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浙江省台州市2009届高三数学第二次调考试卷(理)


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浙江省台州市 2009 届高三第二次调考试卷(数学理)
2009.4 命题:陈传熙(玉环县玉城中学) 许彪(台州中学)

审卷:李继选(台州一中) 注意:本卷考试时间 120 分钟,请考生将所有题目都做在答题卷上.
参考公式: 如果事件 A , B 互斥,那么 P ? A ? B? ? P ? A? ? P ?B? 如果事件 A , B 相互独立,那么
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ?B ?

棱柱的体积公式
V ? Sh

其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式
V ? 1 3 Sh

在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好 发生 k 次的概率是 C nk p k ? 1 ? k ? 其中
p
n?k



其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱台的体积公式
V ? 1 3 h S1 ?

表示在一次试验中事件 A 发生的概率
S ? 4? R
4 3
2

球的表面积公式 球的体积公式

?

S1S 2 ? S 2

?

V ?

?R

3

其中 S 1 , S 2 分别表示棱台的上底、下底面积,
h

其中 R 表示球的半径

表示棱台的高

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 P (A) ? y 2.在 ( 3
x
2

?

?y

y ? 0? , P ? Q ? Q
2

,则集合 Q 不可能是 ...
y ? 2
x

y ? x

?

(B) ? y

?

(C) ? y

y ? lg x ?

(D) ?

?

1 x
2

)

8

的展开式中,常数项为 (B)-70 (C)70
? ? ??

(A)-28

(D)28 , l // ? ,m
? ?

3. 已知两条不同的直线 m , 与三个不同的平面 ? ,? , , ? 满足 l l
m ? ?



,那么必有
? ? // ?

(A) ? (C) m

,m ? l ,m ? l
? 0

(B) ? (D) ? , a2
? 1 ? a1

? ? // ?

,m ,?

// ? ? ?

4.在等比数列 ? a n ? 中, a n (A)16

, a4

? 9 ? a 3 ,则 a 4 ? a 5 ?

(B)27
? 4ac ? 0

(C)36

(D)81
? bx ? c ? 0

5.已知 a, b, c 均为实数,则“ b 2 解集为 ? ”的 (A)充分不必要条件

”是“关于 x 一元二次不等式 a x 2



(B)必要不充分条件

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(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

6.在一张矩形纸片上,画有一个圆(圆心为 O)和一个定点 F(F 在圆外).在圆上任取 一点 M, 将纸片折叠使 M 与点 F 重合, 得到折痕 CD. 设直线 CD 与直线 OM 交于点 P, 则点 P 的轨迹为 (A)双曲线 (B)椭圆
R

(C)圆
? ? ?

(D)抛物线
? ?
? ? 6 ?

7.若对 ? a ? - ? , 0), ? x 0 ? (
1 2

,使 a c o s x 0 ≤ a 成立,则 c o s ? x 0
1 2

(A)

(B) ?

(C)

3 2
3 2

(D) ?

3 2

8.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 视图为正方形,那么这个几何体的表面积为 (A) 2 (B) 4 (C)4 (D)8
3

,且一个内角为 6 0 ? 的菱形,俯

3

正视图

侧视图

俯视图 (第 8 题)

9.将三个分别标有 A,B,C 的小球随机地放入编号分别为 1,2,3,4 的四个盒子中,则 第 1 号盒子内有球的不同放法的总数为 (A)27
? 10. 已知向量 a ? ,b ? ,c

(B)37 满足
? a ?1 ? ? ? ,a ? b ? b
n

(C)64 ,?
?

(D)81
? ? b ? c ? 0

? ? a ? c

? ·?

?

. 若对每一确定的 b ,

?

? c

的最大值和最小值分别为 m , (A)
1 4

, 则对任意 b , m (C)

? n

的最小值是 (D)1

(B)

1 2

3 4

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知复数 z
? 1? i 1? i

,则 z 2

?

▲ .

开始 输入 x x<=10? 是 y=3.6x 否 x<=20? 否 y=25x-364 是 y=10x-64

12.某路段属于限速路段,规定通过该路段的汽车 时速不得超过 7 0 km / h , 否则视为违规扣分. 某 天, 1000 辆汽车经过了该路段, 有 经过雷达测 速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如 图所示,则违规扣分的汽车大约为 ▲ 辆.

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输出 y 结束 (第 14 题)

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频率 组距 0.038 0.028 0.018 0.01 0.005 1

时速(km/h) 30 40 50 60 70 80 (第 12 题)

13. 已知等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , 且过点 P ? n , a n ? 和 Q ? n 斜率是 4,若 S 1
? 3

? 3, a n ? 3

?

