= ________;数列{nan}中数值最小的项是第_____ ___项. 解析:∵当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(n -10n)-[(n-1) -10(n-1)]=2n-11; 当 n=1 时,a1=S1=-9 也满足 an=2n-11, ∴an=2n-11. 2 2 2 ? 2 11 ? ?? 11?2 121? 2 ∴nan=2n -11n=2?n - n?=2??n- ? - ? 4? 2 ? ?? 16 ? ? ? 11?2 121 =2?n- ? - . 4? 8 ? 又∵n∈N ,∴当 n=3 时,nan 取最小值. 答案:2n-11 3 * 3 已知数列的前几项求通项公式 [例 1] 根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 1 1 5 13 29 61 (3) , ,- , ,- , ,?. 2 4 8 16 32 64 [自主解答] (1)各数都是偶数,且最小为 4,所以通项 an=2(n+1)(n∈N ). (2)注意到分母分别是 2 2 2 2 2 ,?,而分子比分母少 1, 2 -1 * 所以其通项 an= n (n∈N ). 2 (3)分母规律明显,而第 2,3,4 项的绝对值的分子比分母少 3,因此可考虑把第 1 项变为 - 2-3 2 -3 2 -3 2 -3 2 -3 2 -3 2 -3 ,这样原数列可化为- 1 , 2 ,- 3 , 4 ,- 5 , 6 ,? 2 2 2 2 2 2 2 所以其通项 an=(-1) ————— n 1 2 3 4 5 6 1, 2, 3, 4, 5 * n 2 -3 * n (n∈N ). 2 —————————————— 用观察法求数列的通项公式的技巧 n 用观察归纳

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