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第20讲 两角和与差及二倍角的三角函数_图文


熟记两角和与差的三角函数公式及 二倍角公式,掌握公式的特征并能 灵活运用;能根据问题情境准确地 选用公式进行三角函数的简单恒等 变换;掌握三角函数求值的基本题 型与求解方法.

1.两角和与差的三角函数公式 sin(? ? ? ) ? ① __________ . cos(? ? ? ) ? ② __________ . tan(? ? ? ) ? ③ __________ . 2.二倍角公式 sin 2? ? ④ __________ . cos 2? ? ⑤ __________ ? ⑥ __________ ? 1 ? 2 sin 2 ? . tan 2? ? ⑦ __________ .

3.辅助角公式 b a sin ? ? b cos ? ? ⑧ __________ ,其中 tan ? ? . a b a cos ? ? b sin ? ? ⑨ __________ ,其中 tan ? ? . a 4.降幂公式 cos ? ? ⑩ __________ .sin ? ?
2 2

【要点指南】 ① sin ? cos ? ? cos ? sin ?;② cos ? cos ? ? sin ? sin ?; tan? ? tan ? ③ ;④ 2sin ? cos ?;⑤ cos 2 ? ? sin 2 ?; 1 ? tan? tan ? 2tan? 2 ⑥ 2cos ? ? 1;⑦ ;⑧ a 2 ? b 2 sin(? ? ? ); 1 ? tan 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 2 ⑨ a ? b cos(? ? ? );⑩ ; 2 2

1.cos(45° -30° )的值为( 2 A. 2 2+ 3 C. 4 3 B. 2

)

2+ 6 D. 4

【解析】cos(45° -30° )=cos45° cos30° +sin45° sin30° = 6+ 2 ,故选 D. 4 易错点:两角差的余弦公式记错.

π 3 π 2.已知 α∈(2,π),sinα=5,则 tan(α+4)等于( 1 A.7 1 C.-7 B.7 D.-7

)

π 3 4 【解析】因为 α∈(2,π),sinα=5,所以 cosα=-5,tanα sinα 3 =cosα=-4. 3 1-4 π 1+tanα 1 所以 tan(α+4)= = 3=7.故选 A. 1-tanα 1+4

3.(2011· 新课标卷)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos2θ=( ) 4 A.-5 3 C.5 3 B.-5 4 D.5

【解析】由三角函数定义,终边在直线 y=2x 上?sinθ= 2cosθ,即 tanθ=2, cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 1-4 又 cos2θ=cos2θ-sin2θ= 2 = = = cos θ+sin2θ 1+tan2θ 1+4 3 -5.

4.(2011· 上海卷)函数 y=2sinx-cosx 的最大值为

5

.

2 5 【解析】由辅助角公式 y=2sinx-cosx= 5( 5 sinx- 5 5 cosx)= 5sin(x-φ) 2 5 5 (其中 cosφ= 5 ,sinφ= 5 ),故 ymax= 5.

π 4 3 7π 5.已知 cos(α-6)+sinα= 5 ,则 sin(α+ 6 )的值是( 2 3 A.- 5 4 C.-5 2 3 B. 5 4 D.5

)

π 4 3 3 3 【解析】 cos(α- 6 )+sinα= 5 ?2 sinα+ 2 cosα= 4 3 π 4 7π π 4 5 ?sin(α+6)=5,所以 sin(α+ 6 )=-sin(α+6)=-5.



给角求值或化简

θ θ ?1+sinθ+cosθ??sin2-cos2? 【例 1】(1)化简 (0<θ<π); 2+2cosθ 3 (2)计算 tan12° +tan18° 3 tan12° + tan18° 的值.

【分析】 (1)倍角化单角, 统一角度; (2)发现 12° +18° =30° 从而出现特殊角.

【解析】 (1)原式 θ θ θ θ 2θ ?2sin2cos2+2cos 2??sin2-cos2? = 2θ 4cos 2 θ θ 2θ 2θ cos2?sin 2-cos 2? -cos2· cosθ = = . θ θ |cos2| |cos2|

θ π θ 因为 0<θ<π,所以 0<2<2,所以 cos2>0, 所以原式=-cosθ.

3 (2) 原 式 = tan(12°+ 18° - tan12° )(1 tan18° + 3 ) tan12°tan18° · 3 3 3 = 3 - 3 tan12° tan18° 3 tan12° + tan18° 3 =3.

【点评】 对于给角求值(化简)问题,往往所给角都是 非特殊角,基本思路有: (1)化为特殊角的三角函数值; (2)化为正、负相消的项,消去求值; (3)化分子,分母出现公约数进行约分求值.

素材1

若 270° <α<360° ,则三角函数式 的化简结果是( α A.sin2 α C.cos2 )

1 1 2+2

1 1 2+2cos2α

α B.-sin2 α D.-cos2

【解析】 1 1 2+2cosα=

1 1 2+2 cos 2,


1 1 2+2cos2α =

1 1 +2 cos2α = 2

α α α 由于 135° 2<180° < ,故 cos2<0,所以化简结果为-cos2.



给值求值
3 5 π 3 π 【例 2】 sin(4π+α)=13, 4-β)=5, 0<α<4 若 cos( 且

3 <β<4π,求 cos(α+β)的值.