? n ? N ? 的直线的
*

,则 S 6

?

▲ .

14.某个缺水地区为了提倡居民节约用水和控制用水浪费现象,实行了水费的分段计价,其 计价的流程如图所示.其中输入为居民每月的用水量(单位:吨),输出为相应的水费 (单位:元).已知某户居民某月用水量为 x ? x 部分应缴纳的水费为 ▲ .
? ?

? 20 ?

吨,则该户居民用水超过 20 吨的
? ?

15.已知向量 a 16 . 若
f

?

? m , n ? ,b

? ? 1, ? 1 ?

,其中 m , n 为连续两次投掷骰子得到的点数,则 a , b 的

夹角能成为直角三角形的内角的概率是 ▲ .
f

? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 0 ?
f ? x? 1 ?

x ?1

时,

f

?x?

? 2

1? x

;当

x ?1

时,

? x? ?

.则函数 y ? f ? x ? ?

1 2

x

的零点有 ▲ 个.
? y ? 2 ? 0

17.已知点 Q
a

2 2 ? ?x ? y ? 8x ? 6 y? ? ? ? ?? x, y ? ? ? ?3 x ? 4 y ? 24 ? ? ? ?

,如果直线 l : a x

经过点 Q ,那么实数

的取值范围是 ▲ .

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ?
? s in
2

x ? 2

3 s in x c o s x ? 3 c o s x
2



(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)已知 f ? ? ?
? 3

,且 ?

? ? 0, π

? ,求 ? 的值.

19.(本小题满分 14 分) 一袋子中有大小、 质量均相同的 10 个小球, 其中标记 “开” 字的小球有 5 个, 标记 “心” 字的小球有 3 个,标记“乐”字的小球有 2 个.从中任意摸出 1 个球确定标记后放回袋中, 再从中任取 1 个球.不断重复以上操作,最多取 3 次,并规定若取出“乐”字球,则停止摸

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球.求: (Ⅰ)恰好摸到 2 个“心”字球的概率; (Ⅱ)摸球次数 X 的概率分布列和数学期望. 20.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 A B C
? A1 B 1 C 1 中, A B ? A C

C1

A1 B1

,顶点 A 1 在 .

底面 A B C 上的射影恰为 B 点,且 A B

? A C ? A1B ? 2

(Ⅰ)分别求出 A A1 与底面 A B C ,棱 BC 所成的角; (Ⅱ)在棱 B 1 C 1 上确定一点 P,使 A P 二面角 P
? A B ? A1 的平面角的余弦值. ? 14

,并求出

C B

A

21.(本小题满分 15 分) 已知椭圆 C
: x a
2 2

(第 20 题)
1 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率为

,椭圆上的点到焦点的最小距离为 1.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点,且 O A
H
? OB

( O 为坐标原点), O H

? AB



点.试求点 H 的轨迹方程.

22.(本小题满分 15 分) 已知函数
e ? 2 . 7 1 ?2 8 8 .
f

?x? ?

px ?

p x

? ln x



g

?x?

? ln x ?

p ? e ? 2e ? ?1 ? ? 2 x ? p ?
2

,其中无理数

(Ⅰ)若 p

? 0

,求证: f ? x ? ? 1 ?

x



(Ⅱ)若 f ? x ? 在其定义域内是单调函数,求 p 的取值范围; (Ⅲ)对于区间(1,2)中的任意常数 p ,是否存在 x 0 存在,求出符合条件的一个 x 0 ;否则,说明理由.
? 0

使 f ? x0 ? ?

g ? x0

? 成立?若

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台州市 2009 年高三年级第二次调考参考答案


题号 答案 1 C 2 D 3 A

学(理科)
4 B 5 B 6 A 7 C

2009.4

一、选择题:本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 8 C 9 B 10 B

二、填空题:本大题共有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. -1 12. 110 13. 78 14. 2 5 x ? 5 0 0 15.
7 12

16. 7

17. ? ? ? , ?
?

?

1 ? ? 4 ?

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(Ⅰ)解: f ? x ? ? 由?
π 2 3 sin 2 x ? c o s 2 x ? 2 ? 2 sin ( 2 x ? π 6
f

π 6

) ?2

.……………………… 4 分
π 6 ? kπ

? 2k π ≤ 2 x ?



π 2

? 2k π

,解得
[? π 3

?

π 3

? k π ≤ x≤ π 6



所以函数 分 (Ⅱ)解:由 f ? ? ? 于是有 即?
2? ?

? x ? 的单调递增区间为

? kπ ,

? kπ ]

? k ? Z ? .…………… 7

? 3

,得 2 sin(2 ?
? π 6 ? 2 k1 π

?

π ) ?2 ?3 6 ? π 6 ?

.故 sin(2 ?
5π 6

?

π 1 ) ? 6 2

.……………… 10 分 ,

π 6

,或 2 ?

? 2 k 2 π ? k1 , k 2 ? Z ?

? k1 π

或?

?

π 3

? k 2 π ? k1 , k 2 ? Z ?

.因 ?

? ? 0, π

? ,故 ?

?

π 3

.……………… 14 分

19.(Ⅰ)解:恰好摸到两个“心”字球的取法共有 4 种情形: 开心心,心开心,心心开,心心乐. 则恰好摸到 2 个“心”字球的概率是
P ? 5 10 ? 3 10 ? 3 10 ?3? 3 10 ? 3 10 ? 2 10 ? 153 1000

. ………………………………………6 分

(Ⅱ)解: X 则

? 1, 2 , 3 ,
C2
1 1

P ( X ? 1) ?

?

1 5

,P(X

? 2) ?

C8
1

1

?

C2
1

1

?

4 25



C 10

C 10

C 10

P ( X ? 3 ) ? 1 ? P ( X ? 1) ? P ( X ? 2 ) ?

16 25

.…………………………………………10 分

故取球次数 X 的分布列为
X

1

2

3

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1

4 25

16 25

P
5 EX ? 1 5 ?1? 4 25 ?2? 16 25 ?3? 61 25

.…………………………………………………14 分

20.(Ⅰ)解:因 A 1 在底面 A B C 上的射影恰为 B 点,则 A1 B ⊥底面 A B C . 所以 ? A1 A B 就是 A A1 与底面 A B C 所成的角. 因 AB
? A1 B ? 2 , A1 B ? A B

,故
?
4

? A1 A B ?

?
4



即 A A1 与底面 A B C 所成的角是

.……………………………………………3 分
C1 P B1 A1

如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,则
C ? 2 , 0 , 0 ? , B ? 0 , 2 , 0 ? , A1 ? 0 , 2 , 2 ? , B 1 ? 0 , 4 , 2 ?
???? A A1 ? ? 0 , 2 , 2 ?



z

, BC

????

????? ? B1C 1 ?

? 2, ?2, 0 ? .
?4 8 ? 8 ? ? 1 2

x C A y B

???? ???? ???? ???? AA ? BC 则 c o s ? A A1 , B C ? ????1 ???? ? A A1 ? B C



故 A A1 与棱 BC 所成的角是 (Ⅱ)解:设 B 1 P
AP ? 4?
???? ????? ? ? B1C 1 ?

?
3

.…………………………………………………7 分
? 2? , 2 ?

? 2 ? , ? 2 ? , 0 ? ,则 P ? 2 ? , 4

.于是

2

? ? 4 ? 2?

?

2

? 4 ?

14 ? ? ?

1 2

(?

?

3 2

舍去),

则 P 为棱 B 1 C 1 的中点,其坐标为 P ? 1, 3 , 2 ? .…………………………………………9 分 设平面 P
?? ? ?n ? 1 ? ? ?? ? n1 ?
?? ? ? A B ? A1 的法向量为 n 1 ?

? x , y , z ? ,则
,故 n 1
?? ? ?

??? ? ? AP ? 0 ?x ? 3y ? 2z ? 0 ? x ? ?2 z ? ? ? ? ??? ? ? AB ? 0 ?2 y ? 0 ?y ? 0
?? ? ? ? 1, 0 , 0 ?

? ? 2 , 0 ,1 ? .…………………11 分

而平面 A B A1 的法向量是 n 2

, ,
5 5
2

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? n1 ? n 2 ?2 2 5 ? ? 则 c o s ? n 1 , n 2 ? ?? ?? ? ? ? 5 5 n1 ? n 2

故二面角 P

? A B ? A1 的平面角的余弦值是

2

.………………………………14 分
? b ?c
2 2

21.(Ⅰ)解:由题意知: e 故椭圆的方程为
x
2

?

c a

?
2

1 2

,a

? c ? 1,a

,解得 a

? 2, b

2

? 3.

?

y

?1

.…………………………………………………5 分

4

3

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(Ⅱ)解:设 A ? x 1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? , ⑴若 l
? x

轴,可设 H ? x 0 , 0 ? ,因 O A
x0 3
2

? OB
? ?? ? ?

,则 A ? x 0 , ? x 0 ? .
? ,0 ? ? 7 ? ? ? 0, ? ? ?



x0 4

2

?