π 3 【解析】因为 0<α<4<β<4π, 3 3 π π 所以4π<4π+α<π,-2<4-β<0. 3 5 π 3 又 sin(4π+α)=13,cos(4-β)=5, 3 12 π 4 所以 cos(4π+α)=-13,sin(4-β)=-5,

所以 cos(α+β) π =sin[2+(α+β)] 3 π =sin[(4π+α)-(4-β)] 3 π 3 π =sin(4π+α)cos(4-β)-cos(4π+α)sin(4-β) 33 =-65.

【点评】 对于给值求角问题,即由给出的某些角的三 角函数的值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变 角”使“所求角”变为“已知角”;若角所在象限没有确 定,则应分类讨论,应注意公式的灵活应用,如 β=α-(α α+β α+β α-β -β),α+β= 2 ×2,α= 2 + 2 等.

素材2

1 13 π 已知 cosα=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2. (1)求 tan2α 的值; (2)求角 β 的值.

1 【分析】 (1)由于 2α 是 α 的二倍角,因此由 cosα=7,求 得 tanα 的值,然后应用正切的二倍角公式求 tan2α 的值. (2)分析已知式和待求式中角的关系,不难发现 β=α-(α -β),因此应用两角差公式求解.

1 π 【解析】(1)由 cosα=7,0<α<2, 4 3 得 sinα= 1-cos α= 7 .
2

sinα 4 3 7 所以 tanα=cosα= 7 ×1=4 3. 2×4 3 2tanα 8 3 于是 tan2α= 2 = 2=- 47 . 1-tan α 1-?4 3?

π π (2)由 0<β<α<2得 0<α-β<2. 13 又 cos(α-β)=14, 3 3 所以 sin(α-β)= 1-cos ?α-β?= 14 .
2

则 cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β), 1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π π 而 β∈(0,2),则 β=3.



给值求角

1 13 π 【例 3】(1)已知 cosα=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2, 求 β 的值; π (2)已知 α、β、γ∈(0,2),sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ =cosα,求 β-α 的值.

【分析】 (1)分析已知式和待求式中角的关系, 不难发 现 β=α-(α-β),因此应用两角差公式求解. (2)目标角中不含 γ,因此利用 sin2γ+cos2γ=1 消去 γ 即 可.

π π 【解析】(1)由 0<β<α<2得 0<α-β<2. 13 1 又 cos(α-β)=14,cosα=7, 3 3 所以 sin(α-β)= 1-cos ?α-β?= 14 .
2

4 3 sinα= 7 .

则 cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β), 1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π π 而 β∈(0,2),则 β=3.

(2)由已知,得 sinγ=sinβ-sinα,cosγ=cosα-cosβ. 平方相加得(sinβ-sinα)2+(cosα-cosβ)2=1. 1 所以-2cos(β-α)=-1,所以 cos(β-α)=2, π 所以 β-α=± . 3 因为 sinγ=sinβ-sinα>0,所以 β>α, π 所以 β-α=3.

【点评】 给值求角问题,一般都需先求出待求角的 某一个三角函数值, 再根据角的范围确定角的值; 一般地, π π 若 α∈(-2, ), 若 π), 2 则求 sinα 或 tanα; α∈(0, 则求 cosα 或 tanα,避免增角.

素材3

π 已知 α、β、γ∈(0,2),sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα, 求 β-α 的值.

【解析】 由已知, sinγ=sinβ-sinα, 得 cosγ=cosα-cosβ. 平方相加得(sinβ-sinα)2+(cosα-cosβ)2=1. 1 所以-2cos(β-α)=-1,所以 cos(β-α)=2, π 所以 β-α=± . 3 因为 sinγ=sinβ-sinα>0,所以 β>α, π 所以 β-α=3.

备选例题

→ → (2012· 遵义四中)设向量OM=(- 3,1),向量ON=(cosα, -sinα)(0<α<π). → → (1)若向量OM⊥ON,求 tanα 的值; → (2)求|MN|的最大值及此时 α 的值.

→ → 【解析】(1)因为OM=(- 3,1),ON=(cosα,-sinα), → → OM⊥ON, → ON → 所以OM· =- 3cosα-sinα=0. 若 cosα=0,则 sinα=± 与上式矛盾,故 cosα≠0,两边 1 同除以 cosα 化简得:tanα=- 3.

→ (2)|MN|= ?cosα+ 3?2+?-sinα-1?2 = π 5+4sin?α+3?

π π 4π 又因为 0<α<π,所以3<α+3< 3 , π π π → 所以当 α+3=2,即 α=6时,|MN|max=3.

1.准确选用两角和与差及二倍角公式的关键是 观察、分析角之间的和、差与二倍关系,同时 应注意角之间的差别是 的整数倍时仍可运用 2 和、差公式与二倍角公式进行三角恒等式变形, 最后运用诱导公式实现目标解决. 2.角的变换常见途径有:? ? (? ? ? ) ? ?, 2 会“正用”“逆用”“变形用”. 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ),? ? 2 ?

?

?

等.对公式

1 ? cos 2? 3.常见变换公式有: ? ? cos , 2 1 ? cos 2? 2 sin ? ? , 2 tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? ? tan ? )等.
2

4.三角函数求值的常见题型有两类: 给角求值和给式求值.


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