?1

,得 x 02

?

12 7

,即 H

12



若l

? y

轴,可设 H ? 0 , y 0 ? ,同理可得 H

12 ? ? 7 ? ?

.……………………7 分

⑵当直线 l 的斜率存在且不为 0 时,设 l :
? y ? kx ? m ? 由? x2 y2 ,消去 y ? ?1 ? 3 ? 4

y ? kx ? m



得: (3 ?

4 k ) x ? 8km x ? 4 m
2 2

2

? 12 ? 0



则 x1

? x2 ? ?

8km 3 ? 4k
2

, x1 x 2 ?

4m

2

? 12
2

3 ? 4k
2

.………………………………………9 分
2

y 1 y 2 ? ( k x 1 ? m )( k x 2 ? m ) ? k x 1 x 2 ? k m ( x 1 ? x 2 ) ? m

?

3m

2

? 12k
2

2

3 ? 4k



由 O A ? O B ,知 x1 x 2 故 分
4m
2

? y1 y 2 ? 0
2


? 12(k
2

? 12
2

3 ? 4k

?

3m

2

? 12k
2

3 ? 4k

? 0

,即 7 m 2

? 1)

(记为①).…………11

由 O H ? A B ,可知直线 O H 的方程为 y

? ?

1 k

x



? y ? kx ? m ? 联立方程组 ? 1 ?y ? ? x k ?

,得

x ? k ? ? ? y ? ? 2 ?m ? x ? y ? y ?

(记为②).……………………13

分 将②代入①,化简得 x 2
? y
2

?

12 7


? y
2

综合⑴、⑵,可知点 H 的轨迹方程为 x 2 22. (Ⅰ)证明:当 p 若0 则x
? 0

?

12 7

.………………………15 分 ,则 m ? ? x ? ?
1 x ?1? 1? x x

时, f ? x ?

? ? ln x

.令 m ? x ?

? ln x ? x ? 1



? x ? 1, m ? ? x ? ? 0

, m ? x ? 递增;若 x

? 1, m ? ? x ? ? 0

, m ? x ? 递减,

? 1 是m ? x?

的极(最)大值点.于是 ,即 ln
x ? x ?1 ? 0

m ? x ? ? m ?1 ? ? 0

.故当 p

? 0

时,有 f ? x ? ? 1 ?

x

.………5 分

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(Ⅱ)解:对 f ? x ? ? ①若 p ②若
? 0

px ?

p x

? ln x
1 x ? 0

求导,得

f ?? x ? ? p ?

p x
2

?

1 x

?

px ? x ? p
2

x

2

. 合题意.



f ?? x ? ? ?

,则 f ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上单调递减,故 p
2

? 0

? 1 ? 1 1 p ? 0 , h ? x ? ? px ? x ? p ? p ? x ? ? p ? ? ? p ? 2p ? 4p 4p ?
2



则必须 p

?

1 4p

? 0, f ?? x ? ? 0

,故当 p

?

1 2

时, f ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上单调递增.

③若 p

? 0

, h ? x ? 的对称轴 x

?

1 2p

? 0

,则必须 h ? 0 ? ?

0, f ?? x ? ? 0



故当 p

? 0

时, f ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上单调递减.
?1 ? , ?? ? ? ?2 ?
2

综合上述, p 的取值范围是 ? ? ? , 0 ? ? (Ⅲ)解:令 F ? x ? 找一个 x 0 因 F ?? x ?
? 0
? f

.………………………………10 分 .则问题等价于
? 0

?x? ?

g ? x ? ? p x ? 2 ln x ?

e ? 2e px

使F ?x? ?
2 x
2

0

成立,故只需满足函数的最小值 F ? x ? m i n
?

即可.

? p ?

?

e ? 2e px
2

? px

? e ? ? px ? 2 ? e ? px
2

?

p ? e ?? 2 ? e? x ? ?? x ? ? 2 ? x ? p ?? p ?



而x

? 0 ,1 ? p ? 2 ,

e p

?

2 p

? 0,

2? e p

? 0


e p

故当 0

? x ?

e p

时, F ? ? x ? ?

0

, F ? x ? 递减;当 x

?

时, F ? ? x ?

? 0

, F ? x ? 递增.

于是, F ? x ? m in

? e ? ? F ? ? ? e ? 2 ? 2 ln p ? e ? 2 ? 2 e ? 2 ln p ? 4 ? 0 ? p ?
? 0



与上述要求 F ? x ? m i n

相矛盾,故不存在符合条件的 x 0 .……………………15 分

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